2008年重慶市高考數學試卷(理科)

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2008年重慶市高考數學試卷（理科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2008?重慶）復數=（）A．1+2iB．1﹣2iC．﹣1D．32．（5分）（2008?重慶）設m，n是整數，則“m，n均為偶數”是“m+n是偶數”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．（5分）（2008?重慶）圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關系是（）A．相離B．相交C．外切D．內切4．（5分）（2008?重慶）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（）A．B．C．D．5．（5分）（2008?重慶）已知隨機變量ζ服從正態(tài)分布N（3，σ2），則P（ζ＜3）=（）A．B．C．D．6．（5分）（2008?重慶）若定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說法一定正確的是（）A．f（x）為奇函數B．f（x）為偶函數C．f（x）+1為奇函數D．f（x）+1為偶函數7．（5分）（2008?重慶）若過兩點P1（﹣1，2），P2（5，6）的直線與x軸相交于點P，則點P分有向線段所成的比λ的值為（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）（2008?重慶）已知雙曲線的一條漸近線為y=kx（k＞0），離心率，則雙曲線方程為（）A．﹣=1B．C．D．9．（5分）（2008?重慶）如圖，體積為V的大球內有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點．V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V2為大球內、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關系中正確的是（）A．B．C．V1＞V2D．V1＜V210．（5分）（2008?重慶）函數的值域是（）A．[﹣]B．[﹣1，0]C．[﹣]D．[﹣]二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）（2008?重慶）設集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，則（A∪B）∩（?UC）=_________．12．（4分）（2008?重慶）已知函數f（x）=，點在x=0處連續(xù)，則=_________．13．（4分）（2008?重慶）已知（a＞0），則=_________．14．（4分）（2008?重慶）設Sn是等差數列{an}的前n項和，a12=﹣8，S9=﹣9，則S16=_________．15．（4分）（2008?重慶）直線l與圓x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于兩點A，B，弦AB的中點為（0，1），則直線l的方程為_________．16．（4分）（2008?重慶）某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有_________種（用數字作答）．三、解答題（共6小題，滿分76分）17．（13分）（2008?重慶）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值．18．（13分）（2008?重慶）甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立．求：（Ⅰ）打滿3局比賽還未停止的概率；（Ⅱ）比賽停止時已打局數ξ的分別列與期望Eξ．19．（13分）（2008?重慶）如圖，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E兩點分別在AB、AC上．使，DE=3．現將△ABC沿DE折成直二角角，求（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；（Ⅱ）二面角A﹣EC﹣B的大?。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆?0．（13分）（2008?重慶）設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在點（﹣1，f（﹣1））處的切線垂直于y軸．（Ⅰ）用a分別表示b和c；（Ⅱ）當bc取得最小值時，求函數g（x）=﹣f（x）e﹣x的單調區(qū)間．21．（12分）（2008?重慶）如圖，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：|PM|+|PN|=6．（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）若，求點P的坐標．22．（12分）（2008?重慶）設各項均為正數的數列{an}滿足a1=2，an=an+2（n∈N*）．（Ⅰ）若a2=，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需證明）；（Ⅱ）記bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥2對n≥2恒成立，求a2的值及數列{bn}的通項公式．

2008年重慶市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2008?重慶）復數=（）A．1+2iB．1﹣2iC．﹣1D．3考點：復數代數形式的混合運算．分析：利用復數i的冪的運算，化簡復數的分母，即可．解答：解：故選A．點評：本題考查復數代數形式的運算，復數的冪的運算，是基礎題．2．（5分）（2008?重慶）設m，n是整數，則“m，n均為偶數”是“m+n是偶數”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：計算題．分析：先判斷p?q與q?p的真假，再根據充要條件的定義給出結論；也可判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．解答：解：m，n均為偶數，則m+n為偶數，即m，n均為偶數”?“m+n是偶數”為真命題但m+n為偶數推不出m，n為偶數，如m=1，n=1．“m，n均為偶數”是“m+n是偶數”的充分而不必要條件故選A點評：判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．3．（5分）（2008?重慶）圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關系是（）A．相離B．相交C．外切D．內切考點：圓與圓的位置關系及其判定．專題：計算題．分析：求出半徑，求出圓心，看兩個圓的圓心距與半徑的關系即可．解答：解：圓O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圓心是O1（1，0），半徑是r1=1圓O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圓心是O2（0，2），半徑是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴兩圓的位置關系是相交．故選B點評：本題考查圓與圓的位置關系，是基礎題．4．（5分）（2008?重慶）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（）A．B．C．D．考點：函數的值域．專題：計算題．分析：函數問題定義域優(yōu)先，本題要先確定好自變量的取值范圍；然后通過函數的單調性分別確定出m與n即可．解答：解：根據題意，對于函數，有，所以當x=﹣1時，y取最大值，當x=﹣3或1時y取最小值m=2∴故選C．點評：任何背景下，函數問題定義域優(yōu)先，建函數模型是求解函數最值問題有效手段之一．5．（5分）（2008?重慶）已知隨機變量ζ服從正態(tài)分布N（3，σ2），則P（ζ＜3）=（）A．B．C．D．考點：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．專題：計算題．分析：由正態(tài)分布的圖象規(guī)律知，其在x=μ左側一半的概率為，故得P（ζ＜3）的值．解答：解：ζ服從正態(tài)分布N（3，σ2），曲線關于x=3對稱，，故選D．點評：本題主要考查正態(tài)分布的圖象，結合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數的理解．6．（5分）（2008?重慶）若定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說法一定正確的是（）A．f（x）為奇函數B．f（x）為偶函數C．f（x）+1為奇函數D．f（x）+1為偶函數考點：函數奇偶性的判斷．專題：計算題．分析：對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四個選項，本題要研究函數的奇偶性，故對所給的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1進行賦值研究即可解答：解：∵對任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1為奇函數．故選C點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．7．（5分）（2008?重慶）若過兩點P1（﹣1，2），P2（5，6）的直線與x軸相交于點P，則點P分有向線段所成的比λ的值為（）A．﹣B．﹣C．D．考點：線段的定比分點．專題：計算題．分析：本題考查的知識點是線段的定比分點，處理的方法一般是，由定比分點坐標公式轉化為λ==，將已知的點的坐標代入，易得一個方程組，解方程組，即可求解．解答：解：由定比分點坐標公式得λ==不妨設點P（x，0），則，故答案選A點評：由定比分點坐標公式轉化可得：λ==，將已知的點的坐標代入，易得一個方程組，解方程組，即可求解．8．（5分）（2008?重慶）已知雙曲線的一條漸近線為y=kx（k＞0），離心率，則雙曲線方程為（）A．﹣=1B．C．D．考點：雙曲線的標準方程．分析：首先由焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±x，可得=k；然后根據雙曲線的離心率e==k，可消去k得a、b、c的關系式；再結合雙曲線的性質a2+b2=c2，即可整理出答案．解答：解：因為雙曲線的一條漸近線為y=kx（k＞0），所以=k，又，所以c=b，且有a2+b2=c2，所以a2=4b2，所以雙曲線的方程為．故選C．點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質．9．（5分）（2008?重慶）如圖，體積為V的大球內有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點．V1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，V2為大球內、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關系中正確的是（）A．B．C．V1＞V2D．V1＜V2考點：組合幾何體的面積、體積問題．專題：計算題；壓軸題；探究型．分析：根據題意推知小球半徑是大球的一半，建立大球體積小球體積和陰影部分的體積的關系，可推知選項．解答：解：設大球的半徑為R，則小球的半徑為：，由題意可得：V==所以＞0即：V2＞V1故選D．點評：本題考查組合體的體積，空間想象能力，邏輯推理能力，是難題．10．（5分）（2008?重慶）函數的值域是（）A．[﹣]B．[﹣1，0]C．[﹣]D．[﹣]考點：同角三角函數間的基本關系；函數的值域．專題：壓軸題．分析：根據特殊值代入法進行逐一排除．解答：解：特殊值法，sinx=0，cosx=1則f（x）=淘汰A，令得當時sinx=﹣1時所以矛盾f（x）≠淘汰C，同理，令得cosx=，當sinx=1時，cosx=，不滿足條件，淘汰D，故選B．點評：主要考查對任意角x滿足sin2x+cos2x=1．二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11．（4分）（2008?重慶）設集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={3，4，5}，C={3，4}，則（A∪B）∩（?UC）={2，5}．考點：交、并、補集的混合運算．專題：計算題．分析：先求出（A∪B）和（CUC），再求它們的交集即可．解答：解：∵A∪B={2，3，4，5），又?UC={1，2，5}∴（A∪B）∩（?UC）={2，5}故填{2，5}．點評：本題考查了交集、并集、補集的運算，屬于基礎題．12．（4分）（2008?重慶）已知函數f（x）=，點在x=0處連續(xù)，則=．考點：極限及其運算．專題：計算題．分析：由函數f（x）=在點x=0處連續(xù)，可得，解可得a=3．由此能求出的值．解答：解：（2x+3）==3，f（0）=a點在x=0處連續(xù)，所以，即a=3，故．故答案為：．點評：本題考查函數的極限和運算，解題時要認真審題，仔細解答．13．（4分）（2008?重慶）已知（a＞0），則=3．考點：指數式與對數式的互化；換底公式的應用．專題：計算題．分析：將已知的等式兩邊同時進行次乘方，得到a的值，再把a的值代入要求的式子，利用對數的運算性質計算結果．解答：解：已知（a＞0），∴，故答案為3．點評：本題考查根指數的轉化運算，以及利用對數的運算性質求對數式的值，體現了代入得思想．14．（4分）（2008?重慶）設Sn是等差數列{an}的前n項和，a12=﹣8，S9=﹣9，則S16=﹣72．考點：等差數列的前n項和．專題：計算題．分析：根據等差數列的性質，a1+a9=2a5，結合題意，由S9可得a5的值，而由等差數列的性質有a1+a16=a5+a12，將S16=（a1+a16）×16中的（a1+a16）用（a5+a12）代換并計算可得答案．解答：解：S9=（a1+a9）×9=﹣9，又有a1+a9=2a5，可得，a5=﹣1，由等差數列的性質可得，a1+a16=a5+a12，則S16=（a1+a16）×16=（a5+a12）×16=﹣72．點評：本題考查等差數列的前n項和，注意解題時，結合等差數列的有關性質來分析，尋找切入點．15．（4分）（2008?重慶）直線l與圓x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于兩點A，B，弦AB的中點為（0，1），則直線l的方程為x﹣y+1=0．考點：直線的一般式方程；直線與圓相交的性質．專題：計算題；壓軸題．分析：求出圓心的坐標，再求出弦中點與圓心連線的斜率，然后再求出弦所在直線的斜率，由點斜式寫出其方程，化為一般式．解答：解：由已知，圓心O（﹣1，2），設直線l的斜率為k，弦AB的中點為P（0，1），PO的斜率為kop，則=﹣1∵l⊥PO，∴k?kop=k?（﹣1）=﹣1∴k=1由點斜式得直線AB的方程為：y=x+1故答案為：x﹣y+1=0點評：考查求直線的方程，本題已知弦中點的坐標，再根據弦與弦心距對應直線垂直求斜率k．16．（4分）（2008?重慶）某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有216種（用數字作答）．考點：分步乘法計數原理．專題：壓軸題．分析：由題意知分3步進行，為A、B、C三點選三種顏色燈泡共有A43種選法；在A1、B1、C1中選一個裝第4種顏色的燈泡，有3種情況；為剩下的兩個燈選顏色，假設剩下的為B1、C1，若B1與A同色，則C1只能選B點顏色；若B1與C同色，則C1有A、B處兩種顏色可選．故為B1、C1選燈泡共有3種選法，即剩下的兩個燈有3種情況，根據計數原理得到結果．解答：解：每種顏色的燈泡都至少用一個，即用了四種顏色的燈進行安裝，分3步進行，第一步，A、B、C三點選三種顏色燈泡共有A43種選法；第二步，在A1、B1、C1中選一個裝第4種顏色的燈泡，有3種情況；第三步，為剩下的兩個燈選顏色，假設剩下的為B1、C1，若B1與A同色，則C1只能選B點顏色；若B1與C同色，則C1有A、B處兩種顏色可選．故為B1、C1選燈泡共有3種選法，得到剩下的兩個燈有3種情況，則共有A43×3×3=216種方法．故答案為：216點評：本題用到兩個計數原理，用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析要完成的“一件事”是什么，可以“分類”還是需要“分步”．三、解答題（共6小題，滿分76分）17．（13分）（2008?重慶）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值．考點：正弦定理；余弦定理．專題：計算題．分析：（Ⅰ）先根據余弦定理求得a，b和c的關系式，再利用c=3b消去b，進而可得答案．（Ⅱ）對原式進行化簡整理得由正弦定理和（Ⅰ）的結論求得結果．解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得．∴．（Ⅱ），由正弦定理和（Ⅰ）的結論得．故．點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用．正弦定理和余弦定理是解三角形問題中常使用的方法，應熟練掌握．18．（13分）（2008?重慶）甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為，且各局勝負相互獨立．求：（Ⅰ）打滿3局比賽還未停止的概率；（Ⅱ）比賽停止時已打局數ξ的分別列與期望Eξ．考點：離散型隨機變量及其分布列；相互獨立事件的概率乘法公式；離散型隨機變量的期望與方差．專題：計算題．分析：（1）打滿3局比賽還未停止即在三局比賽中沒有人連勝兩局，分析其可能情況，每局比賽的結果相互獨立且互斥，利用獨立事件、互斥事件的概率求解即可．（2）ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，分別求出ξ取每一個值的概率，列出分布列即可．解答：解：令Ak，Bk，Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．（Ⅰ）由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為．（Ⅱ）ξ的所有可能值為2，3，4，5，6，且，．．，，故有分布列

ξ23456P從而（局）．點評：本題考查互斥、獨立事件的概率，離散型隨機變量的分布列和期望等知識，同時考查利用概率知識解決問題的能力．19．（13分）（2008?重慶）如圖，在△ABC中，B=90°，AC=，D、E兩點分別在AB、AC上．使，DE=3．現將△ABC沿DE折成直二角角，求（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；（Ⅱ）二面角A﹣EC﹣B的大?。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆键c：點、線、面間的距離計算；與二面角有關的立體幾何綜合題．專題：計算題．分析：（1）先依據公垂線的定義，證明DB為異面直線AD與BC的公垂線，再求DB之長，注意到它是AB長的倍，故先求出AB的長即可；（2）過D作DF⊥CE，交CE的延長線于F，先證得∠AFD為二面角A﹣BC﹣B的平面角，再利用直角三角形中的邊角關系求出其正切值即得．解答：解：（Ⅰ）在圖1中，因，故BE∥BC．又因B=90°，從而AD⊥DE．在圖2中，因A﹣DE﹣B是直二面角，AD⊥DE，故AD⊥底面DBCE，從而AD⊥DB．而DB⊥BC，故DB為異面直線AD與BC的公垂線．下求DB之長．在圖1中，由，得又已知DE=3，從而．．因．（Ⅱ）在第圖2中，過D作DF⊥CE，交CE的延長線于F，連接AF．由（1）知，AD⊥底面DBCE，由三垂線定理知AF⊥FC，故∠AFD為二面角A﹣BC﹣B的平面角．在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE，，因此．從而在Rt△DFE中，DE=3，．在．因此所求二面角A﹣EC﹣B的大小為arctan．點評：本小題主要考查直線與平面平行、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．20．（13分）（2008?重慶）設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在點（﹣1，f（﹣1））處的切線垂直于y軸．（Ⅰ）用a分別表示b和c；（Ⅱ）當bc取得最小值時，求函數g（x）=﹣f（x）e﹣x的單調區(qū)間．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．專題：綜合題．分析：（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c與a的解析式，解出c；求出f'（x），因為在點（﹣1，f（﹣1））處的切線垂直于y軸，得到切線的斜率為0，即f′（﹣1）=0，代入導函數得到b與a的關系式，解出b即可．（Ⅱ）把第一問中的b與c代入bc中化簡可得bc是關于a的二次函數，根據二次函數求最值的方法求出bc的最小值并求出此時的a、b和c的值，代入f（x）中得到函數的解析式，根據求導法則求出g（x）的導函數，將f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論g′（x）的正負即可得到g（x）的增減區(qū)間．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．因為曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，又曲線y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））處的切線垂直于y軸，故f'（﹣1）=0，即﹣2a+b=0，因此b=2a．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故當時，bc取得最小值﹣．此時有．從而，g（x）=﹣f（x）e﹣x=（x2+x﹣）e﹣x，所以令g'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=2．當x∈（﹣∞，﹣2）時，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上為減函數；當x∈（﹣2，2）時，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上為減函數．當x∈（2，+∞）時，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上為減函數．由此可見，函數g（x）的單調遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；單調遞增區(qū)間為（﹣2，2）．點評：本題是一道綜合題，要求學生會利用導數研究函數的單調性，會利用導數研究曲線上某點的切線方程．做題時注意復合函數的求導法則．21．（12分）（2008?重慶）如圖，M（﹣2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：|PM|+|PN|=6．（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）若，求點P的坐標．考點：橢圓的標準方程；軌跡方程；橢圓的應用．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）先根據題意求出a，b，c的值，再代入到橢圓方程的標準形式中，可得到答案．（2）先將轉化為|PM|?|PN|cosMPN=|PM|?|PN|﹣2的形式，再由余弦定理得到|MN|2=|PM|2+|PN|2﹣2|PM|?|PN|cosMPN，二者聯(lián)立后再由點P在橢圓方程上可得到最后答案．解答：解：（Ⅰ）由橢圓的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，長軸長2a=6的橢圓．因此半焦距c=2，長半軸a=3，從而短半軸b=，所以橢圓的方