北航自動(dòng)控制原理課件自控

1第五章頻率域方法2第5章

頻域分析法基本要求5－1

頻率特性5－2

典型環(huán)節(jié)的頻率特性5－3

系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5－4

頻率穩(wěn)定判據(jù)5－5

系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)的關(guān)系5－6

開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)階躍響應(yīng)的關(guān)系返回主目錄3基本要求正確理解頻率特性的概念。熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對(duì)數(shù)頻率特性曲線。熟練掌握由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線及開環(huán)對(duì)數(shù)相頻曲線的方法。熟練掌握由具有最小相位性質(zhì)的系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)的方法。返回子目錄45.熟練掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)及其它們的應(yīng)用。熟練掌握穩(wěn)定裕度的概念及計(jì)算穩(wěn)定裕度的方法。理解閉環(huán)頻率特性的特征量與控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。理解開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系及三頻段的概念，會(huì)用三頻段的分析方法對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析與比較。5s2

+w

2R(s)

=

Aw

5－1

頻率特性一、控制系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出輸入信號(hào)：r(t)

=

Ar

sinwt其拉氏變換式返回子目錄輸出i=1

s

-

siCi

+

B

+

D

s

+

jw

s

-

jwnC(s)

=

ins

tiCec(t)

=+(Dejwt

+Be-

jwt

)i=1=ct

(t)

+cs

(t)拉氏反變換得22rA

ef(

jw

)j[—

f(

jw

)-p

]=A62

jArws=

jwD

=

f(s)·

(s

-

jw

)s2

+w

2=

f(

jw

)·

r

其中同理B22Ar

ef(

jw

)-

j[—

f(

jw

)-p

]=將B、D代入（5－5）則222f(

jw

)j[w

t

+—

f(

jw

)-p

]-

j[w

t

+—

f(

jw

)-p

]cs

(t)

=Ar

(e

+

ep=

f(

jw)

Ar

cos(wt

+—f(

jw)

-

2)=

f(

jw

)

Ar

sin(w

t

+—

f(

jw

))7=

Ac

sin(wt

+j

)（5－6）式中Ac

=

f(

jw

)

Arj

=—f(

jw)從式（5－6）看出，線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量是和輸入同頻率的正弦信號(hào)。8二、頻率特性的定義線性定常系統(tǒng)，在正弦信號(hào)作用下，輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比，稱為系統(tǒng)的頻率特性（即為幅相頻率特性，簡(jiǎn)稱復(fù)相特性）。頻率特性表達(dá)式為f(s)

|

=f(

jw)

=|f(

jw)

|

ej—f(

jw

)s=jw9例子

以RC網(wǎng)絡(luò)為例其傳遞函數(shù)G(

jw)

=G(s)

=

1s=jw

Tjw

+1G

(s)

=

1Ts

+11-1e-j

tan

(Tw

)(Tw)2

+1=110Tjw

+1G(

jw

)

=

G(s)

=s=

jw頻率特性三、頻率特性的幾種表示方法1、幅頻特性、相頻特性、幅相特性j

f

(

w

)11A

(

w

)

ew

:

0

fi

￥A

(

w

)

~

wf

(

w

)

~

wG

(

j

w

)

=

G

(

j

w

)

—

G

(

j

w

)=，為系統(tǒng)的幅頻特性。為系統(tǒng)的相頻特性。圖5－2RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性12圖5－3

RC網(wǎng)絡(luò)的幅相特性曲線132。對(duì)數(shù)頻率特性14L(w)

=20lg

A(w)

~w(lgw)對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德（Bode)圖，包括對(duì)數(shù)幅頻和對(duì)數(shù)相頻兩條曲線對(duì)數(shù)幅頻特性：j(w)

~w(lgw)對(duì)數(shù)相頻特性:圖5－4

對(duì)數(shù)坐標(biāo)刻度圖15注意16–縱坐標(biāo)是以幅值對(duì)數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的；橫坐標(biāo)按頻率對(duì)數(shù)標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是實(shí)際的值，是不均勻的?！@種坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。–在橫軸上，對(duì)應(yīng)于頻率每增大10倍的范圍，稱為十倍頻程(dec)，如1-10，5-50，而軸上所有十倍頻程的長(zhǎng)度都是相等的。–為了說(shuō)明對(duì)數(shù)幅頻特性的特點(diǎn)，引進(jìn)斜率的概念，即橫坐標(biāo)每變化十倍頻程（即變化）所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分貝數(shù)的變化量。17e

j

0G

(

jw

)

=

K

=

K5－2典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）L

(w

)

=

20

lg

KA

(w

)

=

Kj

(w

)

=

0幅頻特性相頻特性對(duì)數(shù)幅相特性返回子目錄圖5－5

比例環(huán)節(jié)的頻率特性曲線18二、積分環(huán)節(jié)21we-

jpG(

jw

)

=幅相特性1sG(s)

=傳遞函數(shù)219p相頻特性是一常值-圖5－620積分環(huán)節(jié)的幅頻、相頻、幅相特性曲線對(duì)數(shù)頻率特性圖5－721三、慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）1Ts

+1G(s)

=傳遞函數(shù)-1e-j

tan

Tw1(Tw)2

+1=1Tjw

+1G(

jw)

=幅相特性22圖5－823慣性環(huán)節(jié)的幅頻、相頻、幅相特性曲線1T

2w

2

+1對(duì)數(shù)頻率特性L(w

)=

20

lg

A(w

)==

-20

lgT

2w

2

+1-1

Twj

(w

)=

—

G

=

-

tan當(dāng)w

T

<<

1,L(w

)=

0當(dāng)w

T

>>

1,L(w

)=

-20

lgTww

T

>>

1,24圖5－925慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線四、振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）n

nw

2s2

+2zw

s

+w

2G(s)

=

n

傳遞函數(shù)n

nn

nw

2w

2G(

jw

)=

n

(

jw

)2

+

2zw

jw

+w

2=

n

(w

2

-w

2

)

+

j2zw

w頻率特性261.幅頻特性、相頻特性、幅相特性222

)

2

n

2nnwwwA

(

w

)

=(

w

-

w1+

(

2

z

w

w

)

2=w

2w

2

n

n

1

-

+

2

z27

21

-

-1

w

n

www

n2zj

(w

)

=

-

tan圖5－11諧振頻率21

-

2zw

m

=

w

n諧振峰值m28mA

(w

)

=12z

1

-

z

2圖5－12

振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性29圖5－13

振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性2.對(duì)數(shù)頻率特性30五、微分環(huán)節(jié)j

p2G(s)

=

sG

(

jw

)

=

jw

=

w

e圖5－1531六、一階微分環(huán)節(jié)G(s)

=

ts

+1tw-1G(

jw

)

=

tjw

+1

=

(tw

)2

+1

e

j

tan圖5－1632七、二階微分環(huán)節(jié)

s

2

s

G(s)

=wn

+2z

+1wn

wn

wn

G(

jw)

=

+2zw

wnw2

wn

jw

2

jw

+1=1-

2

+

j2z3322

2

wn

wn

A(w

)

=

G(

jw

)

=

1-

w

+

2z

w

21

-

-1n

n

w

www2

zj

(w

)

=

—

G

(

jw

)

=

tan圖5－17

二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性3435-1ej(-p+tan

(Tw

))1(Tw)2

+1=1Tjw

-1G(

jw)

=八、一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)G(s)

=

1Ts

-1圖5－18非最小相位環(huán)節(jié)36定義：傳遞函數(shù)中有右極點(diǎn)、右零點(diǎn)的環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)），稱為非最小相位環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）。由圖5－18看出，一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的幅頻與慣性環(huán)節(jié)的幅頻完全相同，但是相頻大不一樣。相位的絕對(duì)值大，故一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)又稱非最小相位環(huán)節(jié)。e-ts37R(s)=G(s)=

C

s)A(w

)=

1j

(w

)=

—

G(jw

)=

-twL(w

)=

0九、延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)輸入輸出關(guān)系為c

(t=

r

(t

-t3839返回子目錄5－3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一、開環(huán)幅相特性曲線設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)G(s

=G1

(s

G2

(s

G3

(sj(—Gi

(

jw

))3i=1Gi

(

jw)

e開環(huán)頻率特性3G(jw

)=i=1系統(tǒng)開環(huán)幅頻與相頻分別為3Gi

(

jw

)i=1A(w

)=

G

(jw

)

=j(w

=j1

(w

+j2

(w

+j3

(w340i=1L(w

=20lg

G(

jw)3=20lgGi

(

jw)

=20lg

Gi

(

jw)i=11、開環(huán)幅相特性曲線（1）當(dāng)(

)niKG

s

=i=1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不包含積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)圖5－20

系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線41Ts

+1時(shí)，（2）當(dāng)nmG(s)=i=1

i=1

(Ti

s

+1)K

(ti

s

+1)圖5－21

取m=1,n=3時(shí)系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線42系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分子有一階微分環(huán)節(jié)，其開環(huán)幅相特性曲線出現(xiàn)凹凸時(shí)，（3）當(dāng)43G(s)=Ksn

(Ts+1)圖5－22

含有積分環(huán)節(jié)時(shí)的開環(huán)幅相特性曲線開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)時(shí)，頻率趨于零時(shí)，幅值趨于無(wú)窮大。時(shí)，2.系統(tǒng)開環(huán)幅相的特點(diǎn)44①當(dāng)頻率ω→0時(shí)，其開環(huán)幅相特性完全由比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)決定。②當(dāng)頻率ω→∞時(shí)，若n>m，G(j

ω)|=0相角為(m-n)π/2。③若G(s)中分子含有s因子環(huán)節(jié)，其G(jω)曲線隨ω變化時(shí)發(fā)生彎曲。④G(jω)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)，是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。j(w)=j1(w)+j2

(w)+j3

(w)+j4

(w)系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻等于各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻之和，相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。二、開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻與對(duì)數(shù)相頻表達(dá)式為4454i=1i=1L

(w

)=

20

lg

G(

jw

)

=

20

lgGi

(

jw

)

=

20

lg

Gi

(

jw

)例5－1繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻與相頻特性曲線。10(0.1s

+1)(s

+1)G(s)

=1046=101

10.1s

+1

s

+1(0.1s

+1)(s

+1)解：G(s)

=系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)由三個(gè)典型環(huán)節(jié)組成，每個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻與相頻特性均是已知的。將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻與相頻曲線繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻及相頻。47例5－2(0.5s

+1)1

1s

+1 0.05s

+1G(s)=

100(s

+

2)

=10

1s(s

+1)(s

+

20)

s5

(0.5s

+1)12101s13s

+11480.05s

+14五個(gè)基本環(huán)節(jié)繪制開環(huán)系統(tǒng)的波特圖49一般規(guī)則：將寫成典型環(huán)節(jié)之積；找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率；畫出各環(huán)節(jié)的漸近線；在轉(zhuǎn)角頻率處修正漸近線得各環(huán)節(jié)曲線；將各環(huán)節(jié)曲線相加即得波特圖。505－4頻率穩(wěn)定判據(jù)一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)圖5－17反饋控制系統(tǒng)N1

(s)G(s)=

M1

(s)N

2

(s

)2

(s

)H

(s

)=

M返回子目錄s)M

2

s)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H

(s)=

M1閉環(huán)傳遞函數(shù)N1

(s)N2

(s)M1(s)N2(s)G(s)f(s)

==1+G(s)H(s)

N1(s)N2(s)

+M1(s)M2(s)令F

(s)=

1

+

G(s)H

(s)=

N1

(s)N

2

(s)+

M

1

(s)M

2

(s)N1

(s)N

2

(s)51將F(s)寫成零、極點(diǎn)形式，則52n(s

-

pi

)n(s

-

zi

)F

(s)=i=1

i=1

輔助函數(shù)F(s)具有如下特點(diǎn)：①其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根。②其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同。③輔助函數(shù)與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)只差常數(shù)1。1.幅角原理內(nèi)有Z個(gè)F(s)的53如果封閉曲線Gs零點(diǎn)，有P個(gè)F(s)的極點(diǎn)，則s依Gs順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)曲線繞原點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)的圈數(shù)R為P和Z之差，即R＝P－Z若R為負(fù),表示F(s)曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)。zj

js

zi

Bs

-

ziA

—

F

(s)1

p1

z2zi+1

GF無(wú)法顯示該圖片。GsGFn

nD—

F

(s)=

D—

(s

-

zi

)-

D—

(s

-

pi

)i=1

i=1D—

F

(s)=

-2p由n54n(s

-

pi

)(s

-

zi

)F

(s

)=i

=1

i

=1

2.奈式判據(jù)若開環(huán)傳函p個(gè)極點(diǎn)，則為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)從的G(s)在Hs(的s)右半平面有w變化-時(shí)，￥

~

+￥G(jw

)H的(j軌w

)跡必反時(shí)針包圍GH平面上點(diǎn)(-1+次j0)。即N

=pz

=

p

-

N

=

055若為順時(shí)針轉(zhuǎn)則應(yīng)為z

=p

+N56s—閉環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。（F

(s)的零點(diǎn)數(shù)）p—開環(huán)傳函在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。N—G(jw

)H

(jw

)繞(-1+j0)點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)的次數(shù)。例5－6已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試應(yīng)用奈氏判據(jù)判別K=0.5和K=2時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。s

-157G(s)

=

K分別作出K=0.5和K=2時(shí)開環(huán)幅相特性曲線58K=0.5時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。K=2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖5－32

系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線二、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)59線的次數(shù)差若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（p=0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在

L

(w

)

>

0

dB

的所有頻段內(nèi)，j

(w

)正負(fù)穿越-180為0。注意：在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性大于零的頻段內(nèi)，相

頻特性曲線由下（上）往上（下）穿過(guò)負(fù)1800線為正（負(fù)）穿越。N+（N-）為正（負(fù)）穿越次數(shù)，從負(fù)1800線開始往上（下）稱為半個(gè)正（負(fù)）穿越。圖5－3460幅相曲線（a)及對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線(b)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是：差為在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻20

lgG(jw

)>0

的頻段內(nèi)，對(duì)應(yīng)的開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性曲線對(duì)-p

線的正、負(fù)穿越次數(shù)之61P

/2

。即N+

-

N-

=

P

/2P為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)位于s

右半平面的極點(diǎn)數(shù)。例5－8已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。1062s(0.1s

+1)G(s)H(s)

=解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖。圖5－35所以閉環(huán)穩(wěn)定263由開環(huán)傳遞函數(shù)可知P=0。N

=

N+

-

N-=

0

-

0

=

P例5－10已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試用對(duì)數(shù)判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。30064s(s2

+2s

+100)G(s)H(s)

=解：繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖圖5－3765在處振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻值為w

=wn20lg

1

=-20lg2·0.1=14dBZ

=

P

-

2N

=

0

-

2(-1)

=

2662V閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)特征方程的正根數(shù)為三、穩(wěn)定裕度——衡量閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。相位裕度j

(w

)-

p極坐標(biāo)圖

G

(

jw

)

H

(

jw

)

=

1

的矢量與負(fù)實(shí)軸的夾角。即對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上20

lg

GH

=

0

處與的差g

>

067系統(tǒng)穩(wěn)定（對(duì)最小相位系統(tǒng)）h

=

1G(

jw1

)H

(

jw1

)對(duì)數(shù)圖上j

(w

)=-180

時(shí)的-L(w

g

)K

g

(dB)>0

系統(tǒng)穩(wěn)定（對(duì)最小相位系統(tǒng)）+

—

G

(

jw

c

)

H

(

jw

c

))68g

=

180模穩(wěn)定裕度：圖5－3969相穩(wěn)定裕度和模穩(wěn)定裕度一般要求fpm

?

40h

?220

log

h

?

6

d

B70715－5系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)的關(guān)系圖示單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為f(s)

=

G(s)1+

G(s)f(

jw

)=

G(

jw

)

1+

G(

jw

)圖5－40返回子目錄圖5－41由開環(huán)幅相特性曲線確定閉環(huán)頻率特性72一、等M圓圖和等N圓圖根據(jù)開環(huán)幅相曲線，應(yīng)用等M圓圖，可以作出閉環(huán)幅頻特性曲線，應(yīng)用等N圓圖，可以作出閉環(huán)相頻特性曲線。f(

jw)

=M(w)eja(w

)

=

G(

jw) 1+G(

jw)(1+u)2

+v273u2

+v2G

u

+

jv=

=M

=1+G

1+u

+

jv74M

2M22

u

-

+

v2

=

1-

M

2

1-

M

2

令M為常數(shù)，得到等

M圓圖G

(jwu

+

u2

+

v2

+

jvf

(jw

)=

1+

G

(jw

)=(1+

u

)2

+

v2vu

+

u

2

+

v

2N

=

tg

f

(w

)=因此N

2

+175=4N

21

2

1

2

u

+

2

+

v

-

2N

令N為零，得到等N圓圖76二、尼科爾斯圖（N.b.Nichols)如果將開環(huán)頻率特性表示為G(jw)=

A(w)ejj(w

)jf(w

)77M(w)e

=A(w)ej