高考數(shù)復(fù)習(xí)函數(shù)應(yīng)用

函數(shù)應(yīng)用A組1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x(x＋4)，x<0，,x(x－4)，x≥0.))則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．解析：只要畫出分段函數(shù)的圖象，就可以知道圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)有3個(gè)．答案：32．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－x－2＝0的一個(gè)根所在的區(qū)間為___．x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345解析：據(jù)題意令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－4>0，故函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)有根．答案：(1,2)3．偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a>0)上是單調(diào)函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個(gè)數(shù)是__________．解析：由題意函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a](a>0)上是單調(diào)函數(shù)，且f(0)·f(a)<0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理知：在區(qū)間[0，a]內(nèi)函數(shù)f(x)一定存在惟一零點(diǎn)且f(0)≠0，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故其在[－a,0]也惟一存在一個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)＝0在區(qū)間[－a，a]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為2.答案：24．(2009年高考浙江卷)某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)．該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：高峰時(shí)間段用電價(jià)格表低谷時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量(單位：千瓦時(shí))高峰電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))低谷月用電量(單位：千瓦時(shí))低谷電價(jià)(單位：元/千瓦時(shí))根據(jù)表中數(shù)據(jù)，推測(cè)繁殖到1000個(gè)細(xì)胞時(shí)的時(shí)刻t最接近于________分鐘．解析：由表格中所給數(shù)據(jù)可以得出n與t的函數(shù)關(guān)系為n＝2eq\f(t,20)，令n＝1000，得2eq\f(t,20)＝1000，又210＝1024，所以時(shí)刻t最接近200分鐘．答案：2005．某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)．已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害．為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是________年．解析：由題知第一年產(chǎn)量為a1＝eq\f(1,2)×1×2×3＝3；以后各年產(chǎn)量分別為an＝f(n)－f(n－1)＝eq\f(1,2)n·(n＋1)(2n＋1)－eq\f(1,2)n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5eq\r(2)?1≤n≤7，故生產(chǎn)期限最長(zhǎng)為7年．答案：76．(2010年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過3km但不超過8km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8km時(shí)，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了________km.解析：設(shè)乘客每次乘坐出租車需付費(fèi)用為f(x)元，由題意可得：f(x)＝令f(x)＝22.6，解得x＝9.答案：97.(2010年紹興第一次質(zhì)檢)一位設(shè)計(jì)師在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中設(shè)計(jì)圖案，他分別以A、B、C、D為圓心，以b(0<b≤eq\f(3,2))為半徑畫圓，由正方形內(nèi)的圓弧與正方形邊上線段(圓弧端點(diǎn)在正方形邊上的連線)構(gòu)成了豐富多彩的圖形，則這些圖形中實(shí)線部分總長(zhǎng)度的最小值為________．解析：由題意實(shí)線部分的總長(zhǎng)度為l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l關(guān)于b的一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)2π－8<0，故l關(guān)于b的函數(shù)單調(diào)遞減，因此，當(dāng)b取最大值時(shí)，l取得最小值，結(jié)合圖形知，b的最大值為eq\f(3,2)，代入上式得l最?。?2π－8)×eq\f(3,2)＋12＝3π.答案：3π8．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vm/s和燃料的質(zhì)量Mkg，火箭(除燃料外)的質(zhì)量mkg的函數(shù)關(guān)系是v＝2000·ln(1＋M/m)．當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的________倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12km/s.解析：由題意得2000ln(1＋eq\f(M,m))≤12000，∴eq\f(M,m)≤e6－1.答案：e6－19．(2010年浙江省寧波市十校高三聯(lián)考)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,|x－1|)，x≠1,1，x＝1))若關(guān)于x的函數(shù)h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋eq\f(1,2)有5個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4，x5，則x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于________．解析：假設(shè)關(guān)于t的方程t2＋bt＋eq\f(1,2)＝0不存在t＝1的根，則使h(x)＝0的f(x)的值也不為1，而顯然方程f(x)＝k且k≠1的根最多有兩個(gè)，而h(x)是關(guān)于f(x)的二次函數(shù)，因此方程h(x)＝0的零點(diǎn)最多有四個(gè)，與已知矛盾，可見t＝1時(shí)t2＋bt＋eq\f(1,2)＝0，即得b＝－eq\f(3,2)，所以h(x)＝f2(x)－eq\f(3,2)f(x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(f(x)－1)(2f(x)－1)，而方程f(x)－1＝0的解為x＝0,1,2，方程2f(x)－1＝0的解為x＝－1,3，由此可見五根分別為－1，0,1,2,3，因此直接計(jì)算得上述五數(shù)的平方和為15.答案：1510.(2010年黑龍江哈爾濱模擬)某商場(chǎng)在促銷期間規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售．同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：,消費(fèi)金額(元)的范圍[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…獲得獎(jiǎng)券的金額(元)3060100130…根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠．例如：購(gòu)買標(biāo)價(jià)為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為：400×0.2＋30＝110(元)．設(shè)購(gòu)買商品的優(yōu)惠率＝eq\f(購(gòu)買商品獲得的優(yōu)惠額,商品的標(biāo)價(jià)).試問：(1)購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？(2)對(duì)于標(biāo)價(jià)在[500,800)(元)的商品，顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)為多少元的商品時(shí)，可得到不小于eq\f(1,3)的優(yōu)惠率？解：(1)eq\f(1000×0.2＋130,1000)＝eq\f(33,100)，即顧客得到的優(yōu)惠率是eq\f(33,100).(2)設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為x元，則500≤x<800.則消費(fèi)金額滿足400≤0.8x<640.當(dāng)400≤0.8x<500，即500≤x<625時(shí)，由eq\f(0.2x＋60,x)≥eq\f(1,3)解得x≤450，不合題意；當(dāng)500≤0.8x<640.即625≤x<800時(shí)，由eq\f(0.2x＋100,x)≥eq\f(1,3)解得625≤x≤725.因此，當(dāng)顧客購(gòu)買標(biāo)價(jià)在[625,725](元)內(nèi)的商品時(shí)，可得到不小于eq\f(1,3)的優(yōu)惠率．11．已知某企業(yè)原有員工2000人，每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利潤(rùn)3.5萬元．為應(yīng)對(duì)國(guó)際金融危機(jī)給企業(yè)帶來的不利影響，該企業(yè)實(shí)施“優(yōu)化重組，分流增效”的策略，分流出一部分員工待崗．為維護(hù)生產(chǎn)穩(wěn)定，該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過原有員工的5%，并且每年給每位待崗員工發(fā)放生活補(bǔ)貼0.5萬元．據(jù)評(píng)估，若待崗員工人數(shù)為x，則留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤(rùn)(1－eq\f(81,100x))萬元．為使企業(yè)年利潤(rùn)最大，應(yīng)安排多少員工待崗？解：設(shè)重組后，該企業(yè)年利潤(rùn)為y萬元．依題意得y＝(2000－x)(3.5＋1－eq\f(81,100x))－0.5x＝－5(x＋eq\f(324,x))＋9000.81，∴y＝－5(x＋eq\f(324,x))＋9000.81(0<x≤100且x∈N)，y＝－5(x＋eq\f(324,x))＋9000.81≤－5×2eq\r(324)＋9000.81＝8820.81，∴當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(324,x)，即x＝18時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y取得最大值．即為使企業(yè)年利潤(rùn)最大，應(yīng)安排18人待崗．12．(2010年揚(yáng)州調(diào)研)某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為13萬元/輛，年銷售量為5000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷售量也相應(yīng)增加．已知年利潤(rùn)＝(每輛車的出廠價(jià)－每輛車的投入成本)×年銷售量．(1)若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)若年銷售量T關(guān)于x的函數(shù)為T＝3240(－x2＋2x＋eq\f(5,3))，則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解：(1)由題意得：上年度的利潤(rùn)為(13－10)×5000＝15000萬元；本年度每輛車的投入成本為10×(1＋x)萬元；本年度每輛車的出廠價(jià)為13×(1＋0.7x)萬元；本年度年銷售量為5000×(1＋0.4x)輛．因此本年度的利潤(rùn)為y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0<x<1)．由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0<x<eq\f(5,6).為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則0<x<eq\f(5,6).(2)本年度的利潤(rùn)為f(x)＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×3240×(－x2＋2x＋eq\f(5,3))＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，則f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x