三角函數(shù)知識點(diǎn)歸納總結(jié)

三角函數(shù)知識點(diǎn)歸納總結(jié)三角函數(shù)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1.任意角角的概念可以推廣為正角、負(fù)角、零角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向不同。同時也可以根據(jù)終邊的位置分為象限角和軸線角。對于一個角α，如果它的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么它就是一個象限角，終邊落在第幾象限就稱它為第幾象限角。各象限角的集合分別為：第一象限角：α=k·360°+α，k∈Z，αk·360°<α<k·360°+90°第二象限角：α=k·360°+90°+α，k∈Z，αk·360°+90°<α<k·360°+180°第三象限角：α=k·360°+180°+α，k∈Z，αk·360°+180°<α<k·360°+270°第四象限角：α=k·360°+270°+α，k∈Z，αk·360°+270°<α<k·360°+360°終邊在x軸上的角的集合為：α=k·180°，k∈Z終邊在y軸上的角的集合為：α=k·180°+90°，k∈Z終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為：α=k·90°，k∈Z2.弧度制弧度制是另一種角度量方式，其中1弧度的角是指長度等于半徑長的弧所對的圓心角?；《扰c角度可以相互換算，其中360°=2π弧度，180°=π弧度。對于一個半徑為r的圓，它的圓心角α所對的弧長為l，則角α的弧度數(shù)的絕對值是α=l/r（弧度制），它的周長為C=2r+l，面積為S=lr=αr2。3.任意角的三角函數(shù)定義對于一個任意角α，它的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r=√(x2+y2)，則角α的正弦、余弦、正切分別是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦。4.特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值可以通過表格來得到，如下表所示：角度函數(shù)角a的弧度1°sin(a)cos(a)tan(a)30°1/2√3/2√3/3π/645°√2/2√2/21π/460°√3/21/2√3π/390°10無窮大π/2120°√3/2-1/2-√32π/3135°√2/2-√2/2-13π/4150°1/2-√3/2-√3/35π/6二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式A.基礎(chǔ)梳理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sinα＋cosα＝1；在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號。(2)商數(shù)關(guān)系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=cotα，sin2α+cos2α=1。2.誘導(dǎo)公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cos_α，tan(α+2kπ)=tanα，其中k∈Z。公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cos_α，tan(π+α)=tanα。公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cos_α，tan(π－α)=－tanα。公式四：sin(－α)=－sin_α，cos(－α)=cos_α，tan(－α)=－tanα。公式五：sin(2π－α)=sinα，cos(2π－α)=－cos_α，tan(2π－α)=－tanα。公式六：sin(2π+α)=sinα，cos(2π+α)=－cos_α，tan(2π+α)=tanα。誘導(dǎo)公式可概括為k·±α的各三角函數(shù)值的化簡公式?？谠E：奇變偶不變，符號看象限。其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化。若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱要變(正弦變余弦，余弦變正弦)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號看象限是指：把α看成銳角時，根據(jù)k·±α在哪個象限判斷原三角函數(shù)值的符號，最后作為結(jié)果符號。B.方法與要點(diǎn)一個口訣：誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限。四種方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα=sinα/cosα化成正、余弦。(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化。(3)巧用“1”的變換：1=sin2θ+cos2θ=sin(π/2-θ)+cos(π/2-θ)=tan(π/4-θ/2)/cot(π/4+θ/2)。(4)齊次式化切法：已知tanα=k，則sinα=k/√(1+k2)，cosα=1/√(1+k2)。三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（一）知識要點(diǎn)梳理1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像：正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的圖像可以用五點(diǎn)法來作圖。先取橫坐標(biāo)分別為π/2,π,3π/2,2π的五個點(diǎn)，然后用光滑的曲線把這五個點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖像。2、正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)、余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)的性質(zhì)：（1）定義域：都是R。（2）值域：都是[-1,1]。對于y=sinx，當(dāng)x=(2k+1)π/2(k∈Z)時，y取最大值1；當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時，y取最小值-1。對于y=cosx，當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時，y取最大值1，當(dāng)x=(2k+1)π/2(k∈Z)時，y取最小值-1。（3）周期性：y=sinx，y=cosx的最小正周期都是2π。（4）奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，對稱中心是(2kπ,0)(k∈Z)，對稱軸是直線x=kπ+π/2；余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，對稱中心是(kπ+π/2,0)(k∈Z)，對稱軸是直線x=kπ(k∈Z)。正弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖像與x軸的交點(diǎn)。（5）單調(diào)性：y=sinx在[π/2+2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，在[π+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減；y=cosx在[-π/2+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，在[2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。3、正切函數(shù)y=tanx(x∈R)的圖像：正切函數(shù)y=tanx的圖像可以用三點(diǎn)法來作圖。先取橫坐標(biāo)分別為-π/2,0,π/2的三個點(diǎn)，然后用光滑的曲線把這三個點(diǎn)連接起來，就得到正切曲線在一個周期內(nèi)的圖像。4、正切函數(shù)y=tanx(x∈R)的性質(zhì)：（1）定義域：x≠(2k+1)π/2(k∈Z)。（2）值域：(-∞,+∞)。（3）周期性：最小正周期是π。（4）奇偶性與對稱性：正切函數(shù)y=tanx是奇函數(shù)，對稱中心是(0,0)，對稱軸是原點(diǎn)所在的直線。（5）單調(diào)性：在每個開區(qū)間(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增或遞減。（二）綜合練習(xí)1、求正弦函數(shù)y=sinx的定義域、值域、周期、奇偶性和單調(diào)區(qū)間。答：定義域是R，值域是[-1,1]。最小正周期是2π。正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是(2kπ,0)(k∈Z)，對稱軸是直線x=kπ+π/2。在每個開區(qū)間(π/2+2kπ,π+2kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增，在[π+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。2、求余弦函數(shù)y=cosx的定義域、值域、周期、奇偶性和單調(diào)區(qū)間。答：定義域是R，值域是[-1,1]。最小正周期是2π。余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對稱中心是(kπ+π/2,0)(k∈Z)，對稱軸是直線x=kπ(k∈Z)。在[-π/2+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增，在[2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減。3、求正切函數(shù)y=tanx的定義域、值域、周期、奇偶性和單調(diào)區(qū)間。答：定義域是x≠(2k+1)π/2(k∈Z)，值域是(-∞,+∞)。最小正周期是π。正切函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是(0,0)，對稱軸是原點(diǎn)所在的直線。在每個開區(qū)間(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增或遞減。2/||。②若>0，則f(x)在0，T上單調(diào)遞增，在T/2，0上單調(diào)遞減；若<0，則f(x)在0，T上單調(diào)遞減，在T/2，0上單調(diào)遞增。（4）奇偶性和對稱性：若為奇數(shù)倍的/2，則f(x)是奇函數(shù)；若為偶數(shù)倍的/2，則f(x)是偶函數(shù)。對稱中心為(x,A)和(x+T/2,A)，對稱軸為直線x=x+T/4。（5）最大值和最小值：最大值為A，最小值為A。（6）單調(diào)性：在一個周期內(nèi)，當(dāng)為奇數(shù)倍的/2時，f(x)在0，T/4上單調(diào)遞增，在T/4，T/2上單調(diào)遞減，在T/2，3T/4上單調(diào)遞增，在3T/4，T上單調(diào)遞減；當(dāng)為偶數(shù)倍的/2時，f(x)在0，T/4上單調(diào)遞減，在T/4，T/2上單調(diào)遞增，在T/2，3T/4上單調(diào)遞減，在3T/4，T上單調(diào)遞增。2.函數(shù)周期和單調(diào)性對于函數(shù)$f(x)=A\text{tan}(\omegax+\phi)$，其最小正周期為$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$。對于函數(shù)$y=Asin(\omegax+\phi)$，其中$A>0$，$\omega>0$，其單調(diào)減區(qū)間為$2k\pi+\frac{\pi}{2\omega}\leq\omegax+\phi\leq2k\pi+\frac{3\pi}{2\omega}$，單調(diào)增區(qū)間為$2k\pi-\frac{\pi}{2\omega}\leq\omegax+\phi\leq2k\pi+\frac{\pi}{2\omega}$。在求單調(diào)區(qū)間時，需要注意$A$和$\omega$的符號，通過誘導(dǎo)公式將$\omega$化為正數(shù)。例如，對于函數(shù)$y=\text{sin}(-2x+\frac{\pi}{3})$，我們需要先將$\omega$化為正數(shù)，即$y=\text{sin}(2x-\frac{5\pi}{3})$。由此可得其單調(diào)減區(qū)間為$2k\pi+\frac{5\pi}{6}\leq2x\leq2k\pi+\frac{11\pi}{6}$，即$2k\pi+\frac{5\pi}{12}\leqx\leq2k\pi+\frac{11\pi}{12}$。函數(shù)y=Asin(ωx+?)+b的圖像與y=sin(x)圖像的關(guān)系如下：①將y=sin(x)圖像向左（當(dāng)?>0）或向右（當(dāng)?<0）平移|?|個單位得到y(tǒng)=sin(x+?)的圖像；②將y=sin(x+?)圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/ω，得到函數(shù)y=sin(ωx+?)的圖像；③將y=sin(ωx+?)圖像的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)y=Asin(ωx+?)的圖像；④將y=Asin(ωx+?)圖像向上（當(dāng)b>0）或向下（當(dāng)b<0）平移|b|個單位，得到y(tǒng)=Asin(ωx+?)+b的圖像。如果要得到函數(shù)y=sin(2x-π/3)的圖像，只需將函數(shù)y=sin(2x)的圖像向右平移π/6個單位。函數(shù)y=Acos(ωx+?)和y=Atan(ωx+?)的性質(zhì)和圖像的變換與y=Asin(ωx+?)類似。需要特別注意的是，若由y=sin(ωx)得到y(tǒng)=sin(ωx+?)的圖像，則向左或向右平移應(yīng)平移|?|/π個單位。以下是一些三角恒等變換公式：⑴兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。⑵二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α。3、二弦歸一：將兩個三角函數(shù)的和或差化為一個三角函數(shù)。例如：asinθ+bcosθ=a+bsin(θ+φ)，其中tanφ=2/(1+cos2α)/(1-cos2α)，sinα=2b/(a^2+b^2)。4、運(yùn)算化簡：在三角函數(shù)的化簡、求值和證明中，常常需要運(yùn)用三角公式和技巧，靈活運(yùn)用角的變換、函數(shù)名稱變換、常數(shù)代換和冪的變換等方法。例如，常用的角的變換有：將角α變?yōu)?α、將角α變?yōu)棣?2-α等。舉例來說，如果tan(α+β)=1/3，tan(β-α)=2，則tan(α+β)=3/2。又如，已知cos(α+β)=1/2，cos(α-β)=-1/2，且π/2<α-β<π，0<α+β<2π，則cos2α=-7/25，cos2β=-1。另外，常數(shù)代換可以將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如將1代換為sinα+cosα或tan45；冪的變換可以將次數(shù)較高的三角函數(shù)式降冪處理，常用的降冪公式有sin^2α=1/2(1-cos2α)等。有時需要升冪，常用升冪公式。例如，對于無理式1+cosα，常用升冪化為有理式。公式變形也是重要的技巧之一。三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)該熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形應(yīng)用。例如，cosαcosβ-sinαsinβ的結(jié)果為cos(α+β)，sinαcosβ+cosαsinβ的結(jié)果為sin(α+β)，tanα+tanβ的結(jié)果為sin(α+β)/cosαcosβ，1-tanαtanβ的結(jié)果為cos(α+β)/cosαcosβ，tanα-tanβ的結(jié)果為sin(α-β)/cosαcosβ，1+tanαtanβ的結(jié)果為cos(α-β)/cosαcosβ，sinαcosα的結(jié)果為sin2α/2，2sinαco