企業(yè)運籌學(xué)圖與網(wǎng)絡(luò)理論講義

運籌學(xué)第五章圖與網(wǎng)絡(luò)理論

交大管理學(xué)院楊民助圖與網(wǎng)絡(luò)理論圖的概念網(wǎng)絡(luò)概念網(wǎng)絡(luò)最短樹問題網(wǎng)絡(luò)最短路問題網(wǎng)絡(luò)最大流問題圖的概念什么是圖圖的概念

所謂圖，就是頂點和邊的集合，點的集合記為V，邊的集合記為E，則圖可以表示為：G＝（V，E），點代表被研究的事物，邊代表事物之間的聯(lián)系，因此，邊不能離開點而獨立存在，每條邊都有兩個端點。在畫圖時，頂點的位置、邊和長短形狀都是無關(guān)緊要的，只要兩個圖的頂點及邊是對應(yīng)相同的，則兩個圖相同。

圖嬌的掘概責(zé)念予圖附的切表油示e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖肥的控概雪念北點謎與紹邊頂駱點施數(shù)集井合V中遠(yuǎn)元扯素悟的亮個叫數(shù)把，升記主作p然(凳G霜)。邊亦數(shù)集豬合E中住元泳素巖的姐個慨?dāng)?shù)哭，弦記金作q紛(班G額)。若e義=悉[總u識,妄v芳]∈E，則趙稱u和v為e的端與點，翠而捏稱e為u和v的關(guān)地聯(lián)變邊，黨也堵稱u，v與根邊e相關(guān)鳥聯(lián)。例舒如訴圖5－1中替的琴圖G，p棋(留G剖)惰=播6，q凈(盯G豪)禮=春9，v1，森v2是e1和e2的帝端房誠點浮，e1和e2都保是v1和v2的抬關(guān)甜聯(lián)怠邊畏。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖雞的熔概筐念糖點蝕邊索關(guān)忙系若湖點u和v與終同飛一揉條法邊夾相助關(guān)嫁聯(lián)周，藥則u和v為相紫鄰罵點；廢若偏兩啊條論邊ei和ej有癢同垃一絹個冶端悄點敵，跌則店稱ei與ej為相省鄰偉邊。例炒如絡(luò)在陳圖5－1中v1和v2為暈相鄰鄰阿點綱，v1和v5不冊相鼠鄰劑；e1與e5為敲相秋鄰賠邊敲，e1和e7不壓相檔鄰靈。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖紙的丟概英念五簡叫單墾圖若因一醉條稿邊眉的芳兩濁個據(jù)端戶點節(jié)是葛同糖一泥個名頂支點蘇，轎則捏稱雙該擠邊豬為環(huán)；粒又矩若饑兩桃上殊端刺點暈之殺間濟有摩多將于臭一械條樣邊桿，防則歪稱城為多纖重漆邊或平旁行汽邊。例肌如蝕圖犯5尿－氣1駐的e8為熟環(huán)管，e1，注e2為嘩兩創(chuàng)重代邊尺，e4，寬e5也淋是宿兩臨重告邊落。含襖有匠多殊重桿邊當(dāng)?shù)囊鎴D唱稱參作多烏重巖圖。無奴環(huán)倚也陜無重多孫重岡邊招的泄圖駝稱閣作簡宏單汁圖。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖信的搬概漢念射圖世的默次次點v作饞為誰邊內(nèi)的怨端搶點霉的欺次雷數(shù)凈，敞記蒸作d妄(謎v仆)跪，如拜圖幟5丸－隸1思中族，d雞(圖v1)泄=弊5敢,漁d皂(掀v4)貨=稿6等端志點斥次志為甚奇島數(shù)丑的暴點到稱央作奇己點；弟次涉為往偶帶數(shù)識的倉點部稱伍作偶智點。次狼為扛1艦的冒點徹稱怒為懸蘿掛路點，雷與銹懸玻掛率點誓連筍接滑的健邊串稱侄作懸主掛化邊；次顫為唉0慈的冤點糠稱梢為孤饅立狂點。圖殲5瓜－鮮1幫中站的廈點v5即蘿為位懸呢掛非點悄，先邊e9即沫為桿懸亡掛伴邊衛(wèi)，裕而傍點v6則糾是攜弧厭立借點樹。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖煤的島概菊念刷定萍理轟1若鋪圖G中各所席有世點承都經(jīng)是封孤猶立都點殺，距則轉(zhuǎn)稱底圖G為空貨圖。定號理工1所努有展頂臣點臟的纖次寬的皮和隔，閱等子于傅所然有笑邊協(xié)數(shù)險的丹2解倍顫。室即e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖齡的梅概演念級定墾理輝2定主理億2在策任刺一酒圖裁中綁，笑奇佳點噸的六個艷數(shù)覆必烘為刑偶絨數(shù)虧。設(shè)V1和V2分鮮別骨是層圖G中松次偷數(shù)錘為使奇波數(shù)址和輪偶眾數(shù)伏的伸頂閘點戴集吳合僵。路由鑄定籌理泥1鹽有e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖數(shù)的帖概原念模鏈由使兩邁兩里相緊鄰臨的逼點框及夸其墨相魂關(guān)可聯(lián)姥的短邊捉構(gòu)克成免的愿點他邊赤序宴列判稱野為鏈。v0稱院為蓄鏈醋的起庸點，vn稱皺為隊鏈押的終它點。若v0≠vn則將稱牛該案鏈貌為開敗鏈，瓣反女之蟻稱關(guān)為閉單鏈或回疏路。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖畢的釣概驢念勢簡誼單浮鏈若膀鏈冊中握所鎮(zhèn)含貨的雕邊饑均脖不論相眠同薦，津則澤稱超為簡溪單違鏈；遇若從點虹均箭不鑼相春同蓮，列則產(chǎn)稱帳為初狹等絡(luò)鏈或通話路。除節(jié)起費點啞和頸終侮點父外倘點聽均偵不鄙相垃同服的訂閉暮鏈毛，知稱繁為初筐等浪回餓路或略稱坦為圈。例左如宅圖洞中e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9是穴一介條拴鏈削，樓且件是共開穗鏈炒，符也刷是蒜簡良單枝鏈切，舌但炕不響是葵初膜等告鏈慶，示因貢為v1出儉現(xiàn)盜兩我次罩。圖穴的純概語念物圈若狼鏈喂中隔所果含遙的攜邊捎均受不友相冷同豈，殿則份稱錫為簡疲單學(xué)鏈；機若我點莫均充不鬼相粉同比，易則美稱怨為初帝等戰(zhàn)鏈或通匙路。閱除亞起場點賽和姜終葉點撕外貴點株均瘦不弟相非同婚的辯閉次鏈社，食稱串為初標(biāo)等緩回忘路或肅稱遷為圈。例監(jiān)如段圖拆中e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9是慘一售個張圈輝。圖怒的地概徒念旬連著通功性若呢一寄個膊圖G的經(jīng)任速意疾兩邪點員之浩間易均悶至肅少匹有疼一結(jié)條推通皂路炎（加初韻等臂鏈孫）佳連萍接蓬起當(dāng)來跡，鄰則吵稱衰這謠個盯圖G是半一揚個連艦通鐵圖，慨否富則聽稱栗作不碼連皂通籃圖。例橋如棋圖豎中葡，v1和v6之雕間秘沒陵有耗通索路晨，牧因光此怠它熊不芬是牢連短通貪圖串，藏而績?nèi)鐔韫ザ魐6，則線構(gòu)語成助一邁個別連吳通穗圖怪。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖滋的管概尿念豬連成通課的尤意鬧義連窄通盆是登一土個躍很棉重施要羽的嬌概憐念青，著如推果廈一鼻個拍問證題等所怖對盜應(yīng)價的賭圖撿是盛一姐個栗不歉連焦通剃圖擋，炭則籌該柳問鼠題星一仰定交可刻以辨分傅解譽成耍互陸不看相淡關(guān)眉的甲子歌問言題設(shè)來緞加室以臟研寫究捷，攤即鮮可豈以逝把考不隙連堂通懇圖發(fā)分膜解始成李連量通責(zé)的越子光圖醬來渣研較究尊。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖精的愁概毫念沸子閱圖子惕圖蔬的喂定侍義型設(shè)舌，G1=狂(繳V1,滴E1)菠,G2=夢(毯V2,剖E2)秘，如鍋果V1V2，爬又E1E2，潑則恐稱G1是G2的子腳圖。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9e1e2e3e4e5v2v3v1必借須完指鳥出訊，頑并雖不晃是偉從膨圖G2中亂任煙選奸一袖些抱頂鼓點蜻和吩邊巴在感一暮起遲就檔組螺成G2的掉子管圖G1，而皂只用有萌在G2中律的乖一趙條杰邊攏以攔及賽連版接仿該海邊此的惑兩遭個毛端頌點純均勁選年入G1時消，G1才庫是G2的機子筒圖霧。圖炕的稀概敵念錢特泄殊聲子匙圖當(dāng)G1中頭不酸包展含G2中騾所殲有匠的市頂具點碑和準(zhǔn)邊盒，膽則猾稱G1是G2的真跌子辯圖。部霞分寬圖枝若V1=雀V2，儉E1E2，則肺稱G1為G2的唉一菜個部宿分繁圖。若V1V2，E1=摧{瘋[亮u弓,鑄v版]瞇|乞u∈V1,嶼v∈V1}達(dá)，則扣稱G1是G2中冒由V1導(dǎo)除出滑的導(dǎo)譜出琴子罰圖。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9e1e2e3e4e5v2v3v1圖利的素概雄念撞有擱向誘圖在西有洪些非圖勺中搬，待邊斃是詳沒險有植方煌向揭的午，鵝即敢[u墾,瞧v祖]刻=末[孫v炮,志u綠]箭，這夏種診圖泊稱交為無欄向堆圖。而筆有存些寨關(guān)怪系宮是合不模對哄稱滿的圾，介例蜘如災(zāi)父坦子腦關(guān)劣系踐、哥上拉下論級冊關(guān)野系出、終加盾工劍工尊序勝的鄉(xiāng)豐先丈后前順術(shù)序后等躁都網(wǎng)具脊有但單暑向丈性握，價用霞圖椒來滾表異示啄這煩些蘇關(guān)奔系組時科，啟得棉到賤的恥邊縫是元具獅有墻方牛向板的沸，故用韻帶斃箭蹄頭嬸的識線殺來警表鍵示與，株稱既為弧。從爭頂騰點u指賺向υ的燃弧a酸，記奴作將＝a豎=店(驚u習(xí),余v欲)放,霞(承u踩,提v沒)浙≠雄(索v安,銀u泡)盤，其膊中u稱半為a的齊起攤點夾，v稱凈為a的踢終早點強，循這間樣糧的判圖感稱虎為有撲向蹤蝶圖。航仍各以V表喘示啦點煎的坑集跌合聽，賽以A表潛示勺弧秩的椅集押合徑，倘則骨有墊向近圖鼻表粥示種為D棗＝褲（害V別，雄A漿）圖懂的曲概收念議有腐向柏圖貧例e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖暮的姜概昨念染有慎向理圖承的洲鏈表路有媽向貝圖種中栽，蝦在盞不佛考姥慮殲邊葡的間方棄向檔時威，裳也咽可壘以俗相衣同鹿地章定功義鏈，斤若夸有傲向字圖D滋＝池（刷V節(jié)，挖A娃）中紋，P是蕩一斧個徒從u到v的奪鏈兇，望且謠對P中啊每與一強條協(xié)弧贊而香言需，滾在課序飯列勁中甲位贊于根該勾弧鏈前翅面舟的樂點斧恰束好流是愈其持起柔點撿，安而狂位撈于嘆該廊弧捎后乓面幕的奏點蛙恰他好上是節(jié)其吵終蠟點胳，上這翅個璃鏈P就弓稱順為佛是D中岸從u到v的川一原條路。當(dāng)桌路會的傻起喉點兼與添終異點底相本同駱，洪即u刪=錄v時寺，硬稱滋作掏一混條回恭路。頂芹點乳全檢不網(wǎng)相封同訓(xùn)的泄路冷稱浸為初屋等帶路。除避起傅點懷和距終址點弟外顆點蓋均蠻不瘦相蛋同包的蘿回致路侮稱伐為初茫等笛回倘路。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9圖嶼的姐概間念啄樹一浙個局沒反有刮圈虎的紐奉圖茂稱睜為它一枕個無善圈杜圖或爺稱哄為林。一續(xù)個盲連虜通槍的援無縮慧圈音圖史則夕稱佳為樹，贏一湊個廢林陽的順每轉(zhuǎn)個牌連成通呀子晉圖炊都讀是付一順個囑樹腐。定警理以將下航關(guān)宇于洞樹靈的漏六認(rèn)種濾不醉同俱描并述頑是快等炸價紫的及：①游無喇圈音連燭通積圖政。②階無盆圈物，q溫=御p出-色1已。③連詢通逗，q敢=秩p間-虹1扁。④無嶼圈筋，拋但鏟若次任臘意吵增抄加權(quán)一擇條唉邊勇，停則儲可盲得床到名一他個算且先僅紗一唇個騰圈狼。⑤稀連鍋通柔，蠟但樣若槍任柳意封舍徹棄摸一簡條誕邊代，物圖衫便蓄不柳連鑼通唉。⑥穩(wěn)每漂一紙對重頂坦點鍬之腎間悼有付一德條認(rèn)且緒僅趙有辛一紫條婚鏈濃。圖故的番概支念陳部啄分巾樹若T是溉圖G途＝撓（耍V傷，膽E些）的閃部源分恩圖公，甚且T是妨樹拋，啊則好稱T為G的部近分道樹。若T是遷圖G的繳部略分嘴樹荒，互則候從G中早去及掉T中演所畜有管的蕩邊酒，席所毫得據(jù)到哭的棟子稼圖凈稱稅為G中似的T的余酬樹，麥也斃稱枕為G的盈一俊個膝余滾樹京。余我數(shù)纏不飛一勇定獵是刑樹陣！一建個腿沒凳有瞧圈服的互圖駛稱取為蓄一砌個無鑼圈往圖或但稱型為林。一劑個潛連允通虛的踢無臂圈逃圖浩則避稱氏為樹，碧一認(rèn)個賊林撲的母每裕個婦連廊通腎子饅圖場都睡是攏一剪個齒樹結(jié)。網(wǎng)鴨絡(luò)轉(zhuǎn)概恢念圖難只森能弓用致來爹研感究固事翅物熟之效間它有牢沒旦有全某貨種統(tǒng)關(guān)口系關(guān)，晉而贏不峰能錄研盟究嬌這擴種閘關(guān)危系語的躬強快弱卸程垂度捎。網(wǎng)娘絡(luò)賦以權(quán)扔的漫圖權(quán)程貓度乒的惡度沃量腿，屠數(shù)構(gòu)量掠描肯述檔。

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v2網(wǎng)鉗絡(luò)慨最祥短既樹再破沸圈歪法方炎法害步雜驟①除在偽網(wǎng)撿絡(luò)御圖貧中饑尋宋找鄭一稈個莫圈榜，猴若擔(dān)已妹經(jīng)余無奸圈誦則果轉(zhuǎn)棕③輕。②仿在巧圈留中炮選懼取飄權(quán)矛數(shù)談最話大稀的貸邊細(xì)，寇從邪網(wǎng)暗絡(luò)臂圖柿中斥截濕去膚該耕邊谷，柱對墳新成的旺網(wǎng)截絡(luò)槳，鴿轉(zhuǎn)班①訴。③若q充=荷p模-蹦1，則挖已仗找賓到緒最議短吐樹鐘，四否品則斷網(wǎng)錢絡(luò)哀圖棚不映連珠通當(dāng)，姓無湖最胃短沾樹嗚。方增法抗示擊例夜：例5－4對杏圖棍中穩(wěn)的臥網(wǎng)捐絡(luò)臥，虜用緩破侵圈云法燦求民最草短依樹蹤蝶。網(wǎng)掃絡(luò)插最觀短膽樹生孝長摟法謊原謠理方段法庭原食理類啦似駐于捕自惕然減界散中不植耳物緊生聞長墻的售過爆程勵，如結(jié)磁合弄就而近衫生枕長零和馬避減免摸構(gòu)甚成熊圈膛的參要徒求匪，凍逐亂步真生播長艷直距到魄所湖有桿的默點豎都享已嫌經(jīng)收被故包賊含答。如量果鴉原趁網(wǎng)慰絡(luò)頂不比連摘通班，主則身在嘉生壺長血過規(guī)程歪中害會卸出辨現(xiàn)煌某滲些城點翠不職能鑰被噴生咬長惹，寒則砌結(jié)畝束耀。避壺圈唯的叨原尿理達(dá)是排已抬經(jīng)命被陰包苗含皇在惰生修長脊過蛾的插樹掩中曉的穴點配不穴再業(yè)被慣生緊長號。由鬼于蝴在鋼每拋次暴生報長勺時四都孔采覺用耽就疤近突生和長蘿的棉方好法巴，痰生弊成暢的繩樹杜一者定疲是追最何短凳樹鐮。

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)0∞∞∞∞∞第一次P()+lij0+20+60+∞0+∞0+∞T()26∞∞∞第二次P()+lij2+32+82+92+∞T()51011∞第三次P()+lij5+55+35+∞T()108∞第四次P()+lij8+∞8+1T()109福象德欠算勉法蒜1適遲用皂于熊有討負(fù)判權(quán)踐，開但籌無政負(fù)祥回東路渡的而有流向框或黎無新向藥網(wǎng)解絡(luò)叮，玩其鍛算蕉法統(tǒng)步鞠驟知如導(dǎo)下輝：令計廣算若載對過所躺有j則尊最骨優(yōu)裳，弦否屢則敞把k的堵值縱加貞1勺，冬繼炕續(xù)堤計能算穴。若k釋=旺n室-現(xiàn)1頭，則字說猴明雅存么在劑負(fù)豬回談路熊，毅最獲短混路趴線湖不忘存繡在徐。福注德?lián)p算癢法典2適志用尤于梳有脊負(fù)鄭權(quán)錦，杯但呼無糠負(fù)鼠回鎮(zhèn)路扛的靠有鎮(zhèn)向挺或斤無屯向滿網(wǎng)滅絡(luò)挨，算耕法米中dj(純k胳)為溪從υ1到υj的老邊醋數(shù)惱不繡超悶過k的斗路綿線謊中克距雪離棉最雨短猴的境。算雖法極依竟據(jù)驕的吼思雜想寸是耀動丟態(tài)狡規(guī)堂劃諸最固優(yōu)奸性紙原邀理修，還在擦此并處裝形呆成豎遞鴉推能公維式鏟。福鉤德柳算恐法復(fù)3算因法苦示狂例

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v2026∞∞∞0225②10②9③∞025108③10⑤025108③9⑤0251089最泊大視流總問膏題同的山概磁念所襲謂擴最規(guī)大都流生問糊題農(nóng)就戲是辱在給一調(diào)定揮的皂條住件載下刃，板要顏求皺流盛過浸網(wǎng)芒絡(luò)烏的赤物呆流刪、牛能遇量是流憐或肝信爆息送流乳等裝流剩量羨為駝最濕大拆的喇問屑題賤，搏在序最蠢大莖流堆問格題化中手一柿般晨有問如彼下?lián)煲?guī)布定立：①挨網(wǎng)照絡(luò)問有鄉(xiāng)豐一柱個喝起召點υs和聲一畜個脈終號點υt②坐網(wǎng)楚絡(luò)休是腿有廚向熟網(wǎng)孕絡(luò)床，盲即禽流姨有頭方袖向墻性內(nèi)。③麥在浙網(wǎng)俊絡(luò)扁各吵條國弧泉上題都葛有職一癢個禿權(quán)胃，挺表赤示恢允兼許斜流鳳過聲的勺最吸大洲流行量梢。戒若敬以bi坑j表忘示爽由υi到υj的專弧宴上償允直許頓流嫂過貿(mào)的合最蹦大絲式流探量馬，飽以xi趣j表碰示策實母際線流檢過哨該璃弧較的渣流玻量南，之則何0趣≤xi響j≤bi返j④娛網(wǎng)女絡(luò)立中栗，絮除我起許點υs和適終復(fù)點υt之泊外散的付任潮何付頂割點廚，糧流濱入瘋量襪總省和府應(yīng)笑該激等炭于濾流形出吵量失的潑總芳和緒。最充大也流邪問壓題飄的芳數(shù)旅學(xué)匙模閥型最敘大氧流問贈題資的數(shù)島學(xué)疏模哭型睬：

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v2(4)(9)(3)(1)(5)(7)(5)(8)[慰-殘,基∞昂]福析德幣－臣富弦克剃遜墳方茫法夢示停例②錦尋最求朵增執(zhí)廣瞎鏈如果果vi是溪已滿經(jīng)郵標(biāo)頌記鳴的冬點倆,vj是固未闖標(biāo)濃記暢的代點則憂當(dāng)幟(vi,胃vj)逮是趁非睜飽礎(chǔ)和舉弧柔時汽,vj可釋以沸標(biāo)鎖記尤:南[vi+,味ej]ej=嫂m如i妨n傳{掃ei,王bi命j-改xi腳j}當(dāng)技(vj,隆vi)帆是輩非貫零狀流紫弧全時捎,vj可適以震標(biāo)致記叢:匹[vi-,社ej]ej=樂m攀i甲n鍛{副ei,做xj日i}如睬果vt可葬以碑標(biāo)