第章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型課件

1第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型引言控制系統(tǒng)的微分方程（時(shí)域）微分方程的建立非線性微分方程的線性化控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（復(fù)域）Laplace變換傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖脈沖響應(yīng)函數(shù)2◆數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)而言，數(shù)學(xué)模型不是唯一的。數(shù)學(xué)模型的形式：如果只需要反映系統(tǒng)靜態(tài)關(guān)系，就可以用代數(shù)方程；如果要表示系統(tǒng)輸入和輸出之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，就可以用微分方程、偏微分方程或差分方程。建立模型的方法：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模?！粝到y(tǒng)多個(gè)元部件通過某種方式組合在一起所構(gòu)成的整體。集中參數(shù)系統(tǒng)：變量?jī)H僅是時(shí)間的函數(shù)。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是微分方程。分布參數(shù)系統(tǒng)：變量不僅是時(shí)間函數(shù)，而且還是空間的函數(shù)。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程。引言3線性系統(tǒng):滿足疊加原理（加和性f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)與齊次性f(kx)=kf(x)）的系統(tǒng)。疊加原理說明兩個(gè)不同的作用函數(shù)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個(gè)作用函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。

非線性系統(tǒng)：不滿足疊加原理的系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)：線性微分方程的各項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)。線性時(shí)變系統(tǒng)：線性系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時(shí)間的函數(shù)。◆本章討論的系統(tǒng)：?jiǎn)屋斎雴屋敵黾袇?shù)線性定常系統(tǒng)可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數(shù)定常系統(tǒng)引言4◆建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟◆在建立系統(tǒng)微分方程模型時(shí)，應(yīng)注意各元件的信號(hào)傳送的單向性，即前一個(gè)元件的輸出是后一個(gè)元件的輸入，一級(jí)一級(jí)的單向傳送；前后連接的兩個(gè)元件中，后級(jí)對(duì)前級(jí)的負(fù)載效應(yīng)。

最后化成標(biāo)準(zhǔn)形式：與輸入量相關(guān)的寫在方程右邊，與輸出量相關(guān)的寫在方程左邊，兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。系統(tǒng)原理方塊圖確定輸入輸出量各元件的微分方程整理標(biāo)準(zhǔn)形式消去中間變量I/O之間的微分方程簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)的微分方程5控制系統(tǒng)的微分方程◆對(duì)任何線性定常系統(tǒng)，假如它的輸出為c(t)，輸入為r(t)，則系統(tǒng)微分方程模型的一般形式如下：有時(shí)將輸出的0階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)化為1。對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，n≥m，而且大多數(shù)系統(tǒng)n>m。6試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的微分方程。kF(t)mfy(t)◆首先確定輸入和輸出?！羧缓蟾鶕?jù)物理定律列寫方程質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)阻尼器的阻力F1(t)彈簧的恢復(fù)力F2(t)◆消去中間變量，化為標(biāo)準(zhǔn)形式式中，T為時(shí)間常數(shù)，為阻尼比，K為比例系數(shù)。f—阻尼系數(shù)k—彈性系數(shù)微分方程的建立例7◆首先確定輸入和輸出?！粼O(shè)回路電流為i(t),由克?；舴蚨蓪懗龌芈贩匠虨椋骸粝ブ虚g變量得到描述電路輸入輸出關(guān)系的微分方程為RLCurucR-L-C電路與前面建立的彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)的微分方程比較，二者的結(jié)構(gòu)有相似之處，稱為相似系統(tǒng)。令RC=T2，L/R=T1，則微分方程的建立例8◆首先確定輸入和輸出。◆設(shè)回路電流為i1(t)、i2(t)，由克?；舴蚨蓪懗龌芈贩匠虨椋簎rR1R2ucC2i1i2C1◆消去中間變量i1(t)、i2(t)、uc1，得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2則有負(fù)載效應(yīng)微分方程的建立例9列寫微分方程要注意：確切反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能、遵循物理定律。忽略次要因素，簡(jiǎn)化分析計(jì)算。系統(tǒng)由幾個(gè)儲(chǔ)能元件就是幾階微分方程。微分方程的建立例10非線性微分方程的線性化◆問題的提出模型精度越高，模型就越復(fù)雜，通常會(huì)產(chǎn)生非線性。通常在建立模型時(shí)，會(huì)在模型精確性和可行性之間做出折衷考慮。

◆在一定的條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學(xué)模型化為線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學(xué)模型的線性化?！艟€性化的條件：小偏差理論或小信號(hào)理論。在工程實(shí)踐中，控制系統(tǒng)都有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn)，當(dāng)變量在工作點(diǎn)附近作小范圍的變化時(shí)，就滿足這個(gè)條件。在工作點(diǎn)附近存在各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。◆線性化的方法：在給定工作點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略級(jí)數(shù)中高階項(xiàng)后，就可得到只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程。這種線性化方法稱為小偏差法。

11非線性微分方程的線性化設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示，如果在給定工作點(diǎn)y0=f(x0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，則在y0=f(x0)附近將y展開成泰勒級(jí)數(shù)：如果偏差Δx=x-x0很小，則可忽略級(jí)數(shù)中高階無窮小項(xiàng)，上式可寫為K表示y=f(x)曲線在(x0,y0)處切線的斜率。因此非線性函數(shù)在工作點(diǎn)處可以用該點(diǎn)的切線方程線性化。yy=f(x)y0x0x12非線性微分方程的線性化在處理線性化問題時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：上述的線性化是針對(duì)元件的某一工作點(diǎn)進(jìn)行的，工作點(diǎn)不同，得到的線性化方程的系數(shù)也將不同。因此在線性化時(shí)必須確定元件的工作點(diǎn)。在線性化過程中，略去了泰勒級(jí)數(shù)中二階以上的無窮小項(xiàng)，如果實(shí)際系統(tǒng)中輸入量變化范圍較大時(shí)，采用小偏差法建立線性模型必然會(huì)帶來較大的誤差。線性化后的微分方程通常是增量方程，在實(shí)用上為了簡(jiǎn)便通常直接采用y和x來表示增量。如果描述非線性特性的函數(shù)具有間斷點(diǎn)，折斷點(diǎn)或非單值關(guān)系而無法作線性化處理時(shí)，則控制系統(tǒng)只能應(yīng)用非線性理論來研究。13非線性微分方程的線性化不滿足展開成泰勒級(jí)數(shù)的條件的非線性特性，不能應(yīng)用“小偏差”線性化的概念進(jìn)行線性化的非線性特性叫做本質(zhì)非線性。14Laplace變換◆定義設(shè)有函數(shù)f(t),t為實(shí)變量，s=+jω為復(fù)變量。如果線性積分存在，則稱它為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換，稱F(s)是f(t)的象函數(shù)，稱f(t)是F(s)的原函數(shù)。變換后的函數(shù)是復(fù)變量s的函數(shù)，記作F(s)或L[f(t)]即在上式中，其積分下限為零，但嚴(yán)格說有0-和0+之分。對(duì)于在t=0處連續(xù)或只有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)，0-和0+型的拉氏變換是相同的，但對(duì)于在t=0處有無窮跳躍的函數(shù)，兩種拉氏變換的結(jié)果是不一致的。為了反映這些函數(shù)在[0-，0+]區(qū)間的表現(xiàn)，約定式中的積分下限為0-。15Laplace變換例10t例：求單位階躍函數(shù)1(t)的拉氏變換單位階躍函數(shù)的拉氏變換為例：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)的拉氏變換0t單位脈沖函數(shù)，記為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為16常見的拉氏變換17Laplace變換的基本定理◆線性定理設(shè)F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],a和b為常數(shù)，則有L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]=aF1(s)+bF2(s)◆微分定理18Laplace變換的基本定理◆積分定理◆位移定理t0f(t)f(t-0)19Laplace變換的基本定理◆終值定理若函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s)，且sF(s)在復(fù)平面右半部及除原點(diǎn)外的虛軸上解析，則有終值定理終值定理只適用于sF(s)在復(fù)平面右半部（包括虛軸上)沒有極點(diǎn)的情況。如20Laplace反變換F(s)通常是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，一般形式為◆拉普拉斯反變換：式中各系數(shù)為實(shí)數(shù)，m、n為正數(shù)，可將F(s)寫成因式分解的形式對(duì)于F(s)含有極點(diǎn)的不同情況，展開成部分分式的形式也不同，下面分三種情況討論。21Laplace反變換◆

F(s)只含有不相同的實(shí)極點(diǎn)Ai是常數(shù)，它是s=pi的留數(shù)，可按下面方法求得確定了待定系數(shù)Ai，就可求得F(s)的拉氏反變換：22Laplace反變換◆F(s)包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)方法一：仍可用上面單極點(diǎn)的處理方法來分解F(s)，只是Ai是復(fù)數(shù)。如果p1、p2是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則A1、A2也是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則A1、A2只求一個(gè)即可。方法二：上面方程式一個(gè)復(fù)數(shù)方程，令兩邊實(shí)部與虛部分別相等，即可求得A1、A2

。23Laplace反變換◆F(s)中包含有多重極點(diǎn)若p1是F(s)的r重極點(diǎn)，其他極點(diǎn)互不相同，則重極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)待定系數(shù)可分別由下式計(jì)算。Laplace反變換例24Laplace反變換例25歐拉公式26Laplace反變換例Laplace反變換例2728用拉氏變換求解微分方程用拉普拉斯變換求解微分方程的一般步驟是：對(duì)線性微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變成以s為變量的代數(shù)方程；注意初始條件的處理。求解代數(shù)方程，得到輸出變量象函數(shù)的表達(dá)式；將象函數(shù)展開成部分分式；對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換，得到微分方程的解。29用拉氏變換求解微分方程例已知系統(tǒng)的微分方程為【解】對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換得30用拉氏變換求解微分方程例用拉氏變換解微分方程整理得【解】方程兩邊進(jìn)行拉氏變換得方程兩邊進(jìn)行拉氏反變換得若11/T則31◆問題的提出◆定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量的拉氏變換之比。◆幾點(diǎn)說明：線性定常系統(tǒng)不是線性定常的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù)？零初始條件的含義：1、系統(tǒng)的輸入在t>0時(shí)才作用于系統(tǒng)。即在t=0-時(shí)系統(tǒng)輸入及各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)均為零。2、輸入量在加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)，即在t=0-時(shí)輸出及其所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零。不滿足零初始條件的系統(tǒng)是否有傳遞函數(shù)？傳遞函數(shù)32傳遞函數(shù)式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai(i=1,2,…n)和bj(j=1,2,….m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)?！粼O(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值為0，即滿足零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為◆設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：33傳遞函數(shù)例RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)其傳遞函數(shù)為：在零初始條件下對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，并令Ur(s)和Uc(s)分別為ur(t)和uc(t)的拉氏變換，則有：【解】由前面知RLC微分方程為RLCuruc彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)二者為相似系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：34傳遞函數(shù)的表示形式

是分子多項(xiàng)式的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；

為分母多項(xiàng)式的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。k稱為根軌跡增益。◆零極點(diǎn)形式：傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式可經(jīng)因式分解后可寫成如下形式：零極點(diǎn)分布圖：傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖是在復(fù)數(shù)平面上表示傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。一般用○表示零點(diǎn)。用╳表示極點(diǎn)。╳╳○j傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)完全取決于系統(tǒng)參數(shù)。如果是復(fù)數(shù)，必共軛成對(duì)出現(xiàn)。35傳遞函數(shù)的表示形式◆時(shí)間常數(shù)形式式中一次因子對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)零極點(diǎn)，二次因子對(duì)應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零極點(diǎn)；τi和Tj稱為時(shí)間常數(shù)。K稱為傳遞系數(shù)或放大系數(shù)，放大系數(shù)K和根軌跡增益k之間的關(guān)系為36◆傳遞函數(shù)分子的階數(shù)m一般低于或等于分母的階數(shù)n，n≥m(稱為物理現(xiàn)實(shí)性條件)，且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。為什么m>n不可實(shí)現(xiàn)？因?yàn)槟芰坑邢?，系統(tǒng)具有慣性。假設(shè)存在G(s)=s，則當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)1(t)時(shí)，系統(tǒng)的輸出c(t)=L-1[C(s)]=L-1[s/s]=δ(t)，即為單位脈沖函數(shù)。在現(xiàn)實(shí)世界是不可能的。◆傳遞函數(shù)反映系統(tǒng)自身固有特性，與輸入信號(hào)和初始條件無關(guān)。◆傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。將微分方程算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換可以得到傳遞函數(shù)。反之亦然。傳遞函數(shù)的性質(zhì)微分方程傳遞函數(shù)d/dts零初始條件37傳遞函數(shù)的性質(zhì)◆傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對(duì)應(yīng)，因此傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。◆不同的物理系統(tǒng)可能有相同的傳遞函數(shù)。而同一系統(tǒng)可有不同的傳遞函數(shù)?！粢粋€(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的函數(shù)關(guān)系，如果是多輸入多輸出系統(tǒng)，就需要用傳遞函數(shù)矩陣表示。◆局限性：只適于線性定常系統(tǒng)的表達(dá)。不反映初始狀態(tài)的信息。不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。38典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)◆比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)又稱無慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。K為比例系數(shù)。urucKucur結(jié)構(gòu)圖1Krc◆慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)ucur結(jié)構(gòu)圖T為時(shí)間常數(shù)，K為放大系數(shù)。慣性環(huán)節(jié)無零點(diǎn)。RCurucr1Kc╳-1/Tj39典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)◆積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)T為積分時(shí)間常數(shù)。╳jKRCurucr(t)c(t)◆(理想)微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié)無極點(diǎn)。RCuruc○j測(cè)速發(fā)電機(jī)是典型的微分環(huán)節(jié)。40典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)◆振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)ωn叫做無阻尼自然振蕩頻率。ξ叫做阻尼比。◆延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)τ叫做延遲時(shí)間(又稱死區(qū)時(shí)間)。具有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)叫做延遲系統(tǒng)。RLCurucξ<1τrc典型延遲環(huán)節(jié)主要出現(xiàn)在管道運(yùn)輸過程。41傳遞函數(shù)例已知電樞控制直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的微分方程如下，求系統(tǒng)分別在兩個(gè)輸入作用下的的傳遞函數(shù)。【解】該系統(tǒng)的輸入有兩個(gè)，電樞電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩，輸出為電機(jī)轉(zhuǎn)速，因此需要求兩個(gè)傳遞函數(shù)。首先對(duì)方程兩邊求拉氏變換得令負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0，則求得電樞電壓和輸出間的傳遞函數(shù)令電樞電壓為0，則求得負(fù)載轉(zhuǎn)矩和輸出間的傳遞函數(shù)42結(jié)構(gòu)圖的主要組成綜合點(diǎn)(比較點(diǎn))：表示對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，“＋”表示相加，“－”表示相減。“＋”可以省略不寫。注：進(jìn)行相加或相減的量應(yīng)具有相同的量綱單位。

◆結(jié)構(gòu)圖又稱為方框圖，是每個(gè)元件的功能和信號(hào)流向的圖解表示。◆優(yōu)點(diǎn)：可以直觀地表明系統(tǒng)中信號(hào)的流動(dòng)情況?！艚M成：信號(hào)線：是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的流向。分支點(diǎn)(引出點(diǎn))：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。函數(shù)方塊（環(huán)節(jié)）:方框表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G(s)RCCCC+RCR+C43結(jié)構(gòu)圖的繪制◆步驟如下：建立控制系統(tǒng)各元部件的微分方程，分清輸入量、輸出量，同時(shí)應(yīng)考慮相鄰元件之間是否有負(fù)載效應(yīng)。對(duì)各元件的的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并做出各元件的結(jié)構(gòu)圖。按系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，系統(tǒng)的輸入信號(hào)放在左端，輸出放在右端。?注：從輸入到輸出一級(jí)一級(jí)列方程，方便作圖。?注：同一系統(tǒng)可以有不同的結(jié)構(gòu)圖。?注：如果兩條信號(hào)線沒有分支點(diǎn)的關(guān)系，但又無法避免的相交，則應(yīng)如下作圖：44結(jié)構(gòu)圖的繪制例R1LR2uruci2i1iR2Uc(s)1/R1I2(s)則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖Ur(s)I1(s)Uc(s)45結(jié)構(gòu)圖的繪制例ucurR1R2C2i2iC1i1u11/(C2s)Uc系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖1/(C1s)U1由該結(jié)構(gòu)圖不便于求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，需要進(jìn)行等效變換。1/R1I1UrU1I2II1/R2Uc46結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡(jiǎn)化◆結(jié)構(gòu)圖的變換原則等效原則對(duì)結(jié)構(gòu)圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前后輸入輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變?！艚Y(jié)構(gòu)圖的基本組成形式串聯(lián)：G1G2反饋：并聯(lián)：G1G2G1G247結(jié)構(gòu)圖的等效變換-串聯(lián)◆串聯(lián)連接的等效變換◆n個(gè)傳遞函數(shù)依次串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個(gè)傳遞函數(shù)的乘積。48結(jié)構(gòu)圖的等效變換-并聯(lián)◆并聯(lián)連接的等效變換◆n個(gè)傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個(gè)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。49結(jié)構(gòu)圖的等效變換-反饋◆反饋連接的等效變換GB(s)稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)。稱為開環(huán)傳遞函數(shù)。H(s)=1時(shí)稱為單位反饋。其中G(s)稱為前向通道傳遞函數(shù)，H(s)稱為反饋通道傳遞函數(shù)。50結(jié)構(gòu)圖的等效變換-綜合點(diǎn)◆綜合點(diǎn)的前后移動(dòng)◆綜合點(diǎn)間的移動(dòng)：一般來說，兩個(gè)相鄰的比較點(diǎn)可以任意移動(dòng)。G(s)+RCQG(s)RCQ1/G(s)+G(s)RCQ+G(s)RCQG(s)+RCQP++RCPQ++前除后乘思考：什么情況下不可以交換？51結(jié)構(gòu)圖的等效變換-分支點(diǎn)◆分支點(diǎn)前后移動(dòng)◆分支點(diǎn)間的移動(dòng)：兩個(gè)相鄰的引出點(diǎn)間可以任意移動(dòng)?！舴种c(diǎn)與綜合點(diǎn)間的移動(dòng)：G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)C(s)注：引出點(diǎn)與綜合點(diǎn)間一般不做移動(dòng)。前乘后除G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)52結(jié)構(gòu)圖的等效變換例1/(C1s)I2I1/R1I1U1Ur1/(C2s)1/R2Uc1/(C1s)1/R1U1Ur1/(C2s)1/R2UcUrUcR1C2s則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R1C2s53結(jié)構(gòu)圖的等效變換例試化簡(jiǎn)下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。G3(S)H2(s)G4(s)G2(S)G1(S)H3(s)H1(s)C(s)R(s)1、將G3(S)和G4(s)間的分支點(diǎn)后移到方框的輸出端G3(S)H2(s)G4(s)G2(S)G1(S)H1(s)C(s)R(s)H3(s)1/G4(s)【解】54結(jié)構(gòu)圖的等效變換例2、接著將H3(s)和1/G4(s)的串聯(lián)化簡(jiǎn)，并將G3(S)、G4(s)和H3(s)組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化，其等效傳遞函數(shù)如下，G3(S)H2(s)G4(s)G2(S)G1(S)H3(s)H1(s)C(s)R(s)1/G4(s)G34(S)H3(s)/G4(s)則G2(S)G1(S)H1(s)C(s)R(s)55結(jié)構(gòu)圖的等效變換例3、然后將組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化，其等效傳遞函數(shù)為：G34(S)G2(S)G1(S)H1(s)C(s)R(s)H3(s)/G4(s)得到圖為G23(S)G1(S)H1(s)C(s)R(s)4、最后將求得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為56結(jié)構(gòu)圖的等效變換例試化簡(jiǎn)下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)?！窘狻?/p>

將分支點(diǎn)后移，將綜合點(diǎn)前移，得到圖為G1(s)G2(s)C(s)1/G1(s)1/G2(s)H1(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)H1(s)R(s)分支點(diǎn)后移綜合點(diǎn)前移57結(jié)構(gòu)圖的等效變換例G1(s)G2(s)C(s)1/G1(s)1/G2(s)H1(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)1/G1(s)+1/G2(s)+H1(s)R(s)并聯(lián)58由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)◆確定輸入量與輸出量，如果有多個(gè)輸入量或多個(gè)輸出量，則應(yīng)分別進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化變換，求得各自的傳遞函數(shù)。◆若結(jié)構(gòu)圖有交叉，注意綜合點(diǎn)和分支點(diǎn)的相互關(guān)系。◆對(duì)多回路結(jié)構(gòu)，由內(nèi)至外進(jìn)行變換?！糇⒁夥答伝芈返恼?fù)號(hào)?！羧绻Y(jié)構(gòu)圖中每個(gè)回環(huán)的前向通道都有公共部分，而且反饋都是負(fù)反饋，則59由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)例G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)+G3(s)G4(s)N(s)求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。每個(gè)回環(huán)的前向通道都有公共部分G2(s)

，根據(jù)60由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)例求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)G3(s)G4(s)G5(s)每個(gè)回環(huán)的前向通道都有公共部分G5(s)，根據(jù)61由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)例C1G1(s)G2(s)+RCC2EG1(s)G2(s)G2(s)C1E+G1(s)G2(s)EC1G2(s)G1(s)G1(s)C2E+G1(s)G2(s)+C2ECR從而得到傳函簡(jiǎn)化如下的圖系統(tǒng)框圖，并分別求出傳遞函數(shù)由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)練習(xí)62由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)練習(xí)63由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)練習(xí)64令求由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)練習(xí)65令求由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)練習(xí)66令求由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)練習(xí)67令求由結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)練習(xí)6869R(s)與C(s)間的前向通道傳遞函數(shù)為G1(s)G2(s),N(s)與C(s)間的前向通道傳遞函數(shù)為G2(s).◆反饋通道和反饋通道傳遞函數(shù)：R(s)與C(s)間的反饋通道傳遞函數(shù)為H(s),N(s)與C(s)間的反饋通道傳遞函數(shù)為G1(s)H(s).◆開環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。

R(s)與C(s)和N(s)與C(s)的開環(huán)傳遞函數(shù)均為G1(s)G2(s)H(s)注：開環(huán)傳遞函數(shù)并不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)時(shí)的傳遞函數(shù)。

◆閉環(huán)系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)G1(s)G2(s)C(s)H

(s)R(s)B(s)+N(s)◆前向通道和前向通道傳遞函數(shù)：閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與傳遞函數(shù)70有用輸入下的傳遞函數(shù)◆r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令擾動(dòng)n(t)=0，這時(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖，系統(tǒng)輸出為閉環(huán)傳遞函數(shù)為：G1(s)G2(s)C(s)H

(s)R(s)B(s)G1(s)G2(s)C(s)H

(s)R(s)B(s)+N(s)71擾動(dòng)作用下的傳遞函數(shù)◆n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令r(t)=0，這時(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖，系統(tǒng)輸出為閉環(huán)傳遞函數(shù)為：G1(s)G2(s)C(s)H

(s)N(s)B(s)G1(s)G2(s)C(s)H

(s)R(s)B(s)+N(s)◆系統(tǒng)總輸出72閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)◆偏差傳遞函數(shù)是在0初始條件下，把偏差作為輸出來考察輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比?！?/p>

r(t)作用下的偏差傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)C(s)H

(s)R(s)B(s)+N(s)E(s)G1(s)G2(s)H

(s)R(s)B(s)E(s)◆偏差是給定輸入r(t)與反饋信號(hào)b(t)之差，即e(t)=r(t)-b(t)或E(s)=R(s)-B(s)。73閉環(huán)系統(tǒng)的偏差傳遞函數(shù)◆總偏差◆n(t)作用下的偏差傳遞函數(shù)G1(s)G2(s)H

(s)N(s)B(s)E(s)-1+G1(s)G2(s)C(s)H

(s)R(s)B(s)+N(s)E(s)74閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程稱為特征方程的根，或稱為閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。稱為閉環(huán)特征方程。其一般形式如下：令閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母等于0信流圖是線性代數(shù)方程組的一種圖形表達(dá)。

設(shè):一組線性方程式如下：信流圖的表示形式75信號(hào)流圖76信號(hào)流圖一、幾個(gè)定義輸入節(jié)點(diǎn):（或源節(jié)點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn),如x1、x5。輸出節(jié)點(diǎn):（或阱節(jié)點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn),如x4?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸出支路，又有輸入支路的節(jié)點(diǎn),如：x2、x3。傳輸：兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的增益叫傳輸。如：x1→x2之間的增益為a，則傳輸也為a。 前向通路：信號(hào)由輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路稱為前向通路。如：x1→x2→x3→x4。77信號(hào)流圖前向通路總增益：前向通路上各支路增益的乘積如：x1→x2→x3→x4總增益abc?；芈罚和返钠瘘c(diǎn)就是通路的終點(diǎn)，并且與其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的閉合通路叫回路?；芈吩鲆妫夯芈分?，所有支路增益的乘積。圖中有兩個(gè)回路，一個(gè)是x2→x3→x2，其回路增益為be，另一個(gè)回路是x2→x2，又叫自回路，其增益為d。不接觸回路：指相互間沒有公共節(jié)點(diǎn)的回路。圖中無。78二、信流圖的性質(zhì)及運(yùn)算法則

1、每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量，并可以把所有輸入支路信號(hào)迭加再傳送到每一個(gè)輸出支路。

2、支路表示了一個(gè)信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)關(guān)系。支路上的箭頭方向表示信號(hào)的流向。

3、可以增加一個(gè)增益為1的傳輸且傳輸兩端節(jié)點(diǎn)表示的變量相同。信號(hào)流圖