第六節(jié)-離散型隨機(jī)變量的均值與方差課件

第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差備考方向明確知識鏈條完善高頻考點突破課堂類題精練解題規(guī)范夯實備考方向明確復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1.了解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些簡單實際問題.求均值、方差的關(guān)鍵是求分布列.若已知分布列,則可直接按定義(公式)求解;若已知隨機(jī)變量X的均值、方差,求X的線性函數(shù)y=aX+b的均值、方差可直接利用性質(zhì)求解;若能分析出隨機(jī)變量服從常用的分布,可直接利用它們的均值、方差公式求解,但在沒有準(zhǔn)確判斷出分布列模型之前,不能亂套公式.知識鏈條完善網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一、離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…,n.(1)均值:稱E(X)=

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn

二、均值與方差的性質(zhì)1.E(aX+b)=aE(X)+b.2.D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數(shù)).三、常用隨機(jī)變量的均值2.二項分布:若X～B(n,p),則E(X)=np.拓展空間1.概念(公式)理解(1)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)均值的單位與隨機(jī)變量的單位相同.(3)方差刻畫了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度.方差越小,則隨機(jī)變量的取值就越集中在其均值周圍;反之,方差越大,則隨機(jī)變量的取值就越分散.(4)方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.(5)方差是隨機(jī)變量與其均值差的平方的均值,即D(X)是(X-E(X))2的期望.2.常用隨機(jī)變量的方差(2)二項分布:若X～B(n,p),則D(X)=np(1-p).溫故知新D1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,則a,b的值分別是(

)A3.(2019·金色聯(lián)盟聯(lián)考)已知隨機(jī)變量X的分布列如下,若E(X)=0.5,則mn=

,D(X)=

.

X-101Pm0.3n答案:0.06

0.45高頻考點突破考點一離散型隨機(jī)變量的均值與方差[例1]

設(shè)袋子中裝有a個紅球,b個黃球,c個藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍(lán)球得3分.(1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會均等)2個球,記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求ξ的分布列;反思?xì)w納(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差,可依題設(shè)條件求出隨機(jī)變量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解;(2)由已知均值或方差求參數(shù)值,可依據(jù)條件利用均值、方差公式列含有參數(shù)的方程(組)求解;(3)注意隨機(jī)變量的均值與方差的性質(zhì)的應(yīng)用.考點二與兩點分布、二項分布有關(guān)的均值、方差[例2]

一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的銷售量低于50個的概率;解:(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”,A2表示事件“日銷售量低于50個”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的銷售量低于50個”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列、期望E(X)及方差D(X).反思?xì)w納若隨機(jī)變量X服從二項分布,則求X的均值或方差可利用定義求解,也可直接利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.遷移訓(xùn)練(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,求X≤3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大?考點三均值與方差在決策中的應(yīng)用[例3]

現(xiàn)有兩種投資方案,一年后投資盈虧的情況如下:(1)投資股市:(2)購買基金:反思?xì)w納隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù),一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.遷移訓(xùn)練(1)若走L1路線,求最多遇到1次紅燈的概率;(2)若走L2路線,求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(3)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求,請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線,并說明理由.解題規(guī)范夯實分布列與數(shù)學(xué)期望[例題]

某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球.在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解題規(guī)范規(guī)范要求:步驟①②③④⑤⑥⑦應(yīng)齊全,能利用互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式求復(fù)雜事件的概率,能分析出離散型隨機(jī)變量服從二項分布,進(jìn)而利用公式求得相應(yīng)概率,寫出分布列,求出數(shù)學(xué)期望.溫馨提示:步驟①②求P(B1),P(B2)時,需將B1,B2轉(zhuǎn)化為可求概率事件的和或積;步驟④⑤,若隨機(jī)變量服從二項分布,則利用獨立重復(fù)試驗概率公式求取各值的概率,否則,利用古典概型及獨立事件概率乘法公式求出取各值的概率;步驟⑦求服從二項分布的隨機(jī)變量的期望、方差,可直接利用定義求解,也可直接代入E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解.(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.課堂類題精練類型一求方差B2.(2018·全國Ⅲ卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p等于(

)(A)0.7 (B)0.6 (C)0.4 (D)0.3BB類型二求期望C5.(2019·暨陽4月聯(lián)考)已知隨機(jī)變量ξ,η滿足η=-ξ+8,若E(ξ)=6,D(ξ)=2.4,則E(η),D(η)分別為(

)(A)E(η)=6,D(η)=2.4 (B)E(η)=6,D(η)=5.6(C)E(η)=2,D(η)=2.4 (D)E(η)=2,D(η)=5.6B7.馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量ξ的分布列如下表:x123p(ξ=x)?!?請