Ch2-1-隨機變量分布函數(shù)及離散型課件

第二章隨機變量第一節(jié)隨機變量

一、隨機變量概念的產(chǎn)生在實際問題中，常把隨機試驗的結(jié)果用數(shù)來表示，即把試驗結(jié)果數(shù)量化，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.

1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；七月份北京的最高溫度；每天從西客站下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；2、有些試驗,可以通過用把樣本點編號的辦法,用數(shù)量來描述不同的樣本點.0反面1正面某人拋擲籃球3次可能0未中未中未中也可能1未中未中中也可能1未中中未中還可能2未中中中又可能1中未中未中還可能2中未中中還可能2中中未中另外可能3中中中3、還有許多試驗,我們往往比關(guān)心樣本點更關(guān)心試驗后的某個數(shù)量.未中未中未中未中未中中未中中未中未中中中中未中未中中未中中中中未中中中中Ω=0123這是Ω到實數(shù)軸R的一個映射如果記做X,則X把映射到X()定義2.1.1

設E是隨機試驗,Ω是其樣本空間.如果對每個Ω,總有一實數(shù)X()與之對應,則稱這個Ω到實數(shù)軸的映射(也叫Ω上的實值函數(shù))X()為E的一個隨機變量.

(randomvariable)隨機變量的定義隨機變量常簡記為r.v.

這種對應關(guān)系在數(shù)學上理解為定義了一種實值函數(shù).w.X(w)R這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？注意點(1)(1)隨機變量X()是樣本點的函數(shù)，

其定義域為，其值域為R=(，)若X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則{X=1.5}

是不可能事件.

(2)若X

為隨機變量，則

{X=k}、{a

<

Xb}、……

均為隨機事件.即{a

<

Xb}={：a

<

X()b

}注意點(2)(3)注意以下一些表達式：

{X=k}={Xk}{X<k}；{a

<

Xb}={Xb}{Xa}；{X>b}={Xb}.(4)同一樣本空間可以定義不同的隨機變量.例2

擲一顆骰子，令

X：出現(xiàn)的點數(shù)．則X就是一個隨機變量．表示擲出的點數(shù)不超過4這一隨機事件；表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機事件．它的取值為1，2，3，4，5，6．我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律

從某一學校隨機選一學生，測量他的身高.我們可以把可能的身高看作隨機變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題.

如

P{X>1.7}=？

P{X≤1.5}=?P{1.5<X<1.7}=?三、隨機變量的分布函數(shù)

設X()是一個隨機變量.稱函數(shù)

F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞

為隨機變量X的分布函數(shù).分布函數(shù)的性質(zhì)（1）a<b,總有F(a)≤F(b)(單調(diào)非減性),并且定義F(x)是r.vX取值不大于

x

的概率.證明:∵{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a},而

{X≤a}{X≤b}.

∴

P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a).

又∵P{a<X≤b}≥0,∴F(a)≤F(b).它表明隨機變量X落在區(qū)間(a,b]上的概率可以通過它的分布函數(shù)來計算.（2）xR1,總有0≤F(x)≤1(有界性),且（3）F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù)四、隨機變量的分類

常見有如下兩類：如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.…….這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.隨機變量連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量學習時請注意它們各自的特點和描述方法.

第二章第二節(jié)

離散型隨機變量

設X是一個離散型隨機變量，它可能取的值是x1,x2,….為了描述隨機變量X

，我們不僅需要知道隨機變量X的取值，而且還應知道X取每個值的概率.

這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1且其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率分布一、離散型隨機變量概率分布的定義定義1：設xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X的概率分布或分布律.或表示為X

x1

x2

……xn

……P

p1

p2

……pn

……二、表示方法（1）列表法：（2）公式法再看例1任取3個球X為取到的白球數(shù)X可能取的值0,1,2解:依據(jù)概率分布的性質(zhì):P{X=k}≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為概率分布應有這里用到了常見的冪級數(shù)展開式例2.設隨機變量X的概率分布為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.三、舉例例3.

某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取0、1、2為值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1常常表示為：這就是X的概率分布.設離散型隨機變量X的分布律為

pk:=P{X=xk},k=1,2,…,四、離散型隨機變量的分布函數(shù)X的分布函數(shù):當x<0時，{X

x}=，故F(x)=0例4，求F(x).當0x<1時，

F(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X

x}解:X的分布律為當1x<2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當x2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1F(x)=P{X

x}解:例4，求F(x).X的分布律為故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫分布函數(shù)圖對離散隨機變量的分布函數(shù)：

(1)F(x)是遞增的階梯函數(shù);

(2)其間斷點均為右連續(xù)的;

(3)其間斷點即為X的可能取值點;

(4)其間斷點的跳躍高度是對應的概率值.例5設離散型隨機變量X的分布函數(shù)為則X的概率分布為五、常見的離散型隨機變量的概率分布(I)兩點分布（0-1分布）

設E是一個只有兩種可能結(jié)果的隨機試驗,用Ω={1,

2}表示其樣本空間.P({1})=p,P({2})=1-p

來源X()=記為X~B(1,p)稱X服從參數(shù)為p的兩點分布

200件產(chǎn)品中,有196件是正品,4件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定例6

則P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

故X服從參數(shù)為0.98的兩點分布.

即X~B(1,0.98).X()=擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”一般地，設在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果：A或，或者形象地把兩個互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.新生兒：“是男孩”，“是女孩”抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”再設我們重復地進行n次獨立試驗(“重復”是指這次試驗中各次試驗條件相同)貝努里概型和二項分布(II)這樣的n次獨立重復試驗稱作n重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型.

每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.用X表示n重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則稱r.v.X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作X~B(n,p)binomial(二項式)X的概率分布是：男女X表示隨機抽查的4個嬰兒中男孩的個數(shù)，生男孩的概率為p.X可取值0,1,2,3,4.X~B(4,p)，例7

設生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).我們來求X的概率分布.例8某類燈泡使用時數(shù)在2000小時以上視為正品.已知有一大批這類的燈泡,其次品率是0.2.隨機抽出20只燈泡做壽命試驗,求這20只燈泡中恰有k只是次品的概率.解:設X為20只燈泡中次品的個數(shù),則.X~B(20,0.2)，次品數(shù)少于2的概率至少有1件次品的概率例9一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測能答對4道題以上的概率是多少？則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗．第二章隨機變量及其分布解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，退出前一頁后一頁目錄所以第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量退出前一頁后一頁目錄

一、泊松分布的定義設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().(III)泊松分布（poission

）易見Poisson分布的應用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機指標都服從Poisson分布．例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細菌數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某服務臺要求服務的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量泊松分布表附表一(P239)查P{X=5}查P{X>5}查P{X<5}查P{X≤5}查P{X≥5}例10

一家商店采用科學管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件？解:設該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設商店在月底應進某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95的最小的m.進貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P{X≤m}>0.95的最小的m.查泊松分布表得P{X>m}≤0.05也即于是得m+1=10,或m=9件歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學家泊松引入的.二、二項分布與泊松分布命題對于二項分布B(n,p),當n充分大,p又很小時,則對任意固定的非負整數(shù)k,有近似公式由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等例11

為保證設備正常工作，需要配備適量的維修人員.設共有300臺設備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理.問至少應配備多少維修人員，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?我們先對題目進行分析：

300臺設備，獨立工作，出故障概率都是0.01.一臺設備故障一人來處理.

問至少配備多少維修人員，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?

設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，300臺設備，獨立工作，每臺出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努里概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可見，

300臺設備，獨立工作，出故障概率都是0.01.一臺設備故障一人來處理.

問至少配備多少維修人員，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01設需配備N個維修人員，所求的是滿足