北京大東流中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

北京大東流中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.三棱錐P﹣ABC三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面面積分別為，，，則該三棱錐的外接球表面積為（）A．4π B．6π C．8π D．10π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離；球．【分析】三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，就是球的直徑，然后求球的表面積．【解答】解：三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，則ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．則長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)為=．所以球的直徑是，半徑長(zhǎng)R=，則球的表面積S=4πR2=6π故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．將三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體是本題的關(guān)鍵．2.下列四個(gè)函數(shù)中，在（1，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y=2﹣x B．y=x2﹣3x C．y=2x﹣2 D．y=log2（x﹣2）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】根據(jù)常見函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．【解答】解：對(duì)于A：y=2﹣x在R遞減，故A不合題意；對(duì)于B：y=x2﹣3x的對(duì)稱軸是x=，函數(shù)在（1，）遞減，在（，+∞）遞增，故B不合題意；對(duì)于C：y=xx﹣2在（1，+∞）遞增，符合題意，故C正確；對(duì)于D：y=log2（x﹣2），在（1，2）無(wú)意義，不合題意；故選：C．3.如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，記=，=，則向量=（）A．﹣﹣B．﹣+C．﹣ D．+參考答案：B【分析】由向量的平行四邊形法則、三角形法則可得：=，，即可得出．【解答】解：∵=，，∴==．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的平行四邊形法則、三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．4.設(shè)，且，則m等于A．

B．10

C．20

D．100參考答案：A，，又∵m＞0，,故選A.

5.已知△ABC中，a=，b=，B=60°，那么角A等于（）A．135° B．90° C．45° D．30°參考答案：C【考點(diǎn)】HQ：正弦定理的應(yīng)用．【分析】先根據(jù)正弦定理將題中所給數(shù)值代入求出sinA的值，進(jìn)而求出A，再由a＜b確定A、B的關(guān)系，進(jìn)而可得答案．【解答】解析：由正弦定理得：，∴A=45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A=45°故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．正弦定理在解三角形中有著廣泛的應(yīng)用，要熟練掌握．6.（4分）若函數(shù)f（x）=（x2+mx+n）（1﹣x2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則f（x）的最大值是（） A． 16 B． 14 C． 15 D． 18參考答案：A考點(diǎn)： 函數(shù)的圖象．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： 根據(jù)對(duì)稱性求出m，n，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．解答： ∵f（x）=（x2+mx+n）（1﹣x2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，∴f（1）=f（3），f（﹣1）=f（5），即，解得m=﹣8，m=15，即f（x）=（x2﹣8x+15）（1﹣x2）=x4+8x3﹣14x2﹣8x+15，則f′（x）=﹣4x3+24x2﹣28x﹣8=﹣4（x﹣2）（x2﹣4x﹣1），由f′（x）=0，解得x=2或x=2+或x=2﹣，由f′（x）＞0，解得2＜x＜2+或x＜2﹣，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由f′（x）＜0，解得2﹣＜x＜2或x＞2+，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，作出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖：則當(dāng)x=2+或2﹣時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值同時(shí)也是最大值則f（2+）=16，故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)最值的區(qū)間，根據(jù)對(duì)稱性求出m，n的值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大7.某中學(xué)舉行英語(yǔ)演講比賽，右圖是七位評(píng)委為某位學(xué)生打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和方差分別為（

）A．84，4．84

B．84，1.6

C.85，4

D．86，1.6參考答案：B8.下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（）A．y=x2﹣1 B．y= C．y= D．y=﹣x3參考答案：C【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】利用冪函數(shù)的定義即可判斷出．【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)的定義可知：y=x﹣2=是冪函數(shù)．故選：C．9.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.集合之間的關(guān)系是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C∵，∴，，，故，故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于下列命題：①若函數(shù)y=2x的定義域是{x|x≤0}，則它的值域是{y|y≤1}；②若函數(shù)y=的定義域是{x|x＞2}，則它的值域是{y|y≤}；③若函數(shù)y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，則它的定義域一定是{x|﹣2≤x≤2}；④若函數(shù)y=log2x的值域是{y|y≤3}，則它的定義域是{x|0＜x≤8}．其中不正確的命題的序號(hào)是．（注：把你認(rèn)為不正確的命題的序號(hào)都填上）參考答案：①②③【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域；指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域；對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值．【分析】根據(jù)①、②、③、④各個(gè)函數(shù)的定義域，求出各個(gè)函數(shù)的值域，判斷正誤即可．【解答】解：①中函數(shù)y=2x的定義域x≤0，值域y=2x∈（0，1]；原解錯(cuò)誤；②函數(shù)y=的定義域是{x|x＞2}，值域y=∈（0，）；原解錯(cuò)誤；③中函數(shù)y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，，y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，但它的定義域不一定是{x|﹣2≤x≤2}；原解錯(cuò)誤④中函數(shù)y=log2x的值域是{y|y≤3}，y=log2x≤3，∴0＜x≤8，故①②③錯(cuò)，④正確．故答案為：①②③【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的定義域和值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值，考查計(jì)算能力，高考常會(huì)考的題型．12.在等差數(shù)列中，最大時(shí)，的值是

參考答案：6或7略13.函數(shù)，（0＜a＜1）的單調(diào)遞減區(qū)間是．參考答案：（6，+∞）【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】求出原函數(shù)的定義域，分析內(nèi)函數(shù)t=x2﹣5x﹣6的單調(diào)性，由于外層函數(shù)y=logat為減函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間即為復(fù)合函數(shù)的減區(qū)間．【解答】解：令t=x2﹣5x﹣6，由x2﹣5x﹣6＞0，得x＜﹣1或x＞6．∴函數(shù)f（x）=log0.5（x2﹣2x）的定義域?yàn)椋ī?，0）∪（6，+∞），當(dāng)x∈（6，+∞）時(shí)，內(nèi)層函數(shù)t=x2﹣5x﹣6為增函數(shù)，而外層函數(shù)y=logat為減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=loga（x2﹣5x﹣6）的單調(diào)遞減區(qū)間是（6，+∞），故答案為（6，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的原則，是中檔題．14.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則____________.參考答案：略15.實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2+b2+c2=5．則6ab﹣8bc+7c2的最大值為

．參考答案：45【考點(diǎn)】二維形式的柯西不等式；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式．【分析】將a2+b2+c2分拆為a2+（+）b2+（+）c2是解決本題的關(guān)鍵，再運(yùn)用基本不等式a2+b2≥2ab求最值．【解答】解：因?yàn)?=a2+b2+c2=a2+（+）b2+（+）c2=（a2+b2）+（b2+c2）+c2≥|ac|+|bc|+c2≥ac﹣bc+c2=[6ac﹣8bc+7c2]，所以，6ac﹣8bc+7c2≤9×5=45，即6ac﹣8bc+7c2的最大值為45，當(dāng)且僅當(dāng)：a2=b2，b2=c2，解得，a2=，b2=，c2=，且它們的符號(hào)分別為：a＞0，b＞0，c＜0或a＜0，b＜0，c＞0．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，以及基本不等式取等條件的確定，充分考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與合理分拆的運(yùn)算技巧，屬于難題．16.已知滿足約束條件，則的最大值為__________．參考答案：57【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察直線在軸的截距取最大值時(shí)的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上的截距取最大值，此時(shí)，取最大值，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，一般利用平移直線結(jié)合在坐標(biāo)軸上的截距取最值時(shí)，找最優(yōu)解求解，考查數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，屬于中等題。17.給出下列不等式：①x＋≥2；②|x+|≥2；③≥2；④>xy；⑤≥.其中正確的是________(寫出序號(hào)即可)．參考答案：②解析：當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2；當(dāng)x<0時(shí)，x＋≤－2，①不正確；因?yàn)閤與同號(hào)，所以|x+|＝|x|＋≥2，②正確；當(dāng)x，y異號(hào)時(shí)，③不正確；當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，＝xy，④不正確；當(dāng)x＝1，y＝－1時(shí)，⑤不正確．答案：②

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.一個(gè)扇形的所在的圓的半徑為5，該扇形的弧長(zhǎng)為5（1）求該扇形的面積

（2）求該扇形中心角的弧度數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】G8：扇形面積公式．【分析】（1）根據(jù)扇形的面積S扇形=lr計(jì)算即可；

（2）扇形中心角的弧度數(shù)為α=．【解答】解：（1）扇形的所在的圓的半徑為r=5，弧長(zhǎng)為l=5，則扇形的面積為：S扇形=lr=×5×5=；

（2）扇形中心角的弧度數(shù)為：α===1．19.已知函數(shù)是奇函數(shù)，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函數(shù)．（1）求a+b的值．（2）若對(duì)任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．（3）設(shè)，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】（1）由條件利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求得a、b的值，可得a+b的值．（2）由條件利用函數(shù)的單調(diào)性求得3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，求得3t2﹣2t的最小值，可得k的范圍．（3）由題意可得存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，求得g（x）的最大值，可得a的范圍．【解答】解：（1）由g（0）=0得a=1，則，經(jīng)檢驗(yàn)g（x）是奇函數(shù)．由f（﹣1）=f（1）得，則，經(jīng)檢驗(yàn)f（x）是偶函數(shù)，∴．（2）∵，且g（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，且g（x）為奇函數(shù)．∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立，即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）上F（x）的最小值為，∴．（3）h（x）=lg（10x+1），h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10），則由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，而g（x）在（﹣∞，1]單增，∴，∴，∴．又，∵，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立與能成立問題，屬于中檔題．20.已知全集U={x|1＜x＜7}，A={x|2≤x＜5}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}求A∩B及?UA．參考答案：【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算．【分析】先求出B={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|x≥3}，由此利用已知條件能求出A∩B及?UA．【解答】（本小題滿分12分）解：∵全集U={x|1＜x＜7}，A={x|2≤x＜5}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|x≥3}∵A∩B={x|2≤x＜5}∩{x|x≥3}={x|3≤x＜5}，CUA={x|1＜x＜2或5≤x＜7}．21.計(jì)算下列各式的值：（1）﹣（）0+（）﹣0.5+；（2）lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值．【分析】（1）直接利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：（1）﹣（）0+（）﹣0.5+=+1﹣1++e﹣=+e．（2）lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2=lg5+2+3lg2﹣lg5﹣3lg2+50（lg10