2022年湖南省衡陽(yáng)市耒陽(yáng)市楓泉中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

2022年湖南省衡陽(yáng)市耒陽(yáng)市楓泉中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，若a1、a2、a6成等比數(shù)列且和為21，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）A．a(chǎn)n=3n+1 B．a(chǎn)n=3n C．a(chǎn)n=3n﹣2 D．a(chǎn)n=3n﹣5參考答案：C考點(diǎn)： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．專(zhuān)題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 等差數(shù)列{an}的公差不為零，設(shè)為d，根據(jù)a1、a2、a6成等比數(shù)列，且和為21，求出a1與d的值，即可確定出通項(xiàng)公式．解答： 解：∵等差數(shù)列{an}的公差不為零，設(shè)為d，∴a2=a1+d，a6=a1+5d，∵a1、a2、a6成等比數(shù)列，且和為21，∴a22=a1?a6，a1+a2+a6=21，即（a1+d）2=a1（a1+5d），3a1+d+5d=21，解得：a1=1，d=3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n﹣2，故選：C．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2.已知函數(shù)（其中）的圖象如下面右圖所示，則函數(shù)的圖象是參考答案：A略3.，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為

參考答案：B略4.已知三棱錐A-BCD中，，，，若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（

）A. B.24π C. D.6π參考答案：C【分析】作出三棱錐A-BCD的外接長(zhǎng)方體，計(jì)算出該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即可得出其外接球的半徑，然后利用球體體積公式可計(jì)算出外接球的體積.【詳解】作出三棱錐A-BCD的外接長(zhǎng)方體，如下圖所示：設(shè)，，，則，，，上述三個(gè)等式相加得，所以，該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，則其外接球的半徑為，因此，此球的體積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球體積的計(jì)算，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線作為外接球的直徑是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題.5.將一張邊長(zhǎng)為6cm的紙片按如圖1所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形，將剩余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心）模型，如圖2放置，若正四棱錐的正視圖是正三角形（如圖3），則正四棱錐的體積是（）A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3參考答案：A【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】根據(jù)圖形正四棱錐的正視圖是正三角形，正視圖的底面邊長(zhǎng)為a，高為a，正四棱錐的斜高為a，運(yùn)用圖1得出；×6=，a=2，計(jì)算計(jì)算出a，代入公式即可．【解答】解：∵正四棱錐的正視圖是正三角形，正視圖的底面邊長(zhǎng)為a，高為a，∴正四棱錐的斜高為a，∵圖1得出：∵將一張邊長(zhǎng)為6cm的紙片按如圖1所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形∴×6=，a=2，∴正四棱錐的體積是a2×a=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，展開(kāi)圖與立體圖的結(jié)合，需要很好的空間思維能力，屬于中檔題．6.已知，，則函數(shù)的大致圖象是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】討論當(dāng)|x|＞1，|x|＜1，當(dāng)x＝1時(shí)和當(dāng)x＝﹣1時(shí)，求出函數(shù)的極限即可得到f（x）的解析式，畫(huà)出圖象得到正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)|x|＞1時(shí)，；當(dāng)|x|＜1時(shí)，1；當(dāng)x＝1時(shí)，-1；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，不存．∴f（x）∴只有A選項(xiàng)符合f（x）大致圖像，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式的求解及函數(shù)圖像的識(shí)別，考查了不同的取值范圍時(shí)數(shù)列的極限問(wèn)題，屬于中檔題．7.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有A.60種 B.70種 C.75種 D.150種參考答案：C試題分析：因,故應(yīng)選C．考點(diǎn)：排列數(shù)組合數(shù)公式及運(yùn)用．8.參考答案：C9.若，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.為了求函數(shù)f（x）=2x+3x﹣7的一個(gè)零點(diǎn)（精確度0.05），某同學(xué)已經(jīng)利用計(jì)算器得f（1.5）=0.32843，f（1.25）=﹣0.8716，則還需用二分法等分區(qū)間的次數(shù)為（）A．2次 B．3次 C．4次 D．5次參考答案：B【考點(diǎn)】二分法求方程的近似解．【分析】根據(jù)計(jì)算精確度與區(qū)間長(zhǎng)度和計(jì)算次數(shù)的關(guān)系滿足＜0.05，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)須計(jì)算n次，則n滿足＜0.05，即2n＞20．故計(jì)算5次就可滿足要求，所以將區(qū)間（1，2）等分的次數(shù)為5次，第一次次為（1，1.5），第二次為（1.25，1.5）所以將區(qū)間（1.25，1.5）等分的次數(shù)為3次．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二分法求方程的近似解，精確度與區(qū)間長(zhǎng)度和計(jì)算次數(shù)之間存在緊密的聯(lián)系，可以根據(jù)其中兩個(gè)量求得另一個(gè)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為，如果比賽采用“五局三勝”制（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束）.則甲獲得比賽勝利的概率為

；設(shè)比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為，則隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望

.參考答案：;.12.設(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過(guò)兩點(diǎn)，的直線與圓的位置關(guān)系是

．（相交、相離、相切）參考答案：相離13.若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立，則稱(chēng)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為．已知數(shù)列滿足，有以下結(jié)論：①若，則；②若，則可以取3個(gè)不同的值；③若，則是周期為3的數(shù)列；④存在且，數(shù)列是周期數(shù)列．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．參考答案：①②③14.如圖，從圓O外一點(diǎn)A引圓的切線AD和割線ABC，已知AC=6，圓O的半徑為3，圓心O到AC的距離為，則AD=

。參考答案：15.規(guī)定符號(hào)“”表示一種兩個(gè)正實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算，即ab=,a,b是正實(shí)數(shù)，已知1=3,則函數(shù)的值域是

．參考答案：（1，+∞）16.如圖，設(shè)D是圖中邊長(zhǎng)為4的正方形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域（陰影部分）.向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入E中的概率為(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：C略17.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則cosC﹣2sinB的最小值為

． 參考答案：﹣1【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理． 【分析】利用余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求b2+c2﹣a2=bc，進(jìn)而利用余弦定理可求cosA=，可得A=，C=﹣B，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得cosC﹣2sinB=﹣sin（B+），進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求最小值． 【解答】解：在△ABC中，∵=， ∴=，整理可得：b2+c2﹣a2=bc， ∴cosA==， ∴A=，C=﹣B， ∴cosC﹣2sinB=cos（﹣B）﹣2sinB=﹣sinB﹣cosB=﹣sin（B+）≥﹣1，當(dāng)B+=時(shí)等號(hào)成立， 即當(dāng)B=，C=時(shí)，cosC﹣2sinB的最小值為﹣1． 故答案為：﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題． 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（幾何證明選講選做題）如圖，的直徑，P是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為，連接，若，則_______.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】選修4-1

幾何證明選講N1【答案解析】3

∵PC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，∴OC⊥PC，得∠OCP=90°

∵△AOC中，AO=CO=3cm，∠A=30°

∴∠ACO=30°，∠AOC=120°

得∠ACP=120°，∠P=180°-（∠ACP+∠A）=30°

由此可得∠A=∠P=30°，得AC=CP

△AOC中，，即，得AC=3∴CP=AC=3，即PC=3故答案為：3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得到∠OCP=90°，由AO=CO且∠A=30°，算出∠ACO=30°，從而得出∠ACP=120°．利用△ACP的內(nèi)角和算出∠P=30°，得到AC=CP．最后在△AOC中，利用正弦定理解出AC=3，即可得到PC之長(zhǎng)．19.在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項(xiàng).（Ｉ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，記，求.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)．D2D4【答案解析】（I）（II）解析：（I）由題意知，

...................

2分即，解得，

...................

4分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

...................

6分（II）由題意知.

...................

8分所以.

因?yàn)?

...................

10分可得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所以.

...................14分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由于a2是a1與a4的等比中項(xiàng)，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得bn=a=n（n+1），因此Tn=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+（﹣1）nbn=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）nn?（n+1）．對(duì)n分奇偶討論即可得出．20.本小題滿分10分）已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集為M.(1).求M;(2).當(dāng)a,bM時(shí),證明:2|a+b|＜|4+ab|.參考答案：（1）由，即，當(dāng)時(shí)，則，得，∴；當(dāng)時(shí)，則，得，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，則，得，∴；綜上，.

………5分（2）當(dāng)時(shí)，則，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即.

………10分21.（12分）如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，D、E分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G（I）求與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（II）求點(diǎn)到平面AED的距離

參考答案：解析：（Ⅰ）解：連結(jié)BG，則BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角.設(shè)F為AB中點(diǎn)，連結(jié)EF、FC，（Ⅱ）解：

22.函數(shù)f（x）=3sin（2x+）的部分圖象如圖所示．（1）寫(xiě)出f（x）的最小正周期及圖中x0、y0的值；（2）求f（x）在區(qū)間[，]上的最大值和最小值．參考答案：考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性及其求法．專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）直接