第6章拉普拉斯方程和格林函數(shù)法課件

6.1拉普拉斯方程邊值問題的提法第6章拉普拉斯方程的格林函數(shù)法三維拉普拉斯方程作為描述穩(wěn)定和平衡等物理現(xiàn)象的拉普拉斯方程，它不能提初始條件.至于邊界條件，應(yīng)用得較多的是如下兩種邊值問題.（1）第一邊值問題

在空間中某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)，要求這樣一個函數(shù)上與已知函數(shù)相重合，即，

它在閉域

(或記作)上連續(xù)，在內(nèi)存在二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足拉普拉斯方程，在第一邊值問題也稱為狄利克萊(Dirichlet)問題，拉普拉斯方程的連續(xù)解稱為調(diào)和函數(shù).所以，狄氏問題也可以換一種說法：在區(qū)域

內(nèi)找一個調(diào)和函數(shù)，它在邊界

上的值為已知.（2）第二邊值問題在某光滑的閉曲面

上給出連續(xù)函數(shù)，要求尋找這樣一個函數(shù)

在該點(diǎn)的值：它在中是調(diào)和函數(shù)，在上連續(xù)，在上任一點(diǎn)處法向?qū)?shù)存在，并且等于已知函數(shù)第二邊值值問題也稱牛曼（Neumann）問題.以上兩個邊值問題都是

區(qū)域內(nèi)部求拉普拉斯方程的解.這樣的問題稱為內(nèi)問題.6．2格林公式設(shè)是以足夠光滑的曲面為邊界的有界區(qū)域，

在上連續(xù)的，在的奧-高公式內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，

則成立如下下面來推導(dǎo)高斯公式的兩個推論.設(shè)函數(shù)和在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).

在高斯公式中令則有上式稱為第一格林公式，在上式中交換

位置，則得————第二格林公式利用格林公式我們可以推出調(diào)和函數(shù)的一些基本性質(zhì).(i)調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式設(shè)是內(nèi)某一固定點(diǎn)，求調(diào)和函數(shù)在這點(diǎn)的值，為此，構(gòu)造一個函數(shù)通常稱它為三維拉普拉斯方程的基本解

為中心，以充分小的正數(shù)為半徑的球面由于在內(nèi)有奇異點(diǎn),我們作一個以在內(nèi)挖去所包圍的球域得到區(qū)域（如圖），在內(nèi)是連續(xù)可微的.為調(diào)和函數(shù)

在公式(4.9)中取取，并以代替該公式中的，得#因?yàn)樵趦?nèi)而在球面上

因此同理可得將此兩式代入(#)可得現(xiàn)在令

則得(ii)牛曼內(nèi)問題有解的必要條件設(shè)是在以為邊界的區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，為所給的調(diào)和函數(shù)，取，就得到上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在公式(6.9)中取在由此可得牛曼內(nèi)問題有解的必要條件為函數(shù)滿足

(iii)平均值公式設(shè)函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)是調(diào)和的，是內(nèi)任一點(diǎn)，表示以為中心，以為半徑，且完全落在區(qū)域內(nèi)部的球面，則成立下列平均值公式證明

將調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式應(yīng)用于球面

且有(iv)拉普拉斯方程解的唯一性問題即證利用格林公式討論拉普拉斯方程解的唯一性問題，可以證明如下的結(jié)論：（1）狄利克萊問題的解是唯一確定的；（2）牛曼問題的解除了相差一常數(shù)外也是唯一確定的.以

表示定解問題的兩個解，則它們的差

必是原問題滿足零邊界條件的解，對于狄氏問題，滿足（*）對于牛曼問題，滿足（**）在格林第一公式中取

則得由條件(*)或(**)得故在

內(nèi)必有

對于狄氏問題，由6．3格林函數(shù)在格林第二公式中取

均為調(diào)和函數(shù)，則得

將上式與積分表達(dá)式相減得如果能選取調(diào)和函數(shù)

使?jié)M足

于是有令則

稱為拉普拉斯方程的格林函數(shù).如果格林函數(shù)一經(jīng)求得，并且它在閉區(qū)域

內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則狄氏問題的解若存在，這個解必然能表示為對于泊松方程的狄氏問題而言，若存在解，這個解必可表示為求解拉普拉斯方程或泊松方程的狄氏問題就轉(zhuǎn)化為求此區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù).6．4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解6.4.1半空間的格林函數(shù)求解：首先找格林函數(shù)

在半空間

的

點(diǎn)置

單位正電荷，

并找出

關(guān)于

平面的對稱點(diǎn)

如圖：在

點(diǎn)置

單位負(fù)電荷，

則它與點(diǎn)的單位正電荷所產(chǎn)生上互相抵消，因此的電位在平面就是半空間的格林函數(shù).計算

6.4.2球域的格林函數(shù)設(shè)有一球心在原點(diǎn)，半徑為

的球面

在球內(nèi)連并延長至使任取一點(diǎn)點(diǎn)稱為關(guān)于球