第二篇線性代數(shù)模型

PAGE1PAGE84第二篇線性代數(shù)模型在線性代數(shù)部分的應(yīng)用實(shí)例中，通過對(duì)應(yīng)用問題建模主要培養(yǎng)用矩陣與線性方程組來解決問題的能力，探討離散過程的演變規(guī)律建模并討論其穩(wěn)定性。應(yīng)用行列式的展開性質(zhì)可以得出一些結(jié)果的遞推公式，從而與差分方程建立聯(lián)系來解決應(yīng)用問題，與行列式內(nèi)容相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例有：斐波那契(Fibonncci)數(shù)列與兔子繁殖的數(shù)量。范德蒙行列式的主要應(yīng)用之一是通過克萊姆法則解線性方程組，對(duì)于解決實(shí)際應(yīng)用問題具有非常重要的作用。相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例有：通過定點(diǎn)的曲線與曲面方程，多項(xiàng)式插值問題(范德蒙行列式的應(yīng)用)等。矩陣是線性代數(shù)的重要工具，很多實(shí)際問題通過矩陣表示（如鄰接矩陣等）和運(yùn)算，使得問題的解決更方便或者可以直接應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件求解。與矩陣表示及其運(yùn)算相關(guān)的應(yīng)用實(shí)例有：循環(huán)比賽名次的確定，不同地（城市）之間的交通問題，一種密碼方法（逆矩陣的應(yīng)用）等。許多變量之間的關(guān)系可以表達(dá)為線性函數(shù)關(guān)系或者線性方程組，一些應(yīng)用問題的約束條件是線性等式或線性不等式，這些都與線性方程組的求解有著密切的關(guān)系。用線性方程組解決應(yīng)用的實(shí)例有：交通流量問題，不定方程組的整數(shù)解，調(diào)整氣象觀測(cè)站問題，工資問題，市場(chǎng)均衡——線性方程組的應(yīng)用，投入產(chǎn)出分析，最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃的確定（線性規(guī)劃問題）等。在線性代數(shù)的應(yīng)用中可以用向量描述多個(gè)變量的變化及其之間的相互聯(lián)系，而初學(xué)者對(duì)于向量的處理感到困難，但向量的應(yīng)用非常廣泛，包括信息的加工處理與最優(yōu)化方法（如最小二乘法等）。與向量?jī)?nèi)容有關(guān)的應(yīng)用實(shí)例有：基因的“距離”，平行四邊形的面積與平行體的體積等。許多經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型和工程應(yīng)用模型都與二次型及其標(biāo)準(zhǔn)化的內(nèi)容相關(guān)，在應(yīng)用矩陣解決實(shí)際問題的過程中又涉及到矩陣的特征值和矩陣的對(duì)角化問題，而且二次型與特征值問題和二次型的正定性在微觀經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型中有著重要的應(yīng)用。與特征值問題和二次型有關(guān)的應(yīng)用實(shí)例有：動(dòng)物繁殖問題與Leslie人口模型，植物基因的分布與從事各業(yè)人員總數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)，受教育程度的依賴性，快樂的假期旅游，小行星的軌道問題和二次型的正定性在函數(shù)極值判定中的應(yīng)用等。

2.1斐波那契(Fibonncci)數(shù)列與兔子繁殖的數(shù)量兔子出生以后兩個(gè)月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一對(duì)小兔（雌雄各一只），且出生的兔子都能成活。試問：由1對(duì)小兔開始，一年后共有多少對(duì)兔子，兩年后共有多少對(duì)兔子？解：先直接推算。在第0月有1對(duì)兔子；第1月也只有1對(duì)兔子；在第2月這對(duì)兔子生了1對(duì)小兔，共有兩對(duì)兔子；在第3月，老兔子又生了1對(duì)小兔，共有3對(duì)兔子；在第4個(gè)月，老兔子和第2個(gè)月出生的小兔各生了一對(duì)小兔，共有5對(duì)兔子；在第5個(gè)月，第3個(gè)月的3對(duì)兔子各生了一對(duì)小兔，共有8對(duì)兔子；在第6個(gè)月，第4個(gè)月的5對(duì)兔子各生了一對(duì)小兔，共有13對(duì)兔子……。如此類推，不難得到月份和兔子對(duì)數(shù)的關(guān)系如表2.1.1：表2.1.1兔子繁殖數(shù)量表月份數(shù)0123456789……兔子對(duì)數(shù)11235813213455……從表2.1.1中可以看出，若用數(shù)列表示第個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)，則有，。由此可以推出一年后兔子的對(duì)數(shù)為對(duì)，二年后兔子的對(duì)數(shù)為對(duì)。數(shù)列稱為斐波那契(Fibonncci)數(shù)列，關(guān)于斐波那契數(shù)列的問題是一個(gè)古老而且有趣的問題，這是在1202年由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出來的?？紤]階行列式將其按第一列（或第一行）展開，則有且。由此可見由行列式組成的數(shù)列也是斐波那契數(shù)列。經(jīng)過計(jì)算（利用差分方程或矩陣的特征值與特征向量等內(nèi)容）有這就是斐波那契數(shù)列的盧卡斯（Lucas）通項(xiàng)公式。這個(gè)結(jié)論告訴我們一個(gè)有趣的事實(shí)，雖然可以用階行列式表示的數(shù)列都是正整數(shù)，可是它們卻由一些無理數(shù)表示出來了。此外，斐波那契數(shù)列有許多重要、有趣的性質(zhì)和應(yīng)用，特別值得一提的是優(yōu)選法中分?jǐn)?shù)法正是基于此數(shù)列的，而它的表達(dá)式中出現(xiàn)了正是黃金分割的數(shù)值。另外，在自然界中，植物的葉序、菠蘿中的鱗狀花萼、蜜蜂進(jìn)蜂房的方式數(shù)、藝術(shù)上的美點(diǎn)——黃金分割等都可與斐波那契數(shù)列聯(lián)系起來，真實(shí)奇妙！神秘！問題：欲登上第18級(jí)臺(tái)階，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)臺(tái)階，共有多少種不同的走法？某人去登黃山，此人一步可以登一個(gè)臺(tái)階也可以登兩個(gè)臺(tái)階，問他登上個(gè)臺(tái)階的“云梯”的不同攀登方式共有多少種？分析：登上第1級(jí)臺(tái)階，只有1種方法，；登上第2級(jí)臺(tái)階共有2種方法（可以每次登一階，也可以一次登兩階）；登上第3級(jí)臺(tái)階或者是從第1級(jí)臺(tái)階跨2個(gè)臺(tái)階上來的，或者是從第2級(jí)臺(tái)階跨1階臺(tái)階上來的，則有3種方法，。設(shè)表示登上第級(jí)臺(tái)階的走法，。因?yàn)榈巧系诩?jí)臺(tái)階，他的最后一步可以從第級(jí)臺(tái)階跨2級(jí)，也可以從第級(jí)臺(tái)階跨1級(jí)而到達(dá)，所以有，這也是斐波那契數(shù)列的問題，可以求得欲登上第18級(jí)臺(tái)階，共有=4181種走法。登上個(gè)臺(tái)階的“云梯”的不同攀登方式共有種。斐波那契數(shù)列是一個(gè)神奇的數(shù)列，有人將它與股票波浪理論聯(lián)系起來，也有人將它與彩票的中獎(jiǎng)號(hào)碼聯(lián)系起來。有興趣的讀者，可以進(jìn)行更深入的思考。評(píng)注1.理論依據(jù)行列式按一行（列）展開，得到遞推公式是一個(gè)差分方程，根據(jù)初值條件，可得一般表達(dá)式。2．應(yīng)用與推廣斐波那契數(shù)列是一個(gè)很重要的數(shù)列，它可以廣泛地應(yīng)用到股票價(jià)格的預(yù)測(cè)等經(jīng)濟(jì)管理之中。參考文獻(xiàn)楊啟帆，李浙寧，王聚豐，涂黎輝:數(shù)學(xué)建模案例集[M].高等教育出版社，2006.7.楊桂元:用差分方程計(jì)算行列式[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007年第1期.2.2通過定點(diǎn)的曲線與曲面方程線性方程組的理論中有一個(gè)基本結(jié)論：含有個(gè)方程個(gè)未知量的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零。利用這個(gè)結(jié)論，我們可以建立用行列式表示的直線、平面、圓和其他一些曲面的方程，也可以求出一般多項(xiàng)式的表達(dá)式。如果平面上有兩個(gè)不同的已知點(diǎn)，通過這兩點(diǎn)存在惟一的直線，設(shè)直線方程為：，且不全為零。由于在這條直線上，所以它們滿足上述直線方程，則：，。因此有這是一個(gè)以為未知量的齊次線性方程組，且不全為零，說明該齊次線性方程組必有非零解。于是，系數(shù)行列式等于零。即這就是用行列式表示的通過已知兩點(diǎn)的直線方程。例如，通過兩點(diǎn)的直線方程為：即同理，通過空間中三點(diǎn)、、的平面方程為：例如，通過空間中三點(diǎn)、、的平面方程為：，即同理，用行列式表示的通過平面上三點(diǎn)的圓的方程為：對(duì)于次多項(xiàng)式，可由其圖象上的個(gè)橫坐標(biāo)互不相同的點(diǎn)、、…、、所惟一確定。這是因?yàn)?，這個(gè)點(diǎn)均滿足這個(gè)次多項(xiàng)式，則有這是一個(gè)含有個(gè)方程、以為個(gè)未知量的線性方程組，其系數(shù)行列式是一個(gè)范德蒙（Vandermonde）行列式，當(dāng)互不相同時(shí)，，由克萊姆（Cramer）法則，可以惟一地解出。所以，次多項(xiàng)式可由其圖象上的個(gè)橫坐標(biāo)互不相同的點(diǎn)、、…、、所惟一確定。該多項(xiàng)式方程的行列式形式為評(píng)注1．理論依據(jù)求解線性方程組的克萊姆（Cramer）法則,范德蒙（Vandermonde）行列式的直接應(yīng)用。2．應(yīng)用與推廣求過定點(diǎn)的曲線或曲面的方程，一般多項(xiàng)式的擬合問題，應(yīng)用這些方法還可以解決多項(xiàng)式插值問題。參考文獻(xiàn)歸行茂等：線性代數(shù)的應(yīng)用[M].上?？茖W(xué)普及出版社.1994.11.楊桂元：用行列式求通過定點(diǎn)的曲線與曲面方程[J].高等數(shù)學(xué)研究，200多項(xiàng)式插值問題——范德蒙(Vandermonde)行列式的應(yīng)用在實(shí)際問題中會(huì)遇到這樣的情況：有可能函數(shù)的表達(dá)式很復(fù)雜或者根本不知道其具體表達(dá)式，而只能通過實(shí)驗(yàn)或試驗(yàn)得到該函數(shù)在某些點(diǎn)上的函數(shù)值.要尋找一個(gè)函數(shù)來近似代替，要求滿足:這類問題稱為插值問題，并稱為的插值函數(shù)，稱為插值節(jié)點(diǎn)，稱為插值條件。常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式和樣條函數(shù)?，F(xiàn)在的問題是怎樣來找，即選擇什么類型的函數(shù)作為？一種簡(jiǎn)單而又自然的方法就是把設(shè)成次數(shù)不超過的多項(xiàng)式：滿足插值條件有個(gè)方程，從而確定出中的個(gè)參數(shù).為了確定這個(gè)參數(shù)，可以得到關(guān)于中待定參數(shù)的線性方程組：它的系數(shù)行列式即為范德蒙（Vandermonde）行列式如果節(jié)點(diǎn)互不相同，，上述線性方程組有唯一的解，可以唯一確定參數(shù)。這就說明了次代數(shù)插值問題是存在且唯一的。不難得到這個(gè)插值多項(xiàng)式的行列式表示形式為：顯然滿足，并且按第列展開，是的次多項(xiàng)式。整理可得：這個(gè)公式稱為L(zhǎng)agrange插值公式。另外，還有幾種常用的插值公式：Newton插值公式、Hermite插值公式等。由于代數(shù)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，數(shù)值計(jì)算和理論分析都很方便，因而常用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值公式，即所謂的代數(shù)插值。評(píng)注1．理論依據(jù)范德蒙（Vandermonde）行列式的應(yīng)用，克萊姆（Cramer）法則。2．應(yīng)用與推廣根據(jù)這個(gè)理論可以得到：兩點(diǎn)可以確定一條直線，三點(diǎn)可以確定一條拋物線；過任意個(gè)橫坐標(biāo)互不相同的點(diǎn)可以唯一確定一個(gè)次多項(xiàng)式，它在多項(xiàng)式逼近理論、多項(xiàng)式插值公式、樣條插值公式的推導(dǎo)具有一定的借鑒意義。參考文獻(xiàn)邱森：線性代數(shù)探究性課題精編[M].武漢大學(xué)出版社，20循環(huán)比賽名次的確定矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，也是線性代數(shù)中解決問題的主要工具。許多實(shí)際應(yīng)用問題可以用矩陣來描述，通過矩陣的運(yùn)算來解決應(yīng)用問題。例1.若有5個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，已知它們的比賽結(jié)果為：1隊(duì)勝2、3隊(duì)；2隊(duì)勝3、4、5隊(duì)；4隊(duì)勝1、3、5隊(duì)；5隊(duì)勝1、3隊(duì)。按獲勝的次數(shù)排名次，若兩隊(duì)勝的次數(shù)相同，則按直接勝與間接勝的次數(shù)之和排名次。所謂間接勝，即若1隊(duì)勝2隊(duì)，2隊(duì)勝3隊(duì)，則稱1隊(duì)間接勝3隊(duì)。試為這5個(gè)隊(duì)排名次。按照上述排名次的原則，不難排出2隊(duì)為冠軍，4隊(duì)為亞軍，1隊(duì)第3名，5隊(duì)第4名，3隊(duì)墊底。問題是：如果參加比賽的隊(duì)數(shù)比較多，應(yīng)如何解決這個(gè)問題？有沒有解決這類問題的一般方法？我們可以用鄰接矩陣M來表示各隊(duì)直接勝的情況：，若第隊(duì)勝第隊(duì)，則，否則。由此可得，M中各行元素之和分別為各隊(duì)直接勝的次數(shù)，中各行元素之和分別為各隊(duì)間接勝的次數(shù)。那么各行元素之和分別為5、8、0、7、4，就是各隊(duì)直接勝與間接勝的次數(shù)之和。由此可得：比賽的名次依次為2隊(duì)、4隊(duì)、1隊(duì)、5隊(duì)、3隊(duì)。如果參賽的隊(duì)數(shù)很多，用這種方法計(jì)算會(huì)很復(fù)雜，甚至還無法得出確定的結(jié)論，根據(jù)非負(fù)矩陣的最大特征值與其對(duì)應(yīng)的特征向量的性質(zhì)，來確定排序問題。根據(jù)Matlab中的命令：M=[0,1,1,0,0;0,0,1,1,1;0,0,0,0,0;1,0,1,0,1;1,0,1,0,0][X,Q]=eig(M)可以求得的最大特征值，對(duì)應(yīng)的經(jīng)過歸一化的特征向量為，將這個(gè)特征向量的各個(gè)分量按照從大到小的順序排序，所以5個(gè)球隊(duì)按照名次的排序依次為2隊(duì)、4隊(duì)、1隊(duì)、5隊(duì)、3隊(duì)。例2.若有5個(gè)壘球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，其結(jié)果是：1隊(duì)勝3、4隊(duì)；2隊(duì)勝1、3、5隊(duì)；3隊(duì)勝4隊(duì)；4隊(duì)勝2隊(duì)；5隊(duì)勝1、3、4隊(duì)。按直接勝與間接勝次數(shù)之和排名次。用以表示各個(gè)隊(duì)直接勝和間接勝的情況的鄰接矩陣分別為：，，那么，各行元素之和分別為4、9、2、4、7，所以各隊(duì)的名次為：第1名2隊(duì)，第2名5隊(duì)，第3名1、4隊(duì)（并列），第5名3隊(duì)。1隊(duì)和4隊(duì)無法確定順序，是否一定并列呢？還要再計(jì)算。但是，用Matlab計(jì)算：M=[0,0,1,1,0;1,0,1,0,1;0,0,0,1,0;0,1,0,0,0;1,0,1,1,0][X,Q]=eig(M)可以求得的最大特征值，對(duì)應(yīng)的經(jīng)過歸一化的特征向量為，所以各隊(duì)的名次為：第1名2隊(duì)，第2名5隊(duì)，第3名4隊(duì)，第4名1隊(duì)，第5名3隊(duì)，1隊(duì)與4隊(duì)不是并列。這樣排序才是最準(zhǔn)確的。評(píng)注1．理論依據(jù)鄰接矩陣的性質(zhì)，素陣的最大特征值及其所對(duì)應(yīng)的特征向量的性質(zhì)（Perro-Frobenius定理）。2．應(yīng)用與推廣根據(jù)循環(huán)比賽的鄰接矩陣，利用不可分矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量的性質(zhì)，對(duì)循環(huán)比賽的名次進(jìn)行排序是非常合理的。應(yīng)用Matlab計(jì)算矩陣的最大特征值及其特征向量是非常方便的。參考文獻(xiàn)姜啟源等：數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].高等教育出版社.200不同地（城市）之間的交通問題矩陣的運(yùn)算還可以表示不同地點(diǎn)（城市）的通達(dá)情況。在國(guó)際象棋里，馬在棋盤上123456789是走“L”步的，它可以水平走2格，垂直走1格；或者垂直走2格，水平走1格。假設(shè)馬被限制在以下9個(gè)編號(hào)的格子里，馬可以從第格走到第格中去，則123456789則表示馬可經(jīng)2步間接到達(dá)的情況，表示馬可經(jīng)3步間接到達(dá)的情況……，則表示馬在步可以直接和間接到達(dá)的情況，其中位于第行第列的的數(shù)字表示在步內(nèi)馬可以從第格到第格的不同（直接和間接）走法。經(jīng)計(jì)算這說明，在3步內(nèi)，除了格子5之外，還有格子之間不可互相達(dá)到。但是ACBHD這說明，在4步內(nèi)，除了格子5之外，其余格子均可互相達(dá)到，對(duì)應(yīng)的數(shù)字為達(dá)到的通路數(shù)目。由于與中第5行與第5列的元素全為零，再計(jì)算下去，中第5行與第5列的元素也全為零，因此格子5與其他格子不能通達(dá)；其實(shí)由中第5行與第5列的元素全為零，可以推得對(duì)任意整數(shù)，都有中第5行與第5列的元素全為零，格子5與其他格子不能通達(dá)。因此，這種方法也可以用來研究一般交通路線的通達(dá)情況。ACBHD圖2.5.1某航空公司五個(gè)城市的航線圖圖2.5.1是某個(gè)航空公司關(guān)于A,B,C,D和H五個(gè)城市的航線圖，其中H是中心城市，它和其他每個(gè)城市之間都有往返航線，而其他城市之間只有從A到C，從C到D，從D到B，從B到A四條航線。假定我們要從城市A到B旅行，那么至少需要2條航線才能完成這次旅行，其中和兩條航線連接起來的路線所需要的航線數(shù)最少，否則至少需要3條航線。于是，我們要問，共有多少條從城市A到城市B的路線恰好是由3條航線連接起來的？有多少條路線所需的航線不超過4條？由于一共只有5個(gè)城市，我們從圖上觀察，就能回答上述問題。在城市數(shù)多和航線圖復(fù)雜的情況下，用觀察方法一般就難以解決問題了。為此，可以利用連接矩陣來解決這個(gè)問題。設(shè)，其中，這里稱為鄰接矩陣。這五個(gè)城市的鄰接矩陣為:；；；；從鄰接矩陣以及它的冪我們可以獲得航線圖的一些信息，從而解決上述航線問題。因此，恰好由3條航線連接起來的從城市A到城市B的路線總數(shù)是位于第一行第二列的元素；恰好由4條航線連接起來的從城市A到城市B的路線總數(shù)是。從城市A到城市B所需的航線不超過4條的路線總數(shù)是：條。本問題的矩陣計(jì)算用Matlab計(jì)算更方便。評(píng)注1．理論依據(jù)鄰接矩陣的性質(zhì)，根據(jù)矩陣的運(yùn)算來解決通達(dá)問題。2．應(yīng)用與推廣兩點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)可以通過鄰接矩陣來反映。應(yīng)用鄰接矩陣的基本原理，可以應(yīng)用到圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題之中。參考文獻(xiàn)歸行茂等：線性代數(shù)的應(yīng)用[M].上?？茖W(xué)普及出版社.1994.11.邱森：線性代數(shù)探究性課題精編[M].武漢大學(xué)出版社，20一種密碼方法——逆矩陣的應(yīng)用密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是基于線性變換（或可逆矩陣）的方法。比如，先在26個(gè)英文字母與數(shù)字間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如可以是圖2.6.1的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖2.6.126個(gè)英文字母與數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.若要發(fā)出信息action，使用上述代碼，則此信息的編碼是：1，3，20，9，15，14。可以寫成兩個(gè)向量或者寫成一個(gè)矩陣?，F(xiàn)任選一個(gè)三階的可逆矩陣，例如于是將要發(fā)出的信息向量（或矩陣）經(jīng)乘以A變成“密碼”后發(fā)出，或者在收到信息：后，可予以解碼（當(dāng)然這里選定的矩陣A是大家約定的，這個(gè)可逆矩陣A稱為解密的鑰匙，或者稱為“密匙”）。即用A的逆矩陣從密碼中恢復(fù)明碼：或者反過來查圖2.6.1所表示的英文字母與數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得到信息action。2.如將要傳遞的明文HillonTuesday包括兩個(gè)空格（用0對(duì)應(yīng)）分為5組，每組3個(gè)字母，所以明文是一個(gè)矩陣，已知加密矩陣，加密算法為，得到密文：mcqcolftncnzvxe。當(dāng)然要用加密矩陣的矩陣進(jìn)行解密。說明：由于是3列矩陣，這里要求是3階可逆矩陣，并且矩陣的每一個(gè)元素不超過26且非負(fù)，如果的元素大于26，可以取為關(guān)于26同余數(shù)，不過這時(shí)的結(jié)果不是一一對(duì)應(yīng)的，而且為解密帶來了一定的困難。評(píng)注1．理論依據(jù)逆矩陣的應(yīng)用，由可逆矩陣決定的線性變換是可逆的，并且其逆變換對(duì)應(yīng)的矩陣為。2．應(yīng)用與推廣 可逆矩陣在信息安全與密碼理論方面的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)郝志峰等：線性代數(shù)[M].高等教育出版社.2003年8月。湯燕：矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用[J].科教文匯2010年第8期。2.7交通流量問題100300400200300600500200400300500600700圖2.7.1某城市部分單行街道的交通流量圖某城市部分單行街道的交通流量（每小時(shí)通過的車輛數(shù)）如圖2.7.1所示。假設(shè)：（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量；（2）全部流入每一個(gè)路口（網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)）的流量等于全部流出此路口的流量。試建立數(shù)學(xué)模型，確定該交通網(wǎng)絡(luò)中未知部分的具體流量。根據(jù)各結(jié)點(diǎn)的進(jìn)出流量平衡知整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)出流量平衡，于是可得如下的一系列方程：；；；；；；；；；。整理，得線性方程組先不考慮非負(fù)性，解這個(gè)線性方程組。用Matlab求解：A=[1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,800;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,800;0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0,300;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1000;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,500;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0,200;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1000;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,400;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1,200;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,600]rref(A)其中、可取非負(fù)值，并且使得其余變量非負(fù)。實(shí)際上，只要即可滿足要求。為滿足交通網(wǎng)絡(luò)的需要，可以有無窮多解。如果結(jié)合實(shí)際情況，可以選擇合適的、，使交通網(wǎng)絡(luò)滿足實(shí)際要求，或者滿足上述條件的情況下，使得某一個(gè)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值（或最小值），從而對(duì)交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化。評(píng)注1．理論依據(jù)交通流的平衡問題，一般線性方程組求解。2．應(yīng)用與推廣交通網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化問題可以通過線性方程組來體現(xiàn)，因此，網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題可以化為線性規(guī)劃問題或者整數(shù)線性規(guī)劃（0—1規(guī)劃）問題來解決。參考文獻(xiàn)謝云蓀，張志讓等：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].科學(xué)出版社.19不定方程組的整數(shù)解1.百雞問題百雞問題是公元5世紀(jì)末我國(guó)數(shù)學(xué)家張丘建在他所著《算經(jīng)》里提出的一個(gè)著名的不定方程問題。問題是：雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。百錢買百雞，問：雞翁、雞母、雞雛各幾何？解：設(shè)公雞、母雞、小雞的數(shù)量分別為（均為非負(fù)整數(shù)）只，則有線性方程組該方程組的一般解為（其中為自由未知量）從而原問題的解為（取非負(fù)整數(shù)，且使為非負(fù)整數(shù)）于是，由及均為非負(fù)整數(shù)可知且能被3整除，故原問題共有四組解：①；②；③；④2.點(diǎn)兵問題韓信點(diǎn)兵，有兵一隊(duì)，人數(shù)在500至1000之內(nèi)。三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問這隊(duì)兵有多少人？設(shè)這隊(duì)兵的人數(shù)為非負(fù)整數(shù)，且有非負(fù)整數(shù)，使得：即易求得方程組的一般解為（其中為自由未知量）從而原問題的解為其中的、、、均為非負(fù)整數(shù)。顯然，應(yīng)能被3整除、應(yīng)能被5整除，且，所以，的取值可以為78、93、108、123、138，故這隊(duì)兵的人數(shù)可以為548人、653人、758人、863人或968人。評(píng)注1．理論依據(jù)用一般線性方程組的求解方法解決不定方程的求解問題。2．應(yīng)用與推廣應(yīng)用線性方程組的理論可以解決與此類似的相關(guān)問題。2.9調(diào)整氣象觀測(cè)站問題某地區(qū)有12個(gè)氣象觀測(cè)站，10年來各觀測(cè)站的年降水量如表2.9.1。為了節(jié)省開支，想要適當(dāng)減少氣象觀測(cè)站。問題：減少哪些氣象觀測(cè)站可以使所得的降水量的信息量仍然足夠大？表2.9.1某地區(qū)12個(gè)氣象站1981——1990年降水量（單位：mm）地點(diǎn)年份1981276.2324.5158.6412.5292.8258.4334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.6287.3349.5297.4227.8453.6321.5451466.2307.5421.1455.11983192.7436.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357353.21984246.2232.4243.7372.5460.4158.9298.7314.5256.6327296.54231985291.7311502.4254245.6324.8401266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.61988453.4365.5357.6258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.3407.21989158.5271410.2344.2250360.7376.4179.4159.2342.4331.2377.71990324.8406.5235.7288.8192.6284.9290.5343.7283.4281.2243.7411.1分別表示氣象觀測(cè)站在1981—1990年內(nèi)的降水量的列向量，由于是含有12個(gè)向量的10維向量組，該向量組必定線性相關(guān)。若能求出它的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則其極大線性無關(guān)組所對(duì)應(yīng)的氣象觀測(cè)站就可將其他的氣象觀測(cè)站的氣象資料表示出來，因而其他氣象觀測(cè)站就是可以減少的。因此，最多只需要10個(gè)氣象觀測(cè)站。由為列向量組作矩陣，我們可以求出向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組（可由Matlab軟件中的命令，輸入矩陣A，rref(A)求出來）(事實(shí)上，該問題中任意10個(gè)向量都是極大線性無關(guān)組)，且有：故可以減少第11與第12個(gè)觀測(cè)站，可以使得到的降水量的信息仍然足夠大。當(dāng)然，也可以減少另外兩個(gè)觀測(cè)站，只要這兩個(gè)列向量可以由其他列向量線性表示。如果確定只需要8個(gè)氣象觀測(cè)站，那么我們可以從上表數(shù)據(jù)中取某8年的數(shù)據(jù)（比如，最近8年的數(shù)據(jù)），組成含有12個(gè)8維向量的向量組，然后求其極大線性無關(guān)組，則必有4個(gè)向量可由其余向量（就是極大線性無關(guān)組）線性表示。這4個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的氣象觀測(cè)站就可以減少，可以使所得到的降水量的信息仍然足夠大?？梢宰C明，對(duì)于該問題的任意8個(gè)列向量都是線性無關(guān)的，因此，也可以減少其他4個(gè)氣象觀測(cè)站仍然可以使得到的降水量的信息足夠大。（注：本問題為西安市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目）評(píng)注1.理論依據(jù)任意個(gè)維向量必然線性相關(guān)，求出它的一個(gè)極大線性無關(guān)組，其余的向量一定可以用所求的極大線性無關(guān)組線性表示。2.應(yīng)用與推廣向量組的任意一個(gè)極大線性無關(guān)組都與整個(gè)向量組等價(jià)，因此包含的信息量相同。所以，只要從列向量組中找出它的一個(gè)極大線性無關(guān)組，就可以表示其余的向量，這個(gè)極大線性無關(guān)組就是包含足夠的信息量。這只是解決問題的一個(gè)途徑,當(dāng)然也可以用其他方法(如相關(guān)系數(shù)法、聚類分析法等)進(jìn)行解決。參考文獻(xiàn)葉其孝：數(shù)學(xué)建模教育與國(guó)際數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽[J].工科數(shù)學(xué)專輯.190工資問題現(xiàn)有一個(gè)木工、一個(gè)電工、一個(gè)油漆工和一個(gè)粉飾工，四人相互同意彼此裝修他們自己的房子。在裝修之前，他們約定每人工作13天（包括給自己家干活在內(nèi)），每人的日工資根據(jù)一般的市價(jià)在50~70元，每人的日工資數(shù)應(yīng)使得每人的總收入與總支出相等。表2.10.1是他們協(xié)商后制定出的工作天數(shù)的分配方案，如何計(jì)算出他們每人應(yīng)得的日工資以及每人房子的裝修費(fèi)（只計(jì)算工錢，不包括材料費(fèi)）是多少？表2.10.1四個(gè)工人工作天數(shù)的分配方案工種天數(shù)木工電工油漆工粉飾工在木工家工作天數(shù)4323在電工家工作天數(shù)5423在油漆工家工作天數(shù)2533在粉飾工家工作天數(shù)2164這是一個(gè)收入——支出的閉和模型。設(shè)木工、電工、油漆工和粉飾工的日工資分別為元，為滿足“平衡”條件，每人的收支相等，要求每人在這13天內(nèi)“總收入=總支出”。則可建立線性方程組：，整理，得齊次線性方程組用Matlab解之：A=[-9,3,2,3;5,-9,2,3;2,5,-10,3;2,1,6,-9]rref(A)*59取，得?；蚪獾茫骸榱耸沟萌≈翟?0~70之間，令，得所以，木工、電工、油漆工和粉飾工的日工資分別為54元、63元、60元和59元。每人房子的裝修費(fèi)用相當(dāng)于本人13天的工資，因此分別為702元、819元、780元和767元。評(píng)注1．理論依據(jù)用一般線性方程組的求解方法解決不定方程的求解問題。2．應(yīng)用與推廣應(yīng)用線性方程組的理論可以解決收入與支出的平衡問題，也可以進(jìn)行投入產(chǎn)出分析并且進(jìn)一步優(yōu)化。2.11市場(chǎng)均衡——線性方程組的應(yīng)用兩市場(chǎng)均衡在許多市場(chǎng)均衡模型中，代表各個(gè)市場(chǎng)需求和供給的方程組明確表明，每個(gè)市場(chǎng)的需求和供給都取決于其他市場(chǎng)的價(jià)格。例如，咖啡的需求不僅取決于咖啡的價(jià)格，還取決于茶——一種替代商品的價(jià)格；汽車的需求不僅取決于汽車的價(jià)格，還取決于汽油——一種互補(bǔ)商品的價(jià)格。一家廠商的供給會(huì)由于各種原因受其他商品價(jià)格的影響。例如，一家廠商可能會(huì)把其他廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品作為投入品，在這種情況下，這家廠商的供給由其生產(chǎn)的產(chǎn)品的價(jià)格和作為投入品的其他廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品的價(jià)格所決定。兩種商品的市場(chǎng)模型的關(guān)系表達(dá)式一般寫為：若，那么商品2（投入品）價(jià)格的上升會(huì)減少?gòu)S商1對(duì)它的使用量，從而降低商品1的產(chǎn)量。令每個(gè)市場(chǎng)的供給和需求相等，就得到?jīng)Q定均衡價(jià)格和的包含兩個(gè)方程的方程組。結(jié)構(gòu)方程式：解這個(gè)方程組，可得：它們僅取決于模型的參數(shù)。例1：互補(bǔ)品的兩市場(chǎng)的均衡如果被消費(fèi)者看作是互補(bǔ)品的兩種商品有如下的需求和供給方程式，（商品1），（商品2）分別表示商品的供給數(shù)量和需求數(shù)量，表示商品的單位價(jià)格。兩種商品的互補(bǔ)表現(xiàn)為一種商品價(jià)格提高的時(shí)候，另一種商品的需求量下降。求這兩種商品的均衡價(jià)格。在均衡條件下，對(duì)每一種商品，有。由此可得線性方程組求解得：，這兩個(gè)價(jià)格，也只有這兩個(gè)價(jià)格，可以使這兩個(gè)商品市場(chǎng)同時(shí)達(dá)到均衡。用matlab求解>>A=[3,1,21;1,3,40]A=31211340>>rref(A)ans=1.000002.875001.000012.3750多市場(chǎng)均衡當(dāng)我們討論的兩市場(chǎng)均衡問題擴(kuò)展到個(gè)市場(chǎng)的問題，就是個(gè)方程的問題。對(duì)于三個(gè)市場(chǎng)的情況：令，可得3個(gè)方程3個(gè)未知量的線性方程組：求解得到均衡價(jià)格。一般情況下，用表示種商品的市場(chǎng)供給量，為的常數(shù)列向量，為的系數(shù)矩陣，為的價(jià)格列向量，我們有：同樣，需求方程可以記作這里用表示種商品的市場(chǎng)需求量，為的常數(shù)列向量，為的系數(shù)矩陣，為的價(jià)格列向量。設(shè)在每個(gè)市場(chǎng)上供給量等于需求量（市場(chǎng)均衡）則有：當(dāng)?shù)南禂?shù)矩陣可逆的時(shí)候，均衡價(jià)格向量的解為（唯一）：例2：考慮咖啡、茶葉和糖的市場(chǎng)。這些商品的需求相互聯(lián)系，因?yàn)榭Х群筒枞~是替代產(chǎn)品，而糖與咖啡、茶葉是互補(bǔ)產(chǎn)品。忽略供給市場(chǎng)，我們有令三種商品的需求等于供給，然后給出均衡價(jià)格方程組：解得：>>A=[7,-3,1,110;-2,13,2,140;10,5,16,300]A=7-31110-213214010516300>>rref(A)ans=1.00000021.559601.0000013.9450001.00000.9174因此，茶葉、咖啡和糖三種產(chǎn)品的市場(chǎng)均衡價(jià)格分別為：21.5596，13.945和0.9174。評(píng)注1.理論依據(jù)市場(chǎng)均衡的條件是總供給等于總需求；線性方程組的求解。2.應(yīng)用與推廣市場(chǎng)均衡分為一般均衡和局部均衡。一般均衡是指一個(gè)經(jīng)濟(jì)社會(huì)所有市場(chǎng)的供給和需求相等的一種狀態(tài)，一般均衡的理論代表人物是瓦爾拉斯。局部均衡是指單個(gè)市場(chǎng)或部分市場(chǎng)的供給和需求相等的一種狀態(tài)，局部均衡理論的代表人物是馬歇爾。均衡狀態(tài)下的供給或需求成為均衡數(shù)量，對(duì)應(yīng)的價(jià)格成為均衡價(jià)格。線性方程組還可以解決其他應(yīng)用型問題。參考文獻(xiàn)邱森：線性代數(shù)探究性課題新編[M].武漢大學(xué)出版社，202投入產(chǎn)出分析一個(gè)城鎮(zhèn)有三個(gè)主要生產(chǎn)企業(yè)：煤礦、電廠和地方鐵路作為它的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。已知生產(chǎn)價(jià)值1元的煤，需要消耗0.25元的電和0.35元的運(yùn)輸費(fèi)；生產(chǎn)價(jià)值1元的電，需要消耗0.40元的煤、0.05元的電和0.10元的運(yùn)輸費(fèi)；而提供價(jià)值1元的鐵路運(yùn)輸服務(wù)，則需要消耗0.45元的煤、0.10元的電和0.10元的鐵路運(yùn)輸服務(wù)費(fèi)。假設(shè)在某個(gè)星期內(nèi)，除了這三個(gè)企業(yè)間的彼此需求，煤礦得到50000元的訂單，電廠得到25000元的電量供應(yīng)需求，而地方鐵路得到價(jià)值30000元的運(yùn)輸需求。試問：這三個(gè)企業(yè)在這個(gè)星期各生產(chǎn)多少產(chǎn)值才能滿足內(nèi)外需求？除了外部需求，試求這星期各企業(yè)之間的消耗需求，同時(shí)求出各企業(yè)的新創(chuàng)造價(jià)值（即產(chǎn)值中去掉各企業(yè)的消耗所剩部分）。這是一個(gè)小型的經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出模型①投入產(chǎn)出法是由經(jīng)濟(jì)學(xué)家華西里·W·①投入產(chǎn)出法是由經(jīng)濟(jì)學(xué)家華西里·W·里昂節(jié)夫（WassilyW.Leortief）創(chuàng)立并發(fā)展，為此他獲得1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。關(guān)于投入產(chǎn)出模型更詳細(xì)的內(nèi)容，讀者可以查閱有關(guān)專門的著作。②這是價(jià)值型投入產(chǎn)出表，此外還有實(shí)物型的投入產(chǎn)出表，實(shí)物型的投入產(chǎn)出表縱列不可相加。表2.12.1小型的經(jīng)濟(jì)投入產(chǎn)出表產(chǎn)出投入消耗系數(shù)（單位產(chǎn)品的消耗）最終產(chǎn)品總產(chǎn)值煤礦電廠鐵路煤礦00.400.4550000電廠0.250.050.1025000鐵路0.350.100.1030000新創(chuàng)造價(jià)值總產(chǎn)值設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路在這星期的總產(chǎn)值分別為、、（元），那么就有分配平衡方程組（表示產(chǎn)出情況）：該方程組說明各企業(yè)的產(chǎn)品按其經(jīng)濟(jì)用途的使用分配情況，即：總產(chǎn)品（值）=中間產(chǎn)品（作為系統(tǒng)內(nèi)部的消耗）+最終產(chǎn)品（外部需求）記稱為直接消耗系數(shù)矩陣，A中的元素表示單位（元）第部門產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中對(duì)第部門產(chǎn)品的消耗量。稱為總產(chǎn)品列向量（矩陣），稱為最終產(chǎn)品列向量（矩陣），則分配平衡方程組可以表示成或從而其解為對(duì)于我們的問題，可得即這個(gè)星期煤礦總產(chǎn)值是114458元，電廠總產(chǎn)值是65375元，鐵路服務(wù)產(chǎn)值是85111元。用Matlab求解：A=[0,0.4,0.45;0.25,0.05,0.1;0.35,0.1,0.1]Y=[50000,25000,30000]'X=inv(eye(3)-A)*Y值得指出的是：是直接消耗系數(shù)矩陣，可以證明：的所有特征值的模全小于1；因此，滿足條件，這是直接消耗系數(shù)矩陣特有的性質(zhì)。則是收斂的，稱為完全需要系數(shù)矩陣；同時(shí)稱為完全消耗系數(shù)矩陣，它等于直接消耗加上各次間接消耗。在求出X以后，三個(gè)企業(yè)為煤礦提供的中間產(chǎn)品（煤礦的消耗）列向量為：三個(gè)企業(yè)為電廠提供的中間產(chǎn)品（電廠的消耗）列向量為；三個(gè)企業(yè)為鐵路提供的中間產(chǎn)品（鐵路的消耗）列向量為；另一方面，若設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路在這星期的新創(chuàng)造價(jià)值（工資、稅收、利潤(rùn)等）分別為、、（元），則可得到消耗平衡方程組：這個(gè)方程組說明了各部門總產(chǎn)值的價(jià)值構(gòu)成情況，即生產(chǎn)資料轉(zhuǎn)移價(jià)值+新創(chuàng)造價(jià)值=總產(chǎn)值由于、、已經(jīng)求得，代入消耗平衡方程組，可以解得=45784元、=29427元、=29789元。所以，可以得到這三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表見表2.12.2.表2.12.2三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表產(chǎn)出投入中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)值煤礦電廠鐵路煤礦0261583830050000114458電廠28614327085112500065395鐵路40061654085113000085111新創(chuàng)造價(jià)值457842942729789總產(chǎn)值1144586539585111評(píng)注1．理論依據(jù)根據(jù)線性方程組的理論，列出價(jià)值型投入產(chǎn)出表的兩組平衡方程組并求解。2．應(yīng)用與推廣投入產(chǎn)出綜合平衡模型是宏觀的經(jīng)濟(jì)模型，用于為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)（小到一家公司，大到整個(gè)國(guó)家乃至國(guó)際共同體）編制經(jīng)濟(jì)計(jì)劃并研究各種相關(guān)的經(jīng)濟(jì)政策和問題。這種模型由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家里昂節(jié)夫（WassilyW.Leortief）于1931年開始研究，并于1936年首先發(fā)表第一篇研究成果，此后數(shù)十年間被愈來愈多的國(guó)家采用并取得良好的效果，里昂節(jié)夫本人也因此而獲得1973年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。參考文獻(xiàn)郝志峰等：線性代數(shù)（第二版）[M].高等教育出版社.2003最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃的確定——線性規(guī)劃問題某釀酒廠只生產(chǎn)香檳酒和葡萄酒兩種產(chǎn)品。當(dāng)前，生產(chǎn)上受到三個(gè)方面的限制：一是每周最大的發(fā)酵設(shè)備能力為60000單位；二是裝瓶能力為50000單位；三是香檳酒的凈化能力15000單位。根據(jù)產(chǎn)品的特點(diǎn)，每生產(chǎn)1瓶香檳酒需要3個(gè)單位的發(fā)酵能力、2個(gè)單位的裝瓶能力和1個(gè)單位的凈化能力，盈利2.5元；每生產(chǎn)1瓶葡萄酒需要1個(gè)單位的發(fā)酵能力和1個(gè)單位的裝瓶能力，盈利1元。在現(xiàn)有資源的條件下，應(yīng)如何安排生產(chǎn)可使該廠的盈利最大？首先，根據(jù)已知條件列成表2.13.1，然后建立數(shù)學(xué)模型：表2.13.1某釀酒廠資源利用計(jì)劃表部門生產(chǎn)需要的設(shè)備能力可供使用的設(shè)備能力香檳酒葡萄酒發(fā)酵3160000裝瓶2150000凈化1015000每瓶利潤(rùn)2.51.0設(shè)該廠計(jì)劃生產(chǎn)香檳酒瓶，葡萄酒瓶，則該生產(chǎn)計(jì)劃問題為：在滿足的條件下，使總利潤(rùn)達(dá)到最大。這個(gè)問題屬于線性規(guī)劃（LinearProgramming）問題，而線性規(guī)劃又是運(yùn)籌學(xué)（OperationalResearch）的一個(gè)分支。其中的、稱為決策變量,不等式組稱為約束條件，利潤(rùn)函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)。之所以稱該問題為線性規(guī)劃問題，是因?yàn)榧s束條件是決策變量的線性等式或不等式并且目標(biāo)函數(shù)也是決策變量的線性函數(shù)。引進(jìn)非負(fù)變量、、，將約束條件化為線性方程組 （2.13.1）、、、、其中、、分別表示閑置的發(fā)酵能力、裝瓶能力和凈化能力。該線性規(guī)劃問題實(shí)際上是求線性方程組（2.13.1）的非負(fù)解，且使目標(biāo)函數(shù)取到最大值。線性方程組（2.13.1）有無窮多解，顯然是線性方程組（2.13.1）的一般解。由于要求、只能取非負(fù)值，且、、的取值也必須是非負(fù)的，控制起來有一定的難度。為此，我們?cè)诰€性方程組（2.13.1）的一般解的表達(dá)式中，控制右端常數(shù)項(xiàng)非負(fù)，只要令對(duì)應(yīng)的自由未知量等于0，而非自由未知量（系數(shù)矩陣中的單位矩陣所對(duì)應(yīng)的變量）就等于右端常數(shù)項(xiàng)的值，所以滿足非負(fù)性。因此，在（2.13.1）中令==0，則=60000，=50000，=15000，=0。即：什么酒都不生產(chǎn)，所有設(shè)備完全閑置，當(dāng)然利潤(rùn)等于0。從目標(biāo)函數(shù)可以看出，若，則，所以總利潤(rùn)?？紤]增加香檳酒的產(chǎn)量，按發(fā)酵、裝瓶和凈化設(shè)備能力可分別生產(chǎn)香檳酒60000/3=20000瓶，50000/2=25000瓶和15000瓶，因此只能生產(chǎn)香檳酒15000瓶。通過初等變換將線性方程組（2.13.1）化為： （2.13.2）在（2.13.2）中可解出、、（在（2.13.2）中、、對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量組成單位矩陣），令==0，則=15000，=15000，=20000，=37500。即生產(chǎn)香檳酒15000瓶，不生產(chǎn)葡萄酒，發(fā)酵設(shè)備閑置15000單位，裝瓶設(shè)備閑置20000單位，凈化設(shè)備充分利用，可得利潤(rùn)37500元。從可以看出，若增大的值，總利潤(rùn)可望增加。但從目前閑置的發(fā)酵設(shè)備能力只能生產(chǎn)葡萄酒15000瓶，但閑置的裝瓶設(shè)備能力可以生產(chǎn)葡萄酒20000瓶，因此只能考慮生產(chǎn)葡萄酒15000瓶。所以，將線性方程組（2.13.2）化為 （2.13.3）在（2.13.3）中令==0，則=15000，=15000，=5000，=52500。即生產(chǎn)香檳酒15000瓶，葡萄酒15000瓶，裝瓶設(shè)備閑置5000單位，發(fā)酵設(shè)備和凈化設(shè)備充分利用，可得利潤(rùn)52500元。從中可以看出，若增大，則總利潤(rùn)可望增加。但目前最大可能增大到5000，閑置5000單位的凈化設(shè)備，必須減少生產(chǎn)5000瓶香檳酒，但又有單位的發(fā)酵能力和單位的裝瓶能力閑置，再加上本來閑置的裝瓶能力5000單位（=5000），可以滿足15000瓶葡萄酒的生產(chǎn)需要。（香檳酒）減少利潤(rùn)元，（葡萄酒）增加利潤(rùn)15000元，凈增利潤(rùn)15000-12500=2500元。所以由方程組（2.13.3）可得： （2.13.4）從（2.13.4）中令==0，則=10000，=30000，=5000，=55000。即：生產(chǎn)香檳酒10000瓶，葡萄酒30000瓶，發(fā)酵和裝瓶能力充分利用，但凈化能力閑置5000單位，可得利潤(rùn)55000元。由于，故此時(shí)已經(jīng)取得最大值。所以，該釀酒廠的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃是：生產(chǎn)香檳酒10000瓶，葡萄酒30000瓶，可使總利潤(rùn)達(dá)到最大。最大利潤(rùn)為55000元。這里，我們通過分析和解線性方程組，求得該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，這種求解方法反映了單純形方法（SimplexMethod）的基本思路。單純形方法是求解線性規(guī)劃問題的主要方法。當(dāng)然，對(duì)于線性規(guī)劃問題：用lingo10.0進(jìn)行求解，可以很方便求出最優(yōu)解，并且進(jìn)行相關(guān)的經(jīng)濟(jì)分析。輸入：Max=2.5*x1+x2;3*x1+x2<=60000;2*x1+x2<=50000;X1<=15000;輸出結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:55000.00Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX110000.000.000000X230000.000.000000RowSlackorSurplusDualPrice155000.001.00000020.0000000.500000030.0000000.500000045000.0000.000000Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX12.5000000.50000000.5000000X21.0000000.25000000.1666667RighthandRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease260000.005000.00010000.00350000.0010000.005000.000415000.00INFINITY5000.000評(píng)注1．理論依據(jù)線性規(guī)劃問題實(shí)際上就是求一個(gè)線性方程組的非負(fù)解，并且使目標(biāo)函數(shù)取到最大值（或最小值）；線性方程組的有關(guān)理論是線性規(guī)劃的理論基礎(chǔ)。2．應(yīng)用與推廣線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中理論最完備、方法最簡(jiǎn)單、應(yīng)用最普及的一個(gè)分支，它可以應(yīng)用在解決諸如：在一定資源的條件下，使利潤(rùn)達(dá)到最大或者在達(dá)到一定技術(shù)要求的條件下使得成本最小。求解線性規(guī)劃問題有一整套成熟的方法，求解方法為單純形方法，可以直接用LINDO、LINGO等軟件進(jìn)行求解，并且進(jìn)行相關(guān)的經(jīng)濟(jì)分析。參考文獻(xiàn)姜啟源等：數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].高等教育出版社.2004基因的“距離”在ABO血型的人們中，對(duì)各種群體的基因頻率進(jìn)行了研究。如果把四種等位基因區(qū)別開，有人報(bào)告了如表2.14.1中的相對(duì)頻率：表2.14.1各種群體的基因頻率表愛斯基摩人班圖人英國(guó)人朝鮮人0.29140.10340.20900.22080.00000.08660.06960.00000.03160.12000.06120.20690.67700.69000.66020.5723合計(jì)1111現(xiàn)在的問題是：一個(gè)群體與另一個(gè)群體的接近程度如何？換句話說，就是要找到一個(gè)表示基因的距離的合適的度量。解決這個(gè)問題可以用向量代數(shù)的方法。首先，我們用單位向量來表示每一個(gè)群體，為此對(duì)各個(gè)群體向量單位化：，所以有：一種方法是利用歐氏空間的距離來度量各個(gè)向量之間的距離，,距離小的，他們就接近。經(jīng)計(jì)算，得=0.3090；=0.1478；=0.2840；=0.1768；=0.2882；=0.2631；由此可見，最小的基因“距離”是愛斯基摩人與英國(guó)人之間的基因“距離”=0.1478,最大的基因“距離”是愛斯基摩人與班圖人之間的基因“距離”=0.3090。另一種度量方法是考慮在四維向量空間中，這些向量都是單位向量，它們的終點(diǎn)都位于一個(gè)球心在原點(diǎn)半徑為1的球面上，現(xiàn)在用兩個(gè)向量的夾角來表示兩個(gè)對(duì)應(yīng)的群體間的“距離”是合理的。如果我們把與之間的夾角記為，由于，，再由夾角余弦的計(jì)算公式，其夾角數(shù)值為。越大，則越大，越小，與的距離就越??；越小，則越小，越大，與的距離就越大。因此，我們可以通過單位向量的內(nèi)積來度量它們之間的“距離”。經(jīng)計(jì)算，得=0.9523；=0.9891；=0.9597；=0.9844；=0.9585；=0.9654。由于與的內(nèi)積=0.9891最大，與的內(nèi)積=0.9523最小。所以，最小的基因“距離”是愛斯基摩人與英國(guó)人之間的基因“距離”；最大的基因“距離”是愛斯基摩人與班圖人之間的基因“距離”。以上兩種度量方法的結(jié)果一致，這不是偶然的。由于因而越大，則越小，也越??；越小，則越大，也越大。反之亦然。所以，用歐氏空間的距離和用兩個(gè)向量的內(nèi)積來度量?jī)蓚€(gè)單位向量的“距離”，其結(jié)果是一致的。評(píng)注1．理論依據(jù)向量的內(nèi)積與夾角，用單位向量的夾角來度量?jī)蓚€(gè)向量的距離和用毆氏空間的距離來度量是一致的。2．應(yīng)用與推廣這種方法可以用來進(jìn)行多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)，如主成分分析、聚類分析。利用不同的距離進(jìn)行聚類分析，就是基于這個(gè)原理的。參考文獻(xiàn)李心燦等：高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例[M].高等教育出版社.1997.82.15平行四邊形的面積與平行體的體積在平面或空間直角坐標(biāo)系下，平行四邊形的面積與平行六面體的體積可由行列式給出。設(shè)平行四邊形的兩條邊由向量與確定，則其面積的平方為：（其中為與的夾角）當(dāng)平行六面體的三條棱由三個(gè)向量，，給出時(shí)，其體積的平方為：所以，體積（注：行列式的絕對(duì)值）當(dāng)是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，由中的任意三個(gè)向量為棱的平行六面體的體積的平方為同樣，由中任意個(gè)向量為棱的維平行體體積的平方為稱為由構(gòu)成的格拉姆（Gram）行列式。另一方面，線性無關(guān)的充分必要條件是格拉姆行列式所以，中的任意個(gè)向量線性無關(guān)（線性相關(guān)）的充分必要條件是：以為棱的維平行體體積不等于零（等于零）。當(dāng)然，如果是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，的表達(dá)式為則有，格拉姆行列式評(píng)注1．理論依據(jù)向量的內(nèi)積、線性無關(guān)與張成的多面體的體積，用行列式來表示和計(jì)算。2．應(yīng)用與推廣向量的內(nèi)積、線性無關(guān)的向量組與張成的多面體的體積，用格拉姆行列式來表示和計(jì)算，反映了不同概念之間的聯(lián)系，同時(shí)又給出向量組線性無關(guān)的一個(gè)充分必要條件。參考文獻(xiàn)歸行茂等：線性代數(shù)的應(yīng)用[M].上?？茖W(xué)普及出版社.196動(dòng)物繁殖問題與Leslie人口模型一、問題某農(nóng)場(chǎng)飼養(yǎng)的某種動(dòng)物所能達(dá)到的最大年齡為6歲，將其分為三個(gè)年齡組：第一組0~2歲；第二組3~4歲；第三組5~6歲。動(dòng)物從第二年齡組起開始繁衍后代，經(jīng)過長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，第二年齡組的動(dòng)物在其年齡段內(nèi)平均繁殖4個(gè)后代，第三年齡組的動(dòng)物在其年齡段內(nèi)平均繁殖3個(gè)后代。第一年齡組和第二年齡組的動(dòng)物能順利進(jìn)入下一個(gè)年齡組的存活率分別為和。假設(shè)農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有三個(gè)年齡段的動(dòng)物各160頭，問飼養(yǎng)8年后，農(nóng)場(chǎng)三個(gè)年齡段的動(dòng)物各有多少頭？二、建立模型因年齡分組為2歲一段，所以將時(shí)間周期也取為2年。8年后就是經(jīng)過了4個(gè)時(shí)間周期。設(shè)分別表示第期的第一、二、三組動(dòng)物的數(shù)量，則有以下關(guān)系式：，用矩陣表示為若記，，則有。已知，則所以，飼養(yǎng)8年后動(dòng)物總數(shù)達(dá)2505頭，小于2歲的有1300頭，占51.9%；2歲到4歲的有1150頭，占45.91%；4歲到6歲的有55頭，占2.2%。8年的總增長(zhǎng)率為422%。用Matlab求解：L=[0,4,3;0.5,0,0;0,0.25,0]X0=[160;160;160]X4=L^4*X0三、萊斯利(Leslie)人口模型我們將人口按相同的年限（比如1年、5年、10年或20年等）分成若干個(gè)年齡組，同時(shí)假設(shè)總?cè)丝谥心信詣e的比例一定，這樣就可以通過只考慮女性人口來簡(jiǎn)化人口模型。人口發(fā)展隨時(shí)間變化，把總?cè)丝诘哪挲g分為個(gè)年齡組（年齡組間距為固定整數(shù)）為在時(shí)間周期k時(shí)第i個(gè)年齡組（女性）人口。人口的變化因素主要有生育（由生育率決定）和死亡（由存活率決定）。那么在時(shí)間周期第1個(gè)年齡組的成員是在上一個(gè)周期（時(shí)間周期）內(nèi)出生的，他們是上一個(gè)周期內(nèi)成員的后代，于是有其中是第i個(gè)年齡組的出生率，由統(tǒng)計(jì)資料確定；在時(shí)間周期k第個(gè)年齡組的成員是在上一個(gè)周期（時(shí)間周期）第i個(gè)年齡組的成員轉(zhuǎn)移得來的，在考慮死亡率的情況下，這一轉(zhuǎn)移過程可由一存活系數(shù)衰減，這一轉(zhuǎn)移過程可以描述為其中是第i個(gè)年齡組在一個(gè)周期內(nèi)的存活率，可由統(tǒng)計(jì)資料確定。所以，有人口轉(zhuǎn)移的表達(dá)式，或者簡(jiǎn)寫成其中，，矩陣L稱為萊斯利（Leslie）矩陣。由遞推公式可得：這個(gè)模型是由萊斯利（Leslie）在二十世紀(jì)四十年代提出來的，所以稱為L(zhǎng)eslie人口模型。進(jìn)一步研究人口模型，發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)過程進(jìn)行到充分長(zhǎng)久以后，人口的增長(zhǎng)率將穩(wěn)定不變，人口的年齡結(jié)構(gòu)將趨于一種穩(wěn)定的分布狀況，這些結(jié)論與Leslie矩陣L的最大特征值和相應(yīng)的特征向量有關(guān)。比如，根據(jù)我國(guó)2001——2005年1%抽查人口數(shù)據(jù)，可以歸納出萊斯利矩陣，根據(jù)萊斯莉人口模型可以對(duì)我國(guó)中長(zhǎng)期人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)一步可以計(jì)算我國(guó)人口的性別比、老齡化水平、撫養(yǎng)比等人口數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以研究人口紅利的效應(yīng)等一些列問題。用人口年齡分布向量研究人口的發(fā)展變化，其優(yōu)點(diǎn)在于：既得到了總?cè)丝诘脑鲩L(zhǎng)率，又預(yù)測(cè)了全社會(huì)人口年齡結(jié)構(gòu)的變化。利用Leslie人口模型，可以結(jié)合我國(guó)的計(jì)劃生育政策來研究人口的變化，也可以根據(jù)我國(guó)的人口狀況及生育政策研究老齡化問題等等。評(píng)注1．理論依據(jù)根據(jù)矩陣的理論，應(yīng)用矩陣的乘法、矩陣的特征值等理論來描述種群的繁殖和生長(zhǎng)模型。2．應(yīng)用與推廣種群的繁衍、人口的增長(zhǎng)，除了可以用微分方程模型進(jìn)行連續(xù)描述以外，還可以劃分成階段，根據(jù)各個(gè)階段的不同狀態(tài)和狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，應(yīng)用矩陣的乘法（矩陣方冪的收斂性）來預(yù)測(cè)生物種群的數(shù)量。這是萊斯莉模型的重要應(yīng)用。參考文獻(xiàn)姜啟源等：數(shù)學(xué)模型（第三版）[M].高等教育出版社.2007植物基因的分布與從事各業(yè)人員總數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)1.植物基因的分布一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為、和。研究所計(jì)劃采用型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。已知基因轉(zhuǎn)移關(guān)系概率如表2.17.1：表2.17.1基因轉(zhuǎn)移概率表父母子代父體—母體的基因型———子代基因型11/2001/21000問經(jīng)過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因分布如何？為了揭示生命的奧秘，人們?cè)絹碓街匾曔z傳特征的逐代傳播問題。無論是人、動(dòng)物還是植物都會(huì)將本身的特征遺傳給后代，這主要是后代繼承了雙親的基因，形成了自己的基因?qū)Γ驅(qū)痛_定了后代所表現(xiàn)的特征。在常染色體的遺傳中，后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因形成自己的基因?qū)Γɑ蛐停?。在我們所研究的問題中，植物的基因?qū)?、和。記、、分別表示第代植物中基因型、、的植物所占植物總數(shù)的百分比，為第代植物的基因分布向量，且（），則有即記，則為了得到的具體表達(dá)式，我們可將對(duì)角化，即存在可逆矩陣和對(duì)角矩陣使，故。所以，當(dāng)時(shí)，。即培育出植物型基因所占比例在不斷增加，在極限狀態(tài)下所有植物的基因都會(huì)是型。2.勞動(dòng)力就業(yè)的轉(zhuǎn)移某城市共有30萬人從事農(nóng)、工、商各行業(yè)的工作，假定這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會(huì)調(diào)查表明：（1）在這30萬就業(yè)人員中，目前約有15萬人從事農(nóng)業(yè)，9萬人從事工業(yè)，而有6萬人經(jīng)商。（2）在從農(nóng)人員中，每年約有20%改為從工，10%改為經(jīng)商。（3）在從工人員中，每年約有20%改為從農(nóng)，10%改為經(jīng)商。（4）在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為從農(nóng)，10%改為從工?，F(xiàn)欲預(yù)測(cè)一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)。若用3維列向量表示第年后從事這3種職業(yè)的人員總數(shù)（單位：萬人），則已知，而欲求，并考察在時(shí)的發(fā)展趨勢(shì)。引進(jìn)3階矩陣，用以刻畫從事各業(yè)人員間的轉(zhuǎn)移，稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣。（轉(zhuǎn)移概率矩陣具有：元素非負(fù)，每行元素之和等于1，并且轉(zhuǎn)移概率矩陣的方冪也是轉(zhuǎn)移概率矩陣等性質(zhì)；屬于隨機(jī)過程中馬爾柯夫鏈的內(nèi)容）于是：由矩陣乘法，得（因?yàn)楸締栴}中轉(zhuǎn)移概率矩陣恰為對(duì)稱矩陣）由于要分析，就需要計(jì)算，由于可以對(duì)角化。用Matlab軟件求解：A=[0.7,0.2,0.1;0.2,0.7,0.1;0.1,0.1,0.8][Q,X]=eig(A)可以得到對(duì)應(yīng)的對(duì)角矩陣和可逆變換矩陣分別為：，，所以可知，當(dāng)時(shí)，照此規(guī)律轉(zhuǎn)移，多年之后，從事這三種職業(yè)的人數(shù)將趨于相等，均為10萬人。與最初從事各業(yè)的人數(shù)比例無關(guān)。評(píng)注1．理論依據(jù)根據(jù)矩陣的理論，根據(jù)轉(zhuǎn)移狀態(tài)概率矩陣、矩陣的特征值等理論來描述狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。2．應(yīng)用與推廣根據(jù)各個(gè)階段的不同狀態(tài)和狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，應(yīng)用矩陣的乘法（矩陣方冪的收斂性）來預(yù)測(cè)狀態(tài)的發(fā)展趨勢(shì)，這種方法屬于隨機(jī)過程中的馬爾柯夫鏈，在市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)等方面有著重要的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)郝志峰等，線性代數(shù)（第二版）[M].高等教育出版社.2008受教育程度的依賴性社會(huì)學(xué)的某些調(diào)查結(jié)果表明，兒童受教育的水平依賴于他們父母受教育的水平。調(diào)查過程將人受教育的程度劃分為三類：E類：這類人具有初中或初中以下程度；S類：這類人具有高中文化程度；C類：這類人受過高等教育。當(dāng)父母（指文化程度較高者）是這三類人中的一類型時(shí)，其子女將屬于這三類中的任一類的概率（占總數(shù)的百分比）如表2.18.1：表2.18.1子女教育水平與父母教育水平的關(guān)系子女父母ESCESC問題：（1）屬于S類的人口中，其第三代將接受高等教育的百分比是多少？（2）假設(shè)不同的調(diào)查結(jié)果表明，如果父母之一受過高等教育，那么他們的子女總是可以進(jìn)入大學(xué)，修改上面的概率轉(zhuǎn)移矩陣；（3）根據(jù)（2），每一類人口的后代平均要經(jīng)過多少代，最終都可以接受高等教育？解：（1）由調(diào)查表可得概率轉(zhuǎn)移矩陣表示當(dāng)父母是這三類人中的某一類型時(shí)，其子女將屬于這三類中的任一類的概率，經(jīng)過兩步轉(zhuǎn)移得即反映當(dāng)祖父母是這三類人中的某一類型時(shí)第三代受教育程度，依次類推。所以，屬于S類的人口中，其第三代將接受高等教育的概率是26%。的三個(gè)特征值分別為，可以對(duì)角化。當(dāng)時(shí)，，不論現(xiàn)在的受教育水平的比例如何，按照這種趨勢(shì)發(fā)展下去，其最終趨勢(shì)是屬于E、S、C類的人口分別為37.84%、29.73%、32.43%。（2）如果父母之一受過高等教育，那么他們的子女總是可以進(jìn)入大學(xué)，則上面的概率轉(zhuǎn)移矩陣可修改為：，可以計(jì)算，……，，……，。屬于S類的人口中，其第三代將接受高等教育的概率是32%。的三個(gè)特征值分別為，可以對(duì)角化。當(dāng)時(shí)，，在當(dāng)時(shí)，。如果父母之一受過高等教育，那么他們的子女總是可以進(jìn)入大學(xué)，不論現(xiàn)在的受教育水平的比例如何，按照這種趨勢(shì)發(fā)展下去，其最終趨勢(shì)是屬于E、S、C類的人口分別為0、0、100%。由此可以看出，按照這種趨勢(shì)發(fā)展下去，其最終趨勢(shì)所有人都可以接受高等教育。評(píng)注1．理論依據(jù)根據(jù)矩陣的理論，轉(zhuǎn)移狀態(tài)概率矩陣、矩陣的特征值等理論來描述狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。2．應(yīng)用與推廣根據(jù)各個(gè)階段的不同狀態(tài)和狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，應(yīng)用矩陣的乘法（矩陣方冪的收斂性）來預(yù)測(cè)狀態(tài)的發(fā)展趨勢(shì)，這種方法屬于隨機(jī)過程中的馬爾柯夫鏈，在市場(chǎng)預(yù)測(cè)等方面有著重要的應(yīng)用。2.19快樂的假期旅游悄悄地，山綠了，水綠了，樹、草全綠了；幾回春雨澆過，那漫山遍野的杜鵑、桃花、梨花都張開了笑臉。春天來了，張勇、李雨、王剛、趙宇四位大學(xué)生相約，去尋找那生機(jī)勃勃盎然向上的春天，去呼吸那沁人心肺春天的氣息?！拔逡弧钡拈L(zhǎng)假終于來到了，但為選擇到哪里去旅游他們卻發(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)。原來張勇想到風(fēng)光綺麗的蘇杭去看園林的春色和西湖的美色，李雨卻想到風(fēng)景迷人的黃山去看巍峨挺拔的黃山松，王剛則想到風(fēng)光秀麗的廬山去尋找廬山的真面目。三個(gè)人爭(zhēng)得面紅而赤，只有趙宇坐在一邊，手里拿著筆，不停地寫著。最后站起來說：“別吵了，我計(jì)算過了，去蘇杭是明智的選擇?！闭f著他拿起粉筆在紙上畫一張分析圖，如圖2.19.1，并講解起來：最佳旅游地景色費(fèi)用飲食最佳旅游地景色費(fèi)用飲食居住旅途蘇杭黃山廬山這是一個(gè)遞階層次結(jié)構(gòu)，它分三個(gè)層次。第一層（選擇最佳旅游地）我們稱之為目標(biāo)層，第二層（旅游的傾向）我們稱之為準(zhǔn)則層，第三層（旅游地點(diǎn)）我們稱之為方案層，各層之間的聯(lián)系用相連的直線表示。要依據(jù)我們的喜好對(duì)這三個(gè)層次進(jìn)行相互比較判斷，進(jìn)行綜合，在三個(gè)旅游地中確定哪一個(gè)作為最佳地點(diǎn)。具體的做法是通過相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重和各方案對(duì)于每一準(zhǔn)則的權(quán)重。首先在我們?cè)跍?zhǔn)則層對(duì)方案層進(jìn)行賦權(quán)。我們認(rèn)為費(fèi)用應(yīng)占最大的比重（因?yàn)槲覀兪菍W(xué)生），其次是風(fēng)景（我們主要是旅游），再著是旅途，至于吃住對(duì)我們年輕人來說就不太重要。我們采用兩兩比較判斷法：表2.19.1旅游決策準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的兩兩比較表景色費(fèi)用飲食居住旅途景色11/2553費(fèi)用21775飲食1/51/711/21/3居住1/51/7211/2旅途1/31/5321在表2.19.1中，，它表示景色與費(fèi)用對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)來說的重要之比為1/2（景色比費(fèi)用稍微不重要），而則表示費(fèi)用與景色對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)來說的重要之比為2（費(fèi)用比景色稍微重要）；表示景色與飲食對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)來說的重要之比為5（景色比飲食明顯重要），而則表示飲食與景色對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)來說的重要之比為1/5（飲食比景色明顯不重要）；表示費(fèi)用與飲食對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)來說的重要之比為7（費(fèi)用比飲食強(qiáng)烈重要），而則表示飲食與費(fèi)用對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)來說的重要之比為1/7（飲食比景色強(qiáng)烈不重要）。由此可見，在進(jìn)行兩兩比較時(shí)，我們只需要進(jìn)行1+2+3+4=10次比較即可。由表1我們得到一個(gè)比較判斷矩陣并稱之為正互反矩陣。階正互反矩陣的特點(diǎn)是；（i，j=1，2，…，n）現(xiàn)在的問題是怎樣由正互反矩陣確定諸因素對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重？由于A是正矩陣，由佩羅（Perron）定理知，正互反矩陣一定存在一個(gè)最大的正特征值，并且所對(duì)應(yīng)的特征向量X可取為正向量。即，將X歸一化（各個(gè)分量之和等于1）作為權(quán)向量W，即W滿足。A=[1,1/2,5,5,3;2,1,7,7,5;1/5,1/7,1,1/2,1/3;1/5,1/7,2,1,1/2;1/3,1/5,3,2,1][X,Q]=eig(A)可以求出最大特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量經(jīng)過歸一化得，就是準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的排序向量。用同樣的方法，給出第三層（方案層）對(duì)第二層（準(zhǔn)則層）的每一準(zhǔn)則比較判斷矩陣，由此求出各排序向量（最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量并歸一化）：；；；；最后，我們將由各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量W和各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)向量，計(jì)算