計(jì)算水力學(xué)-第五章(第2講)課件

第五章河網(wǎng)水流計(jì)算水文09級(jí)計(jì)算水力學(xué)教學(xué)課件長(zhǎng)江：潮汐河道里下河：平原河網(wǎng)太湖流域：湖區(qū)，河網(wǎng)、堰閘

江、河、湖、海聯(lián)合作用環(huán)狀河網(wǎng)

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算對(duì)于環(huán)狀河網(wǎng)，可以利用顯式差分求解，但工程上一般傾向于利用隱式求解。早期針對(duì)小型河網(wǎng)，以河道斷面的水力要素為基本未知量，采用對(duì)所有未知量建立方程組直接求解的一級(jí)解法。在這種方法中，方程組系數(shù)矩陣過于龐大，難以應(yīng)用于大型河網(wǎng)。為了適用于大型河網(wǎng)，其后發(fā)展了以河道首、末斷面的水力要素為基本未知量的二級(jí)解法。

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算該法是在一級(jí)解法的基礎(chǔ)上，對(duì)河道中間斷面未知量形成的子矩陣先行求解，表達(dá)為基本未知量的函數(shù)，消去中間斷面未知量，從而使得方程組的系數(shù)矩陣大大降階，易于求解。為了進(jìn)一步降低方程組的階數(shù)，有效求解大型河網(wǎng)，對(duì)二級(jí)解法的基本未知量再進(jìn)一步消元，形成以節(jié)點(diǎn)水位為基本未知量的三級(jí)解法，這就是目前最常用的方法。

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算計(jì)算流程

環(huán)狀河網(wǎng)計(jì)算示意圖

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算單一河道節(jié)點(diǎn)N2節(jié)點(diǎn)N1123n-1n2n個(gè)未知量，2(n-1)個(gè)方程

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—單一河道追趕系數(shù)

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—單一河道追趕系數(shù)

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—單一河道節(jié)點(diǎn)N2節(jié)點(diǎn)N1123n-1n首、末斷面流量表達(dá)為首、末節(jié)點(diǎn)水位的線性組合。環(huán)狀河網(wǎng)的追趕方程，每個(gè)河段有6個(gè)需要保存的追趕系數(shù)。當(dāng)首、末斷面水位求得后，利用同一斷面上的追趕關(guān)系可解得水位和流量。

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—單一河道對(duì)同一斷面上的流量聯(lián)立求解得

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算節(jié)點(diǎn)水位方程如何求解節(jié)點(diǎn)水位是河網(wǎng)求解的關(guān)鍵問題。求解河網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水位，必須建立節(jié)點(diǎn)水位方程。節(jié)點(diǎn)水位方程建立的依據(jù)：水量守衡原理，即流進(jìn)某一節(jié)點(diǎn)的水量之和等于該節(jié)點(diǎn)蓄水量的變化。把首、末斷面流量的節(jié)點(diǎn)水位關(guān)系式代入節(jié)點(diǎn)水量平衡方程，得到與節(jié)點(diǎn)i相鄰的節(jié)點(diǎn)水位為未知變量的線性代數(shù)方程：對(duì)河網(wǎng)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，都可建立這樣的節(jié)點(diǎn)水位方程，形成以河網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水位為基本未知變量的線性代數(shù)方程組：

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—節(jié)點(diǎn)水位方程節(jié)點(diǎn)水位方程系數(shù)矩陣節(jié)點(diǎn)水位列陣右端項(xiàng)列陣

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—節(jié)點(diǎn)水位方程首先、確定基本河網(wǎng)。第二、對(duì)基本河網(wǎng)節(jié)點(diǎn)編碼。第三、對(duì)計(jì)算河道編碼。第四、計(jì)算斷面編碼。第五、結(jié)合邊界條件，計(jì)算內(nèi)河道的水位流量追趕方程。

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算求解步驟第六、建立節(jié)點(diǎn)水位方程。第七、求解節(jié)點(diǎn)水位方程組。第八、求得節(jié)點(diǎn)水位后，利用追趕關(guān)系求解 河道各計(jì)算斷面上的水位和流量。第九、將節(jié)點(diǎn)的水位代入外河道的追趕方程，逐步回代求得外河道各斷面的水位和流量。

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—求解步驟

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—節(jié)點(diǎn)水位方程環(huán)狀河網(wǎng)計(jì)算示意圖

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—節(jié)點(diǎn)水位方程125節(jié)點(diǎn)(1)水量平衡條件

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—節(jié)點(diǎn)水位方程326節(jié)點(diǎn)(2)水量平衡條件

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—節(jié)點(diǎn)水位方程134節(jié)點(diǎn)(3)水量平衡條件節(jié)點(diǎn)水位方程

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算—節(jié)點(diǎn)水位方程132546

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環(huán)狀河網(wǎng)水流計(jì)算求解各斷面的水位、流量一、最優(yōu)編碼解法河網(wǎng)水流的求解最終歸結(jié)于節(jié)點(diǎn)水位方程的求解。節(jié)點(diǎn)水位方程的求解效率，決定河網(wǎng)計(jì)算的效率。因此，節(jié)點(diǎn)水位方程的求解顯得相當(dāng)重要。下面討論一種常見的求解方法，最優(yōu)編碼解法。

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最優(yōu)編碼解法河網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水位方程組的系數(shù)矩陣A，當(dāng)矩陣的階n較小時(shí)，可用任何一種方法求解，如高斯消元法。而隨著n的增加，求解方程的工作量正比于n3?？梢?，當(dāng)河網(wǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，會(huì)因?yàn)榍蠼夥匠探M的工作量龐大而無法實(shí)現(xiàn)。先分析矩陣的性質(zhì)。

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最優(yōu)編碼解法環(huán)狀河網(wǎng)計(jì)算示意圖

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最優(yōu)編碼解法最優(yōu)編碼解法系數(shù)矩陣特性：(1)非零元素對(duì)稱分布于主對(duì)角線。(2)矩陣為一個(gè)稀疏矩陣，矩陣中的大多數(shù)元素為零，非零元素的個(gè)數(shù)相對(duì)于元素總數(shù)來說很少。(3)矩陣的非零元素集中在以主對(duì)角線為中心的斜帶形區(qū)域。

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最優(yōu)編碼解法直接求解方程必須解決的問題：（1）排列方程和未知元，使得對(duì)角元是一個(gè)合適的主元，而且在消元過程中必須保持系數(shù)矩陣的稀疏性結(jié)構(gòu)。（2）盡量避免零元素的存貯和運(yùn)算。（3）存貯矩陣元素時(shí)應(yīng)使矩陣的一行和一列元素能夠有效的存取。

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最優(yōu)編碼解法高斯消元法求解的步驟

(1)用第1行的元素，消去第2行到第n行第1列的元素；

(2)用第2行的元素，消去第3行到第n行第2列的元素；以此類推，用第i行的元素，消去第i+1行到第n行第i列的元素，直到第n行，使矩陣成為上三角矩陣，解出第n個(gè)變量。

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最優(yōu)編碼解法最后從n-1到1逐個(gè)回代求出所有未知變量。這是一般的解法，其求解運(yùn)算的工作量正比于n3?？紤]到矩陣A的性質(zhì)，其非零元素集中在以主對(duì)角線為中心的斜帶形區(qū)域內(nèi)，帶寬為W。求解運(yùn)算只需在代形域內(nèi)進(jìn)行，域外為零元素，不必參加運(yùn)算。

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最優(yōu)編碼解法所以，可以用n×W

的矩陣來存貯對(duì)應(yīng)各行的非零元素。求解的帶寬為W：

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最優(yōu)編碼解法用帶形存貯的高斯消元法求解方程組的計(jì)算工作量正比于n×W2。所以，減小帶寬不僅可以節(jié)省計(jì)算機(jī)內(nèi)存，而且能有效提高計(jì)算的速度。對(duì)于特定的河網(wǎng)，帶寬主要取決于節(jié)點(diǎn)編碼，隨著節(jié)點(diǎn)編碼的好或壞而減小或增大。因此在求解河網(wǎng)水流時(shí)，存在著一個(gè)最優(yōu)節(jié)點(diǎn)編碼問題，即得到帶寬最小的編碼方法。

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最優(yōu)編碼解法編碼A（W＝7）

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最優(yōu)編碼解法3編碼B（W＝7）

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最優(yōu)編碼解法3編碼C（W＝11）

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最優(yōu)編碼解法5編碼D（W＝11）

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最優(yōu)編碼解法5

(1)帶寬由編碼決定，取決于同一層的最多節(jié)點(diǎn)數(shù)。

(2)最優(yōu)編碼不是唯一的。

(3)最優(yōu)編碼應(yīng)遵循的原則是：沿著節(jié)點(diǎn)數(shù)目少的方向順序編碼，即同一層的節(jié)點(diǎn)數(shù)盡可能的少。最優(yōu)編碼原則

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最優(yōu)編碼解法天然河網(wǎng)節(jié)點(diǎn)分布是非常不規(guī)則的，可以采用分層的辦法進(jìn)行優(yōu)化編碼。對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的河網(wǎng)常常不會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)編碼，因?yàn)槊恳粚又邪墓?jié)點(diǎn)數(shù)目相差太大。應(yīng)當(dāng)進(jìn)行必要的調(diào)整，使每一層包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)盡可能均勻，調(diào)整包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)目最多的層次，減少該層所包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)，反復(fù)試驗(yàn)，直到帶寬無法減小為止。

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最優(yōu)編碼解法—天然河網(wǎng)編碼方法1.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備(1)節(jié)點(diǎn)編碼：根據(jù)系數(shù)矩陣帶寬最小原則，對(duì)內(nèi)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)一編碼。(2)河道編碼：統(tǒng)一編碼，編碼順序可以任意。(3)斷面編碼：對(duì)于內(nèi)河道，以首節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于首斷面，末節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于末斷面，首斷面向末斷面方向遞增，代表河道的計(jì)算流向。對(duì)于外河道，以外節(jié)點(diǎn)向內(nèi)節(jié)點(diǎn)遞增為原則。二、編程技巧

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最優(yōu)編碼解法—編程技巧(4)外河道邊界信息：按實(shí)際的邊界條件類型確定。(5)河道的計(jì)算信息：根據(jù)(1)的節(jié)點(diǎn)編碼和(3)的斷面編碼，確定內(nèi)河道的首節(jié)點(diǎn)和末節(jié)點(diǎn)號(hào)，確定外河道的末節(jié)點(diǎn)號(hào)，確定河道的首斷面號(hào)和末斷面號(hào)。(6)計(jì)算河道的基本地形資料和邊界條件資料。

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最優(yōu)編碼解法—編程技巧2.計(jì)算編程(1)計(jì)算外河道的邊界條件，系數(shù)矩陣初始化。(2)對(duì)可調(diào)蓄節(jié)點(diǎn)，將蓄水量的變化表達(dá)成流量與水位的線性關(guān)系，迭加到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)水位方程。(3)按外河道的順序計(jì)算追趕系數(shù)。(4)按內(nèi)河道的順序計(jì)算追趕系數(shù)。(5)用高斯消去法求解節(jié)點(diǎn)水位方程。(6)用節(jié)點(diǎn)水位回代求出各斷面的水位和流量。

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最優(yōu)編碼解法—編程技巧(3)按外河道的順序，依次計(jì)算外河道的追趕系數(shù)。(a)首斷面的追趕系數(shù)由邊界條件確定。(b)按單一河道計(jì)算追趕系數(shù)P、V、S、T。(c)將末斷面的流量水位關(guān)系迭加到末節(jié)點(diǎn)水位方程。

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最優(yōu)編碼解法—編程技巧(4)按內(nèi)河道的順序計(jì)算內(nèi)河道的追趕系數(shù)。(a)計(jì)算各河段的差分方程系數(shù)C、D、E、F、

G、Φ。(b)計(jì)算各斷面的追趕系數(shù)。(c)將首、末斷面流量的水位表達(dá)式迭加到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)水位方程。

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最優(yōu)編碼解法—編程技巧一、矩陣標(biāo)識(shí)法 對(duì)于大型復(fù)雜河網(wǎng)，優(yōu)化編碼是困難的，節(jié)點(diǎn)編碼常常因人而異，模型計(jì)算工作量也會(huì)因人而異，而且對(duì)于已建的大