第二篇線性代數(shù)模型

PAGE1PAGE84第二篇線性代數(shù)模型在線性代數(shù)部分的應(yīng)用實例中，通過對應(yīng)用問題建模主要培養(yǎng)用矩陣與線性方程組來解決問題的能力，探討離散過程的演變規(guī)律建模并討論其穩(wěn)定性。應(yīng)用行列式的展開性質(zhì)可以得出一些結(jié)果的遞推公式，從而與差分方程建立聯(lián)系來解決應(yīng)用問題，與行列式內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用實例有：斐波那契(Fibonncci)數(shù)列與兔子繁殖的數(shù)量。范德蒙行列式的主要應(yīng)用之一是通過克萊姆法則解線性方程組，對于解決實際應(yīng)用問題具有非常重要的作用。相關(guān)的應(yīng)用實例有：通過定點的曲線與曲面方程，多項式插值問題(范德蒙行列式的應(yīng)用)等。矩陣是線性代數(shù)的重要工具，很多實際問題通過矩陣表示（如鄰接矩陣等）和運算，使得問題的解決更方便或者可以直接應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件求解。與矩陣表示及其運算相關(guān)的應(yīng)用實例有：循環(huán)比賽名次的確定，不同地（城市）之間的交通問題，一種密碼方法（逆矩陣的應(yīng)用）等。許多變量之間的關(guān)系可以表達(dá)為線性函數(shù)關(guān)系或者線性方程組，一些應(yīng)用問題的約束條件是線性等式或線性不等式，這些都與線性方程組的求解有著密切的關(guān)系。用線性方程組解決應(yīng)用的實例有：交通流量問題，不定方程組的整數(shù)解，調(diào)整氣象觀測站問題，工資問題，市場均衡——線性方程組的應(yīng)用，投入產(chǎn)出分析，最優(yōu)生產(chǎn)計劃的確定（線性規(guī)劃問題）等。在線性代數(shù)的應(yīng)用中可以用向量描述多個變量的變化及其之間的相互聯(lián)系，而初學(xué)者對于向量的處理感到困難，但向量的應(yīng)用非常廣泛，包括信息的加工處理與最優(yōu)化方法（如最小二乘法等）。與向量內(nèi)容有關(guān)的應(yīng)用實例有：基因的“距離”，平行四邊形的面積與平行體的體積等。許多經(jīng)濟(jì)計量模型和工程應(yīng)用模型都與二次型及其標(biāo)準(zhǔn)化的內(nèi)容相關(guān)，在應(yīng)用矩陣解決實際問題的過程中又涉及到矩陣的特征值和矩陣的對角化問題，而且二次型與特征值問題和二次型的正定性在微觀經(jīng)濟(jì)計量模型中有著重要的應(yīng)用。與特征值問題和二次型有關(guān)的應(yīng)用實例有：動物繁殖問題與Leslie人口模型，植物基因的分布與從事各業(yè)人員總數(shù)的發(fā)展趨勢，受教育程度的依賴性，快樂的假期旅游，小行星的軌道問題和二次型的正定性在函數(shù)極值判定中的應(yīng)用等。

2.1斐波那契(Fibonncci)數(shù)列與兔子繁殖的數(shù)量兔子出生以后兩個月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一對小兔（雌雄各一只），且出生的兔子都能成活。試問：由1對小兔開始，一年后共有多少對兔子，兩年后共有多少對兔子？解：先直接推算。在第0月有1對兔子；第1月也只有1對兔子；在第2月這對兔子生了1對小兔，共有兩對兔子；在第3月，老兔子又生了1對小兔，共有3對兔子；在第4個月，老兔子和第2個月出生的小兔各生了一對小兔，共有5對兔子；在第5個月，第3個月的3對兔子各生了一對小兔，共有8對兔子；在第6個月，第4個月的5對兔子各生了一對小兔，共有13對兔子……。如此類推，不難得到月份和兔子對數(shù)的關(guān)系如表2.1.1：表2.1.1兔子繁殖數(shù)量表月份數(shù)0123456789……兔子對數(shù)11235813213455……從表2.1.1中可以看出，若用數(shù)列表示第個月兔子的對數(shù)，則有，。由此可以推出一年后兔子的對數(shù)為對，二年后兔子的對數(shù)為對。數(shù)列稱為斐波那契(Fibonncci)數(shù)列，關(guān)于斐波那契數(shù)列的問題是一個古老而且有趣的問題，這是在1202年由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出來的?？紤]階行列式將其按第一列（或第一行）展開，則有且。由此可見由行列式組成的數(shù)列也是斐波那契數(shù)列。經(jīng)過計算（利用差分方程或矩陣的特征值與特征向量等內(nèi)容）有這就是斐波那契數(shù)列的盧卡斯（Lucas）通項公式。這個結(jié)論告訴我們一個有趣的事實，雖然可以用階行列式表示的數(shù)列都是正整數(shù)，可是它們卻由一些無理數(shù)表示出來了。此外，斐波那契數(shù)列有許多重要、有趣的性質(zhì)和應(yīng)用，特別值得一提的是優(yōu)選法中分?jǐn)?shù)法正是基于此數(shù)列的，而它的表達(dá)式中出現(xiàn)了正是黃金分割的數(shù)值。另外，在自然界中，植物的葉序、菠蘿中的鱗狀花萼、蜜蜂進(jìn)蜂房的方式數(shù)、藝術(shù)上的美點——黃金分割等都可與斐波那契數(shù)列聯(lián)系起來，真實奇妙！神秘！問題：欲登上第18級臺階，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級臺階，共有多少種不同的走法？某人去登黃山，此人一步可以登一個臺階也可以登兩個臺階，問他登上個臺階的“云梯”的不同攀登方式共有多少種？分析：登上第1級臺階，只有1種方法，；登上第2級臺階共有2種方法（可以每次登一階，也可以一次登兩階）；登上第3級臺階或者是從第1級臺階跨2個臺階上來的，或者是從第2級臺階跨1階臺階上來的，則有3種方法，。設(shè)表示登上第級臺階的走法，。因為登上第級臺階，他的最后一步可以從第級臺階跨2級，也可以從第級臺階跨1級而到達(dá)，所以有，這也是斐波那契數(shù)列的問題，可以求得欲登上第18級臺階，共有=4181種走法。登上個臺階的“云梯”的不同攀登方式共有種。斐波那契數(shù)列是一個神奇的數(shù)列，有人將它與股票波浪理論聯(lián)系起來，也有人將它與彩票的中獎號碼聯(lián)系起來。有興趣的讀者，可以進(jìn)行更深入的思考。評注1.理論依據(jù)行列式按一行（列）展開，得到遞推公式是一個差分方程，根據(jù)初值條件，可得一般表達(dá)式。2．應(yīng)用與推廣斐波那契數(shù)列是一個很重要的數(shù)列，它可以廣泛地應(yīng)用到股票價格的預(yù)測等經(jīng)濟(jì)管理之中。參考文獻(xiàn)楊啟帆，李浙寧，王聚豐，涂黎輝:數(shù)學(xué)建模案例集[M].高等教育出版社，2006.7.楊桂元:用差分方程計算行列式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007年第1期.2.2通過定點的曲線與曲面方程線性方程組的理論中有一個基本結(jié)論：含有個方程個未知量的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零。利用這個結(jié)論，我們可以建立用行列式表示的直線、平面、圓和其他一些曲面的方程，也可以求出一般多項式的表達(dá)式。如果平面上有兩個不同的已知點，通過這兩點存在惟一的直線，設(shè)直線方程為：，且不全為零。由于在這條直線上，所以它們滿足上述直線方程，則：，。因此有這是一個以為未知量的齊次線性方程組，且不全為零，說明該齊次線性方程組必有非零解。于是，系數(shù)行列式等于零。即這就是用行列式表示的通過已知兩點的直線方程。例如，通過兩點的直線方程為：即同理，通過空間中三點、、的平面方程為：例如，通過空間中三點、、的平面方程為：，即同理，用行列式表示的通過平面上三點的圓的方程為：對于次多項式，可由其圖象上的個橫坐標(biāo)互不相同的點、、…、、所惟一確定。這是因為，這個點均滿足這個次多項式，則有這是一個含有個方程、以為個未知量的線性方程組，其系數(shù)行列式是一個范德蒙（Vandermonde）行列式，當(dāng)互不相同時，，由克萊姆（Cramer）法則，可以惟一地解出。所以，次多項式可由其圖象上的個橫坐標(biāo)互不相同的點、、…、、所惟一確定。該多項式方程的行列式形式為評注1．理論依據(jù)求解線性方程組的克萊姆（Cramer）法則,范德蒙（Vandermonde）行列式的直接應(yīng)用。2．應(yīng)用與推廣求過定點的曲線或曲面的方程，一般多項式的擬合問題，應(yīng)用這些方法還可以解決多項式插值問題。參考文獻(xiàn)歸行茂等：線性代數(shù)的應(yīng)用[M].上?？茖W(xué)普及出版社.1994.11.楊桂元：用行列式求通過定點的曲線與曲面方程[J].高等數(shù)學(xué)研究，200多項式插值問題——范德蒙(Vandermonde)行列式的應(yīng)用在實際問題中會遇到這樣的情況：有可能函數(shù)的表達(dá)式很復(fù)雜或者根本不知道其具體表達(dá)式，而只能通過實驗或試驗得到該函數(shù)在某些點上的函數(shù)值.要尋找一個函數(shù)來近似代替，要求滿足:這類問題稱為插值問題，并稱為的插值函數(shù)，稱為插值節(jié)點，稱為插值條件。常用的插值函數(shù)是多項式和樣條函數(shù)?，F(xiàn)在的問題是怎樣來找，即選擇什么類型的函數(shù)作為？一種簡單而又自然的方法就是把設(shè)成次數(shù)不超過的多項式：滿足插值條件有個方程，從而確定出中的個參數(shù).為了確定這個參數(shù)，可以得到關(guān)于中待定參數(shù)的線性方程組：它的系數(shù)行列式即為范德蒙（Vandermonde）行列式如果節(jié)點互不相同，，上述線性方程組有唯一的解，可以唯一確定參數(shù)。這就說明了次代數(shù)插值問題是存在且唯一的。不難得到這個插值多項式的行列式表示形式為：顯然滿足，并且按第列展開，是的次多項式。整理可得：這個公式稱為Lagrange插值公式。另外，還有幾種常用的插值公式：Newton插值公式、Hermite插值公式等。由于代數(shù)多項式的結(jié)構(gòu)簡單，數(shù)值計算和理論分析都很方便，因而常用代數(shù)多項式作為插值公式，即所謂的代數(shù)插值。評注1．理論依據(jù)范德蒙（Vandermonde）行列式的應(yīng)用，克萊姆（Cramer）法則。2．應(yīng)用與推廣根據(jù)這個理論可以得到：兩點可以確定一條直線，三點可以確定一條拋物線；過任意個橫坐標(biāo)互不相同的點可以唯一確定一個次多項式，它在多項式逼近理論、多項式插值公式、樣條插值公式的推導(dǎo)具有一定的借鑒意義。參考文獻(xiàn)邱森：線性代數(shù)探究性課題精編[M].武漢大學(xué)出版社，20循環(huán)比賽名次的確定矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，也是線性代數(shù)中解決問題的主要工具。許多實際應(yīng)用問題可以用矩陣來描述，通過矩陣的運算來解決應(yīng)用問題。例1.若有5個球隊進(jìn)行單循環(huán)賽，已知它們的比賽結(jié)果為：1隊勝2、3隊；2隊勝3、4、5隊；4隊勝1、3、5隊；5隊勝1、3隊。按獲勝的次數(shù)排名次，若兩隊勝的次數(shù)相同，則按直接勝與間接勝的次數(shù)之和排名次。所謂間接勝，即若1隊勝2隊，2隊勝3隊，則稱1隊間接勝3隊。試為這5個隊排名次。按照上述排名次的原則，不難排出2隊為冠軍，4隊為亞軍，1隊第3名，5隊第4名，3隊墊底。問題是：如果參加比賽的隊數(shù)比較多，應(yīng)如何解決這個問題？有沒有解決這類問題的一般方法？我們可以用鄰接矩陣M來表示各隊直接勝的情況：，若第隊勝第隊，則，否則。由此可得，M中各行元素之和分別為各隊直接勝的次數(shù)，中各行元素之和分別為各隊間接勝的次數(shù)。那么各行元素之和分別為5、8、0、7、4，就是各隊直接勝與間接勝的次數(shù)之和。由此可得：比賽的名次依次為2隊、4隊、1隊、5隊、3隊。如果參賽的隊數(shù)很多，用這種方法計算會很復(fù)雜，甚至還無法得出確定的結(jié)論，根據(jù)非負(fù)矩陣的最大特征值與其對應(yīng)的特征向量的性質(zhì)，來確定排序問題。根據(jù)Matlab中的命令：M=[0,1,1,0,0;0,0,1,1,1;0,0,0,0,0;1,0,1,0,1;1,0,1,0,0][X,Q]=eig(M)可以求得的最大特征值，對應(yīng)的經(jīng)過歸一化的特征向量為，將這個特征向量的各個分量按照從大到小的順序排序，所以5個球隊按照名次的排序依次為2隊、4隊、1隊、5隊、3隊。例2.若有5個壘球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，其結(jié)果是：1隊勝3、4隊；2隊勝1、3、5隊；3隊勝4隊；4隊勝2隊；5隊勝1、3、4隊。按直接勝與間接勝次數(shù)之和排名次。用以表示各個隊直接勝和間接勝的情況的鄰接矩陣分別為：，，那么，各行元素之和分別為4、9、2、4、7，所以各隊的名次為：第1名2隊，第2名5隊，第3名1、4隊（并列），第5名3隊。1隊和4隊無法確定順序，是否一定并列呢？還要再計算。但是，用Matlab計算：M=[0,0,1,1,0;1,0,1,0,1;0,0,0,1,0;0,1,0,0,0;1,0,1,1,0][X,Q]=eig(M)可以求得的最大特征值，對應(yīng)的經(jīng)過歸一化的特征向量為，所以各隊的名次為：第1名2隊，第2名5隊，第3名4隊，第4名1隊，第5名3隊，1隊與4隊不是并列。這樣排序才是最準(zhǔn)確的。評注1．理論依據(jù)鄰接矩陣的性質(zhì)，素陣的最大特征值及其所對應(yīng)的特征向量的性質(zhì)（Perro-Frobenius定理）。2．應(yīng)用與推廣根據(jù)循環(huán)比賽的鄰接矩陣，利用不可分矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量的性質(zhì)，對循環(huán)比賽的名次進(jìn)行排序是非常合理的。應(yīng)用Matlab計算矩陣的最大特征值及其特征向量是非常方便的。參考文獻(xiàn)姜啟源等：數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].高等教育出版社.200不同地（城市）之間的交通問題矩陣的運算還可以表示不同地點（城市）的通達(dá)情況。在國際象棋里，馬在棋盤上123456789是走“L”步的，它可以水平走2格，垂直走1格；或者垂直走2格，水平走1格。假設(shè)馬被限制在以下9個編號的格子里，馬可以從第格走到第格中去，則123456789則表示馬可經(jīng)2步間接到達(dá)的情況，表示馬可經(jīng)3步間接到達(dá)的情況……，則表示馬在步可以直接和間接到達(dá)的情況，其中位于第行第列的的數(shù)字表示在步內(nèi)馬可以從第格到第格的不同（直接和間接）走法。經(jīng)計算這說明，在3步內(nèi)，除了格子5之外，還有格子之間不可互相達(dá)到。但是ACBHD這說明，在4步內(nèi)，除了格子5之外，其余格子均可互相達(dá)到，對應(yīng)的數(shù)字為達(dá)到的通路數(shù)目。由于與中第5行與第5列的元素全為零，再計算下去，中第5行與第5列的元素也全為零，因此格子5與其他格子不能通達(dá)；其實由中第5行與第5列的元素全為零，可以推得對任意整數(shù)，都有中第5行與第5列的元素全為零，格子5與其他格子不能通達(dá)。因此，這種方法也可以用來研究一般交通路線的通達(dá)情況。ACBHD圖2.5.1某航空公司五個城市的航線圖圖2.5.1是某個航空公司關(guān)于A,B,C,D和H五個城市的航線圖，其中H是中心城市，它和其他每個城市之間都有往返航線，而其他城市之間只有從A到C，從C到D，從D到B，從B到A四條航線。假定我們要從城市A到B旅行，那么至少需要2條航線才能完成這次旅行，其中和兩條航線連接起來的路線所需要的航線數(shù)最少，否則至少需要3條航線。于是，我們要問，共有多少條從城市A到城市B的路線恰好是由3條航線連接起來的？有多少條路線所需的航線不超過4條？由于一共只有5個城市，我們從圖上觀察，就能回答上述問題。在城市數(shù)多和航線圖復(fù)雜的情況下，用觀察方法一般就難以解決問題了。為此，可以利用連接矩陣來解決這個問題。設(shè)，其中，這里稱為鄰接矩陣。這五個城市的鄰接矩陣為:；；；；從鄰接矩陣以及它的冪我們可以獲得航線圖的一些信息，從而解決上述航線問題。因此，恰好由3條航線連接起來的從城市A到城市B的路線總數(shù)是位于第一行第二列的元素；恰好由4條航線連接起來的從城市A到城市B的路線總數(shù)是。從城市A到城市B所需的航線不超過4條的路線總數(shù)是：條。本問題的矩陣計算用Matlab計算更方便。評注1．理論依據(jù)鄰接矩陣的性質(zhì)，根據(jù)矩陣的運算來解決通達(dá)問題。2．應(yīng)用與推廣兩點之間的關(guān)聯(lián)可以通過鄰接矩陣來反映。應(yīng)用鄰接矩陣的基本原理，可以應(yīng)用到圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題之中。參考文獻(xiàn)歸行茂等：線性代數(shù)的應(yīng)用[M].上?？茖W(xué)普及出版社.1994.11.邱森：線性代數(shù)探究性課題精編[M].武漢大學(xué)出版社，20一種密碼方法——逆矩陣的應(yīng)用密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是基于線性變換（或可逆矩陣）的方法。比如，先在26個英文字母與數(shù)字間建立起一一對應(yīng)關(guān)系，例如可以是圖2.6.1的對應(yīng)關(guān)系：圖2.6.126個英文字母與數(shù)字的對應(yīng)關(guān)系1.若要發(fā)出信息action，使用上述代碼，則此信息的編碼是：1，3，20，9，15，14。可以寫成兩個向量或者寫成一個矩陣?，F(xiàn)任選一個三階的可逆矩陣，例如于是將要發(fā)出的信息向量（或矩陣）經(jīng)乘以A變成“密碼”后發(fā)出，或者在收到信息：后，可予以解碼（當(dāng)然這里選定的矩陣A是大家約定的，這個可逆矩陣A稱為解密的鑰匙，或者稱為“密匙”）。即用A的逆矩陣從密碼中恢復(fù)明碼：或者反過來查圖2.6.1所表示的英文字母與數(shù)字的對應(yīng)關(guān)系，即可得到信息action。2.如將要傳遞的明文HillonTuesday包括兩個空格（用0對應(yīng)）分為5組，每組3個字母，所以明文是一個矩陣，已知加密矩陣，加密算法為，得到密文：mcqcolftncnzvxe。當(dāng)然要用加密矩陣的矩陣進(jìn)行解密。說明：由于是3列矩陣，這里要求是3階可逆矩陣，并且矩陣的每一個元素不超過26且非負(fù)，如果的元素大于26，可以取為關(guān)于26同余數(shù)，不過這時的結(jié)果不是一一對應(yīng)的，而且為解密帶來了一定的困難。評注1．理論依據(jù)逆矩陣的應(yīng)用，由可逆矩陣決定的線性變換是可逆的，并且其逆變換對應(yīng)的矩陣為。2．應(yīng)用與推廣 可逆矩陣在信息安全與密碼理論方面的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)郝志峰等：線性代數(shù)[M].高等教育出版社.2003年8月。湯燕：矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用[J].科教文匯2010年第8期。2.7交通流量問題100300400200300600500200400300500600700圖2.7.1某城市部分單行街道的交通流量圖某城市部分單行街道的交通流量（每小時通過的車輛數(shù)）如圖2.7.1所示。假設(shè)：（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量；（2）全部流入每一個路口（網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點）的流量等于全部流出此路口的流量。試建立數(shù)學(xué)模型，確定該交通網(wǎng)絡(luò)中未知部分的具體流量。根據(jù)各結(jié)點的進(jìn)出流量平衡知整個網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)出流量平衡，于是可得如下的一系列方程：；；；；；；；；；。整理，得線性方程組先不考慮非負(fù)性，解這個線性方程組。用Matlab求解：A=[1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,800;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,800;0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,300;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1000;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,500;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,200;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1000;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,400;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,200;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,600]rref(A)其中、可取非負(fù)值，并且使得其余變量非負(fù)。實際上，只要即可滿足要求。為滿足交通網(wǎng)絡(luò)的需要，可以有無窮多解。如果結(jié)合實際情況，可以選擇合適的、，使交通網(wǎng)絡(luò)滿足實際要求，或者滿足上述條件的情況下，使得某一個目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值（或最小值），從而對交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化。評注1．理論依據(jù)交通流的平衡問題，一般線性方程組求解。2．應(yīng)用與推廣交通網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化問題可以通過線性方程組來體現(xiàn)，因此，網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題可以化為線性規(guī)劃問題或者整數(shù)線性規(guī)劃（0—1規(guī)劃）問題來解決。參考文獻(xiàn)謝云蓀，張志讓等：數(shù)學(xué)實驗[M].科學(xué)出版社.19不定方程組的整數(shù)解1.百雞問題百雞問題是公元5世紀(jì)末我國數(shù)學(xué)家張丘建在他所著《算經(jīng)》里提出的一個著名的不定方程問題。問題是：雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。百錢買百雞，問：雞翁、雞母、雞雛各幾何？解：設(shè)公雞、母雞、小雞的數(shù)量分別為（均為非負(fù)整數(shù)）只，則有線性方程組該方程組的一般解為（其中為自由未知量）從而原問題的解為（取非負(fù)整數(shù)，且使為非負(fù)整數(shù)）于是，由及均為非負(fù)整數(shù)可知且能被3整除，故原問題共有四組解：①；②；③；④2.點兵問題韓信點兵，有兵一隊，人數(shù)在500至1000之內(nèi)。三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問這隊兵有多少人？設(shè)這隊兵的人數(shù)為非負(fù)整數(shù)，且有非負(fù)整數(shù)，使得：即易求得方程組的一般解為（其中為自由未知量）從而原問題的解為其中的、、、均為非負(fù)整數(shù)。顯然，應(yīng)能被3整除、應(yīng)能被5整除，且，所以，的取值可以為78、93、108、123、138，故這隊兵的人數(shù)可以為548人、653人、758人、863人或968人。評注1．理論依據(jù)用一般線性方程組的求解方法解決不定方程的求解問題。2．應(yīng)用與推廣應(yīng)用線性方程組的理論可以解決與此類似的相關(guān)問題。2.9調(diào)整氣象觀測站問題某地區(qū)有12個氣象觀測站，10年來各觀測站的年降水量如表2.9.1。為了節(jié)省開支，想要適當(dāng)減少氣象觀測站。問題：減少哪些氣象觀測站可以使所得的降水量的信息量仍然足夠大？表2.9.1某地區(qū)12個氣象站1981——1990年降水量（單位：mm）地點年份1981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451466.2307.5421.1455.11983192.7436.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327296.54231985291.7311502.4254245.6324.8401266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.21989158.5271410.2344.2250360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1分別表示氣象觀測站在1981—1990年內(nèi)的降水量的列向量，由于是含有12個向量的10維向量組，該向量組必定線性相關(guān)。若能求出它的一個極大線性無關(guān)組，則其極大線性無關(guān)組所對應(yīng)的氣象觀測站就可將其他的氣象觀測站的氣象資料表示出來，因而其他氣象觀測站就是可以減少的。因此，最多只需要10個氣象觀測站。由為列向量組作矩陣，我們可以求出向量組的一個極大線性無關(guān)組（可由Matlab軟件中的命令，輸入矩陣A，rref(A)求出來）(事實上，該問題中任意10個向量都是極大線性無關(guān)組)，且有：故可以減少第11與第12個觀測站，可以使得到的降水量的信息仍然足夠大。當(dāng)然，也可以減少另外兩個觀測站，只要這兩個列向量可以由其他列向量線性表示。如果確定只需要8個氣象觀測站，那么我們可以從上表數(shù)據(jù)中取某8年的數(shù)據(jù)（比如，最近8年的數(shù)據(jù)），組成含有12個8維向量的向量組，然后求其極大線性無關(guān)組，則必有4個向量可由其余向量（就是極大線性無關(guān)組）線性表示。這4個向量所對應(yīng)的氣象觀測站就可以減少，可以使所得到的降水量的信息仍然足夠大?？梢宰C明，對于該問題的任意8個列向量都是線性無關(guān)的，因此，也可以減少其他4個氣象觀測站仍然可以使得到的降水量的信息足夠大。（注：本問題為西安市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目）評注1.理論依據(jù)任意個維向量必然線性相關(guān)，求出它的一個極大線性無關(guān)組，其余的向量一定可以用所求的極大線性無關(guān)組線性表示。2.應(yīng)用與推廣向量組的任意一個極大線性無關(guān)組都與整個向量組等價，因此包含的信息量相同。所以，只要從列向量組中找出它的一個極大線性無關(guān)組，就可以表示其余的向量，這個極大線性無關(guān)組就是包含足夠的信息量。這只是解決問題的一個途徑,當(dāng)然也可以用其他方法(如相關(guān)系數(shù)法、聚類分析法等)進(jìn)行解決。參考文獻(xiàn)葉其孝：數(shù)學(xué)建模教育與國際數(shù)學(xué)建模競賽[J].工科數(shù)學(xué)專輯.190工資問題現(xiàn)有一個木工、一個電工、一個油漆工和一個粉飾工，四人相互同意彼此裝修他們自己的房子。在裝修之前，他們約定每人工作13天（包括給自己家干活在內(nèi)），每人的日工資根據(jù)一般的市價在50~70元，每人的日工資數(shù)應(yīng)使得每人的總收入與總支出相等。表2.10.1是他們協(xié)商后制定出的工作天數(shù)的分配方案，如何計算出他們每人應(yīng)得的日工資以及每人房子的裝修費（只計算工錢，不包括材料費）是多少？表2.10.1四個工人工作天數(shù)的分配方案工種天數(shù)木工電工油漆工粉飾工在木工家工作天數(shù)4323在電工家工作天數(shù)5423在油漆工家工作天數(shù)2533在粉飾工家工作天數(shù)2164這是一個收入——支出的閉和模型。設(shè)木工、電工、油漆工和粉飾工的日工資分別為元，為滿足“平衡”條件，每人的收支相等，要求每人在這13天內(nèi)“總收入=總支出”。則可建立線性方程組：，整理，得齊次線性方程組用Matlab解之：A=[-9,3,2,3;5,-9,2,3;2,5,-10,3;2,1,6,-9]rref(A)*59取，得?；蚪獾茫?。為了使得取值在50~70之間，令，得所以，木工、電工、油漆工和粉飾工的日工資分別為54元、63元、60元和59元。每人房子的裝修費用相當(dāng)于本人13天的工資，因此分別為702元、819元、780元和767元。評注1．理論依據(jù)用一般線性方程組的求解方法解決不定方程的求解問題。2．應(yīng)用與推廣應(yīng)用線性方程組的理論可以解決收入與支出的平衡問題，也可以進(jìn)行投入產(chǎn)出分析并且進(jìn)一步優(yōu)化。2.11市場均衡——線性方程組的應(yīng)用兩市場均衡在許多市場均衡模型中，代表各個市場需求和供給的方程組明確表明，每個市場的需求和供給都取決于其他市場的價格。例如，咖啡的需求不僅取決于咖啡的價格，還取決于茶——一種替代商品的價格；汽車的需求不僅取決于汽車的價格，還取決于汽油——一種互補商品的價格。一家廠商的供給會由于各種原因受其他商品價格的影響。例如，一家廠商可能會把其他廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品作為投入品，在這種情況下，這家廠商的供給由其生產(chǎn)的產(chǎn)品的價格和作為投入品的其他廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品的價格所決定。兩種商品的市場模型的關(guān)系表達(dá)式一般寫為：若，那么商品2（投入品）價格的上升會減少廠商1對它的使用量，從而降低商品1的產(chǎn)量。令每個市場的供給和需求相等，就得到?jīng)Q定均衡價格和的包含兩個方程的方程組。結(jié)構(gòu)方程式：解這個方程組，可得：它們僅取決于模型的參數(shù)。例1：互補品的兩市場的均衡如果被消費者看作是互補品的兩種商品有如下的需求和供給方程式，（商品1），（商品2）分別表示商品的供給數(shù)量和需求數(shù)量，表示商品的單位價格。兩種商品的互補表現(xiàn)為一種商品價格提高的時候，另一種商品的需求量下降。求這兩種商品的均衡價格。在均衡條件下，對每一種商品，有。由此可得線性方程組求解得：，這兩個價格，也只有這兩個價格，可以使這兩個商品市場同時達(dá)到均衡。用matlab求解>>A=[3,1,21;1,3,40]A=31211340>>rref(A)ans=1.000002.875001.000012.3750多市場均衡當(dāng)我們討論的兩市場均衡問題擴(kuò)展到個市場的問題，就是個方程的問題。對于三個市場的情況：令，可得3個方程3個未知量的線性方程組：求解得到均衡價格。一般情況下，用表示種商品的市場供給量，為的常數(shù)列向量，為的系數(shù)矩陣，為的價格列向量，我們有：同樣，需求方程可以記作這里用表示種商品的市場需求量，為的常數(shù)列向量，為的系數(shù)矩陣，為的價格列向量。設(shè)在每個市場上供給量等于需求量（市場均衡）則有：當(dāng)?shù)南禂?shù)矩陣可逆的時候，均衡價格向量的解為（唯一）：例2：考慮咖啡、茶葉和糖的市場。這些商品的需求相互聯(lián)系，因為咖啡和茶葉是替代產(chǎn)品，而糖與咖啡、茶葉是互補產(chǎn)品。忽略供給市場，我們有令三種商品的需求等于供給，然后給出均衡價格方程組：解得：>>A=[7,-3,1,110;-2,13,2,140;10,5,16,300]A=7-31110-213214010516300>>rref(A)ans=1.00000021.559601.0000013.9450001.00000.9174因此，茶葉、咖啡和糖三種產(chǎn)品的市場均衡價格分別為：21.5596，13.945和0.9174。評注1.理論依據(jù)市場均衡的條件是總供給等于總需求；線性方程組的求解。2.應(yīng)用與推廣市場均衡分為一般均衡和局部均衡。一般均衡是指一個經(jīng)濟(jì)社會所有市場的供給和需求相等的一種狀態(tài)，一般均衡的理論代表人物是瓦爾拉斯。局部均衡是指單個市場或部分市場的供給和需求相等的一種狀態(tài)，局部均衡理論的代表人物是馬歇爾。均衡狀態(tài)下的供給或需求成為均衡數(shù)量，對應(yīng)的價格成為均衡價格。線性方程組還可以解決其他應(yīng)用型問題。參考文獻(xiàn)邱森：線性代數(shù)探究性課題新編[M].武漢大學(xué)出版社，202投入產(chǎn)出分析一個城鎮(zhèn)有三個主要生產(chǎn)企業(yè)：煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。已知生產(chǎn)價值1元的煤，需要消耗0.25元的電和0.35元的運輸費；生產(chǎn)價值1元的電，需要消耗0.40元的煤、0.05元的電和0.10元的運輸費；而提供價值1元的鐵路運輸服務(wù)，則需要消耗0.45元的煤、0.10元的電和0.10元的鐵路運輸服務(wù)費。假設(shè)在某個星期內(nèi)，除了這三個企業(yè)間的彼此需求，煤礦得到50000元的訂單，電廠得到25000元的電量供應(yīng)需求，而地方鐵路得到價值30000元的運輸需求。試問：這三個企業(yè)在這個星期各生產(chǎn)多少產(chǎn)值才能滿足內(nèi)外需求？除了外部需求，試求這星期各企業(yè)之間的消耗需求，同時求出各企業(yè)的新創(chuàng)造價值（即產(chǎn)值中去掉各企業(yè)的消耗所剩部分）。這是一個小型的經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出模型①投入產(chǎn)出法是由經(jīng)濟(jì)學(xué)家華西里·W·①投入產(chǎn)出法是由經(jīng)濟(jì)學(xué)家華西里·W·里昂節(jié)夫（WassilyW.Leortief）創(chuàng)立并發(fā)展，為此他獲得1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。關(guān)于投入產(chǎn)出模型更詳細(xì)的內(nèi)容，讀者可以查閱有關(guān)專門的著作。②這是價值型投入產(chǎn)出表，此外還有實物型的投入產(chǎn)出表，實物型的投入產(chǎn)出表縱列不可相加。表2.12.1小型的經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出表產(chǎn)出投入消耗系數(shù)（單位產(chǎn)品的消耗）最終產(chǎn)品總產(chǎn)值煤礦電廠鐵路煤礦00.400.4550000電廠0.250.050.1025000鐵路0.350.100.1030000新創(chuàng)造價值總產(chǎn)值設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路在這星期的總產(chǎn)值分別為、、（元），那么就有分配平衡方程組（表示產(chǎn)出情況）：該方程組說明各企業(yè)的產(chǎn)品按其經(jīng)濟(jì)用途的使用分配情況，即：總產(chǎn)品（值）=中間產(chǎn)品（作為系統(tǒng)內(nèi)部的消耗）+最終產(chǎn)品（外部需求）記稱為直接消耗系數(shù)矩陣，A中的元素表示單位（元）第部門產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中對第部門產(chǎn)品的消耗量。稱為總產(chǎn)品列向量（矩陣），稱為最終產(chǎn)品列向量（矩陣），則分配平衡方程組可以表示成或從而其解為對于我們的問題，可得即這個星期煤礦總產(chǎn)值是114458元，電廠總產(chǎn)值是65375元，鐵路服務(wù)產(chǎn)值是85111元。用Matlab求解：A=[0,0.4,0.45;0.25,0.05,0.1;0.35,0.1,0.1]Y=[50000,25000,30000]'X=inv(eye(3)-A)*Y值得指出的是：是直接消耗系數(shù)矩陣，可以證明：的所有特征值的模全小于1；因此，滿足條件，這是直接消耗系數(shù)矩陣特有的性質(zhì)。則是收斂的，稱為完全需要系數(shù)矩陣；同時稱為完全消耗系數(shù)矩陣，它等于直接消耗加上各次間接消耗。在求出X以后，三個企業(yè)為煤礦提供的中間產(chǎn)品（煤礦的消耗）列向量為：三個企業(yè)為電廠提供的中間產(chǎn)品（電廠的消耗）列向量為；三個企業(yè)為鐵路提供的中間產(chǎn)品（鐵路的消耗）列向量為；另一方面，若設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路在這星期的新創(chuàng)造價值（工資、稅收、利潤等）分別為、、（元），則可得到消耗平衡方程組：這個方程組說明了各部門總產(chǎn)值的價值構(gòu)成情況，即生產(chǎn)資料轉(zhuǎn)移價值+新創(chuàng)造價值=總產(chǎn)值由于、、已經(jīng)求得，代入消耗平衡方程組，可以解得=45784元、=29427元、=29789元。所以，可以得到這三個部門的投入產(chǎn)出表見表2.12.2.表2.12.2三個部門的投入產(chǎn)出表產(chǎn)出投入中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)值煤礦電廠鐵路煤礦0261583830050000114458電廠28614327085112500065395鐵路40061654085113000085111新創(chuàng)造價值457842942729789總產(chǎn)值1144586539585111評注1．理論依據(jù)根據(jù)線性方程組的理論，列出價值型投入產(chǎn)出表的兩組平衡方程組并求解。2．應(yīng)用與推廣投入產(chǎn)出綜合平衡模型是宏觀的經(jīng)濟(jì)模型，用于為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)（小到一家公司，大到整個國家乃至國際共同體）編制經(jīng)濟(jì)計劃并研究各種相關(guān)的經(jīng)濟(jì)政策和問題。這種模型由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家里昂節(jié)夫（WassilyW.Leortief）于1931年開始研究，并于1936年首先發(fā)表第一篇研究成果，此后數(shù)十年間被愈來愈多的國家采用并取得良好的效果，里昂節(jié)夫本人也因此而獲得1973年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。參考文獻(xiàn)郝志峰等：線性代數(shù)（第二版）[M].高等教育出版社.2003最優(yōu)生產(chǎn)計劃的確定——線性規(guī)劃問題某釀酒廠只生產(chǎn)香檳酒和葡萄酒兩種產(chǎn)品。當(dāng)前，生產(chǎn)上受到三個方面的限制：一是每周最大的發(fā)酵設(shè)備能力為60000單位；二是裝瓶能力為50000單位；三是香檳酒的凈化能力15000單位。根據(jù)產(chǎn)品的特點，每生產(chǎn)1瓶香檳酒需要3個單位的發(fā)酵能力、2個單位的裝瓶能力和1個單位的凈化能力，盈利2.5元；每生產(chǎn)1瓶葡萄酒需要1個單位的發(fā)酵能力和1個單位的裝瓶能力，盈利1元。在現(xiàn)有資源的條件下，應(yīng)如何安排生產(chǎn)可使該廠的盈利最大？首先，根據(jù)已知條件列成表2.13.1，然后建立數(shù)學(xué)模型：表2.13.1某釀酒廠資源利用計劃表部門生產(chǎn)需要的設(shè)備能力可供使用的設(shè)備能力香檳酒葡萄酒發(fā)酵3160000裝瓶2150000凈化1015000每瓶利潤2.51.0設(shè)該廠計劃生產(chǎn)香檳酒瓶，葡萄酒瓶，則該生產(chǎn)計劃問題為：在滿足的條件下，使總利潤達(dá)到最大。這個問題屬于線性規(guī)劃（LinearProgramming）問題，而線性規(guī)劃又是運籌學(xué)（OperationalResearch）的一個分支。其中的、稱為決策變量,不等式組稱為約束條件，利潤函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)。之所以稱該問題為線性規(guī)劃問題，是因為約束條件是決策變量的線性等式或不等式并且目標(biāo)函數(shù)也是決策變量的線性函數(shù)。引進(jìn)非負(fù)變量、、，將約束條件化為線性方程組 （2.13.1）、、、、其中、、分別表示閑置的發(fā)酵能力、裝瓶能力和凈化能力。該線性規(guī)劃問題實際上是求線性方程組（2.13.1）的非負(fù)解，且使目標(biāo)函數(shù)取到最大值。線性方程組（2.13.1）有無窮多解，顯然是線性方程組（2.13.1）的一般解。由于要求、只能取非負(fù)值，且、、的取值也必須是非負(fù)的，控制起來有一定的難度。為此，我們在線性方程組（2.13.1）的一般解的表達(dá)式中，控制右端常數(shù)項非負(fù)，只要令對應(yīng)的自由未知量等于0，而非自由未知量（系數(shù)矩陣中的單位矩陣所對應(yīng)的變量）就等于右端常數(shù)項的值，所以滿足非負(fù)性。因此，在（2.13.1）中令==0，則=60000，=50000，=15000，=0。即：什么酒都不生產(chǎn)，所有設(shè)備完全閑置，當(dāng)然利潤等于0。從目標(biāo)函數(shù)可以看出，若，則，所以總利潤?？紤]增加香檳酒的產(chǎn)量，按發(fā)酵、裝瓶和凈化設(shè)備能力可分別生產(chǎn)香檳酒60000/3=20000瓶，50000/2=25000瓶和15000瓶，因此只能生產(chǎn)香檳酒15000瓶。通過初等變換將線性方程組（2.13.1）化為： （2.13.2）在（2.13.2）中可解出、、（在（2.13.2）中、、對應(yīng)的系數(shù)列向量組成單位矩陣），令==0，則=15000，=15000，=20000，=37500。即生產(chǎn)香檳酒15000瓶，不生產(chǎn)葡萄酒，發(fā)酵設(shè)備閑置15000單位，裝瓶設(shè)備閑置20000單位，凈化設(shè)備充分利用，可得利潤37500元。從可以看出，若增大的值，總利潤可望增加。但從目前閑置的發(fā)酵設(shè)備能力只能生產(chǎn)葡萄酒15000瓶，但閑置的裝瓶設(shè)備能力可以生產(chǎn)葡萄酒20000瓶，因此只能考慮生產(chǎn)葡萄酒15000瓶。所以，將線性方程組（2.13.2）化為 （2.13.3）在（2.13.3）中令==0，則=15000，=15000，=5000，=52500。即生產(chǎn)香檳酒15000瓶，葡萄酒15000瓶，裝瓶設(shè)備閑置5000單位，發(fā)酵設(shè)備和凈化設(shè)備充分利用，可得利潤52500元。從中可以看出，若增大，則總利潤可望增加。但目前最大可能增大到5000，閑置5000單位的凈化設(shè)備，必須減少生產(chǎn)5000瓶香檳酒，但又有單位的發(fā)酵能力和單位的裝瓶能力閑置，再加上本來閑置的裝瓶能力5000單位（=5000），可以滿足15000瓶葡萄酒的生產(chǎn)需要。（香檳酒）減少利潤元，（葡萄酒）增加利潤15000元，凈增利潤15000-12500=2500元。所以由方程組（2.13.3）可得： （2.13.4）從（2.13.4）中令==0，則=10000，=30000，=5000，=55000。即：生產(chǎn)香檳酒10000瓶，葡萄酒30000瓶，發(fā)酵和裝瓶能力充分利用，但凈化能力閑置5000單位，可得利潤55000元。由于，故此時已經(jīng)取得最大值。所以，該釀酒廠的最優(yōu)生產(chǎn)計劃是：生產(chǎn)香檳酒10000瓶，葡萄酒30000瓶，可使總利潤達(dá)到最大。最大利潤為55000元。這里，我們通過分析和解線性方程組，求得該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，這種求解方法反映了單純形方法（SimplexMethod）的基本思路。單純形方法是求解線性規(guī)劃問題的主要方法。當(dāng)然，對于線性規(guī)劃問題：用lingo10.0進(jìn)行求解，可以很方便求出最優(yōu)解，并且進(jìn)行相關(guān)的經(jīng)濟(jì)分析。輸入：Max=2.5*x1+x2;3*x1+x2<=60000;2*x1+x2<=50000;X1<=15000;輸出結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:55000.00Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX110000.000.000000X230000.000.000000RowSlackorSurplusDualPrice155000.001.00000020.0000000.500000030.0000000.500000045000.0000.000000Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX12.5000000.50000000.5000000X21.0000000.25000000.1666667RighthandRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease260000.005000.00010000.00350000.0010000.005000.000415000.00INFINITY5000.000評注1．理論依據(jù)線性規(guī)劃問題實際上就是求一個線性方程組的非負(fù)解，并且使目標(biāo)函數(shù)取到最大值（或最小值）；線性方程組的有關(guān)理論是線性規(guī)劃的理論基礎(chǔ)。2．應(yīng)用與推廣線性規(guī)劃是運籌學(xué)中理論最完備、方法最簡單、應(yīng)用最普及的一個分支，它可以應(yīng)用在解決諸如：在一定資源的條件下，使利潤達(dá)到最大或者在達(dá)到一定技術(shù)要求的條件下使得成本最小。求解線性規(guī)劃問題有一整套成熟的方法，求解方法為單純形方法，可以直接用LINDO、LINGO等軟件進(jìn)行求解，并且進(jìn)行相關(guān)的經(jīng)濟(jì)分析。參考文獻(xiàn)姜啟源等：數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].高等教育出版社.2004基因的“距離”在ABO血型的人們中，對各種群體的基因頻率進(jìn)行了研究。如果把四種等位基因區(qū)別開，有人報告了如表2.14.1中的相對頻率：表2.14.1各種群體的基因頻率表愛斯基摩人班圖人英國人朝鮮人0.29140.10340.20900.22080.00000.08660.06960.00000.03160.12000.06120.20690.67700.69000.66020.5723合計1111現(xiàn)在的問題是：一個群體與另一個群體的接近程度如何？換句話說，就是要找到一個表示基因的距離的合適的度量。解決這個問題可以用向量代數(shù)的方法。首先，我們用單位向量來表示每一個群體，為此對各個群體向量單位化：，所以有：一種方法是利用歐氏空間的距離來度量各個向量之間的距離，,距離小的，他們就接近。經(jīng)計算，得=0.3090；=0.1478；=0.2840；=0.1768；=0.2882；=0.2631；由此可見，最小的基因“距離”是愛斯基摩人與英國人之間的基因“距離”=0.1478,最大的基因“距離”是愛斯基摩人與班圖人之間的基因“距離”=0.3090。另一種度量方法是考慮在四維向量空間中，這些向量都是單位向量，它們的終點都位于一個球心在原點半徑為1的球面上，現(xiàn)在用兩個向量的夾角來表示兩個對應(yīng)的群體間的“距離”是合理的。如果我們把與之間的夾角記為，由于，，再由夾角余弦的計算公式，其夾角數(shù)值為。越大，則越大，越小，與的距離就越??；越小，則越小，越大，與的距離就越大。因此，我們可以通過單位向量的內(nèi)積來度量它們之間的“距離”。經(jīng)計算，得=0.9523；=0.9891；=0.9597；=0.9844；=0.9585；=0.9654。由于與的內(nèi)積=0.9891最大，與的內(nèi)積=0.9523最小。所以，最小的基因“距離”是愛斯基摩人與英國人之間的基因“距離”；最大的基因“距離”是愛斯基摩人與班圖人之間的基因“距離”。以上兩種度量方法的結(jié)果一致，這不是偶然的。由于因而越大，則越小，也越小；越小，則越大，也越大。反之亦然。所以，用歐氏空間的距離和用兩個向量的內(nèi)積來度量兩個單位向量的“距離”，其結(jié)果是一致的。評注1．理論依據(jù)向量的內(nèi)積與夾角，用單位向量的夾角來度量兩個向量的距離和用毆氏空間的距離來度量是一致的。2．應(yīng)用與推廣這種方法可以用來進(jìn)行多指標(biāo)綜合評價，如主成分分析、聚類分析。利用不同的距離進(jìn)行聚類分析，就是基于這個原理的。參考文獻(xiàn)李心燦等：高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例[M].高等教育出版社.1997.82.15平行四邊形的面積與平行體的體積在平面或空間直角坐標(biāo)系下，平行四邊形的面積與平行六面體的體積可由行列式給出。設(shè)平行四邊形的兩條邊由向量與確定，則其面積的平方為：（其中為與的夾角）當(dāng)平行六面體的三條棱由三個向量，，給出時，其體積的平方為：所以，體積（注：行列式的絕對值）當(dāng)是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，由中的任意三個向量為棱的平行六面體的體積的平方為同樣，由中任意個向量為棱的維平行體體積的平方為稱為由構(gòu)成的格拉姆（Gram）行列式。另一方面，線性無關(guān)的充分必要條件是格拉姆行列式所以，中的任意個向量線性無關(guān)（線性相關(guān)）的充分必要條件是：以為棱的維平行體體積不等于零（等于零）。當(dāng)然，如果是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，的表達(dá)式為則有，格拉姆行列式評注1．理論依據(jù)向量的內(nèi)積、線性無關(guān)與張成的多面體的體積，用行列式來表示和計算。2．應(yīng)用與推廣向量的內(nèi)積、線性無關(guān)的向量組與張成的多面體的體積，用格拉姆行列式來表示和計算，反映了不同概念之間的聯(lián)系，同時又給出向量組線性無關(guān)的一個充分必要條件。參考文獻(xiàn)歸行茂等：線性代數(shù)的應(yīng)用[M].上?？茖W(xué)普及出版社.196動物繁殖問題與Leslie人口模型一、問題某農(nóng)場飼養(yǎng)的某種動物所能達(dá)到的最大年齡為6歲，將其分為三個年齡組：第一組0~2歲；第二組3~4歲；第三組5~6歲。動物從第二年齡組起開始繁衍后代，經(jīng)過長期統(tǒng)計，第二年齡組的動物在其年齡段內(nèi)平均繁殖4個后代，第三年齡組的動物在其年齡段內(nèi)平均繁殖3個后代。第一年齡組和第二年齡組的動物能順利進(jìn)入下一個年齡組的存活率分別為和。假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段的動物各160頭，問飼養(yǎng)8年后，農(nóng)場三個年齡段的動物各有多少頭？二、建立模型因年齡分組為2歲一段，所以將時間周期也取為2年。8年后就是經(jīng)過了4個時間周期。設(shè)分別表示第期的第一、二、三組動物的數(shù)量，則有以下關(guān)系式：，用矩陣表示為若記，，則有。已知，則所以，飼養(yǎng)8年后動物總數(shù)達(dá)2505頭，小于2歲的有1300頭，占51.9%；2歲到4歲的有1150頭，占45.91%；4歲到6歲的有55頭，占2.2%。8年的總增長率為422%。用Matlab求解：L=[0,4,3;0.5,0,0;0,0.25,0]X0=[160;160;160]X4=L^4*X0三、萊斯利(Leslie)人口模型我們將人口按相同的年限（比如1年、5年、10年或20年等）分成若干個年齡組，同時假設(shè)總?cè)丝谥心信詣e的比例一定，這樣就可以通過只考慮女性人口來簡化人口模型。人口發(fā)展隨時間變化，把總?cè)丝诘哪挲g分為個年齡組（年齡組間距為固定整數(shù)）為在時間周期k時第i個年齡組（女性）人口。人口的變化因素主要有生育（由生育率決定）和死亡（由存活率決定）。那么在時間周期第1個年齡組的成員是在上一個周期（時間周期）內(nèi)出生的，他們是上一個周期內(nèi)成員的后代，于是有其中是第i個年齡組的出生率，由統(tǒng)計資料確定；在時間周期k第個年齡組的成員是在上一個周期（時間周期）第i個年齡組的成員轉(zhuǎn)移得來的，在考慮死亡率的情況下，這一轉(zhuǎn)移過程可由一存活系數(shù)衰減，這一轉(zhuǎn)移過程可以描述為其中是第i個年齡組在一個周期內(nèi)的存活率，可由統(tǒng)計資料確定。所以，有人口轉(zhuǎn)移的表達(dá)式，或者簡寫成其中，，矩陣L稱為萊斯利（Leslie）矩陣。由遞推公式可得：這個模型是由萊斯利（Leslie）在二十世紀(jì)四十年代提出來的，所以稱為Leslie人口模型。進(jìn)一步研究人口模型，發(fā)現(xiàn)人口增長過程進(jìn)行到充分長久以后，人口的增長率將穩(wěn)定不變，人口的年齡結(jié)構(gòu)將趨于一種穩(wěn)定的分布狀況，這些結(jié)論與Leslie矩陣L的最大特征值和相應(yīng)的特征向量有關(guān)。比如，根據(jù)我國2001——2005年1%抽查人口數(shù)據(jù)，可以歸納出萊斯利矩陣，根據(jù)萊斯莉人口模型可以對我國中長期人口進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)一步可以計算我國人口的性別比、老齡化水平、撫養(yǎng)比等人口數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以研究人口紅利的效應(yīng)等一些列問題。用人口年齡分布向量研究人口的發(fā)展變化，其優(yōu)點在于：既得到了總?cè)丝诘脑鲩L率，又預(yù)測了全社會人口年齡結(jié)構(gòu)的變化。利用Leslie人口模型，可以結(jié)合我國的計劃生育政策來研究人口的變化，也可以根據(jù)我國的人口狀況及生育政策研究老齡化問題等等。評注1．理論依據(jù)根據(jù)矩陣的理論，應(yīng)用矩陣的乘法、矩陣的特征值等理論來描述種群的繁殖和生長模型。2．應(yīng)用與推廣種群的繁衍、人口的增長，除了可以用微分方程模型進(jìn)行連續(xù)描述以外，還可以劃分成階段，根據(jù)各個階段的不同狀態(tài)和狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，應(yīng)用矩陣的乘法（矩陣方冪的收斂性）來預(yù)測生物種群的數(shù)量。這是萊斯莉模型的重要應(yīng)用。參考文獻(xiàn)姜啟源等：數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].高等教育出版社.2007植物基因的分布與從事各業(yè)人員總數(shù)的發(fā)展趨勢1.植物基因的分布一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為、和。研究所計劃采用型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。已知基因轉(zhuǎn)移關(guān)系概率如表2.17.1：表2.17.1基因轉(zhuǎn)移概率表父母子代父體—母體的基因型———子代基因型11/2001/21000問經(jīng)過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因分布如何？為了揭示生命的奧秘，人們越來越重視遺傳特征的逐代傳播問題。無論是人、動物還是植物都會將本身的特征遺傳給后代，這主要是后代繼承了雙親的基因，形成了自己的基因?qū)Γ驅(qū)痛_定了后代所表現(xiàn)的特征。在常染色體的遺傳中，后代是從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因形成自己的基因?qū)Γɑ蛐停?。在我們所研究的問題中，植物的基因?qū)?、和。記、、分別表示第代植物中基因型、、的植物所占植物總數(shù)的百分比，為第代植物的基因分布向量，且（），則有即記，則為了得到的具體表達(dá)式，我們可將對角化，即存在可逆矩陣和對角矩陣使，故。所以，當(dāng)時，。即培育出植物型基因所占比例在不斷增加，在極限狀態(tài)下所有植物的基因都會是型。2.勞動力就業(yè)的轉(zhuǎn)移某城市共有30萬人從事農(nóng)、工、商各行業(yè)的工作，假定這個總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會調(diào)查表明：（1）在這30萬就業(yè)人員中，目前約有15萬人從事農(nóng)業(yè)，9萬人從事工業(yè)，而有6萬人經(jīng)商。（2）在從農(nóng)人員中，每年約有20%改為從工，10%改為經(jīng)商。（3）在從工人員中，每年約有20%改為從農(nóng)，10%改為經(jīng)商。（4）在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為從農(nóng)，10%改為從工?，F(xiàn)欲預(yù)測一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)的發(fā)展趨勢。若用3維列向量表示第年后從事這3種職業(yè)的人員總數(shù)（單位：萬人），則已知，而欲求，并考察在時的發(fā)展趨勢。引進(jìn)3階矩陣，用以刻畫從事各業(yè)人員間的轉(zhuǎn)移，稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣。（轉(zhuǎn)移概率矩陣具有：元素非負(fù)，每行元素之和等于1，并且轉(zhuǎn)移概率矩陣的方冪也是轉(zhuǎn)移概率矩陣等性質(zhì)；屬于隨機(jī)過程中馬爾柯夫鏈的內(nèi)容）于是：由矩陣乘法，得（因為本問題中轉(zhuǎn)移概率矩陣恰為對稱矩陣）由于要分析，就需要計算，由于可以對角化。用Matlab軟件求解：A=[0.7,0.2,0.1;0.2,0.7,0.1;0.1,0.1,0.8][Q,X]=eig(A)可以得到對應(yīng)的對角矩陣和可逆變換矩陣分別為：，，所以可知，當(dāng)時，照此規(guī)律轉(zhuǎn)移，多年之后，從事這三種職業(yè)的人數(shù)將趨于相等，均為10萬人。與最初從事各業(yè)的人數(shù)比例無關(guān)。評注1．理論依據(jù)根據(jù)矩陣的理論，根據(jù)轉(zhuǎn)移狀態(tài)概率矩陣、矩陣的特征值等理論來描述狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。2．應(yīng)用與推廣根據(jù)各個階段的不同狀態(tài)和狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，應(yīng)用矩陣的乘法（矩陣方冪的收斂性）來預(yù)測狀態(tài)的發(fā)展趨勢，這種方法屬于隨機(jī)過程中的馬爾柯夫鏈，在市場占有率預(yù)測等方面有著重要的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)郝志峰等，線性代數(shù)（第二版）[M].高等教育出版社.2008受教育程度的依賴性社會學(xué)的某些調(diào)查結(jié)果表明，兒童受教育的水平依賴于他們父母受教育的水平。調(diào)查過程將人受教育的程度劃分為三類：E類：這類人具有初中或初中以下程度；S類：這類人具有高中文化程度；C類：這類人受過高等教育。當(dāng)父母（指文化程度較高者）是這三類人中的一類型時，其子女將屬于這三類中的任一類的概率（占總數(shù)的百分比）如表2.18.1：表2.18.1子女教育水平與父母教育水平的關(guān)系子女父母ESCESC問題：（1）屬于S類的人口中，其第三代將接受高等教育的百分比是多少？（2）假設(shè)不同的調(diào)查結(jié)果表明，如果父母之一受過高等教育，那么他們的子女總是可以進(jìn)入大學(xué)，修改上面的概率轉(zhuǎn)移矩陣；（3）根據(jù)（2），每一類人口的后代平均要經(jīng)過多少代，最終都可以接受高等教育？解：（1）由調(diào)查表可得概率轉(zhuǎn)移矩陣表示當(dāng)父母是這三類人中的某一類型時，其子女將屬于這三類中的任一類的概率，經(jīng)過兩步轉(zhuǎn)移得即反映當(dāng)祖父母是這三類人中的某一類型時第三代受教育程度，依次類推。所以，屬于S類的人口中，其第三代將接受高等教育的概率是26%。的三個特征值分別為，可以對角化。當(dāng)時，，不論現(xiàn)在的受教育水平的比例如何，按照這種趨勢發(fā)展下去，其最終趨勢是屬于E、S、C類的人口分別為37.84%、29.73%、32.43%。（2）如果父母之一受過高等教育，那么他們的子女總是可以進(jìn)入大學(xué)，則上面的概率轉(zhuǎn)移矩陣可修改為：，可以計算，……，，……，。屬于S類的人口中，其第三代將接受高等教育的概率是32%。的三個特征值分別為，可以對角化。當(dāng)時，，在當(dāng)時，。如果父母之一受過高等教育，那么他們的子女總是可以進(jìn)入大學(xué)，不論現(xiàn)在的受教育水平的比例如何，按照這種趨勢發(fā)展下去，其最終趨勢是屬于E、S、C類的人口分別為0、0、100%。由此可以看出，按照這種趨勢發(fā)展下去，其最終趨勢所有人都可以接受高等教育。評注1．理論依據(jù)根據(jù)矩陣的理論，轉(zhuǎn)移狀態(tài)概率矩陣、矩陣的特征值等理論來描述狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。2．應(yīng)用與推廣根據(jù)各個階段的不同狀態(tài)和狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，應(yīng)用矩陣的乘法（矩陣方冪的收斂性）來預(yù)測狀態(tài)的發(fā)展趨勢，這種方法屬于隨機(jī)過程中的馬爾柯夫鏈，在市場預(yù)測等方面有著重要的應(yīng)用。2.19快樂的假期旅游悄悄地，山綠了，水綠了，樹、草全綠了；幾回春雨澆過，那漫山遍野的杜鵑、桃花、梨花都張開了笑臉。春天來了，張勇、李雨、王剛、趙宇四位大學(xué)生相約，去尋找那生機(jī)勃勃盎然向上的春天，去呼吸那沁人心肺春天的氣息?！拔逡弧钡拈L假終于來到了，但為選擇到哪里去旅游他們卻發(fā)生了爭執(zhí)。原來張勇想到風(fēng)光綺麗的蘇杭去看園林的春色和西湖的美色，李雨卻想到風(fēng)景迷人的黃山去看巍峨挺拔的黃山松，王剛則想到風(fēng)光秀麗的廬山去尋找廬山的真面目。三個人爭得面紅而赤，只有趙宇坐在一邊，手里拿著筆，不停地寫著。最后站起來說：“別吵了，我計算過了，去蘇杭是明智的選擇?！闭f著他拿起粉筆在紙上畫一張分析圖，如圖2.19.1，并講解起來：最佳旅游地景色費用飲食最佳旅游地景色費用飲食居住旅途蘇杭黃山廬山這是一個遞階層次結(jié)構(gòu)，它分三個層次。第一層（選擇最佳旅游地）我們稱之為目標(biāo)層，第二層（旅游的傾向）我們稱之為準(zhǔn)則層，第三層（旅游地點）我們稱之為方案層，各層之間的聯(lián)系用相連的直線表示。要依據(jù)我們的喜好對這三個層次進(jìn)行相互比較判斷，進(jìn)行綜合，在三個旅游地中確定哪一個作為最佳地點。具體的做法是通過相互比較確定各準(zhǔn)則對于目標(biāo)的權(quán)重和各方案對于每一準(zhǔn)則的權(quán)重。首先在我們在準(zhǔn)則層對方案層進(jìn)行賦權(quán)。我們認(rèn)為費用應(yīng)占最大的比重（因為我們是學(xué)生），其次是風(fēng)景（我們主要是旅游），再著是旅途，至于吃住對我們年輕人來說就不太重要。我們采用兩兩比較判斷法：表2.19.1旅游決策準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的兩兩比較表景色費用飲食居住旅途景色11/2553費用21775飲食1/51/711/21/3居住1/51/7211/2旅途1/31/5321在表2.19.1中，，它表示景色與費用對選擇旅游地這個目標(biāo)來說的重要之比為1/2（景色比費用稍微不重要），而則表示費用與景色對選擇旅游地這個目標(biāo)來說的重要之比為2（費用比景色稍微重要）；表示景色與飲食對選擇旅游地這個目標(biāo)來說的重要之比為5（景色比飲食明顯重要），而則表示飲食與景色對選擇旅游地這個目標(biāo)來說的重要之比為1/5（飲食比景色明顯不重要）；表示費用與飲食對選擇旅游地這個目標(biāo)來說的重要之比為7（費用比飲食強(qiáng)烈重要），而則表示飲食與費用對選擇旅游地這個目標(biāo)來說的重要之比為1/7（飲食比景色強(qiáng)烈不重要）。由此可見，在進(jìn)行兩兩比較時，我們只需要進(jìn)行1+2+3+4=10次比較即可。由表1我們得到一個比較判斷矩陣并稱之為正互反矩陣。階正互反矩陣的特點是；（i，j=1，2，…，n）現(xiàn)在的問題是怎樣由正互反矩陣確定諸因素對目標(biāo)層的權(quán)重？由于A是正矩陣，由佩羅（Perron）定理知，正互反矩陣一定存在一個最大的正特征值，并且所對應(yīng)的特征向量X可取為正向量。即，將X歸一化（各個分量之和等于1）作為權(quán)向量W，即W滿足。A=[1,1/2,5,5,3;2,1,7,7,5;1/5,1/7,1,1/2,1/3;1/5,1/7,2,1,1/2;1/3,1/5,3,2,1][X,Q]=eig(A)可以求出最大特征值，對應(yīng)的特征向量經(jīng)過歸一化得，就是準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的排序向量。用同樣的方法，給出第三層（方案層）對第二層（準(zhǔn)則層）的每一準(zhǔn)則比較判斷矩陣，由此求出各排序向量（最大特征值所對應(yīng)的特征向量并歸一化）：；；；；最后，我們將由各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)向量W和各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)向量，計算