北京四中2014-2015學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷 后有答案

北京四中2014-2015學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷后有答案

北京四中2014-2015學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷試卷分為兩卷，卷(I)100分，卷(II)50分，共計(jì)150分?？荚嚂r(shí)間：120分鐘。卷(I)一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a>b，則下列不等式一定成立的是（）A.a^2<b^2B.1/a<1/bC.a^2>b^2D.a^3>b^32.等差數(shù)列{an}中，若a2=1，a4=5，則{an}的前5項(xiàng)和S5=（）A.7B.15C.20D.253.不等式（1/x-1）>1的解集為（）A.{x>1}B.{x<1}C.{x>2}D.{x<2}4.△ABC中，三邊a，b，c的對(duì)角為A，B，C，若B=45°，b=23，c=32，則C=（）A.60°或120°B.30°或150°C.60°D.30°5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-1（n∈N*），則a5=（）A.32B.31C.16D.156.等差數(shù)列{an}中，an=6-2n，等比數(shù)列{bn}中，b5=a5，b7=a7，則b6=（）A.42B.-42C.±42D.無(wú)法確定7.△ABC中，若∠ABC=π/2，AB=2，BC=3，則sin∠BAC=（）A.4/5B.3/10C.5/10D.1/108.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制進(jìn)行處理的，所謂二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”，如（1101）2表示二進(jìn)制的數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的形式是1×23+1×22+0×21+1×2=13，那么將二進(jìn)制數(shù)（11...1）2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是（）{共9位}A.512B.511C.256D.2559.不等式①x2+3>3x；②a2+b2≥2(a-b-1)；③ba+≥2，其中恒成立的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③10.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（）A.0.5小時(shí)二、填空題：（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.不等式x2+x-2<0的解集為_(kāi)________。解：(-2,1)12.遞增的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，a3=a2/2，a5=3，則a6=_________。解：51.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n^2-9n，第k項(xiàng)滿(mǎn)足5<ak<8，則k=（）答案：C解析：由題意得，an=Sn-Sn-1=n^2-9n-(n-1)^2+9(n-1)=2-7n，因此5<ak<8轉(zhuǎn)化為5<2-7k<8，解得k=7。2.已知a>0，b>0，a+b=1，且α=a+3/11，β=b+4/11，則α+β的最小值為（）答案：B解析：由題意得，α+β=a+b+7/11=18/11，因此最小值為18/11÷2=9/11。3.△ABC中，三邊a，b，c的對(duì)角為A，B，C，若C=120°，c=2a，則a和b的大小關(guān)系為（）答案：B解析：由正弦定理得，b/sinB=c/sinC=2a/sin120°=2a×2/√3，因此b=4a/√3，即a:b=1:4/√3>1。4.不等式xx<x的解集為_(kāi)__________。答案：x<0或x>1解析：將不等式化簡(jiǎn)得x(x-1)<0，解得x<0或x>1。5.△ABC中，三邊a，b，c的對(duì)角為A，B，C，若a，b，c成等差數(shù)列，則角B的最大值為_(kāi)________。答案：60°解析：設(shè)公差為d，則b=a+d，c=a+2d，由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/4，因此角B的最大值為60°。6.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n*cos(π/2+nπ)，其中n為正整數(shù)。7.(I)在△ABC中，由勾股定理得AC=5。根據(jù)題意，AD=4/5*AC=4，DC=1/5*AC=1，所以BD=BC-CD=2。(II)在△CBD中，由正弦定理得sin∠CBD=BD/BC=2/3。8.(I)設(shè)等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為b1*q^(n-1)，則由題意得b2+b1*q=12，解得q=6/5。設(shè)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a1+(n-1)*d，則由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sn=n/2*(2a1+(n-1)*d)，代入已知條件得S2=2a1+3d=12-b2，代入b2的通項(xiàng)公式得2a1+3d=12-(3/5)a1，解得a1=15/7，d=6/7，所以an=15/7+(n-1)*6/7，bn=(6/5)^(n-1)。(II)根據(jù)題意，S1+S2+...+Sn=(-1)^(n-1)*(n/2)*(3n-1)，代入已知條件得111/(S1*S2*...*Sn)=111/(n*(n+1)/2*(15/7+6n/7)*(6/5)^(n-1))，化簡(jiǎn)得111/(S1*S2*...*Sn)=5*(3/2-2/(5^n))，所以S1*S2*...*Sn=111/(5*(3/2-2/(5^n)))，由于bn>0，所以Tn=S1*S2*...*Sn*b1*b2*...*bn>0，即111/(5*(3/2-2/(5^n)))*(6/5)^(n*(n-1)/2)>0，解得n<=5或n>=6，所以x的取值范圍為(-∞,0)和(3,∞)。解：根據(jù)題意，我們對(duì)文章進(jìn)行格式、內(nèi)容上的修改：解題過(guò)程：（II）解：由已知，得：$$\begin{aligned}a_4&=a_{4+m}\\a_{4+m}&=a_{4+n}\end{aligned}$$因此$a_{4+n}=a_4$，即$2m+4=4(2n+4)$，化簡(jiǎn)得$n=\frac{1}{2}(m+2)^2-2$。又因?yàn)?f(x)=\frac{1}{(x+2)^2-2}$，所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。又知$f(1)=\frac{5}{3}$，$f(2)=\frac{6}{7}$，因此$m=2$時(shí)，$n$有最小值$6$。（I）由余弦定理，得：$$\begin{aligned}\cosC&=\frac{3}{5}\\\sinC&=\frac{4}{5}\\BD^2&=BC^2+CD^2-2BC\cdotCD\cdot\cosC=3^2+1^2-2\cdot3\cdot1\cdot\frac{3}{5}=\frac{10}{5}\\BD&=\frac{2\sqrt{10}}{5}\\\sin\angleCBD&=\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{4\sqrt{10}}{25}\end{aligned}$$（II）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得：$$\begin{aligned}a_n&=3n\\b_n&=3^n\end{aligned}$$又因?yàn)?S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdotn=\frac{3+n\cdot3}{2}\cdotn=\frac{3n^2+3n}{2}$，$b_2+S_2=12$，因此$q=3$，$d=3$。所以$a_n=3n$，$b_n=3^{n-1}$。因此：$$\begin{aligned}S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{3(1-3^n)}{1-3}=-\frac{3(3^n-1)}{2}\end{aligned}$$（III）由題意，得$c_n=x(-1)^{n-1}$，因此$c_n$是首項(xiàng)為$x$，公比為$-1$的等比數(shù)列。又因?yàn)?T_n=\frac{c_1(1-(-1)^n)}{1-(-1)}=x(1-(-1)^n)$，所以$1\leqT_n=\frac{x(1-(-1)^n)}{3}\leq3$。因此，$1\leqx(1-(-1)^n)\leq9$，即$\frac{1}{3}\leq\frac{x}{3n}\leq\frac{3}{1-(-1)^n}$。當(dāng)$n$為偶數(shù)時(shí)，有：$$\begin{aligned}\frac{1}{3}\leq\frac{x}{3n}\leq\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}\leq\frac{x}{n}\leq2\end{aligned}$$因此，$x$的取值范圍為$\left[\frac{2n}{3},2n\right]$。注意：文章中修改過(guò)程中，有些地方需要加上符號(hào)，例如分?jǐn)?shù)線(xiàn)、正負(fù)號(hào)等，需要注意細(xì)節(jié)。根據(jù)題意，當(dāng)$x\leq4$時(shí)，有$1<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$，即$1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}<1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$。因?yàn)?1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$和$1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$都是常數(shù)，所以當(dāng)$1<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}$時(shí)，$x$的取值范圍為$1<x\leq3$；當(dāng)$\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}-x}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$時(shí)，$x$的取值范圍為$3\leqx<4$。因此，當(dāng)$n$為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)$1<x\leq3$時(shí)，對(duì)任意$n\inN^*$，$T_n\in[1,3]$恒成立。當(dāng)$n$為奇數(shù)時(shí)，有$1\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}-x}}<\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$，即$1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}\leq\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}-x}}<1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$。因?yàn)?1+\frac{1}{1+3^{\frac{4}{3}}}$和$1+\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}}}$都是常數(shù)，所以當(dāng)$\frac{1}{1+3^{\frac{3}{4}