山西省大同市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高一數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．考試范圍國(guó)：必修第二冊(cè)第六、七、八章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在中，，，則該三角形的面積（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積公式得，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，所以，則，故.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，再將代入化簡(jiǎn)可得，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，由，，得，，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，故選：D3.已知平面向量，，滿足，，且.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)向量垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求，最后用坐標(biāo)公式求模即可.【詳解】令，則，可得，所以.故選：A4.某種質(zhì)地的沙子自然堆放在水平地面上，該沙堆呈底面水平的圓錐形，若要使沙堆上的沙子不滑落，則圓錐母線與底面的最大夾角為．現(xiàn)有一底面半徑為，高為的沙堆，為了節(jié)省該沙堆的占地，用一底面半徑為的無蓋圓柱形容器自然盛放完這些沙子（沙子可以超出該容器的上底，且超出部分的形狀呈圓錐形），則該容器的高至少為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓柱的體積和圓錐的體積公式即可求解.【詳解】依題意，沙堆的體積是，設(shè)圓柱的高為，露出上部分的沙堆的高為，所以，整理得，又因?yàn)?，所以，則.故選：B.5.在平行四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為基底向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】以為基底向量，則，因?yàn)?，即，解?故選：C.6.在菱形中，已知，將沿對(duì)角線折起，形成三棱錐，則三棱錐的表面積最大時(shí)，該三棱錐的體積為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】沿對(duì)角線BD折起，當(dāng)且，則三棱錐的表面積最大時(shí)，取BD的中點(diǎn)E，連接AE，EC，由ABCD是菱形，可知平面，結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解;【詳解】由題意可知，當(dāng)且，則三棱錐的表面積最大時(shí)，取BD的中點(diǎn)E，連接AE，EC，平面，平面，，可知平面，因?yàn)椋橇庑?，是等邊三角形，是等邊三角形，所?故選：A7.已知方程（R）的四個(gè)根均為虛數(shù)，且以這四個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為4，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則,復(fù)數(shù)相等的條件及其幾何意義求解即可.【詳解】由已知得或，當(dāng)時(shí)，此方程的兩個(gè)虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，，其中R,將代入方程得，整理得，則，解得，即，同理可得，當(dāng)時(shí)，該方程的虛數(shù)根為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，這四個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，則該等腰梯形的面積為，解得，故選：.8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)原式化簡(jiǎn)得，再將其代入余弦定理結(jié)合基本不等式即可求出最值.【詳解】，化簡(jiǎn)得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知四邊形為等腰梯形，為空間內(nèi)的一條直線，且平面，下列說法正確的是（）A.若，則//平面B.若，則與為異面直線C.若，則平面D.若，則平面【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)線面平行的判定定理分析說明；對(duì)于B：根據(jù)異面直線的判定定理分析說明；對(duì)于C、D：根據(jù)線面垂直的判定定理分析說明.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，平面，平面，所以//平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由題意可設(shè)，因?yàn)?/，設(shè)與確定的平面為，又因?yàn)槠矫?，則平面，可得，且，則，即，所以與為異面直線，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，且相交，平面，所以平面，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：雖然，但，不滿足線面垂直的判定定理，所以無法確定與平面是否垂直，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.在中，已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用小角對(duì)小邊判斷即可；對(duì)于B，利用余弦定理，結(jié)合角的范圍即可判斷；對(duì)于C，舉反例排除即可；對(duì)于D，利用正切函數(shù)的和差公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，根?jù)小角對(duì)小邊得：，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則，由余弦定理得，即，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，符合，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則，所以，即，故D正確.故選：ABD.11.已知復(fù)數(shù)均為虛數(shù)，且，則（）A.B.C.為純虛數(shù)D.存在某個(gè)實(shí)系數(shù)二次方程，它的兩個(gè)根為【答案】BC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模公式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】設(shè)，，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，，，為純虛數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉樘摂?shù)，為實(shí)數(shù)，所以實(shí)系數(shù)二次方程，要么，要么，不可能既有實(shí)數(shù)根，又有虛數(shù)根，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.在中，，，，AD是三角形的中線．E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，，（x，），線段EF與AD相交于點(diǎn)G．已知的面積是的面積的2倍，則（）A. B.x＋y的取值范圍為C.若，則的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形面積公式即可得到，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式即可判斷B，利用共線向量定理的推論即可判斷C，利用轉(zhuǎn)化法計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)A，，，又因?yàn)?，即，解得，故A正確，對(duì)B，因?yàn)?，，則，解得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知當(dāng)或1時(shí)，，則，故B錯(cuò)誤，對(duì)C，因?yàn)?，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，則存在，使得則有，則，，故C正確；對(duì)D，，，則，因?yàn)?，則，則，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題較難的CD選項(xiàng)的判定，需要利用共線向量定理的推論，從而得到，然后解出，從而得到其范圍；對(duì)于D選項(xiàng)，則利用轉(zhuǎn)化法來計(jì)算，最后得到，再進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化為單變量表示即可得到其范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)滿足，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)系方程解得，進(jìn)而可求模長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，整理得，解得，所?故答案為：.14.已知向量，，當(dāng)取得最大值時(shí)，______．【答案】【解析】【分析】先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與輔助角公式，求得取得最大值時(shí)的值，從而求得，再利用向量模的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值，此時(shí)，所以，所以.故答案為：.15.在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝2，，則b的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用正、余弦定理得，再利用正弦定理得，最后根據(jù)三角形為銳角三角形求出的范圍即可得到答案.詳解】由余弦定理得，則，則根據(jù)正弦定理得，又因?yàn)椋?，即，化?jiǎn)得，因?yàn)槭卿J角三角形，則，則，則則，則，則，解得，根據(jù)正弦定理有，，，故答案為：.16.已知是半徑為2的球面上的四點(diǎn)，且．二面角的大小為，則點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出外接球球心與面的距離，結(jié)合二面角的大小判斷與面所成角大小，進(jìn)而求出到外接圓圓心距離，即可確定軌跡長(zhǎng)度.【詳解】由題意，等腰直角三角形，且外接圓半徑，圓心為中點(diǎn)，又外接球半徑，球心，則，易知：為等腰直角三角形，又二面角的大小為，由為外接圓直徑，且面面，則與面所成角為，所以到外接圓圓心距離，故外接圓的半徑為，注意：根據(jù)二面角大小及球體的對(duì)稱性，如上圖示，軌跡在大球冠對(duì)應(yīng)外接圓優(yōu)弧的一側(cè)，在小球冠對(duì)應(yīng)外接圓劣弧的一側(cè)，所以軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（10分）17.已知復(fù)數(shù)滿足．（1）求；（2）若為純虛數(shù)，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，代入化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)相等的條件可求出，從而可求出復(fù)數(shù)，（2）由（1）知，代入化簡(jiǎn)，再由其為純虛數(shù)可求出的值．【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，，，所以，得，所以【小?詳解】由（1）可知，所以，所以因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，解得.18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為，已知.（1）若，求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式，得，再根據(jù)正弦定理，邊角互化，結(jié)合，即可求解；（2）根據(jù)條件，變形得，再結(jié)合余弦定理求，代入三角形面積公式，即可求解.【小問1詳解】因，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，且，，且，，，所?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，，即，所以，由余弦定理得，所以，解得，所?9.在中，角所對(duì)的邊分別為是內(nèi)的一點(diǎn)，且．（1）若是的垂心，證明：；（2）若是的外心，求．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）由垂心的概念及向量的數(shù)量積結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)外心的性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積計(jì)算得出，計(jì)算即可.【小問1詳解】∵是的垂心，∴，即，，由余弦定理可得上式等價(jià)于，化簡(jiǎn)得；【小問2詳解】如圖所示，取AB、AC中點(diǎn)分別為E、F，∵是的外心，∴，即，故,同理，，聯(lián)立可得∵20.如圖，在四棱臺(tái)中，四邊形和均為正方形，四邊形為直角梯形，．（1）設(shè)平面平面，證明：∥平面（2）求該四棱臺(tái)的體積．【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）利用條件先證BC∥面ADD1A1，從而得BC∥l，再證線面平行即可；（2）根據(jù)已知先證得為棱臺(tái)高，結(jié)合棱臺(tái)體積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意可得BC∥AD，面ADD1A1，面ADD1A1，∴BC∥面ADD1A1，又平面，且平面平面，∴BC∥l，∵平面ABCD，面ABCD，∴∥平面；【小問2詳解】如圖所示，連接BD，交AC于O點(diǎn)，連接B1D1交A1C1于O1，連接OO1，在四棱臺(tái)中易得，由得四邊形為等腰梯形，∴,在正方形ABCD中，易知BD⊥AC，且，面，∴BD⊥面，又面，∴，∵面ABCD，∴面ABCD，設(shè)棱臺(tái)上下底面積分別為，由條件可得，故其體積為：.21.在中，角所對(duì)的邊分別為．（1）求的最大值；（2）求取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式計(jì)算即可；（2）先由切化弦，結(jié)合正余弦定理將條件式化為與邊的比值有關(guān)的函數(shù)，計(jì)算即可.【小問1詳解】由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值，故，所以的最大值為；【小問2詳解】，由正余弦定理可得，由題意可得，所以上式可化為，易知，即，故，所以22.如圖，在矩形中，是線段上的一點(diǎn)．將沿翻折，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且點(diǎn)不在平面內(nèi)．（1）若面平面，證明：平面平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，當(dāng)二面角最大時(shí)，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在平面內(nèi)過作于，則由面面垂直的性質(zhì)可得平面，所以，再由四邊形為矩形，得，然后由線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，延長(zhǎng)至，使得，在平面中，過作的垂線，垂足為，過作，垂足為，連接，可證為二面角的平面角，設(shè)，利用三角變換公式和解直角三角形可得，據(jù)此可得何時(shí)二面角最大，故可求對(duì)應(yīng)的體積.【小問1詳解】證明：在平面內(nèi)過作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危裕驗(yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?詳解】解：因?yàn)樵诰匦沃?，為的中點(diǎn)，所以為等腰直角三角形，即為等腰直角三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋裕?，延長(zhǎng)至，使得，則為