第二章-正投影基礎-21-投影法課件

第二章正投影基礎

2.1投影法2.2三視圖2.3點的投影2.4直線的投影2.5平面的投影2.6換面法2.1投影法一、投影法概念1、投影法：投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。2、投影：根據(jù)投影法所得到的圖形3、投影面：投影法中得到投影的面2.1投影法二、投影法分類1、中心投影法：投射線匯交于一點的投影法優(yōu)點：較強的直觀性，立體感好。缺點：不能反映物體表面的真實形狀和大小。2、、平行投影法：投射線相互平行的投影方法（1）斜投影法：投射線與投影面相傾斜的平行投影法（2）正投影法：投射線與投影面相垂直的平行投影法優(yōu)點：真實反映物體的形狀和大小，度量性好，作圖簡便缺點：直觀性差三、正投影的基本特性1、真實性：直線段或平面平行于投影面時，投影反映線段實長或平面實形2、積聚性：直線段或平面垂直于投影面時，直線段積聚成點，平面形積聚成直線段。3、類似性：直線段或平面傾斜于投影面時，直線段的投影變短，平面形的投影為原形的類似型2.2三視圖視圖：用正投影法所繪制出的物體的圖形一、三視圖的形成1、三投影面體系的建立正立投影面用V表示OX軸V面和H面的交線左右長度水平投影面用H表示OY軸H面和W面的交線前后寬度側立投影面用W表示OZ軸V面和W面的交線上下高度2、三面投影的形成

如下圖所示，首先將形體放置在我們前面建立的V、H、W三投影面體系中，然后分別向三個投影面作正投影形體在三投影面體系中的擺放位置應注意以下兩點：

1)應使形體的多數(shù)表面(或主要表面)平行或垂直于投影面(即形體正放)

2)形體在三投影面體系中的位置一經(jīng)選定，在投影過程中是不能移動或變更，直到所有投影都進行完畢。

3、三投影面的展開

V面保持不動，將H面和W面按圖中箭頭所指,方向分別繞OX和OY軸旋轉，使H面和W面均與V面處于同一平面內，即得如圖所示的形體的三面投影圖

由于視圖的形狀和投影面的大小，物體到投影面的距離無關，所以工程圖中通常不畫投影面的邊框和投影軸。

V面投影圖稱為主視圖;

H面投影圖稱為俯視圖；W面投影圖稱為左視圖。二、三視圖之間的對應關系1、視圖的位置關系

俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方2、尺寸度量關系主、俯視圖中相應投影(整體或局部)的長度相等，并且對正；

主、左視圖中相應投影(整體或局部)的高度相等，并且平齊；

俯、左視圖中相應投影(整體或局部)的寬度相等。

這就是我們今后畫圖或看圖中要時刻遵循的“長對正，高平齊，寬相等”規(guī)律，需要牢固掌握。

3、物體的方位關系主視圖——反映了形體的上、下和左、右方位關系；

俯視圖——反映了形體的左、右和前、后方位關系；

左視圖——反映了形體的上、下和前、后位置關系。

比較形體與視圖，可以看出：1）主視圖的上、下、左、右方位與形體的上、下、左、右方位一致；

2）俯視圖的左、右方位與形體的左、右方位一致，而俯視圖的上方反映的是形體的后方，俯視圖的下方反映的是形體的前方3）左視圖的上、下方位與形體的上、下方位一致，而左視圖的左方反映的是形體的后方，左視圖的右方反映的是形體的前方。2.3點的投影一、點的三面投影將A點置于三投影面體系中，自A點分別向三個投影面作垂線，交得三個垂足即：a、a′、a″分別為A點的H、V及W面投影規(guī)定：空間點用大寫字母Α，B，C……標記；

H面上的投影用同名小寫字母a，b，c……等標記；

V面上的投影用同名小寫字母加一撇a′，b′，c′……等標記；

W面上的投影用同名小寫字母加二撇a″，b″，c″……等標記。

點的投影規(guī)律1、點的正面投影和水平投影的連線垂直O(jiān)X軸,即a'a⊥OX軸2、點的正面投影和側面投影的連線垂直O(jiān)Z軸；即a'a"⊥OZ軸3、點的水平投影到OX軸的距離等于點的側面投影到OZ軸的距離，都反映空間點的y坐標，即a"a⊥OY軸，axa=aza"[例1]已知點的兩面投影，求作第三面投影

作圖：如下圖所示，過已知兩面投影分別作相應軸的垂線，兩垂線的交點即為所求。

(a)知a、a'求a"(b)已知a"、a'求a(c)已知a、a"求a'(a)

(b)

(c)二、點的投影與直角坐標之間的關系A點的直角坐標XA、YA、ZA與點的三面投影a、a′、a″之間的關系如下：

Aa″=aay=a′az

=ax0=XA——A點到W面的距離；

Aa′=aax=a″az=ay0=YA——A點到V面的距離；

Aa=aax=a″ay=az0=ZA——A點到H面的距離。

[例3]已知A點的坐標值A(12，10，15)，求作A點的三面投影圖。

作圖：先在三個軸上量取相應的坐標值，得aX、aYH、aYW、aZ

等點，然后過這些點作所在軸的垂線，其交點便是a、a′和a″，如下圖所示。

三、兩點的相對位置1、點的位置點的位置：在空間、在投影面上、在投影軸上、在原點上四種情況。

各種位置點的投影特征如下表所示。

2、兩點的相對位置兩個點的相對位置，由其坐標值決定左右位置：xA<xB

A在B右邊前后位置：yA<yB

A在B后邊上下位置：zA>zB

A在B上邊當空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應相等時(即有兩對同名坐標值對應相等)，該兩點處于同一投射線上，在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點

如圖所示：因A、B兩點到V面和W面的距離都對相等，所以A、B兩點處于同一H面的投射線上，它們在H面上的投影重合在一起，A、B兩點稱為對H面的重影點。重影點需要判斷其可見性，將不可見點的投影用括號括起來。

2.4直線的投影一、直線的三面投影由幾何原理可知，兩點決定一條直線。

從投影原理可知，直線的投影一般仍是直線。因此，分別作出直線上兩點(通常是線段的兩個端點)的三面投影之后，用直線連接其同面投影，如圖所示，ab、a′b′、a″b″即為直線的三面投影。二、各種位置直線的投影1、投影面垂直線：平行于一個投影面并且平行于另外兩個投影面的直線。鉛垂線：垂直于H面的直線正垂線：垂直于V面的直線側垂線：垂直于W面的直線投影面垂直線投影特性2、投影面平行線：平行于一個投影面并與另外兩個投影面傾斜的直線。水平線：//H、∠V、∠W正平線：∥V、∠H、∠W側平線：∥W、∠H、∠V投影面平行線投影特性3、一般位置直線：相對于三個投影面都傾斜的直線直線對H、V、W面的傾角分別用a、β、γ表示。

一般位置直線的投影特征：

一般位置直線的三個投影都是直線，不反映實長，且均與投影軸傾斜，其與投影軸的夾角不反映該線對投影面傾角的真實大小。三、直線上的點點在直線上，則點的各面投影必在該直線的同面投影上，并且點分線段長度之比等于其投影長度之比。M點在AB直線上，則m′在a′b′上，m在ab上，而且點不在直線上，則點的投影至少有一個不在該直線的同面投影上[例]已知直線AB和點K的兩面投影，試判斷K點是否在AB直線上。

分析：雖然k在ab上，k′也在a′b′上，且kk′⊥OX軸，但因ak:kb≠a′k′:k′b′不符合定比性，故可直接判斷K點不在直線AB上。也可作出AB和K的W面投影進行判斷，結論是一致的。

四、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置有三種情況：兩直線平行、兩直線相交和兩直線交叉。1、兩直線平行：兩直線平行，其同面投影必定平行；反之，如兩直線的三個同面投影都互相平行，則此二直線在空間也一定平行。當兩直線同時平行于某一投影面時，要判斷它們是否平行，則須看此二直線在所平行的那個面上的投影是否平行。

如下圖所示，由于AB和CD兩直線同時平行于H、V面，但是否平行W面，則必須根據(jù)W面投影進行判斷。由于a〃b〃

與c〃d〃

不平行，所以AB與CD兩直線不平行。

[例]已知平行四邊形ABCD的兩邊AB和AC的投影，試完成ABCD的投影。

分析：由于平行四邊形的對邊相互平行，即AB∥CD,AC∥BD運用平行二直線的投影特性即可完成作圖。

2、兩直線相交若空間兩直線相交，則它們的各同面投影必相交，其交點符合空間一點的投影規(guī)律；反之，若兩直線各同名投影都相交，且交點符合點的投影規(guī)律，則該兩直線相交。交點為兩直線的共有點。

當兩直線中有一直線平行于某投影面時，要判斷它們是否相交，則要對直線所平行的投影面加以檢查，才能作出正確的判斷。

如圖所示：由于直線AB是側平線，故不能只看H、V面投影，必須作出AB和CD直線在W面上的投影進行檢查。雖然它們的W面投影也相交，但其交點的連線與投影軸不垂直，故AB與CD兩直線不相交。

如果運用點在直線上的定比性來進行判斷，則可不作出W面投影：

由于a′k′:k′b′≠ak:kb，故K點不是AB直線上的點，所以直線AB與直線CD不相交。

3、兩直線交叉：兩直線既不平行也不相交（1）交叉兩直線的同面投影，有時可能平行，但決不會各面投影都平行（2）交叉兩直線的同面投影，有時可能相交，但各投影面的交點，決不會符合同一點的投影規(guī)律，即各組同面投影交點的連線不垂直于相應的投影軸。4、兩直線垂置相交垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于一投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。反之，相交兩直線在同一投影面上的投影成直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角?；ハ啻怪苯徊娴膬芍本€，其中有一條直線平行于一投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。反之，交叉兩直線在同一投影面上的投影成直角，且有一條直線平行于該投影面，則兩直線的夾角必是直角。1）用幾何元素表示平面

在投影圖上可以用下列任何一組幾何元素的投影表示平面。

①不在同一直線上的三點

②一直線和線外一點

③相交兩直線

④平行兩直線

⑤平面圖形2.5平面的投影一、平面的投影表示法2、用跡線表示平面平面和投影面的交線叫做跡線PH、PV、PW分別表示P面與H、V、W面的交線Px、Py、Pz分別表示平面P與OX、OY、OZ軸的交線判別方法：在投影圖中，如果平面的三面投影都是封閉線框或三條跡線均與投影軸傾斜，則該平面是一般位置平面二、各種位置平面的投影1、投影面平行面：平行于一個投影面并且與另兩個投影面垂直的平面。水平面：∥H面的平面

正平面:∥V面的平面

側平面:∥W面的平面

投影面平行面的投影特性2、投影面垂直面：垂直于一個投影面并與另外兩個投影傾斜的平面。鉛垂面：⊥H、∠V和W正垂面：⊥V、∠H和W側垂面：⊥W、∠H和V投影面垂直面投影特性三、平面上的直線和點1、平面上的直線（1）若一直線通過平面上的兩個已知點，則此直線在該平面上(即屬于該平面的直線)；

（2）一直線通過平面上的一個已知點并平行于該平面上的另一已知直線，則此直線也在該平面上2平面上的點

點在平面上的幾何條件是：

若點在平面內的任一已知直線上，則點必在該平面上。平面上取點，應先過點在平面內做一輔助線，然后在輔助線上取點3、平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線，既符合直線在平面上的條件，又具有投影面平行線的投影特性2.6換面法一、換面法概述投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便地解決它們的定位和度量問題換面法：保持空間幾何元素不動，用新的投影面替換舊的投影面，使新投影面對于空間幾何元素處于有利于解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影1、建立新投影面應符合的條件１）新投影面必須對空間物體處于最有利的解題位置。２）新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構成一個相互垂直的兩投影面的新體系。2、點的投影變換規(guī)律一般投影規(guī)律：１）點的新投影和與它有關的原投影的連線，必垂直于新投影軸。２）點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。3、直線的投影變換（1）將一般位置直線變換為投影面平行線

作圖步驟：1）在適當位置作X1∥ab（新投影軸距直線被保留得投影之間的距離可任取）。2）按投影變換的基本作圖法，分別求出線段AB兩端點的新投影b1和a1，連接b1和a1即為所求AB的V1面投影。（2）將投影面平行線轉換為投影面垂直線

分析：因為與投影面平行線相垂直的平面一定垂直于它所在的那個投影平面，因此，這樣的位置平面就可作為新投影面，與所垂直的被保留的投影面構成新的兩投影面體系，故將投影面平行線變換為投影面垂直線只需要一次換面。作圖步驟：1）在適當位置作X1⊥a'b'。2）按投影變換的基本作圖法取bbx=b1(a1)x1,求得端點B和A的新投影b1和a1，且兩投影重疊為一點，則a1b1即為AB所求的H1面投影。（3）將一般位置直線轉換為投影面垂直線分析：必須經(jīng)過兩次變換，首先把該直線變成投影面平行線，然后再把它變成投影面的垂直線。先把V面換成V1（V1⊥H,且V1∥AB直線）面，使直線AB在V1/H體系中成為投影面平行線；然后把H面換為H2（V1⊥H2，且H2⊥AB）面，使直線AB在V1/H2體系中變成投影面垂直線。作圖步驟：

1）將AB變換成V1面的平行線a、作新投影軸X1∥abb、求出AB在V1內的投影a1b1。2）將AB變換成H2面的垂直線a、作新投影軸X2⊥a1b1；b、求出AB在H2內的投影a2b2，a2b2積聚成一點，見投影圖。

4、平面的投影變換（1）將一般位置平面變換為投影面垂直面分析：要將△ABC變成投影面的垂直面，必須作一個輔助投影面與它垂直。根據(jù)兩平面互相垂直的關系知道，輔助投影面應當垂直于△ABC面內的某一直線。但是，把一般位置直線在新體系中變成投影面垂直線必須變換兩次，而把投影面平行線變成投影面垂直線只需一次變換；所以為了作圖簡化，可在三角形ABC內任取一投影面平行線。作圖步