彈塑性力學(xué)第一章課件

彈塑性力學(xué)授課教師：龍志飛目錄

第一章緒論第二章應(yīng)力分析第三章應(yīng)變分析第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第五章線彈性力學(xué)問題的基本解法和一般性原理

7/27/20231第六章彈性力學(xué)平面問題的直角坐標(biāo)系解答第七章彈性力學(xué)平面問題的極坐標(biāo)系解答第八章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第九章空間軸對(duì)稱問題第十章彈性力學(xué)問題的能量原理第十一章塑性力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)彈塑性力學(xué)

7/27/202321.徐芝綸，彈性力學(xué)：上冊(cè).第三版,高等教育出版社.1990年2.陸明萬.羅學(xué)富,彈性理論基礎(chǔ),清華大學(xué)出版社.1990年3.杜慶華.余壽文.姚振漢,彈性理論,科學(xué)出版社.1986年4.王龍甫,彈性理論.第二版,科學(xué)出版社.1984年5.吳家龍,彈性力學(xué)：高等教育出版社.2019年參考書目

7/27/20233§1-1彈塑性力學(xué)的任務(wù)和對(duì)象第一章緒論§1-2基本假設(shè)和基本規(guī)律§1-3彈性力學(xué)的研究方法§1-4彈性力學(xué)的發(fā)展梗概（略）

§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、張量基本知識(shí)

7/27/20234§1-1彈塑性力學(xué)的任務(wù)和對(duì)象1.1

任務(wù)：彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，它是研究可變形固體當(dāng)受到外部因素（如載荷作用、溫度變化、邊界約束移動(dòng)等）作用時(shí)，研究變形固體的變化和內(nèi)力，為保證變形體或結(jié)構(gòu)在使用周期內(nèi)有足夠的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性，提供設(shè)計(jì)和施工（制造）的依據(jù)。7/27/20235§1-1彈塑性力學(xué)的任務(wù)和對(duì)象彈塑性力學(xué)是根據(jù)固體材料受外因作用時(shí)所呈現(xiàn)的彈性與塑性性質(zhì)而命名。它們是固體材料變化過程的兩個(gè)階段。7/27/20236§1-1彈塑性力學(xué)的任務(wù)和對(duì)象當(dāng)外部因素作用時(shí)，固體發(fā)生變形，如果當(dāng)外因去掉，變形體恢復(fù)原樣（狀），稱固體（材料）處于彈性性質(zhì)，

單值；7/27/20237§1-1彈塑性力學(xué)的任務(wù)和對(duì)象如果當(dāng)外因去掉，變形體未能恢復(fù)原狀并存在永久變形，變形固體在外因作用時(shí)已進(jìn)入塑性階段，

曲線不是單值函數(shù)。當(dāng)然變形體常遇到在物體某一局部處于彈性、而另一區(qū)域處于塑性狀態(tài)，彈塑性交織在一起。7/27/20238§1-1彈塑性力學(xué)的任務(wù)和對(duì)象1.2研究的對(duì)象：

材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)是大學(xué)的主干課程，它們也是固體力學(xué)中較基本的力學(xué)課程。在許多工程設(shè)計(jì)中，工程師運(yùn)用它們進(jìn)行設(shè)計(jì)和計(jì)算，但它們研究的對(duì)象單一：桿件型構(gòu)件或桿系結(jié)構(gòu)，（一維問題），具有局限性。7/27/20239§1-1彈塑性力學(xué)的任務(wù)和對(duì)象1.2研究的對(duì)象：

彈塑性力學(xué)研究的對(duì)象就廣泛的多，除了桿件外，二維、三維實(shí)體結(jié)構(gòu)、板、殼結(jié)構(gòu)。所以彈塑性理論基本方程要復(fù)雜的多，具有一般性。

7/27/202310§1-2基本假設(shè)和基本規(guī)律2.1基本假設(shè)假設(shè)1：固體材料是連續(xù)的介質(zhì)，即固體體積內(nèi)處處充滿介質(zhì)，沒有任何間隙。從材料的微觀看此假設(shè)不正確。因?yàn)榱Ｗ娱g有空隙，但從宏觀上看作為整體進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)，假設(shè)1是成立的。假設(shè)1的目的：變形體的各物理量為連續(xù)函數(shù)（坐標(biāo)函數(shù)）。7/27/202311§1-2基本假設(shè)和基本規(guī)律假設(shè)2：物體的材料是均勻的。認(rèn)為物體內(nèi)各點(diǎn)的材料性質(zhì)相同（力學(xué)特性相同），所以從物體內(nèi)任一部分中取出微元體進(jìn)行研究，它的力學(xué)性質(zhì)代表了整個(gè)物體的力學(xué)性質(zhì)。7/27/202312§1-2基本假設(shè)和基本規(guī)律假設(shè)3：小變形假設(shè)。物體在外因作用下，物體產(chǎn)生的變形與其本身幾何尺寸相比很小。假設(shè)4：應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為線性。此假設(shè)適用于線彈性理論。7/27/202313§1-2基本假設(shè)和基本規(guī)律2.2基本規(guī)律完成彈塑性力學(xué)任務(wù)所要遵循的三個(gè)基本規(guī)律（或應(yīng)滿足的三方面的條件）：1.

平衡規(guī)律：固體受到外力與自身的內(nèi)力要滿足平衡方程，在彈性理論中它們?yōu)槲⒎址匠蹋?個(gè)）。7/27/202314§1-2基本假設(shè)和基本規(guī)律2.

幾何連續(xù)性規(guī)律：要求變形前連續(xù)的物體，變形后仍為連續(xù)物體，由這個(gè)規(guī)律建立幾何方程（6個(gè)）或變形協(xié)調(diào)方程，均為微分方程。7/27/202315§1-2基本假設(shè)和基本規(guī)律3.物理（本構(gòu)）關(guān)系：應(yīng)力（內(nèi)力）與應(yīng)變（變形）之間的關(guān)系，據(jù)材料的不同性質(zhì)來建立，最常見的為各向同性材料。在線彈性中本構(gòu)方程為線性代數(shù)方程（6個(gè)）。7/27/202316§1-3彈性力學(xué)的研究方法數(shù)學(xué)方法：精確解法（解析解）、近似解法、數(shù)值解法。實(shí)驗(yàn)方法：電測(cè)方法、光測(cè)方法等?！?-4彈性力學(xué)的發(fā)展梗概（略）7/27/202317§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、張

量基本知識(shí)

由于彈性力學(xué)研究對(duì)象的普遍性，導(dǎo)致方程也較繁雜，推導(dǎo)也同樣復(fù)雜，為了使得公式表示簡(jiǎn)捷，近幾十年彈性力學(xué)的論述及方程列式采用指標(biāo)符號(hào)表示。為了這一原因，這里也簡(jiǎn)單介紹一些基本概念。這些符號(hào)或公式都是在笛卡爾坐標(biāo)系中采用。

7/27/202318§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)

5.1力學(xué)中常用的物理量1.標(biāo)量：只有大小、沒有方向性的物理量，與坐標(biāo)系選擇無關(guān)。用字母表示，如溫度T、時(shí)間t、密度

等。標(biāo)量無下標(biāo)。7/27/202319§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)

2.

矢量：有大小，又有方向性的物理量

矢量的符號(hào)記法。

如矢徑

（或黑體）、位移

、力

等，

矢量也可以用它的標(biāo)量表示：

x1

x3

x2r7/27/202320§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、張

量基本知識(shí)

其中

、、為坐標(biāo)的基方向（單位向量），r1、r2、r3為r在坐標(biāo)軸的投影（分量），都有一個(gè)下標(biāo)。x1

x3

x2r7/27/202321§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)

3.

張量：有大小，并具有多重方向性的量每個(gè)分量用一個(gè)標(biāo)量（具有兩個(gè)下標(biāo)）與兩個(gè)并在一起基矢量（并矢），稱為二階張量。矢量可稱為一階張量，標(biāo)量為零階張量。

如應(yīng)力

、應(yīng)變，張量的符號(hào)記法。7/27/202322§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)

5.2求和約定在張量表示說明中，看到張量分量表示是一組符號(hào)之和，很長(zhǎng)，特別是高階張量，為了書寫簡(jiǎn)捷，采用求和約定。求和約定：當(dāng)在同一項(xiàng)中，有一個(gè)下標(biāo)字母出現(xiàn)兩次時(shí)，則表示該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和，且稱此種在同一項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)一次的下標(biāo)為啞標(biāo)。

7/27/202323§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)啞標(biāo)如：由于啞標(biāo)i僅表示要遍歷求和，因此啞標(biāo)可以成對(duì)的任意換標(biāo)。

7/27/202324§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)5.3自由指標(biāo)一個(gè)表達(dá)式中如果出現(xiàn)非重復(fù)的標(biāo)號(hào)或一個(gè)方程每項(xiàng)中出現(xiàn)非重復(fù)的而且為相同字母的指標(biāo)，稱為自由指標(biāo)。矢徑r

的表示：

矢徑的三個(gè)分量為ri

(i=1,2,3)，用ri表示矢徑；同樣位移矢量u，用ui表示位移，ij

表示應(yīng)力

張量。7/27/202325§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)i為自由指標(biāo)，取i=1,2,3表示三個(gè)方程。

j為啞指標(biāo)，表示求和。

7/27/202326§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)5.4克羅內(nèi)克符號(hào)

ij

（Kroneckerdelta）

定義：ij（i,j為自由指標(biāo)）共有九個(gè)分量，

i,j各取1—3。

7/27/202327§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、張

量基本知識(shí)由

ij

定義9個(gè)元素組成矩陣為單位陣：ij符號(hào)的應(yīng)用

笛卡爾坐標(biāo)系的基向量的點(diǎn)積

7/27/202328§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)由

ij定義及啞標(biāo)、自由標(biāo)定義，可得：7/27/202329§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)如果

ij

符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)中有一個(gè)指標(biāo)和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)替換成ij的另一個(gè)指標(biāo)，而

ij

自動(dòng)消失。ij

也稱為換標(biāo)符號(hào)。兩個(gè)任意向量點(diǎn)積

7/27/202330§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)5.5排列符號(hào)（levi－civtita）eijk定義：

eijk(i,j,k=1,2,3)

共有27個(gè)元素。

7/27/202331§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)排列符號(hào)的作用可以簡(jiǎn)化公式書寫，如：

1．

三階行列式：

（共六項(xiàng)，三項(xiàng)為正，三項(xiàng)為負(fù)）。

7/27/202332§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)2.基向量的叉積：右手系

任意基向量的叉積可寫為

7/27/202333§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)3．向量叉積的展開式：

而

7/27/202334§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)

得

7/27/202335§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)5.6梯度（grad）、散度（div）、旋度rot或curl）：1．標(biāo)量場(chǎng)的梯度：標(biāo)量場(chǎng)(xi,)

的梯度為：

標(biāo)量場(chǎng)：=(x1,x2,x3)=(xi,)

7/27/202336§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)標(biāo)量場(chǎng)(xi,)

的梯度為：

其中

7/27/202337§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量場(chǎng)，類推矢量場(chǎng)的梯度為二階張量。標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向與等值面(xi,)=C垂直，大小為(xi,)在其法線方向上的方向?qū)?shù)7/27/202338§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)2．矢量場(chǎng)的散度：

矢量

定義向量場(chǎng)的散度為

或

類推對(duì)張量場(chǎng)也可得它的散度。

7/27/202339§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)3．矢量場(chǎng)的旋度：矢量

，定義向量場(chǎng)的旋度為7/27/202340§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)4．拉普拉斯算子（laplaceopertor）：標(biāo)量場(chǎng)中的拉普拉斯算子定義為標(biāo)量場(chǎng)(xi,)的梯度的散度，是一個(gè)標(biāo)量，7/27/202341§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)標(biāo)量場(chǎng)(xi,)的梯度的散度，是一個(gè)標(biāo)量7/27/202342§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)

矢量場(chǎng)的拉普拉斯算子定義為矢量場(chǎng)的梯度的散度：是一個(gè)向量

7/27/202343§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)7/27/202344§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)7/27/202345§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)5.7高斯（Gauss）公式（散度定理）：矢量場(chǎng)

定義在三維域V內(nèi)，S為V的表面。在表面上任一微元面dS，單位外法線為（）。若

在V＋S上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：7/27/202346§1-5笛卡爾坐標(biāo)系下的矢量、

張量基本知識(shí)矢量場(chǎng)散度的體積