控制工程基礎(chǔ)第三章線性系統(tǒng)時(shí)域分析

第三章

線性系統(tǒng)的時(shí)域分析尹怡欣Tel：62332262，E-mail：信息工B程l學(xué)o院g自：動(dòng)化系3、線性系統(tǒng)的時(shí)域分析3.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3.6

線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)了解典型輸入信號(hào)和時(shí)域性能指標(biāo)掌握一階系統(tǒng)的時(shí)域分析方法掌握二階系統(tǒng)的時(shí)域分析方法了解高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)及其時(shí)域分析方法掌握反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及其誤差補(bǔ)償?shù)姆椒ㄕ莆站€性系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)和求解方法掌握狀態(tài)方程的求解方法系統(tǒng)的三性分析：穩(wěn)定性穩(wěn)態(tài)特性動(dòng)態(tài)特性穩(wěn)定的系統(tǒng)概念和定義穩(wěn)定是系統(tǒng)正常運(yùn)行的前提，是控制理論研究的重要課題。穩(wěn)定性的基本概念如果一個(gè)線性定常系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失后，能夠恢復(fù)到原始的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。即取決于系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。R(s)G(s)B(s)E(s)

C(s)+-H

(s)引言-時(shí)域分析在控制理論中的地位和作用系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型G(s),（A,B,C）時(shí)間域復(fù)數(shù)域頻率域系統(tǒng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)的校正、綜合時(shí)域分析是三大分析方法之一，在時(shí)域中研究問題，重點(diǎn)討論過渡過程的響應(yīng)形式。其特點(diǎn)：直觀、精確。比較煩瑣。3.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)1）系統(tǒng)的響應(yīng)過程瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號(hào)作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。瞬態(tài)響應(yīng)也稱為過渡過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)某一信號(hào)輸入時(shí)，系

統(tǒng)在時(shí)間趨于無窮大時(shí)的輸出狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)也稱為靜態(tài)。分析瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，需要選擇典型輸入信號(hào)，這有如下好處：數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，給定典型信號(hào)下的性能指標(biāo)，便于分析、綜合系統(tǒng)；典型輸入的響應(yīng)往往可以作為分析復(fù)雜輸入時(shí)系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)；便于進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。3.1

時(shí)域響應(yīng)與典型輸入信號(hào)2）常用的典型輸入信號(hào)（1）階躍函數(shù)At

<

0t

>

0u(t)

=

0A=1時(shí)，稱為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。ss拉氏變換為：

L

[1(t)]

=

1

；

一般情況為：U

(s)

=

A3.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)（2）斜坡函數(shù)（速度函數(shù)））s3u(t)

=

2

1

At

2

t

?

0t

<

00U

(s)

=

As2（3）拋物線函數(shù)（加速度函數(shù)0t

?

0t

<

0U

(s)

=

Au(t）=

At3.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)（4）單位脈沖函數(shù)δ(t)U

(s)=

Aw

s2

+w

2（5）正弦函數(shù)u(t）=

Asin(w

t)￥-￥

￥

,u(t)

=

d(t)

=

0,d(t)dt

=1,t

?

0t

=

0L[d(t)]=13.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)名

稱時(shí)域表達(dá)式復(fù)域表達(dá)式單位階躍函數(shù)1(t)，

t

?

01s單位斜坡函數(shù)t，

t

?

01s2單位加速度函數(shù)1

t

2

，

t

?

021s3單位脈沖函數(shù)d(t)，

t

?

01正弦函數(shù)Asin

wtAws2

+w

23.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)3）時(shí)域性能指標(biāo)時(shí)域中評(píng)價(jià)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，通常以系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的暫態(tài)響應(yīng)為依據(jù)。動(dòng)態(tài)過程：系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：表征系統(tǒng)輸出量最終跟蹤或復(fù)現(xiàn)理想輸出的程度。動(dòng)態(tài)性能上升時(shí)間tr延遲時(shí)間td峰值時(shí)間tp調(diào)節(jié)時(shí)間ts超調(diào)量σ%振蕩次數(shù)N3.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)c(t)t

rt

pt

s10s

pttd0.5誤差帶

：–0.05

或–0.023.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)上升時(shí)間tr延遲時(shí)間td峰值時(shí)間tp調(diào)節(jié)時(shí)間ts超調(diào)量σ%振蕩次數(shù)Ntrtdh(￥

)h(t)AA

超調(diào)量σ%

=

B

100%峰值時(shí)間tp

B上升時(shí)間trth(t)調(diào)節(jié)時(shí)間tst動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義1y(t)tAB超調(diào)量σ%

=

A 100%峰值時(shí)間tp上升時(shí)間tr調(diào)節(jié)時(shí)間tsy(t)t調(diào)節(jié)時(shí)間ts上升時(shí)間tr動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義2y(t)ttstptrABBσ%=

A

100%動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義33.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)上升時(shí)間tr：響應(yīng)曲線從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值h(∞)所需的時(shí)間，稱為上升時(shí)間。若響應(yīng)曲線無振蕩的系統(tǒng)，tr是響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。延遲時(shí)間td:響應(yīng)曲線第一次到達(dá)終值一半所需的時(shí)間。峰值時(shí)間tp:響應(yīng)曲線超過穩(wěn)態(tài)值h(∞)達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間ts:在穩(wěn)態(tài)值h(∞)附近取一誤差帶，通常取響應(yīng)曲線開始進(jìn)入并保持在誤差帶內(nèi)所需的最小時(shí)間，稱為調(diào)節(jié)時(shí)間。ts越小，說明系統(tǒng)從一個(gè)平衡狀態(tài)過渡到另一個(gè)平衡狀態(tài)所需的時(shí)間越短。3.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)

超調(diào)量σ%：響應(yīng)曲線超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。即h

(￥

)超調(diào)量表示系統(tǒng)響應(yīng)過沖的程度，超調(diào)量過大將使系統(tǒng)元件工作于惡劣條件，同時(shí)加長(zhǎng)了調(diào)節(jié)時(shí)間。振蕩次數(shù)N：在調(diào)節(jié)時(shí)間以內(nèi)，響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。tr，tp和ts表示控制系統(tǒng)反映輸入信號(hào)的快速性，而

σ%和N反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的平穩(wěn)性。其中ts和σ%是最重要的兩個(gè)動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)。h

(t

)

-

h

(￥

)s

%

=

p

·

100

%3.1

典型輸入信號(hào)與時(shí)域性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能：本課程中所講的穩(wěn)態(tài)性能主要是穩(wěn)態(tài)誤差ess，它是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析凡以一階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)在控制工程中應(yīng)用廣Ts

+1Ts1開環(huán)傳函為：

G(s)

=

1+

y(t)

=

u(t)dtdy(t)閉環(huán)傳函為：

F

(s)

=微分方程為：

T泛，如RC電路、空載的直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)等

。其中：T為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，T的倒數(shù)為開環(huán)增益3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析積分環(huán)節(jié)或慣性環(huán)節(jié)組成為一個(gè)單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)，構(gòu)成典型的一階系統(tǒng)。

K0s-R(s)+C(s)1R(s)sKK0F

(s)

=

C(s)

=1+

K0=

=Ts

+1

1

s

+1K0其中，K

=1，T

=1K0T0

s

+1-R(s)+C(s)0K0K0KT0K0T0K0T0

s

+1K0s

F

(s)

=

C(s)

=1+T

s

+11+

K0==Ts

+1s

+11+

K01+

K01+

K0其中，K

=，

T

=為便于研究，令K=1。即F

(s)

=

C(s)

=

1R(s)

Ts

+1C(s)

1F

(s)

=

=

R(s)R(s)

Ts

+13.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析1）單位階躍響應(yīng)s單位階躍輸入

u(t)

=

1(t)的像函數(shù)為

U

(s)

=

1則系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：Y

(s)

=

G(s)U

(s)

==

-1

1

1

TTs

+1

s

s Ts

+1對(duì)上式取拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為：-

ty(t)

=

(1-

e

T

)1(t)3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析tT2T3T4T5Ty(t)0.6320.8650.950.9820.993T

2T

3T

4T

5T98.2%95%99.3%86.5%B0ty(t)163.2%A0.632一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線-

ty(t)

=

(1-

e

T

)1(t)3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析2）單位斜坡響應(yīng)系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為：s2當(dāng)輸入信號(hào)

u(t)

=

t

1(t)

時(shí)，U

(s)

=

11

TT

2Y

(s)

=

G(s)U

(s)

=

1

1Ts

+1

s2=

-

+s2

s Ts

+1對(duì)上式取拉氏反變換，得單位斜坡響應(yīng)為：-

ty(t)

=[(t

-T

)

+Te

T

]1(t)3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析r(t)c(t)tc(t)r(t)

ess

=

T-

ty(t)

=[(t

-T

)

+Te

T

]1(t)3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3）單位脈沖響應(yīng)當(dāng)u(t)=δ(t)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。因?yàn)長(zhǎng)[δ(t)]=1，一階系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換為：11TTY

(s)

=

G(s)U

(s)

=1

=Ts

+1s

+

11Te

1(t)T-

t

y(t)

=對(duì)應(yīng)單位脈沖響應(yīng)為：3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析斜率-1/T21T1(t)T-

t

y(t)

=

e3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析u(t)y(t)d(t)1

-

t

e

T

1(t)T1(t)-

t1-

e

T

1(t)t-

tt

-T

(1-

e

T

)

1(t)1

t

22

t

1

t

2

2

-T-Tt

+T

(1-

e

)

1(t)2若輸入函數(shù)成導(dǎo)數(shù)關(guān)系，則響應(yīng)函數(shù)成導(dǎo)數(shù)關(guān)系，由于階躍響應(yīng)的暫態(tài)特性較直觀，且又有一定代表性，因此今后以單位階躍響應(yīng)分析暫態(tài)特性。無零點(diǎn)的一階系統(tǒng)

Φ(s)=Ts+1

k

,

T時(shí)間常數(shù)(畫圖時(shí)取k=1,T=0.5)k(t)=

1

Te-

t

T單1位

k(0)=

T脈

K’(0)=T沖響應(yīng)h(t)=1-e-t/Th’(0)=1/Th(T)=0.632h(∞)h(2T)=0.865h(∞)h(3T)=0.95h(∞)h(4T)=0.982h(∞)單單位位階斜躍坡響響應(yīng)應(yīng)c(t)=t-T+Te-t/TT?r(t)=

δ(t)r(t)=

1(t)r(t)=

t問2

、調(diào)節(jié)時(shí)間ts=？1

、3個(gè)圖各如何求T？3

、r(t)=t時(shí)，ess=？4、求導(dǎo)關(guān)系？k’(0)=－1/T23.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析幾點(diǎn)說明和結(jié)論：1。根據(jù)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的定義，的暫態(tài)指標(biāo)為：t

=3T(5%) t

=4T(2%)s2。s如果設(shè)復(fù)現(xiàn)和跟蹤輸入信號(hào)為理想輸出，那么，對(duì)脈沖和單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，而對(duì)單位斜波輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為T。3。觀察輸入信號(hào)和對(duì)應(yīng)的輸出信號(hào)可知，輸入函數(shù)成導(dǎo)數(shù)關(guān)系，則響應(yīng)函數(shù)成導(dǎo)數(shù)關(guān)系，由于階躍響應(yīng)的暫態(tài)特性較直觀，且又有一定代表性，因此今后以單位階躍響應(yīng)分析暫態(tài)特性。1Ts

+11Ts

+13.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析例3.2.1一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，若kt=0.1,試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts，如果要求ts

￡

0.1秒。試求反饋系數(shù)應(yīng)取多大？100s-R(s)+ktE(s)

C(s)3.2

一階系統(tǒng)的時(shí)域分析1000

.0110tts

st100

/

s

1/

ktktskkF

(

s

)

=1

+s

+

1F

(

s

)

=0

.1s

+

1=

，當(dāng)k=0.1時(shí),，

顯然時(shí)間常數(shù)

T

=

0

.1秒因此調(diào)節(jié)時(shí)間為

ts

=

3T

=

0

.3秒，如果要求

t

￡

0

.1秒,

t

=

3T

=

3

·

0

.01

￡

0

.1,故

kt

?

0

.3系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析一個(gè)可以用二階微分方程來描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)包含有二個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，經(jīng)常用到的儲(chǔ)能元件有電感、電容等。一、二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式2n2nKC

(

s

)s

2R

(

s

)

s

2wF

(

s

)

==

T

=

n

+

2zw

s

+

w+

1

s

+

KT

TKs(Ts

+1)R(s)C(s)+-w

2

n

s(s

+

2zw

n

)-C(s)+R(s)Tn=

Kw

2nT2zw=

1二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式w

n

—自然頻率（無阻尼振蕩頻率）z

—阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析特征根的性質(zhì)取決于z

的大小，下面分四種情況討論。ns1

,2-

1z

2=

-zw

–

w

n2nn=

0二階系統(tǒng)的特征方程為：s

2

+2zw

s

+w系統(tǒng)的兩個(gè)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）為[s]ImRe0[s]ImRe0[s]s2s2s1s1s1n[s]w

1

-

z

2-

zw

nq0

<

z

<

10(a)(b)(d)

z

=

0ImRez

=

1ImRe0s2

s1z

>

1(c)tgq

=

1-z

2

z3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1．欠阻尼情況:則二階系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)根：——衰減系數(shù)——阻尼振蕩頻率輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，可得單位階躍響應(yīng)：式中：s

=zw(0<

z

<

1)nw

=

w

1

-z

2d

n=

-s

–

jw

ds1,22n

ns

1

,

2-

1=

-

zw

–

w

ztgq

=

1-z

2

zn

nw

2s(s

2

+

2zw

s

+

w

2

)1zw

n(s

+

zw)

2

+

w

2n

d-s

(s

+

zw

)

2

+

w

2n

ds

+

zw

nC(s)=

n

= -2

z

-zw

ntc(t)

=1-

e(coswd

t

+

sin

wd

t)1-zsin(

w

d

t

+

q

)1

-

z

2=

1

-e-zw

nt式中：q=arccos

z3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析01211

+1

-

z11

-1

-

z

22e-zw

nt1

+1

-

z1zw

nT

=T2T3T4Ttc(t)2e-zw

nt1

-1

-

z欠阻尼二階系統(tǒng)的單位線ζ越小，系統(tǒng)振蕩越厲害，一般取0.5—0.8之間。階躍響應(yīng)為一條衰減振蕩曲線：振蕩頻率為

w

d

，曲2e

-

zw

n

t1

–1

-

z為動(dòng)態(tài)響應(yīng)的包絡(luò)線，包絡(luò)線的時(shí)間常數(shù)為s

=zw

n。單位階躍響曲線c(t)總是包含在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)，收斂速率取決于時(shí)間常數(shù)為s

=zw

n數(shù)值。由2．臨界阻尼情況（

z

=

1

）21

,2

n

n-1

可知，此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)相等的實(shí)根s

=

-

zw

–

w

zs1,2

=

-wn對(duì)單位階躍輸入，系統(tǒng)輸出的拉氏變換可寫為11n

n

nnw

2wC(s)

=

n

=-

n

-s(s2

+

2w

s

+w

2

)

s

(s

+w

)2

s

+wc(t)

=1-

e-wnt

(1+w

t)n響應(yīng)曲線：c(t)r(t)01tc(t)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析對(duì)單位階躍輸入，輸出拉氏變換式寫成部分分式為將上式拉氏反變換，得過阻尼情況時(shí)的時(shí)域響應(yīng)：式中3．過阻尼情況（z

>1

）此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根ns

1

,2-

1z

2=

-zw

–

w

ns1n

n

n

n+c(

s

)

=

+s

+

zw

-

w

z

2

-

1 s

+

zw

+

w

z

2

-

1[

2(z

2

-

z

z

2

-

1

-

1

)]

-1

[

2(z

2

+

z

z

2

-

1

-

1]

-11eT1t

eT2

t(

-

)-

T1

-

T2c(

t

)

=

1

+2

z

2

-

1nn21T

=

-(z

-

z

2

-1)wT

=

-(z

+

z

2

-1)wr

(t

)tc(t

)03.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析4．無阻尼情況此時(shí)系統(tǒng)有一對(duì)虛根這是一條平均值為1的等幅振蕩曲線。=

–

jw

ns1,2s1,22=

-zw

n

–

w

n

z

-

1(

z

=

0

)c(

t

)

=

1

-

cosw

nt(

t

?

0

)0c

(t

)21t(

z

=

0

)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)總結(jié)ζ＞1s1,2=

-zw

n

–wnz

2

-1j0ζ

＝1s1,2

=

-zw

n

=

-w

nj00＜

ζ

＜1s1,2=

-zw

n

–

jwn1-z

2j0ζ

＝0s1,2

=

–

jwnj0二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)總結(jié)

1

1

jζ＞1:

T2

T10-

t

-

te

T1

e

T2y(t)

=1+

T

+

T 2

-過1阻尼1

-1T1

T2jζ

＝1:0y(t)

=1-

e-wnt

(1+w

t)n臨界阻尼j0＜

ζ

＜1:0y(t)

=1-

1

e-zw

nt

sin(w

+

b)d1-z

2

欠阻尼jζ

＝0:

0y(t)

=1-

coswnt零阻尼3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二、二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能指示(欠阻尼情況)（1）峰值時(shí)間因?yàn)檎淼茫涸蕉獭?

-z

2c(t)

=

1

-sin(w

d

t

+q)e-zw

ntdtdc(t)=

0t

=tp-zwnt

p

-zwnt

p

zwne

sin(wd

tp

+q)

-wd

e

cos(wd

tp

+q)

=

0z1-z

2tg(wdtp

+q)

=因?yàn)?/p>

tgq

=

1-z

2

z

，得到tP

為輸出響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間，應(yīng)取wdtP

=

pww

1

-z

2=

p

=

p

ndPtwdtp

=

0,p,

2p,

3p

tPtPtP與極點(diǎn)虛部成反比,ζ一定時(shí),極點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn),3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析得ww

1

-z

2=

p

=

p

ndP因?yàn)樽畲蟪{(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間上，所以將t代入（2）最大超調(diào)量s

%2Psin

p

)

zp

z

1

-

z

2(cos

p

+c(

t )

=

1

-

e1-z--

zp

1-z

2=

1

+

e·100%-

zp

1-z

2s

%

=

e1

-z

2c(t)

=

1

-sin(w

d

t

+q)e-zw

nt表明：二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量?jī)H與阻尼比有關(guān),

ζ越大，s

%

越小。3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析（3）調(diào)整時(shí)間ts欠阻尼情況下輸出響應(yīng)的衰減情況可以用包絡(luò)線近似。求得當(dāng)時(shí)，忽略，加快系統(tǒng)的響1snnzwzwln

D

1-z

2t

=-

ln

0.05

+ln1-z

2

=-z

<<14sn由zwt

?

, (D

=

0.02)e

-zw

nts

1

-

z

21－

c

(ts

)

?

1

-

1

–

=

0.05

,

(D

=

0.05)n

nzw

zwts

=-

,-ln

0.05

?

3ln

1

-z

2(D

=

0.05)表明：調(diào)整時(shí)間與系統(tǒng)極點(diǎn)的實(shí)數(shù)值成反比。由于

s

%

z

決定，若

z

不變，加大

w

n

的數(shù)值，則可在不影響系統(tǒng)

s

%

的情況下，減少應(yīng)速度。ts3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析（4）上升時(shí)間根據(jù)定義trc(

tr

)

=

1

-sin(

w

d

tr

+q

)

=

11

-z

2e-zw

nt?

0e

-zw

ntrw

d

tr

+q

=

pdrtw=

p

-q2=

wn

1

-z越大，系統(tǒng)的響應(yīng)就越迅速。(

wd

)因?yàn)?必有：所以:表明：在

z

一定的情況下，無阻尼自然振蕩頻率

w

n3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析dddnTwN

=

ts,T

=

2p

=

2p

w

1-z

2振蕩次數(shù)

N

N的定義:在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi),響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。Td

為阻尼振蕩的周期3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析小結(jié)阻尼比?。荷仙龝r(shí)間短，調(diào)整時(shí)間長(zhǎng)，超調(diào)量大，穩(wěn)態(tài)誤差增加阻尼比大：上升時(shí)間長(zhǎng)希望：上升時(shí)間短、調(diào)整時(shí)間短、超調(diào)量小。工程上阻尼比ζ一般取0.4－0.8。

阻尼比ζ為0.707稱為最佳阻尼比.rt=

p

-qnw

d3

4ts

?

zwP-

zp

1-z

2s

=

e

·100%w=

p

=

p

nd

w

1

-z

2Pt3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析總結(jié)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)有如下情況：1）負(fù)阻尼情況下，系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下系統(tǒng)的輸出最終無法達(dá)到一個(gè)確定的數(shù)值上，也不會(huì)在確定范圍內(nèi)變化。2）當(dāng)ζ>0時(shí)不管系統(tǒng)的暫態(tài)過程如何變化，系統(tǒng)輸出都會(huì)穩(wěn)定在值1上?！环€(wěn)定系統(tǒng)——穩(wěn)定系統(tǒng)3）當(dāng)ζ=0時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，即沒有穩(wěn)定在一個(gè)值上也沒有發(fā)散，而是在[0 2]中周期變化?！R界穩(wěn)定3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析進(jìn)一步系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)的特征有什么聯(lián)系：1）負(fù)阻尼情況下：ζ

<0

，系統(tǒng)的極點(diǎn)有正實(shí)部。2）當(dāng)ζ

>0時(shí)：不管系統(tǒng)是欠阻尼還是過阻尼，系統(tǒng)的極點(diǎn)都有負(fù)實(shí)部。3）當(dāng)ζ

=0時(shí)：系統(tǒng)的極點(diǎn)是純虛的，實(shí)部為零。思考和疑問：能否將上面的總結(jié)作為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論？1,2n

ns

=

-zw

–w

z

2

-13.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析所以超調(diào)量是阻尼比ζ的函數(shù)，與無阻尼振蕩頻率

ωn的大小無關(guān)。ζ增大，σ%減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比ζ取在0.4-0.8之間,相應(yīng)的超調(diào)量25%-2.5%。σ%與ζ

的關(guān)系曲線n

se-z

wn

t1-z2sin(

1-z2

w

t

+b)￡

0.05或0.023.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析調(diào)節(jié)時(shí)間ts根據(jù)定義：不易求出ts，但可得出ωnts

與

ζ

的關(guān)系曲線調(diào)節(jié)時(shí)間不連續(xù)的示意圖ζ

值的微小變化可引起調(diào)節(jié)時(shí)間ts顯著的變化。3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析s

(

s

+

34

.5)G

(

s

)

=5

K

A3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析設(shè)系統(tǒng)的輸入量為單位階躍函數(shù),試計(jì)算放大器增益KA=200時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。當(dāng)

KA增大到1500時(shí)或減小到KA=13.5，這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如何?已知單位反饋系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)為：例3.3.1解

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:AG(s)

5KF

(s)

==

A

1+

G(s)

s2

+

34.5s

+

5K34.5n

AnnA2

5K2ww=

5K2w

z

=

34.5

z

=

34.5

=1000Annnn2wK

=

200,\

F

(s)

==

34.5s2

+34.5s

+1000\

w

2

=1000，2zw\w

=31.6(弧度/秒),z

=34.5

=0.5453.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析則根據(jù)欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式,可以求得:2pndtzw2p2pw1-z

2w

n

1

-

z-

ln

0.05 1

-

z

2ts

?s

%

=

e

-pz

/·100%

=

13%t

w

1

-

z

2t

=

p

=0.12(秒)=0.183(秒)N

=

s

=

s n

=0.72(次)w

=

w

1-z

2d

nKA

=1500時(shí),w

n

=86.2(弧度/秒);z

=0.21

2n

nTT1

=

w

(z

-

z

2

-1),

1

=

w

(z

+

z

2

-1)ts

?3T1

=1.46(秒),3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析\

tp

=

0.037(秒),

ts

=

0.174(秒),s

%

=

52.7%,

N

=

2.34(次)由此可見,KA越大,ζ越小,ωn越大,tp越小,σ%越大,而調(diào)節(jié)時(shí)間ts無多大變化。K

A

=

13.5時(shí),

w

n

=

8.22(弧度/

秒),

z

=

2.1系統(tǒng)工作在過阻尼狀態(tài),峰值時(shí)間,超調(diào)量和振蕩次數(shù)不存在,而調(diào)節(jié)時(shí)間可將二階系統(tǒng)近似為大時(shí)間常數(shù)T的一階系統(tǒng)來估計(jì)。3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析0.5122.53000.20.40.60.811.21.41.6Step

Response1.5Time

(sec)AmplitudeG1,Ka=13.5G2,Ka=200G3,

Ka=1500z

=0.2(KA

=1500)z

=0.545(KA

=200)Az

=2.1(K

=13.5)wntqc

(t)即比例調(diào)節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性為了改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，可采用比例－微分控制或速度反饋控制，即對(duì)系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié)調(diào)節(jié)時(shí)間比前兩種KA大得多,雖然響應(yīng)無超調(diào),但過渡過程緩慢,曲線如下：3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析KA增大，tp減小，tr減小，可以提高響應(yīng)的快速性，但超調(diào)量也隨之增加，僅靠調(diào)節(jié)放大器的增益，例3.3.2如圖所示的系統(tǒng)，施加8.9N階躍力后，記錄時(shí)間響應(yīng)如圖，試求該系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性剛度K

和粘性阻尼系數(shù)D的數(shù)值。質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析解dy(t)dy2

(t)dtdt

2dy2

(t)

dy(t)Mdt

2

dtfi

(t)

-

ky(t)

-

D=

M+

D+

ky(t)

=

fi

(t)i(Ms2

+

Ds

+

k)Y

(s)

=

F

(s)12nnn1

kk

MkwY

(s)

=

1==F

(s)

Ms2

+

Ds

+

kis2

+

2zw

+w

2s2

+

D

s

+

kM

M0.03=

0.0029-

zp

1-z

2M

=

ep根據(jù)牛頓第二定律：進(jìn)行拉氏變換，并整理得：解得

z

=

0.6pn2 1

-

0.62t

1

-z

2w

=

p

=

p

=

1.96(rad

/

s)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1

18.9iY

(s)

=F

(s)

=Ms2

+

Ds

+

k

Ms2

+

Ds

+

k

s18.9

=

8.9

=

0.03(m)s

kMs2

+

Ds

+

k0.03k

=

8.9

=

297(N

/

m)1.962n=

77.3(kg)k

=

297M

=w

2D

=

2zw

n

M

=

2

·

0.6

·1.96

·

77.3

=

181.8(N m

/

s)由終值定理得：y(￥

)

=

lim

sY

(s)

=

lim

ssfi

0

sfi

03.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析三、二階系統(tǒng)（過阻尼）動(dòng)態(tài)性能分析。當(dāng)ζ

≥1時(shí)，系統(tǒng)將沒有σ%，故也沒有tp，但有：2nt

dw1

+

0

.

6

z

+

0

.

2

z=nt

rw1

+

1

.5z

+

z

2=ζ

≥1時(shí)的特征多項(xiàng)式

2

4

T

,

(

2

%)

3T1

,

(

5

%)=ts1211n

ns

2TT+

2zw

s

+

w

2=

(

s

+)(

s

+

)若T1≥5T2，則：若ζ

=1(T1=T2),st

=4.75T1

1T1=

-(z

+

z

2

-1)wn

1

=

-(z

-

z

2

-1)wnT2(

(2n2nn

nw1tts

+1

ws

+

zF

(s)==, z

=s2

+

2zw

s

+w

2z(s2

+

2zw

s

+w

2

)n

n()211nn2nsw

2w

2s

1Y

(s)=F

(s)=

n

+

n

s

z

s2

+

2zw

s

+w

2

ss

+

2zw

s

+wn

zzY

(s)=

Y

(s)+

s

Y

(s)3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析5）帶有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)響應(yīng)具有一個(gè)附加零點(diǎn)的閉環(huán)二階系統(tǒng)為y(t)1z1zzy

(t)

=

y(t)

+-1L

(sY

(s))

=

y(t)

+3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析jw0

snw

1-z

2nzwnwzljbz1-z

2b

=

arctan2wn

1-zj

=

arctanz

-zw

n1nnl

=

z

-

p=

(z

-zw

)2

+

(w1-z

2

)23.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析nnttll2eeww-z-z=1-cosj

sin

(wd

+

b

)+

sin

j

cos

(wd

t

+

b

)z1-z

2=1-sin

(w

dt

+

b

+j

)1-z

2(

)(

)1sinzddzcos

w

te-zwnte-zw

nte-zw

nt=1-zwn

sin

(wd

t

+

b

)-wd

cos

(wd

t

+

b

)zsin

(wd

+

b

)+1-z

21-z

2w

1-z

2

n

ll

z

-zw=1-w

t

+

b

-+

b1-z

2

n

z

ly

(t)

=

y(t)

+

1

y(t)()(

)()2

n

d

pdd

p0

ppzpddzlztge

dtl

zwsin

w

tw

cos

w

tzww-zw

nt

p-zw

nt

p=

0+b

+j

-+bt

=

01-z2e

1-z21-z21-z

w

t

+b

+j

==tgb\

t

=

p

-j

；t

=

p

；3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析峰值時(shí)間dyz

(tp3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析超調(diào)量超調(diào)有增加的趨勢(shì)。

表示零點(diǎn)與極點(diǎn)距離虛軸的距離比；零點(diǎn)離虛軸越近，超調(diào)量越大。調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間增加或減小，取決于l/z比值的大小22przj-zp2-1-z1-zy

(t

-

y

(￥

)

es

%

==

1-

2r

+e

·100%

s

y

(￥

)

zr

=zwn1nt

=

4

+ln

l

s

z

zw

3.3

二階系統(tǒng)的時(shí)域分析j0nw

2s(s

+

2xwn

)E(s)

n

nn

tw

2s(s

+

2zw

)G

(s)=

n

=

n

w

2

k

s

s(s

+

2zw

+

w

2

k

)1

+

n

t

s(s

+

2zw

n

)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析例3.3.3試分析速度反饋校正對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為w

2圖:是采用了速度反饋控制的二階系統(tǒng)。

R(s)C(s)-

-kt

sn

t

nkss(\

G(s)

=+1)2zw

+

k

w

2w

n(

2z

+

k

tw

n

)2z3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析t式中k為速度反饋系數(shù)令：

k

=為系統(tǒng)的開環(huán)增益(不引入速度反饋開環(huán)增益

k

=

w

n

)212n

n

tnt

n

nn

t

n2nG(s)w

2w

2w

2閉環(huán)傳遞函數(shù)：F

(s)==

n

1+G(s)s2

+

2zw

s

+w

2k

s

+w

2=

n

=

n

s2

+

2zw

s

+w

2s

+

2(z

+

w

k

)w

s

+w2t

t

n等效阻尼比：z

=z

+1

k

w3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析顯然z

t

>z

，所以速度反饋同樣可以增大系統(tǒng)的阻尼比,而不改變無阻尼振蕩頻率ωn,因此,速度反饋可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。在應(yīng)用速度反饋校正時(shí),應(yīng)適當(dāng)增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益,以補(bǔ)償速度反饋引起的開環(huán)增益減小,同時(shí)適當(dāng)選擇速度反饋系數(shù)Kt,使阻尼比ζt增至適當(dāng)數(shù)值,以減小系統(tǒng)的超調(diào)量,提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度,使系統(tǒng)滿足各項(xiàng)性能

指標(biāo)的要求。3.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析定義：用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。通常把三階以上的系統(tǒng)就稱為高階系統(tǒng)。由于求高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)很是困難，所以通?？偸菍⒍鄶?shù)高階系統(tǒng)化為一、二階系統(tǒng)加以分析。響應(yīng)曲線的類型（振蕩情況）由閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)所決定。動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線的形狀由閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)共同決定。閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸愈近，其對(duì)系統(tǒng)的影響愈大。c(t)r(t)10ttc(t)01r(t)c(t)t01r(t)3.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析一般的高階機(jī)電系統(tǒng)可以分解成若干一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的疊加。其瞬態(tài)響應(yīng)即是由這些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)疊加組成。傳遞函數(shù)可表示為：01U

(s)

sn

+

aY

(s)

k

(sm

+

bG(s)

=n-1=

m-1

1

0

sn-1

++

a

s

+

asm-1

++

b

s

+

b

)qrjk

nknkj

=1k

=1k

(sm

+

bG(s)=

m-1

1

0

m

￡

n

,

q

+

2r

=

n(s

+

p

)(s2

+

2z

ws

+w

2

)sm-1

++

b

s

+

b

)3.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析設(shè)輸入為單位階躍，則qrjk

nknkj

=1

k

=1如果其極點(diǎn)互不相同：Y

(s)

=

G(s)U

(s)

=

m-1

1

0

s

(s

+

p

)(s2

+z

ws

+w

2

)k

(sm

+

b sm-1

++

b

s

+

b

)qrk

nk

nkkaak

=1b

(s

+z

w

)

+

g

(w

1-z

2

)Y

(s)

=s

j

=1

(s

+

p

j

)(s

+z

w

)2

+

(w1-z

2

)2+

j

+

k

k

nk

k

nk

k

經(jīng)拉氏反變換，得：22jk

nkqjrk

(

nk

k

)

k

(

nk

k

)ea

eb

cos

w-

p

tj

=1-z

w

ty(t)

=

a

++1-z

t

+

g

sin

w1-z

tk

=1j0j

j

j0

0

0j03.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析討論如下幾個(gè)問題

1．響應(yīng)分量的個(gè)數(shù)？2．什么條件下，當(dāng)t趨于無窮時(shí)，輸出值趨于常數(shù)？3．什么條件下，當(dāng)t趨于無窮時(shí)，輸出值在一定范圍內(nèi)變化，即臨界穩(wěn)定？4．系統(tǒng)輸出振蕩由什么引起的？5．當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，什么樣的分量對(duì)輸出作用時(shí)間長(zhǎng)？2

2jk

nkqjrk

(

nk

k

)

k

(

nk

k

)ea

eb

cos

w-

p

tj

=1-z

w

tk

=1y(t)

=

a

++1-z

t

+

g

sin

w

1-z

t3.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析1．q+r+1特征根的實(shí)部都小于零，即根在s平面的左半平面。所有實(shí)數(shù)極點(diǎn)都小于零，復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部小于等于零。系統(tǒng)輸出的震蕩由閉環(huán)傳函復(fù)數(shù)的極點(diǎn)造成，實(shí)軸上的極點(diǎn)不引起震蕩。z高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量衰減的快慢由-pj和ζk、ωnk決定，即由閉環(huán)極點(diǎn)在S平面左半邊離虛軸的距離決定。當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越近，其作用時(shí)間越長(zhǎng)（主導(dǎo)極點(diǎn)）。當(dāng)所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部時(shí)，除常數(shù)a

其他各項(xiàng)隨著時(shí)間t

fi

￥

而衰減為零。3.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析4(s

+1)(s

+10)10(100

s

+1)G

(s)=

101

103(s

+1)(s

+10)G

(s)

=11(s

+1)G

(s)

=102G

(s)

=(s

+10)解-t1

1(

-

)

=1-

e1-1-11y

(t)

=

L

(G1

(s)

s

)

=

L2s s

+11

1

1y

(t)-10t-1

-1)

=1-

es s

+10=

L

(G2

(s)

s

)

=

L

(

-例3.3.5系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，計(jì)算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。9103.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析1-1=1-y3

(t)

==

L

(909909s10e

-

e=1-y4

(t)

==

L

-1

(1-1L

(G3

(s)

)s1

-

10

/

9

+

1/

9

)s s

+1

s

+10e-t

+

1

e-10t9L

-1

(G

(s)

1)4

s-

10

/

909

-

899

/

909)s

+1

s

+10-t

899

-10t01245600.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step

Response3Time

(sec)AmplitudeG1G2G3G43.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析①：G1與G3比較，-1起主要作用（主導(dǎo)極點(diǎn)）。②：G2與G4比較，極點(diǎn)-1與零點(diǎn)-1.01 相接近，零點(diǎn)對(duì)極點(diǎn)起到動(dòng)態(tài)響應(yīng)抵消作用，使遠(yuǎn)處的極點(diǎn)作用發(fā)揮出來（偶極子）。③：G3與G4比較，可見零點(diǎn)起到微分作用，起加快響應(yīng)速度的目的。④：G3與G4比較，傳遞函數(shù)的穩(wěn)定零點(diǎn)不影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分量的個(gè)數(shù)，也不影響它們的穩(wěn)定性。零點(diǎn)僅影響各分量系數(shù)大小正負(fù)。⑤：一階環(huán)節(jié)起慣性滯后作用，離原點(diǎn)、虛軸越近慣性滯后作用越強(qiáng)。3.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域分析主導(dǎo)極點(diǎn)：在高階系統(tǒng)中某一極點(diǎn)或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)距虛軸的距離是其它極點(diǎn)距虛軸距離的1/5或更小，并且附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)，稱該極點(diǎn)（對(duì)）為該高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。①用主導(dǎo)極點(diǎn)來估計(jì)高階系統(tǒng)的性能指標(biāo)②導(dǎo)出高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達(dá)式偶極子：dipole指相距很近的符號(hào)相反的一對(duì)電荷或“磁荷”。這里指相距很近的一對(duì)零、極點(diǎn)。對(duì)系統(tǒng)的影響很小?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)流程系統(tǒng)頻率特性LF微分方程t（時(shí)域）傳遞函數(shù)s（復(fù)域）w（頻域）F

-1L-1s

=

jwjw

=s系統(tǒng)頻率特性LF“三域”模型及其相互關(guān)系微分方程t（時(shí)域）傳遞函數(shù)s（復(fù)域）w（頻域）F

-1L-1s

=

jwjw

=s3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解前一章我們討論了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)與傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達(dá)式本節(jié)討論在狀態(tài)空間表達(dá)式描述下系統(tǒng)的響應(yīng)問題。即已知系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)的初始狀態(tài)，如何求解系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出量。0

y

(

t

)

=

C

x

(

t

)

+

D

u

(

t

)

x

(0

)

=

x

x

(

t

)

=

A

x

(

t

)

+

B

u

(

t

)fi0x

,u

(t

)x(t)

=

?y(t)

=

?3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解x(0)

=

x0x(t)

=

Ax(t)

+

Bu(t)0x(0)

=

xx(t)

=

Ax(t)x(0)

=

0x(t)

=

Ax(t)

+

Bu(t)首先求解齊次方程疊加原理3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解設(shè)：

x(t)

=

b

+

b

t

+

b

t

2

+0

1

20

1

2=

Ax(t)

=

A(b

+

b

t

+

b

t

2

+)則：x(t)

=

b

+

2b

t

+

3b

t

2

+1

2

3比較系數(shù)：032211

0

213!1212A

bA

b

,

b=

Ab

=Ab

=b

=

Ab

,

b

=00

1

2=

x0

b0

=

xt

=0t

=0又：x(t)

=

b

+

b

t

+

b

t

2

+0133

30

02

20

3112

3!AtA

b

t

+x(t)

=

b0

+

Ab0t

+A

b

t

+

=

e

bx(t)

=

e

At

x0冪級(jí)數(shù)法e

At1

Ak

t

k2!

k

!k

=0

k

!=

I

+

At

+

1

A2t

2

+...

+

1

Ak

t

k

+....

=

￥狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：矩陣指數(shù)函數(shù)

e

At由齊次方程的自由解：x(t)

=

e

At

x

可知，由于

e

At的存在，只要已知x00，任一時(shí)刻的x(t)都會(huì)變成已知。3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解即從時(shí)間的角度而言，e

At

意味著它能夠使得狀態(tài)向量隨著時(shí)間的推移，不斷的在狀態(tài)空間中做轉(zhuǎn)移，所以稱e

At為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，通常記為F

(t)3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（矩陣指數(shù)函數(shù)）的基本性質(zhì)2）

e

A(t

-t

)

=

e

A0

=

I

F

(t

-

t

)

=

I[F

(t)]-1

=

F

(-t)=

e

A(-t

)3）[e

At

]-1

=

e-

At4）

當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時(shí)，有

e

AteBt

=

e(

A+B

)t當(dāng)AB

?

BA，e

AteBt

?

e(

A+B)t5）d

eAt

=

AeAt

=

eAt

A

F

(t)

=

AF

(t)

=F

(t)Adt1）e

At

e

At

=

e

A(t

+t)F

(t)F

(t)

=

F

(t

+t)n

A

=

L

=

l

l1neel

tl1te

At

=

F

(t)

=

幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)：

1）對(duì)角陣3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2）約當(dāng)塊012!1

01

00

0(n

-1)!11

t

2tt

n

-2

t

n

-1

(n

-

2)!t11

t

0

0

0

0

0

0

l

l

1

0

0 0

l

1

0A

=

J

=

0

0

0

0

則：

e

Jt

=

F

(t

)

=

elt

3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3）模態(tài)陣A

s

w

s

=

-we

Atsin

w

t

=

F

(t

)

=

es

t

cos

w

tcos

w

t

-

sin

w

t￥￥(-1)i=0n(2n)!x2ncos

x

=n-1

(2n

-1)!x2n-13.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解sin

x

=

(-1)i=11）由e

At的定義或展開式直接計(jì)算e

At2!

k!=

I

+

At

+

1

A

2

t

2

+

+

1

Ak

t

k

+

2）變換矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型（相似變換）L

=

T

-1

ATA單根時(shí)：e

At

=

Te

L

tT

-1A有重根時(shí)：J

=

T

-1

ATe

At

=

TeJtT

-1A有復(fù)根時(shí)：J

=

T

-1MTe

At

=

TeMtT

-13.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解矩陣指數(shù)函數(shù)的幾種計(jì)算方法解：

①求特征值，由det(lI

-

A)

=

0得：l1

=

l2

=

1,

l3

=

2ti，并組成變換矩陣T及T-11②求特征向量l1t1

=

At1

1

t

=

0

0

2t=

1

-1

3

0

t

=

0

1

20設(shè)A

=01

0

01

0，求e

At。1(采用變換矩陣法)3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解例3.5.1l2t2

=

At2

l3t3

=

At3

0

0

1

0

0

T

-1

=

0

11

01

∴0

01

1

0 0

T

=

0

1-1

③求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形0

1

0 0

J

=

T

-1

AT

=

0

10

02

ete

Jt0

2

t

=

00

④求e

AtAtJt

-10et

0

0

e0

et0

e

=Te

T

=

0

0e2t

0ete2t

-et3.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解e

At=

F

(t)

=

L

-1

(sI

-

A)-1證：x(t)

=Ax(t)sX(s)

-

x(

0

)

=

AX(s)X(s)=(sI

-

A)-1x(

0

)x(t

)

=

L

-1

(sI

-

A)-1

x(0)e

At=

L

-1

(sI

-

A)-13.5

線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解3）利用拉氏變換法求e

At拉氏變換法0，求e

At。(采用拉氏變換法)0s

-

2

(sI

-

A)

=

解：21

0

0設(shè)A

=

0

1

0

1

2

s

-1

00

s

-1

00

-11100(sI

-

A)-1

=adj(sI

-

A)det(sI

-

A)