2023年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線復(fù)習(xí)題附答案解析

2023年高考圓錐曲線復(fù)習(xí)題

1.己知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在無(wú)軸上，離心率為三的橢圓C過(guò)點(diǎn)(百，!).

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)是否存在不過(guò)原點(diǎn)。的直線/：>=依+切與C交于PQ兩點(diǎn)，使得OP、PQ、OQ

的斜率依次成等比數(shù)列.若存在，求出A%滿足條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(I)設(shè)橢圓的方程為=+三=1,由于離心率為77的橢圓C過(guò)點(diǎn)(6，!),

a2b222

c>/3

e=H=T

(右)2(分2_,解得序,即可得出答案.

~a^+~^=1

a2=b2+c2

1y=kx+m

(II)設(shè)P(XI,y\),Q(X2,”)，聯(lián)立力,結(jié)合韋達(dá)定理可得Xl+%2,X\X2

-(彳+f=1f

yi”，由OP,PQ,OQ的斜率成等比數(shù)列，得到kopkoQ=kpQ2,解出由△>(),且xu2

NO,求出機(jī)的范圍.

22

【解答】解：(I)設(shè)橢圓的方程為《x+2y=1,

M匕n

因?yàn)殡x心率為3的橢圓C過(guò)點(diǎn)(遮，!),

一c一百

e~a~T

(73)2(1)2>解得J=4,b2—l,

n+記=1

Q=力2+2

(2c

所以橢圓的方程為二+)2=1.

4

y=kx+m

(II)聯(lián)立％2,得(1+4后)/+8公批+4(川-1)=0(mWO),

匕+V=1

設(shè)P(xi,yi),Q(x2?”)，則xi+/2=—8鏟一,XLX2=4(q二1),

"4fc2+l4k'+1

所以yi”=(fcn+m)(te+/n)=&ix2+mk(xi+x2)+，枯，

因?yàn)镺P,PQ,OQ的斜率成等比數(shù)列，

所以kopkoQ=kp廿,所以一?一=必，

Xi%2

所以Q+型062+尤=0

2xlx2

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”,-8k2m2m2(4/c2+l)=0,所以t，

所以---------+——---------

4(m2-l)4(zn2-l)

因?yàn)椤?(8km)2-4(4必+1)X4Cm2-1)>0,

所以4嚴(yán)-川+1=2-川>0,所以一夜OnVVL

因?yàn)閄1X2/O,所以用2-1力0,解得機(jī)#±1,

1

綜上所述，k—±~,—四On<72且mW±1.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問(wèn)題，解題中需要一定的計(jì)算能力,

屬于中檔題.

2.已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)尸的直線/與該拋物線交于A、B兩點(diǎn),A在x軸的

上方，圓C：(%-3)2+y2=1.

(1)若|4F|=3,求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)直線/與圓C交于朋、N兩點(diǎn)，△CAB,△CMN的面積分

別記為Si、S2,是否存在/使得SI?S2=4VL若存在求出直線/的方程，若不存在，說(shuō)

明理由.

【分析】(1)由題意得F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,設(shè)點(diǎn)A(xi,yi)(yi>0),由拋

物線的定義可得|AF|=xi+l=3,解得xi,yi,即可得出答案.

(2)由題意設(shè)直線/為》=??丫+1,設(shè)A(xi,yi),B(X2,”)，分析圓心C到直線的距

離為d<l,解得/>3,計(jì)算弦長(zhǎng)|“川，52,聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理

2l?n^—3

可得X1+X2,由拋物線的定義可得依5|=加+汝+2,再計(jì)算Si,則S1S2=2>

+；)=4y/2,解得"2,即可得出答案.

Vl+rn2

【解答】解：(1)由題意得F(1,0),準(zhǔn)線方程為無(wú)=-1,

設(shè)點(diǎn)A(xi,yi)(yi>0),

則|AF|=xi+l=3,得xi=2,

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所以y\=2^2,

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2V2).

(2)由題意設(shè)直線/為x=g，+l,圓C：(x-3)2+/=1的圓心為C(3,0),半徑為1,

設(shè)A(xi,ji),B(X2,”)，

因?yàn)閳A心C到直線的距禺為d=?011=72,,

Jl+m2Jl+m2

2

因?yàn)橹本€與圓相交，所以尸力VI,得">3,

Vl+m2

由｛)'得『-4zny-4=0,所以yi+y2=4〃z,

所以xi+x2=〃?.yi+l+my2+l=w(yi+”)+2=4/?22+2,

所以|A8|=xi+X2+2=4m2+4,

1、

所以Si=)(4m2+4)4m2+4

所b,以?S3京2Jm2-.34淅(m2+lT)=8

8=4>/2,解得加=±夕,

此時(shí)直線方程為：y=gx—

>=~

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔

題.

X2y2

3.已知橢圓「：—+77=1(。>人>0)，/1、放分別為其左、右焦點(diǎn).

Q2y

(1)若T為橢圓上一點(diǎn)，△TFi0面積最大值為4g,且此時(shí)△TF1F2為等邊三角形，

求橢圓的方程；

(2)若橢圓焦距長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的四倍，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m網(wǎng)-b),。為橢圓上一點(diǎn),

當(dāng)|PQ|+|QFi|最大時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若A為橢圓r上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線AO交橢圓于B,直線AF\交橢圓于C,

直線8內(nèi)交橢圓于￡>,若4%=/lF%,甌="；D,求人+”.(用a、弋?dāng)?shù)式表示)

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【分析】（1）當(dāng)T為短軸頂點(diǎn)時(shí)△TBF2面積最大，可得一個(gè)a,b,c的方程，再根據(jù)△

7尸1尸2為等邊三角形建立一個(gè)關(guān)于a,4c的方程，解方程可得橢圓的方程；

（2）利用定義轉(zhuǎn)化可得|PQ+|QFi|=|PQ|+2a-|QF2|=2a+（|PQ-|。冏）W2a+|Pf2|,當(dāng)

Q在PF2延長(zhǎng)線上時(shí)，取等號(hào)，用直線PF2與橢圓聯(lián)立可得點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）先利用余弦定理證明焦半徑公式，進(jìn)而得到4=總｝=〃=爆=

|F1L|U-CCOSCl\rAU\

,再利用余弦定理可得又ccosa=a—W，同理ccos0=a-羔，代入即可求

（*Xv解CzOLJ人乙（X人

出定值.

【解答】解：（1）因?yàn)椤?F1F2面積最大值為4百，

所以點(diǎn)T為短軸的頂點(diǎn)，

所以SAT&FZ=9/1乃|坨=柩=48①，

因?yàn)椤?F1F2為等邊三角形，

所以/TF1F2=6O°,

所以tan/7nF2=tan60°=遮=物,

又a2=/+c2③，

由①②③，解得d=16,廬=12,C2=4,

x2y2

所以橢圓的方程為77+白=1?

1612

（2）因?yàn)闄E圓焦距長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的企倍，

所以2c=2hxV2,BPc=y[2b,

又即4=或匕，

因?yàn)镻點(diǎn)坐標(biāo)（2a,0a-b）,則（2加》，b）,

所以點(diǎn)P在第一象限，

由橢圓的定義可得伊。|+|?！竱|=|「。|+2。-|。放|=24+（|PQ|-|QF2|）W2〃+|尸尸2],

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。在P放延長(zhǎng)線上時(shí)，取等號(hào)，

直線PF2的方程為y=T禁一（x-c）,

2y/2b—c

所以尸242b-42b*伍）’即產(chǎn)多-b'

（y=^x-b

聯(lián)立J#2y2，解得x=0或x=&6,

I7+-7=1

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當(dāng)x=0時(shí)，y=-b或當(dāng)x=yj2b時(shí)，y=0,

所以Q(0,-b)或(&b,0),

因?yàn)辄c(diǎn)。在P尼延長(zhǎng)線上，

所以Q(0,所).

(3)設(shè)|AFi|=x,ZAF\F2=a,則|A尸2|=2a-x,

在△AF1F2中，由余弦定理可得cosa=帛2泮121=N+叱二段一可2,

222

解得X=-----，即|/&|=----,同理可得|CFI|=F~^-----，

a—ccosa111a-ccosa111a+ccosa

設(shè)NA乃為=0,則N。為尸2=71-0,

所以|0&|-a_ccos(/r—￡)-a+ccos(i