高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習-第七章-不等式-73-二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課件-文

第七章不等式§7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習題型分類深度剖析易錯警示系列思想方法感悟提高練出高分基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的 .我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域

邊界直線.當我們在坐標系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)

邊界直線，則把邊界直線畫成 .平面區(qū)域不包括包括實線知識梳理1答案(2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都

，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的

即可判斷Ax＋By＋C>0表示的直線是Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域.相同符號答案2.線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式組目標函數(shù)欲求

或

的函數(shù)線性目標函數(shù)關(guān)于x，y的

解析式可行解滿足

的解可行域所有

組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得

或

的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的

或

問題一次最大值最小值一次線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值答案3.重要結(jié)論(1)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：①直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；②特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證.(2)利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有①當B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；②當B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方.(3)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個.判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方.(

)(2)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.(

)(3)目標函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距.(

)(4)不等式x2－y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域.(

)×√×√思考辨析答案1.如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為______________.解析兩直線方程分別為x－2y＋2＝0與x＋y－1＝0.由(0,0)點在直線x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0，又(0,0)點在直線x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，考點自測2解析答案12345解析用特殊點代入，比如(0,0)，容易判斷為③.③解析答案12345解析因為直線x－y＝－1與x＋y＝1互相垂直，所以如圖所示的可行域為直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，2解析答案123452解析答案123455.投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為__________________(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸).解析答案12345所以不難看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.解析用表格列出各數(shù)據(jù)

AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy

資金200x300y1400場地200x100y90012345返回題型分類深度剖析命題點1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題例1

(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的________.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域解析答案答案③解析由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，解析答案命題點2含參數(shù)的平面區(qū)域問題解析答案思維升華解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.思維升華思維升華(1)求平面區(qū)域的面積：①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；②對平面區(qū)域進行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和即可.(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.解析直線y＝kx－1過定點M(0，－1)，由圖可知，當直線y＝kx－1經(jīng)過直線y＝x＋1與直線x＋y＝3的交點C(1,2)時，k最小，[3，＋∞)跟蹤訓(xùn)練1解析答案解析由于x＝1與x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直或x＝1與kx－y＝0垂直.①當x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直時，k＝1，檢驗知三角形區(qū)域面積為1，即符合要求.②當x＝1與kx－y＝0垂直時，k＝0，檢驗不符合要求.1解析答案命題點1求線性目標函數(shù)的最值題型二求目標函數(shù)的最值問題解析答案∴A(－1，－1).∴B(2，－1).當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A時，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.當直線y＝－2x＋z經(jīng)過點B時，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.答案6解析畫出可行域，如圖陰影部分所示.由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.命題點2求非線性目標函數(shù)的最值解析答案∴z的取值范圍是[2，＋∞).如圖中陰影部分所示.(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍.解

z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點與坐標原點之間距離的平方.因此x2＋y2的值最小為OA2(取不到)，最大值為OB2.∴z的取值范圍是(1,5].解析答案∴z的取值范圍是(－∞，0).解析答案引申探究2.若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值.解z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示點P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方，(PQ2)max＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，解析答案命題點3求線性規(guī)劃的參數(shù)解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).易知直線z＝2x＋y過交點A時，z取最小值，解析答案思維升華思維升華(1)先準確作出可行域，再借助目標函數(shù)的幾何意義求目標函數(shù)的最值.(2)當目標函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義有：思維升華(3)當目標函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足條件.跟蹤訓(xùn)練2解析答案在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，即直線y＝x＋1與y軸的交點為C(0,1)，得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3(不合題意，舍去).答案1所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.解析

如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a>0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；當a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.2或－1解析答案例6某客運公司用A、B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次.A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛，公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛.若每天運送人數(shù)不少于900，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？題型三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用解析答案思維升華解設(shè)A型、B型車輛分別為x、y輛，相應(yīng)營運成本為z元，則z＝1600x＋2400y.由題意，得x，y滿足約束條件作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標分別為P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6).解析答案思維升華由圖可知，當直線z＝1600x＋2400y經(jīng)過可行域的點P時，直線z＝1600x＋2400y在y軸上的截距

最小，即z取得最小值.故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營運成本最小.思維升華思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答.(2015?陜西改編)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為________萬元.

甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128跟蹤訓(xùn)練3解析答案解析設(shè)每天甲、乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸，目標函數(shù)z＝3x＋4y，線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示：解析答案可得目標函數(shù)在點A處取到最大值.則zmax＝3×2＋4×3＝18(萬元).答案18返回易錯警示系列易錯分析題目給出的區(qū)域邊界“兩靜一動”，可先畫出已知邊界表示的區(qū)域，分析動直線的位置時容易出錯，沒有抓住直線x＋y＝m和直線y＝－x平行這個特點；另外在尋找最優(yōu)點時也容易找錯區(qū)域的頂點.易錯警示系列8.含參數(shù)的線性規(guī)劃問題的易錯點溫馨提醒解析答案返回易錯分析解析顯然，當m<2時，不等式組表示的平面區(qū)域是空集；當m＝2時，不等式組表示的平面區(qū)域只包含一個點A(1,1).此時zmin＝1－1＝0≠－1.顯然都不符合題意.所表示的平面區(qū)域如圖所示，溫馨提醒解析答案平面區(qū)域為一個三角形區(qū)域，由圖可知，當直線y＝x－z經(jīng)過點C時，z取得最小值，答案5溫馨提醒溫馨提醒(1)當約束條件含有參數(shù)時，要注意根據(jù)題目條件，畫出符合條件的可行域.本題因含有變化的參數(shù)，可能導(dǎo)致可行域畫不出來.(2)應(yīng)注意直線y＝x－z經(jīng)過的特殊點.返回思想方法感悟提高1.平面區(qū)域的畫法：線定界、點定域(注意實虛線).方法與技巧3.解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題.4.利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問題.方法與技巧1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化.失誤與防范返回練出高分12345678910111213141516解析答案直線2x＋y－10＝0恰過點A(5,0)，即直線2x＋y－10＝0與平面區(qū)域僅有一個公共點A(5,0).答案1解析由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分).123456789101112131415162.若點(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是________．解析由2m＋3－5>0，得m>1.m>112345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析答案答案3解析由線性約束條件畫出可行域(如圖所示).1234567891011121314151612345678910111213141516解析答案123456789101112131415165.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是________元.12345678910111213141516解析答案解析設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，設(shè)獲利z元，則z＝300x＋400y.12345678910111213141516解析答案畫出可行域如圖.畫直線l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.平移直線l，從圖中可知，當直線過點M時，目標函數(shù)取得最大值.12345678910111213141516解析答案即M的坐標為(4,4)，∴zmax＝300×4＋400×4＝2800(元).答案28001234567891011121314151612345678910111213141516解析答案由圖可知，當m≤1時，函數(shù)y＝2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.答案1所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.1234567891011121314151612345678910111213141516解析答案答案1解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，1234567891011121314151612345678910111213141516解析答案解析畫出不等式組所表示的區(qū)域，如圖中陰影部分所示，123456789101112131415169.鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如表：某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為________(百萬元).

ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.5612345678910111213141516解析答案解析設(shè)購買鐵礦石A、B分別為x萬噸，y萬噸，購買鐵礦石的費用為z(百萬元)，目標函數(shù)z＝3x＋6y，12345678910111213141516解析答案畫出可行域可知，當目標函數(shù)z＝3x＋6y過點P(1,2)時，z取到最小值15.答案151234567891011121314151612345678910111213141516解析答案當目標函數(shù)過點(4,6)時z取最大值，∴4a＋6b＝10.a2＋b2的幾何意義是直線4a＋6b＝10上任意一點到點(0,0)的距離的平方，那么其最小值是點(0,0)到直線4a＋6b＝10距離的平方，解析因為a>0，b>0，所以由可行域得，如圖，1234567891011121314151612345678910111213141516解析答案解析作出可行域，如圖所示，則目標函數(shù)z＝x－2y在點(1,0)處取得最大值1，在點(－1,1)處取得最小值－3，12345678910111213141516解析答案∴a＝1，b＝－3，從而可知方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(－3,1)上有兩個不同實數(shù)解.令f(x)＝x2－kx＋1，1234567891011121314151612345678910111213141516解析答案其中P′，B分別為點P，A在直線2x＋y＝0上的投影，如圖.1234567891011