2023年河南省南陽市鎮(zhèn)平縣六校聯(lián)考中考數(shù)學三模試卷（含解析）

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一、選擇題（每小題3分，共30分）

1．（3分）下列四個實數(shù)1，﹣3，，﹣π中，最小的實數(shù)是（）

A．1B．﹣3C．D．﹣π

2．（3分）如圖所示的幾何體的左視圖是（）

A．B．

C．D．

3．（3分）2022年3月23日，“天宮課堂”第二課在中國空間站開講，神舟十三號三位航天員進行授課，央視新聞全程直播，某一時刻觀看人數(shù)達到379.2萬，“379.2萬”用科學記數(shù)法可以表示為（）

A．3792×103B．379.2×104C．3.792×106D．0.3792×107

4．（3分）在一個箱子內(nèi)放有同種規(guī)格的乒乓球若干個．已知白球有30個，攪勻后隨機摸取，若摸到白球的概率（頻率）為0.3．則箱子內(nèi)的乒乓球大約有（）

A．90個B．97個C．100個D．103個

5．（3分）下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)2+a2＝a4B．（a﹣b）2＝a2+b2

C．（﹣a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1D．（a3）4＝a7

6．（3分）小明得到數(shù)學課外興趣小組成員的年齡情況統(tǒng)計如表，那么對于不同x的值，則下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生變化的是（）

年齡（歲）13141516

人數(shù)（人）215x10﹣x

A．平均數(shù)、方差B．中位數(shù)、方差

C．平均數(shù)、中位數(shù)D．眾數(shù)、中位數(shù)

7．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點P（2x﹣1，x+3）關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標在第四象限內(nèi)，則x的取值范圍是（）

A．B．C．D．x＞﹣3

8．（3分）關(guān)于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．沒有實數(shù)根D．不能確定

9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．按以下步驟作圖：①以點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分別交邊AB，AC于點M，N；②分別以點M和點N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在△ABC內(nèi)交于點P；③作射線AP交邊BC于點Q．若△ABQ的面積為50，AB＝20，則CQ的長為（）

A．B．5C．7D．10

10．（3分）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝60°，點D是BC邊上的中點，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，沿A→B→D的路徑以每秒1個單位長度的速度勻速運動到點D．線段DP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，點N是曲線部分的最低點，則△ABC的面積為（）

A．4B．C．8D．

二、填空題（每小題3分，共15分）

11．（3分）若代數(shù)式無意義，則實數(shù)x的值是．

12．（3分）請寫出一個函數(shù)解析式，使它符合條件“當x＞0時，y隨x的增大而增大”．

13．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0根的判別式的值為．

14．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，以BC為直徑作半圓（如圖1），點P為邊CD上一點．將矩形沿BP折疊，使得點C的對應點E恰好落在邊AD上（如圖2），則陰影部分周長是．

15．（3分）折紙活動中含有大量數(shù)學知識，已知四邊形ABCD是一張正方形彩紙．在一次折紙過程中，我們首先通過兩次對折，得到了對開（二分之一）折痕EI和四開（四分之一）折痕KJ．然后將A，D分別沿EF，EG折疊到點H，并使H剛好落在KJ上，已知BF＝6﹣3，則FG的長度為．

三、解答題（本大題8個小題，共75分）

16．（10分）（1）計算：|﹣3|+﹣（π﹣3）0+（﹣2）；

（2）先化簡再求值：，其中x＝3．

17．（9分）為了提高學生書寫漢字的能力，增強保護漢字的意識，我市舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”，經(jīng)選拔后有50名學生參加決賽，這50名學生同時聽寫50個漢字，若每正確聽寫出一個漢字得1分，根據(jù)測試成績繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖如圖表：

組別成績x分頻數(shù)（人數(shù)）

第1組25≤x＜304

第2組30≤x＜358

第3組35≤x＜4016

第4組40≤x＜45a

第5組45≤x＜5010

請結(jié)合圖表完成下列各題：

（1）求表中a的值；

（2）請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；

（3）若測試成績不低于40分為優(yōu)秀，則本次測試的優(yōu)秀率是多少？

（4）第5組10名同學中，有4名男同學，現(xiàn)將這10名同學平均分成兩組進行對抗練習，且4名男同學每組分兩人，求小宇與小強兩名男同學能分在同一組的概率．

18．（9分）如圖，已知y1與x的函數(shù)解析式為；一次函數(shù)y2＝ax+b與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點．

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫出使y1＞y2成立的x的取值范圍是；

（3）連接OA、OB，求△OAB的面積．

19．（9分）如圖1是某工廠生產(chǎn)的某種多功能兒童車，根據(jù)需要可變形為滑板車或三輪車，圖2、圖3是其示意圖，已知前后車輪半徑相同，車桿AB的長為60cm，點D是AB的中點，前支撐板DE＝30cm，后支撐板EC＝40cm，車桿AB與BC所成的∠ABC＝53°．

（1）如圖2，當支撐點E在水平線BC上時，支撐點E與前輪軸心B之間的距離BE的長；

（2）如圖3，當座板DE與地面保持平行時，問變形前后兩軸心BC的長度有沒有發(fā)生變化？若不變，請通過計算說明；若變化，請求出變化量．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

20．（9分）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，三名航天員平安歸來，神舟十三號任務取得圓滿成功．飛箭航模店看準商機，推出了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“神舟”模型的成本比“天宮”模型多10元，同樣花費100元，購進“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多5個．

（1）“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

（2）飛箭航模店計劃購買兩種模型共200個，且每個“神舟”模型的售價為30元，“天宮”模型的售價為15元．設購買“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．

①求w與a的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出a的取值范圍）；

②若購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

21．（9分）如圖，有兩塊量角器完全重合在一起（量角器的直徑AB＝4，圓心為O），保持下面一塊不動，上面的一塊沿AB所在的直線向右平移，當圓心與點B重合時，量角器停止平移，此時半⊙O與半⊙B交于點P，連接AP．

（1）AP與半⊙B有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．

（2）在半⊙O的量角器上，A、B點的讀數(shù)分別為180°、0°時，問點P在這塊量角器上的讀數(shù)是多少？

（3）求圖中陰影部分的面積．

22．（10分）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米，下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根據(jù)上述信息，解決以下問題：

（1）在如下網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并根?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為m米，則m＝；

（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過，如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．

23．（10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜邊AB上的中線，點E為射線BC上一點，將△BDE沿DE折疊，點B的對應點為點F．

（1）若DF⊥BC，垂足為G，點F與點D在直線CE的異側(cè)，連接CF．如圖2，判斷四邊形ADFC的形狀，并說明理由；

（2）若DF⊥AB，AC＝2，則DE的長度為．

2023年河南省南陽市鎮(zhèn)平縣六校聯(lián)考中考數(shù)學三模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1．（3分）下列四個實數(shù)1，﹣3，，﹣π中，最小的實數(shù)是（）

A．1B．﹣3C．D．﹣π

【分析】正數(shù)＞0＞負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而??；據(jù)此進行判斷即可．

【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣|＝，|﹣π|＝π，π＞3＞，

∴1＞﹣＞﹣3＞﹣π，

則最小的實數(shù)為：﹣π，

故選：D．

【點評】本題考查實數(shù)的大小比較，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．

2．（3分）如圖所示的幾何體的左視圖是（）

A．B．

C．D．

【分析】根據(jù)從左面看得到的圖形是左視圖，可得答案．

【解答】解：該幾何體的左視圖如圖所示：

．

故選：D．

【點評】此題主要考查了簡單組合體的三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．

3．（3分）2022年3月23日，“天宮課堂”第二課在中國空間站開講，神舟十三號三位航天員進行授課，央視新聞全程直播，某一時刻觀看人數(shù)達到379.2萬，“379.2萬”用科學記數(shù)法可以表示為（）

A．3792×103B．379.2×104C．3.792×106D．0.3792×107

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)．

【解答】解：379.2萬＝3792000＝3.792×106，

故選：C．

【點評】此題主要考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．

4．（3分）在一個箱子內(nèi)放有同種規(guī)格的乒乓球若干個．已知白球有30個，攪勻后隨機摸取，若摸到白球的概率（頻率）為0.3．則箱子內(nèi)的乒乓球大約有（）

A．90個B．97個C．100個D．103個

【分析】直接利用白球的各數(shù)除以摸到白球的概率（頻率）為0.3，即可得出答案．

【解答】解：∵已知白球有30個，攪勻后隨機摸取，摸到白球的概率（頻率）為0.3，

∴箱子內(nèi)的乒乓球大約有：30÷0.3＝100（個），

故選：C．

【點評】此題主要考查了概率的意義，正確理解概率求法是解題關(guān)鍵．

5．（3分）下列運算正確的是（）

A．a(chǎn)2+a2＝a4B．（a﹣b）2＝a2+b2

C．（﹣a+1）（﹣a﹣1）＝a2﹣1D．（a3）4＝a7

【分析】根據(jù)合并同類項運算法則判斷A，根據(jù)完全平方公式判斷B，根據(jù)平方差公式判斷C，根據(jù)冪的乘方運算法則判斷D．

【解答】解：A、原式＝2a2，故此選項不符合題意；

B、原式＝a2﹣2ab+b2，故此選項不符合題意；

C、原式＝a2﹣1，故此選項符合題意；

D、原式＝a12，故此選項不符合題意；

故選：C．

【點評】本題考查整式的混合運算，掌握冪的乘方（am）n＝amn運算法則，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解題關(guān)鍵．

6．（3分）小明得到數(shù)學課外興趣小組成員的年齡情況統(tǒng)計如表，那么對于不同x的值，則下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生變化的是（）

年齡（歲）13141516

人數(shù)（人）215x10﹣x

A．平均數(shù)、方差B．中位數(shù)、方差

C．平均數(shù)、中位數(shù)D．眾數(shù)、中位數(shù)

【分析】由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為10，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第14個數(shù)據(jù)，可得答案．

【解答】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數(shù)和為x+10﹣x＝10，

則總?cè)藬?shù)為：2+15+10＝27，

故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為14歲，中位數(shù)為14歲，

即對于不同的x，關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，

故選：D．

【點評】本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計算方法是解題的關(guān)鍵．

7．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點P（2x﹣1，x+3）關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標在第四象限內(nèi)，則x的取值范圍是（）

A．B．C．D．x＞﹣3

【分析】讓橫縱坐標均互為相反數(shù)可得P點關(guān)于原點的對稱點的坐標，然后根據(jù)第四象限點的坐標特征列出不等式組并解答．

【解答】解：點P（2x﹣1，x+3）關(guān)于原點成中心對稱的點的坐標為（﹣2x+1，﹣x﹣3），

根據(jù)題意，得．

解得．

故選：B．

【點評】本題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握第四象限內(nèi)點的坐標特征．

8．（3分）關(guān)于x的方程2x2﹣mx﹣3＝0的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．沒有實數(shù)根D．不能確定

【分析】先計算根的判別式的值，利用非負數(shù)的性質(zhì)得到Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況．

【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣3）＝m2+24＞0，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．

故選：A．

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．

9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．按以下步驟作圖：①以點A為圓心、適當長為半徑畫弧，分別交邊AB，AC于點M，N；②分別以點M和點N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在△ABC內(nèi)交于點P；③作射線AP交邊BC于點Q．若△ABQ的面積為50，AB＝20，則CQ的長為（）

A．B．5C．7D．10

【分析】作QH⊥AB于H，如圖，利用基本作圖得到AQ平分∠BAC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到QH＝QC＝5，然后根據(jù)三角形面積公式計算．

【解答】解：作QH⊥AB于H，如圖，

由作法得AQ平分∠BAC，

而QC⊥AC，QH⊥AB，

∴QH＝QC

∴△ABQ的面積＝×20×QH＝50，

∴QH＝CQ＝5．

故選：B．

【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了角平分線的性質(zhì)．

10．（3分）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝60°，點D是BC邊上的中點，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，沿A→B→D的路徑以每秒1個單位長度的速度勻速運動到點D．線段DP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象如圖2所示，點N是曲線部分的最低點，則△ABC的面積為（）

A．4B．C．8D．

【分析】由函數(shù)圖象可知AD＝4，當DP⊥AC時，AP＝2，然后利用勾股定理求得DP長的最小值，可得∠BAD＝60°，進而結(jié)合∠B＝60°，得△ABD是等邊三角形，然后得點P是AB的中點，最后結(jié)合點D是BC的中點求△ABC的面積．

【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當x＝0時，即DP⊥AB，y最小，

∴AD＝4，AP＝2，

∴DP＝2，AD＝4，

∴∠ADP＝60°，∠DAP＝30°，

∵∠B＝60°，

∴BD＝＝，

∵點D是BC的中點，

∴BC＝，

∴S△ABC＝BDAD＝．

故選：D．

【點評】本題考查了垂線段最短、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．

二、填空題（每小題3分，共15分）

11．（3分）若代數(shù)式無意義，則實數(shù)x的值是3．

【分析】根據(jù)分式無意義的條件得出3﹣x＝0，再求出答案即可．

【解答】解：要使代數(shù)式無意義，必須3﹣x＝0，

解得：x＝3．

故答案為：3．

【點評】本題考查了分式有意義的條件，能熟記分式有意義的條件是解此題的關(guān)鍵，注意：當分母B＝0時，式子無意義．

12．（3分）請寫出一個函數(shù)解析式y(tǒng)＝2x+3，使它符合條件“當x＞0時，y隨x的增大而增大”．

【分析】根據(jù)y隨x的增大而增大可得k＞0，寫一個一次函數(shù)即可．

【解答】解：∵y隨x的增大而增大，

∴k＞0，

∴y＝2x+3，

故答案為：y＝2x+3．

【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0），k＞0時，y隨x的增大而增大．

13．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0根的判別式的值為1．

【分析】利用一元二次方程根的判別式（Δ＝b2﹣4ac）進行計算即可得出答案．

【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝0，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1﹣0＝1．

故答案為：1．

【點評】本題主要考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．

14．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，以BC為直徑作半圓（如圖1），點P為邊CD上一點．將矩形沿BP折疊，使得點C的對應點E恰好落在邊AD上（如圖2），則陰影部分周長是π+4．

【分析】根據(jù)折疊和直角三角形的邊角關(guān)系可求出∠ABE＝45°，進而求出陰影部分所在圓心角的度數(shù)為90°，求出和BF的長再進行計算即可．

【解答】解：設半圓的圓心為O，

∵將矩形沿BP折疊，使得點C的對應點E恰好落在邊AD上，

∴BE＝BC＝AD＝4，

∵∠A＝90°，

∴AE＝＝4，

∴AB＝AE＝4，

∴∠ABE＝∠AEB＝45°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠OBF＝45°，

∵OB＝OF，

∴∠FBO＝∠BFO＝45°，

∴∠BOF＝90°，

∴BF＝OB＝4，

∴的長度為＝π，

∴陰影部分周長是π+4，

故答案為：π+4．

【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧長的計算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

15．（3分）折紙活動中含有大量數(shù)學知識，已知四邊形ABCD是一張正方形彩紙．在一次折紙過程中，我們首先通過兩次對折，得到了對開（二分之一）折痕EI和四開（四分之一）折痕KJ．然后將A，D分別沿EF，EG折疊到點H，并使H剛好落在KJ上，已知BF＝6﹣3，則FG的長度為4．

【分析】由折疊得到對應角相等，對應邊相等，再由折疊得到EDEK與正方形的邊長的關(guān)系，轉(zhuǎn)化到直角三角形EHK中，由特殊的邊角關(guān)系可得ZEHK﹣30，從而得到特殊銳角的直角三角形，通過解特殊銳角的直角三角形，求出邊長即可．

【解答】解：由折疊得：∠AEF＝∠HEF，∠DEG＝∠HEG，EK＝KD＝a，ED＝EH＝a，

∴∠FEG＝平角＝90°，

在Rt△EHK中，EK＝a，EH＝a，

∴∠EHK＝30°，

∴∠HEK＝90°﹣30°＝60°，

∴∠DEG＝∠HEG＝30°，

∴∠DGE＝∠HGE＝60°，

在△EFG中，∠FEG＝90°，∠HEG＝30°，

∴∠EFG＝90°﹣60°＝30°，

∴∠EFG＝∠EFA＝30°，

在Rt△AEF中，AF＝AE＝a＝a，

∵BF＝6﹣3，

∴6﹣3＝a﹣a，

解得a＝6，

在Rt△DGE中，∠GED＝30°，ED＝a，

∴EG＝＝＝a，

在Rt△FGE中，∠EFG＝30°，EG＝a，

∴FG＝2EG＝a＝×6＝4．

故答案為：4．

【點評】考查軸對稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及特殊銳角的直角三角形的邊角關(guān)系等知識，理解折疊將問題轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，通過解這個特殊銳角的直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．

三、解答題（本大題8個小題，共75分）

16．（10分）（1）計算：|﹣3|+﹣（π﹣3）0+（﹣2）；

（2）先化簡再求值：，其中x＝3．

【分析】（1）分別根據(jù)絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的運算法則及數(shù)的開方法則計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可；

（2）先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．

【解答】解：（1）原式＝3+2﹣1﹣2

＝2；

（2）原式＝

＝．

當x＝3時，原式＝＝4．

【點評】本題考查的是分式的化簡求值及實數(shù)的運算，絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的運算法則及數(shù)的開方法則，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．

17．（9分）為了提高學生書寫漢字的能力，增強保護漢字的意識，我市舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”，經(jīng)選拔后有50名學生參加決賽，這50名學生同時聽寫50個漢字，若每正確聽寫出一個漢字得1分，根據(jù)測試成績繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖如圖表：

組別成績x分頻數(shù)（人數(shù)）

第1組25≤x＜304

第2組30≤x＜358

第3組35≤x＜4016

第4組40≤x＜45a

第5組45≤x＜5010

請結(jié)合圖表完成下列各題：

（1）求表中a的值；

（2）請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；

（3）若測試成績不低于40分為優(yōu)秀，則本次測試的優(yōu)秀率是多少？

（4）第5組10名同學中，有4名男同學，現(xiàn)將這10名同學平均分成兩組進行對抗練習，且4名男同學每組分兩人，求小宇與小強兩名男同學能分在同一組的概率．

【分析】（1）用總?cè)藬?shù)減去第1、2、3、5組的人數(shù)，即可求出a的值；

（2）根據(jù)（1）得出的a的值，補全統(tǒng)計圖；

（3）用成績不低于40分的頻數(shù)乘以總數(shù)，即可得出本次測試的優(yōu)秀率；

（4）用A表示小宇，B表示小強，C、D表示其他兩名同學，畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式列式計算即可．

【解答】解：（1）表中a的值是：

a＝50﹣4﹣8﹣16﹣10＝12；

（2）根據(jù)題意畫圖如下：

（3）本次測試的優(yōu)秀率是＝0.44．

答：本次測試的優(yōu)秀率是0.44；

（4）用A表示小宇，B表示小強，C、D表示其他兩名同學，根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

共有12種情況，小宇與小強兩名男同學分在同一組的情況有4種，

則小宇與小強兩名男同學分在同一組的概率是＝．

【點評】本題考查了頻數(shù)分布直方圖和概率，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

18．（9分）如圖，已知y1與x的函數(shù)解析式為；一次函數(shù)y2＝ax+b與反比例函數(shù)的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點．

（1）求一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫出使y1＞y2成立的x的取值范圍是0＜x＜1或x＞3；

（3）連接OA、OB，求△OAB的面積．

【分析】（1）把A（1，6）代入，求出k，得到反比例函數(shù)解析式，再求出n，得到B點坐標．將A、B兩點坐標代入y2＝ax+b，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；

（2）找出反比例函數(shù)圖象落在一次函數(shù)圖象上方的部分對應的自變量的取值范圍即可；

（3）設y2＝﹣2x+8的圖象與y軸交于點C，求出OC＝8，根據(jù)S△OAB＝S△OBC﹣S△OAC，即可求解．

【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象過點A（1，6），B（3，n）兩點，

∴k＝1×6＝6，

∴反比例函數(shù)解析式為y1＝，

∴3n＝6，解得n＝2．

∵一次函數(shù)y2＝ax+b的圖象過A（1，6），B（3，2），

∴，解得，

∴一次函數(shù)的解析式為y2＝﹣2x+8；

（2）由圖象可知，使y1＞y2成立的x的取值范圍是0＜x＜1或x＞3．

故答案為：0＜x＜1或x＞3；

（3）如圖，設y2＝﹣2x+8的圖象與y軸交于點C．

令x＝0，則y＝8，

∴OC＝8，

∴S△OAB＝S△OBC﹣S△OAC

＝×8×3﹣×8×1

＝12﹣4

＝8．

【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積．利用了數(shù)形結(jié)合思想．

19．（9分）如圖1是某工廠生產(chǎn)的某種多功能兒童車，根據(jù)需要可變形為滑板車或三輪車，圖2、圖3是其示意圖，已知前后車輪半徑相同，車桿AB的長為60cm，點D是AB的中點，前支撐板DE＝30cm，后支撐板EC＝40cm，車桿AB與BC所成的∠ABC＝53°．

（1）如圖2，當支撐點E在水平線BC上時，支撐點E與前輪軸心B之間的距離BE的長；

（2）如圖3，當座板DE與地面保持平行時，問變形前后兩軸心BC的長度有沒有發(fā)生變化？若不變，請通過計算說明；若變化，請求出變化量．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【分析】（1）如圖1，過點D作DF⊥BE于點F，由題意知BD＝DE＝30cm，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；

（2）如圖2，過點D作DM⊥BC于M，過點E作EN⊥BC于點N，由題意知四邊形DENM是矩形，求得MN＝DE＝30cm，解直角三角形即可得到結(jié)論．

【解答】解：（1）如圖1，過點D作DF⊥BE于點F，

由題意知BD＝DE＝30cm，

∴BF＝BDcos∠ABC＝30×＝18（cm），

∴BE＝2BF＝36（cm）．

（2）如圖2，過點D作DM⊥BC于M，過點E作EN⊥BC于點N，

由題意知四邊形DENM是矩形，

∴MN＝DE＝30cm，

在Rt△DBM中，BM＝BDcos∠ABC＝30×＝18（cm），EN＝DM＝BDsin∠ABC＝30×＝24（cm），

在Rt△CEN中，CE＝40cm，

∴由勾股定理可得CN＝＝＝32（cm），

則BC＝18+30+32＝80（cm），

原來BC＝36+40＝76（cm），

80﹣76＝4（cm），

∴變形前后兩軸心BC的長度增加了4cm．

【點評】本題主要考查解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意構(gòu)建出合適的直角三角形，并熟練掌握三角函數(shù)的應用

20．（9分）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸，三名航天員平安歸來，神舟十三號任務取得圓滿成功．飛箭航模店看準商機，推出了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“神舟”模型的成本比“天宮”模型多10元，同樣花費100元，購進“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多5個．

（1）“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？

（2）飛箭航模店計劃購買兩種模型共200個，且每個“神舟”模型的售價為30元，“天宮”模型的售價為15元．設購買“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．

①求w與a的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出a的取值范圍）；

②若購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的，則購進“神舟”模型多少個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【分析】（1）根據(jù)總數(shù)，設立未知數(shù)，建立分式方程，即可求解．

（2）①設“神舟”模型a個，則“天宮”模型為（200﹣a）個，根據(jù)利潤關(guān)系即可表示w與a的關(guān)系式．

②根據(jù)購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的，即可找到a的取值范圍，利用一次函數(shù)性質(zhì)即可求解．

【解答】解：（1）設“天宮”模型成本為每個x元，則“神舟”模型成本為每個（x+10）元．

依題意得．

解得x＝10．

經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解．

答：“天宮”模型成本為每個10元，“神舟”模型每個20元；

（2）①∵“神舟”模型a個，則“天宮”模型為（200﹣a）個．

∴w＝（30﹣20）a+（15﹣10）（200﹣a）＝5a+1000．

②∵購進“神舟”模型的數(shù)量不超過“天宮”模型數(shù)量的．

∴．

解得：a≤50．

∵w＝5a+1000．k＝5＞0．

∴當a＝50時，wmax＝5×50+1000＝1250（元）．

即：購進“神舟”模型50個時，銷售這批模型可以獲得利潤．最大利潤為1250元．

【點評】本題考查了分式方程、一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，建立方程，不等式，函數(shù)模型．

21．（9分）如圖，有兩塊量角器完全重合在一起（量角器的直徑AB＝4，圓心為O），保持下面一塊不動，上面的一塊沿AB所在的直線向右平移，當圓心與點B重合時，量角器停止平移，此時半⊙O與半⊙B交于點P，連接AP．

（1）AP與半⊙B有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．

（2）在半⊙O的量角器上，A、B點的讀數(shù)分別為180°、0°時，問點P在這塊量角器上的讀數(shù)是多少？

（3）求圖中陰影部分的面積．

【分析】（1）連接PB．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求得∠APB＝90°，進而證得AP切半⊙B于點P；

（2）連接OP．則有△OPB為正三角形，從而求得點P在這塊量角器上的讀數(shù)是60°；

（3）根據(jù)S陰影＝S扇形PBC﹣（S扇形POB﹣S正△POB），即可求得；

【解答】解：（1）AP與半⊙B相切；

理由如下：

連接PB．

∵AB為半⊙O的直徑，

∴∠APB＝90°，

即AP切半⊙B于點P．

（2）連接OP．則△OPB為正三角形，

則∠POB＝60°．

即點P在這塊量角器上的讀數(shù)為60°．

（3）∵S陰影＝S扇形PBC﹣（S扇形POB﹣S正△POB），

又∵∠POB＝60°，∠PBO＝60°，

∴∠PBC＝120°，而正△POB的邊長為2．

即．

【點評】本題考查了切線的判定，圓周角的定理，扇形面積的計算，正三角形面積的計算，圓周角定理和切線的判定定理是本題的關(guān)鍵；

22．（10分）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米，下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根據(jù)上述信息，解決以下問題：

（1）在如下網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⒏鶕?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為m米，則m＝1.5；

（3）現(xiàn)公園想