交大上課老師課件

yn=xnynM Mbkz-NHz= N1-akz-

數(shù)學(xué)上的

Hs)wp；②用一個(gè)穩(wěn)定的因果的離散線性移不變系統(tǒng))hn )Hz)網(wǎng)絡(luò)w1

1+1-

p1-d￡H(ejw)￡1+d,w￡ wc:半功率截止頻率，w ￡wc Dw＝ws-wp

apH(eH(ej0)pH(ej0H(ejwpap

ss=H(z)H(z-1)-0p0p于折疊頻率p。 =WsT=2pfsT=

fs =fw =2

H(ejw)

ejb(ejw=Re[H(ejw)]+jIm[H(ejw

)=tan

[H

1=[H(ejw)H*(ejw)]2ie-jb(ejw b(e )

2

]

2

=1ln[H(z)2

db(ejw=

)=

db(ejw) db(z) dw=- i

=-jzdb(z)

t(ejw)=-Im{d[lnH(ejw=-Im[d{ln[H(z)]}dz

t(ejw)=-Im[jzd{ln[H(z)]}]=-Re[zd{ln[H(z)]}]

=-Re[zdH(z)

H(z)

ak,bbrk- (1-cz-1rk H(z)k Ar=1 1-az-

(1-dz-1 MbsrM

(1-cs-1) H(s Ar=1 1+a

(1-ds-1) k k Ha(s)?haH(z)?

=1￥Tk=-￥

H(s-j2p

映射Z平面上的IIR根據(jù)一定的映射關(guān)系把Ha H(z)1〉因果穩(wěn)定的模擬濾波器數(shù)字濾波器仍應(yīng)是因果2〉數(shù)字濾波器的幅頻特性模擬濾波器的一致，sh(n)=ha(t)t=nTha(nTp￡w￡p Ha(s)

H(z)H(z)=Z{L-

a

tHa(s)

NkN

ks- kha(t)N

NkkNk

Aesktu(tkkk

AeSknTu(nT d]

[TA[TA n=-￥ T=A[(eSkTdz-1)n]=

1-eSk

H(z)

￥￥=Ha(s1T1T

j2pkT

￥H(jw-2pkH

=

TT Ha(jW)=0,T

)=T

Ha(jT

W=wc

∵H(ejw)=1 (jw),w< 即和采樣時(shí)間Tfs

T H(ejwh(n)=Tha(nTNH(z)=

H )=(jw-H )=(jw-j2pk)?H(jw),w<￥a a h(t)=L- ]=

tr-k (s-s (r-kh(n)=ha(nT)

AT(r- H(z)= z

(r- dz1-z-AT(r- = [-z (r-1)!

Z(1-s+s)s-s

1-eSkTz- 當(dāng)S=Sk

r=將Zrejw和sdjW

SjW時(shí)，即d=0 當(dāng)d0,Z<1

=1， （3）d0,Z>1 d<0位于S平面的左半部分，則相應(yīng)的數(shù)字濾 T

雖然，有w=WT的關(guān)系，w從0fip和0fip

0fi

]fiZa多段在Z平面單位圓上重復(fù)h(tfih(n)a

fiOtherwise H(s)

= -

+4s+ s s+解：H(z)

1-z-1e-

T=1，則有：H(z10.4177z-10.0183z-Ha(jW)

(3-W)2+j

) Ha( Ha(

優(yōu)缺點(diǎn)：時(shí)域近良好，Ww呈現(xiàn)線性關(guān)系wWT有頻率混迭失真，只適用于限 0s0spT -T ）從p） （2）令Z= fi整個(gè)Z平面上去1>將SjWS1 -p～

W上1軸上的

W 2)W=

變到Wpfi W=0

W=1jW -jW

- W Wj

-j + jWS,jW1 -

eS=e

- -+

=th(S1T)=1-e-

ZeS1T 1+S z 1-W S 1-e-W=c ),S= )=2代入Z= ，有：S=c

1+e-Z=c+sc-處有確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即W?W1 W1tan(W1T)?W1TWW?cW1Tc= W=ctan(WcT)=ctan(wc c=Wcotwc Z=e

S=c1-e-1+e-

2

)=S=d+jW,Z=c+s=(c+d)+c- (c-d)-(c+d)2+W(c(c+d)2+W(c-d)2+WZ

Z>1

W=tan(w 2S平面的正、負(fù)虛軸

w為正）和下半部（w為負(fù)）。當(dāng)Wfi￥時(shí)w www=2tan-1(wcWW=ctg24321Ha(jWW WHaHa(jWW W

1 3 若：w,w,w,w,Ww1Ww2Ww3Ww4 i利用W=ctgwi2

W H(z)

=

1-z-1+z-

=

1+z-1(s)=Ha

(s)H

(s)…Ha H(z)=H1(z)H2(z)…Hmi其中Hi(z)Hai7

1-z-1+z-Ha(sHa1(s)Ha2(s)HanH(z)=H1(z)H2(z)…HnNidsii

d+ds+d

sNH(s)= = e+es+es2+…esNeiN

iAz-i

A+Az-1+…Az-H(z)= = 1+Bz-1+…Bz-1+Biz 1+ 已知Ha(s)=11+

利用雙線性變換求H(z)

ss=T1+z-

設(shè)T1,

H(z)

1+z-H(ejwH(ejwHa(jW2Butterworth（BW)型幅頻特性在通帶內(nèi)具有擬函數(shù)的前（2N-1）階導(dǎo)數(shù)在w0處都為零?！?.3 模擬低通濾波器的 A2(W)=H(jW)2=H(jW)H*(jW ∵H*jWH(jWA2(W)=H(jW)H(-jW)=H(s)H(-

s=) 求Ha若Ha(s)在s= Ha(-s)在s=- -s1–jWs0s1?jWs0(t Ha(s)的極點(diǎn)一 sWHa(s)Ha(-s \從A2(W)=H(s)H(-

W2=-S

=Ha(s)Ha(-2）將Ha(s)Ha(-s)因式分解得到零極點(diǎn)，左

A2(W)

16(25-W2(49+W2)(36+W2解Ha(s)Ha(-s)：

W2=-S

=16(25+S2極點(diǎn)S=–7,S= 選S=-6,S=-7及一對(duì)虛aS5皆為二階）Sj5為aK(s2+Ha (s+7)(s+

(s)

4(s2+\Ha(s)＝(s+7)(s+二Butterworth（BW2= aA2(W)＝H(W2= a1+(W

)2

W=

H(jW)

H(jW)2=10lg1== c時(shí)， =BFWfiWfi0,HajW)fiWfi￥,

Ha(jW

fi

0<WW

∵0W<1NWHa(jW

當(dāng)W>W

∵W>1NW2HajW)隨W增大而下降越快。因此有NHaHa(jW2Ha(jW112W12WW

Ha(jW

Ha(jW

得到

(-s)

[1+

s)2N

全極點(diǎn)型1+(s)2N1

(jW)=Wce ,k=1,2,",2N半徑為Wc 點(diǎn)，prad.N

實(shí)軸上無極點(diǎn)虛軸上無極點(diǎn) 取左半平面極點(diǎn)為Ha(s \H(s) (s-skk

=Wexp[j12k-1p],k=1,... 在設(shè)計(jì)中一般取Wc=1rad/sfi頻率歸一 極對(duì)于一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)其3dbWcfiHa(s)對(duì)于一個(gè)頻率歸一化系統(tǒng)其3db帶寬為 可以1rads）a (s)fi把 (s)中的SfiW S代替fi a nHan

W(W SWc例導(dǎo)出三階 Wc=1rad/ A2(W)＝H(jW)2

1+WHa(s)Ha(-s)

1-Ssk=

,k=1,2,...,

s1=e

=-+j ;s =

=-1;s=e

=-- 2 2

s4=e

-j ;s=

=1;s=e

+ aH(s) a(s-s1)(s-

)(s-

s3+2s2+2ss0,Ha(s=1fiK0=1\Ha(s)

s3+2s2+2s三Chevbyshev(C型濾波器對(duì)于B型濾波器Wfi0 aH(jW)2a

1+f2(W

f(W)=(W)NW

f(W)=0

Ha(jW

在通帶內(nèi)f(W)的零點(diǎn)都集中在W=0,W/fi誤差增加。改善辦法：通帶內(nèi)f(W)的零點(diǎn)分散Ha(jW) 現(xiàn)多個(gè)極大值fi H(jW)2 aNN

(WW C(WW歸一化頻率， Wc1.Chevbyshev 0￡W￡1Cn(W)= W?1ex+e-

coshx= cosh-1x=ln(x

x2-設(shè)0￡W￡1,此時(shí)Cn(W)=cos(N W令cos-1Wqcosq=W,cos(p-qcosqW\cos-1(-W)=p-q=-cos-1故：cos[Ncos-1(-Wcos[N(pcos-1W=cosNpcos(Ncos-1W)+sinNpsin(Ncos-1W=(-1)NC(WNW

Ha(jWHa(jW11+1ANHa(jW11+1AN

W 即：CN(-W)(-1

(WN同樣可以證明對(duì)于W1時(shí)上式亦成立。N是偶數(shù)時(shí)N(W)是偶函數(shù)。CCN2(N)=N

|W|W

關(guān)于分界點(diǎn)N(W

和C2W

N 則(WNN1qk當(dāng)W1C(W1W).N1 故Nh1)=cosh0= CN(W)N(W)=).Nq=qqnCN+1(W)+CN-1(W)=ss (W)iW. =0 NN0W5W6W678234CN(W)階數(shù)N等于多項(xiàng)式的最高冪次，系數(shù)亦為2N1（4CN(W)當(dāng)|W|￡1CN(W)cosq=W,CN(W)=cos,C CN(W W＝cos 2cos2kpp,k為整數(shù). 2可以證明W是以k的2N為周期的周期函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)0￡k￡2N-1，又有W(2N-1k)W(k)2因此Wk)cos2kpp在一個(gè)周期內(nèi)共有2|W|1時(shí)CN(W)fi 在通帶內(nèi)|W|￡1，CN(W有N

a|H(jWa a此時(shí)C(W)為余弦函數(shù)，故C2W)之值最大為 aa|H(jWa

2

11e2RW=1-12| aW21| aW211+WCN(11W1處，無論N|Ha(jW)|2=11+e22C(Wcos(Nq),C(0=cos(N(kp+p )p))p) C(0=Lp+p=p+p=0k1N

C(0)= |H(jW)|2=

當(dāng)W>1CN(W

和C

(W

|HajW|2NN|H(jW)|2=

W=cosh(

C型中e和N是其特性參數(shù)。

22|12=1e2 |H(jW)|2=12￡ C2(2)?992e

ajWW CN+1(2)=4CN(2)-CN-a|H(jW)|2=a

33|H

N122N NN

(s)H

(s的極點(diǎn)是方程1e2C

(-jsNNN N 1212：sk=sk +jWk k=1,2,3" ,Ns=-asin(2k-1)p 2

W=bcos(2k- 2q(s(ss1ssNNC(W)2N-1,q(se2N-N21-Has)=i

(s-si BC橢圓3Cauer若過渡帶要求比較窄時(shí)。fiN會(huì)很大，如果在NNa|H(jWa

N12J2N

WN N數(shù)Ha(s)= k

))N

)= sN sN-1+"bs+b |Ha(jW1-W W

ew

1-ae-

=e-

|

w1給定以低通的濾波器函數(shù)HapfiH(ZZ-1=G(x-1)fiH(Z)= (Z)|Z-1=G(x-1)的x平面映射；

e-jq=|G(e-jw)|ej(G(e-jw 頻率間的關(guān)系是：-q(G(ejw x-1-

G(x-1)=

k

kk射成x平面單位園內(nèi)P。N和ak選 Z-1=G(x-1)

x-1-

§7.4低通fisfisWfisfiW2

fisfi(s2+WW)(s(W-W))or 低通fi阻sfi(s(W-W))(s2+WW

W2fiZ-1=G(x-1 Zejq和xe故|G(e-jw)|= q=-arg[G(e-jw 1)=– 1 wa2

a0對(duì)應(yīng)z-1率為q，而變化后應(yīng) 121a=

具有截止頻率w2a

sinp-wp)2sinp+wp)2 Z平面及Z平面x平面統(tǒng)一考慮即：Sfix;S=G(x-1)h=jW=S c 歸一化模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)為Ap)Ap)fiHZ)14§7.5IIRbb-rNH(z)= Nkd1-az-kd

|H(z)-H(z)|2=k一旦ak和r確定后fiH(z差最小。一般給定一組離散頻率wi(i=12M)

H(ejw)-H(ejw)

1+az-1+bz-H= =AG(z) 1+cz-1+dz- 則我們有4k+1q=1,b1,c1,d1",ak,bk,ck,dk設(shè)：Fa1,b1c1d1",akbkckdkMFi

AG

,F)|-|Hd

)|M=|A||G|-|Hdi=1

F

F

n=1,2,"d|A FM |HMF, -d|

= d|MA|2|G|2-2|A||G||H|+|H||H = d| =2|A||G|2-2|G||H|=0|A|=|G||H F

dE?(F

dEF,A

A0||G|-|Hd =

Md|A|2|G|2-2|A||G|| |+| || = M=2|A