2023年廣東省廣州市高三高考一模數(shù)學(xué)試卷含詳解

2023屆廣州市高三年級調(diào)研測試

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上用2B鉛筆在答

題卡的相應(yīng)位置填涂考生號.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的

相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合人=山=4841y=ln（2-x）｝,則從舊=（》

A.[0,+8）B.（0,2）C.[0,2）D.（-00,2）

2.復(fù)數(shù)Z=丁」的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知p:（x+2）（x-3）<0,q:|x-l|<2,則P是\的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.紅燈籠，起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營

造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間

是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑

被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R，球冠的高為〃，則球冠的面積5=2詞.如圖

1,已知該燈籠的高為58cm,圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,則圍成該燈籠中間球面部分

14cm

A.1940兀mc?B.23507icm2C.2400兀cm?D.2540兀cm?

5.若a,Beg,兀

，且（l—cos2a）（l+sin0=sin2acos/?,則下列結(jié)論正確的是（)

\2y

八-5〃.八3萬

A.2a+/3=2B.2a-B=4

八07兀c冗

C.a+(3=D.a-(5=—

6.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每

天睡眠時間均值為9小時，方差為1,抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5,

則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為（）

A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75

7.已知函數(shù)/（力的定義域為R，且/（x+l）+/（x-l）=2,/（x+2）為偶函數(shù)，若"（））=2,則

*/(%)=()

*=i

A.116B.115C.114D.113

8.雙曲線C：/一y2=4的左，右焦點分別為大，工，過F?作垂直于X軸的直線交雙曲線于A5兩點,

△4耳乙/6后巴必648的內(nèi)切圓圓心分別為。1,。2，。3，則AOIUQ的面積是（）

A.60-8B.672-4C.8-4夜D.6-40

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.已知X,月分別為隨機事件A8的對立事件，P（A）＞0,P（B）＞0,則下列結(jié)論正確的是（）

AP（A）+P（A）=1B.P（A|B）+P（A|B）=l

C.若AB互斥,則P(AB)=P(A)P(6)

D.若A8獨立,則P(A|B)=尸⑷

10.已知/"(x)是/(x)導(dǎo)函數(shù)，/(x)=?sinx-/?co&r(faZ?^0),則下列結(jié)論正確的是()

A.將f'(X)圖象上所有的點向右平移y個單位長度可得/(x)的圖象

B.“X)與/'(x)的圖象關(guān)于直線x=q-對稱

C./(x)+.f'(x)與有相同的最大值

D.當(dāng)。=〃時，〃x)+r(x)與-r(x)都在區(qū)間(。，口上單調(diào)遞增

11.在矩形ABC。中，AB=e,BC=5將八4。。沿對角線AC進行翻折，點。翻折至點次，連接

D'B，得到三棱錐。'一ABC,則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是()

A.三棱錐。'一A8C的外接球表面積不變

B.三棱錐O'-ABC的體積最大值為變

2

C.異面直線與8c所成的角可能是90

D.直線A。'與平面ABC所成角不可能是60

12.已知。>0,b>0,。加"+lnZ?—1=0，則（）

,,11

A.\nb>—B.e0>—

ab

C.a+In/?<1D.ab<\

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(a+x)(l+x)5的展開式中/的系數(shù)是20,則實數(shù)。=.

14.已知向量2=(—2,冷石=(1,1),且Z,B，則2=,z一各在B方向上的投影向量的坐標(biāo)為

15.若過點(0力)3>0)只可以作曲線丁=壬一條切線，則b的取值范圍是.

16.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內(nèi)放兩

個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面與截面都相切，設(shè)圖中球。一球。2的半徑分別為4和2,

球心距離|。1。2|=2而，截面分別與球。一球。2相切于點瓦尸(E,尸是截口橢圓的焦點)，則此橢圓的

離心率等于.

A

號\、、\四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛%｝前鞏項和為S.,且86=453，4"=2?！?1(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛可｝的通項公式；

⑵設(shè)勿=2"-'a”,求數(shù)列出｝的前〃項和Tn.

18.在AABC中，內(nèi)角A,8,。的對邊分別為見"。，c=2b,2sinA=3sin2C.

⑴求sinC；

(2)若44B。的面積為白夕，求A3邊上的中線CO的長.

2

19.如圖，已知四棱錐P-ABCO底面A8C￡＞是菱形，平面P6C1平面ABC。，/ACD=30,E為

P

A

AO的中點，點尸在。4上，AP=3AF.//I\

AB

(1)證明：PC//平面BEF；

⑵若NPDC=NPDB,且PO與平面A3CD所成的角為45°，求平面AEF與平面3環(huán)夾角的余弦

值.

20.世界衛(wèi)生組織建議成人每周進行2.5至5小時的中等強度運動.已知A社區(qū)有56%的居民每周運動總時

間超過5小時，8社區(qū)有65%的居民每周運動總時間超過5小時，C社區(qū)有70%的居民每周運動總時間

超過5小時，且A8,C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為5:6:9.

(1)從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；

(2)假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量X(單位：小時)，且X?N(5.5,cy2).現(xiàn)從這

三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率.

21.已知拋物線。：卡=2印5>0)的焦點/到準(zhǔn)線的距離為2,圓〃與y軸相切，且圓心"與拋物線。

的焦點重合.

(1)求拋物線。和圓M的方程；

(2)設(shè)。(%,%)(占#2)為圓M外一點，過點P作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩個不同的點

A(w，y),8("％)和點。(玉，％)，穴(%4,%)?且X，2y3y4=16,證明：點尸在一條定曲線上.

22.己知函數(shù)/(x)=a*-ex2,a>0且a/1.

(1)設(shè)g(x)=/iD+ex,討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若a>1且/(x)存在三個零點外,工2，七.

1)求實數(shù)。的取值范圍；

.2e+l

2)設(shè)X］〈九2Vx3，求證：％+3尤2+工3>―.

2023屆廣州市高三年級調(diào)研測試

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上用2B鉛筆在答

題卡的相應(yīng)位置填涂考生號.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的

相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合人=山=4841y=ln(2-x)},則從舊=(》

A.[0,+8)B.(0,2)C.[0,2)D.(-00,2)

C

【分析】首先分別求解出A、B兩個集合，然后再根據(jù)集合交集的定義進行運算即可.

【詳解】由于故4={叫y20},

vy=ln(2-jc),,-,2-x>0.即x<2,故3={x|x<2},

因此An3={x|()Vx<2},即4門8=[0,2).

故選：C

2.復(fù)數(shù)z=」一的共物復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

D

【分析】

由復(fù)數(shù)除法運算求出z,再寫出其共施復(fù)數(shù)，得共枕復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo).得結(jié)論.

【詳解】z=￡z(l-2z)+221,-2121

-+,z=---i,對應(yīng)點為(三,-])，在第四象限.

(l+2z)(l-2z)JJJDDDD

故選：D.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查共軌復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運算法則是

解題關(guān)鍵.

3.已知p:(x+2)(x-3)<0,q:|x—l|<2,則P是夕的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B

【分析】分別求出命題，4,再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.

【詳解】因為〃：(x+2)(x-3)<0=>-2cx<3：<2=-l<x<3,

所以<?=〃，〃推不出9,所以。是9的必要不充分條件.

故選：B.

4.紅燈籠，起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營

造一種喜慶的氛圍.如圖1，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間

是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑

被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R,球冠的高為人則球冠的面積S=2四?.如圖

1,己知該燈籠的高為58cm,圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,則圍成該燈籠中間球面部分

所需布料的面積為()

2400兀cm?D.2540兀cm?C

【分析】由題利用勾股定理求出半徑R,再求出高度〃，分別求出兩個球冠的面積，用球體的表面積減去

兩個球冠的面積即可解決問題.

【詳解】由題意得：_f58-10^=72,

I2)

所以R=25cm,

58—10

所以〃=25--------=1cm,

2

所以兩個球冠的面積為2s=2x27iE〃=2x2x7ix25xl=1007rcm2,

則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：

47tA2-2S=4XKX252-10071=240071cm2,

故選：C.

5.若,且。一cos2a)(l+sin/?)=sin2acos￡,則下列結(jié)論正確的是()

\27

一八5萬--3兀

A.2a+，=-^-B.2a-B=―^

-C7兀c式

C.a+，=工-D,cc—P-

A

【分析】由萬]及二倍角的余弦公式可得sina(l+sin〃)=cosacos/，根據(jù)兩角和的余弦公式可得

sina=cos(?+/?),由誘導(dǎo)公式及a,1的范圍即可求解.

【詳解】.-.siniz^O.

由(1-cos2a)(1+sin2)=sin2acos/?,可得2sin2a(1+sin夕)=2sinacosacos/,

即sina(l4-siny?)=cosacos/?.

sina=cosacos-sinasin/?=cos(a+〃),

「.cos(a+夕)=cos(]-aj,?「a,/?w■，乃)，:.兀<a+B<2幾,且一^v1-avO,

根據(jù)函數(shù)y=cosx易知：a+￡=2-a+2i,即得：2a+/3^—.

22

故選：A

6.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每

天睡眠時間均值為9小時，方差為1,抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5,

則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為()

A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75

B

【分析】根據(jù)方差的計算公式求得正確答案.

OAA120f)

【詳解】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的平均數(shù)為：----------x9+--------x8=8.4(小時)，

1200+8001200+800

該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為：

———XF1+(9-8.4『]+1200*「05+(8-8.4)[=0.94.

1200+800L\'J1200+800L''J

故選：B

7.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+l)+/(x—l)=2,/(x+2)為偶函數(shù)，若/(0)=2,則

115

￡f(k)=()

k=l

A.116B.115C.114D.113

C

【分析】由.f[x+l)+/(x-l)=2可得函數(shù)的周期為4，

再結(jié)合〃x+2)為偶函數(shù)，可得“X)也為偶函數(shù)，通過周期性與對稱性即可求解.

【詳解】由/'(x+l)+/(x—1)=2,得/(x+2)+/(x)=2,

即/(%+2)=2-〃力，

所以/(x+4)=2—/(x+2)=2-[2—/(x)]=/(x),

所以函數(shù)/(x)的周期為4,又〃x+2)為偶函數(shù)，

則〃-x+2)=/(x+2),

所以/(x)=〃4一x)=/(-x),

所以函數(shù)/(x)也為偶函數(shù)，

又/(x+l)+/(x-l)=2,

所以〃1)4/⑶=2,/(2)+/(4)=2,

所以〃1)+〃2)+/?⑶+44)=4,

又/（1）+/（—1）=2,即2/（1）=2,所以=

又/（0）+/（2）=2,/（0）=2,

.?."2）=0,

115

所以上）=［“1）+”2）+/（3）+/（4）］X28+/⑴+〃2）+/（3）=4x28+2+0=114

k=\

故選：c.

8.雙曲線一y2=4的左，右焦點分別為耳，鳥，過K作垂直于X軸的直線交雙曲線于A,8兩點，

△4耳鳥,鳥,的內(nèi)切圓圓心分別為。1,。2，。3,貝|JAOQ203的面積是（）

A.672-8B.6&-4C.8-4夜D.6-4&

A

【分析】由題意畫出圖，由已知求出。的值，找出A,B的坐標(biāo)，由鳥，△片AB的內(nèi)切圓圓心

分別為。,。2，。3,進行分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出4。。2°3的底和高，利用三角形

的面積公式計算即可.

由雙曲線C：%2-y2=4,知。2=》2=4,

所以/=￡?+從=8,

所以瑪（2&,0）,陽用=2c=40

所以過F］作垂直于x軸的直線為x=2叵,

代入C中，解出A（2&,2）,8（2夜,一2）,

由題知AAKE.ABEK的內(nèi)切圓的半徑相等，

且|的|=|防I，AAEK，A3耳鳥的內(nèi)切圓圓心?,。2

的連線垂直于x軸于點P,

設(shè)為『，在AAK乙中，由等面積法得：

；（|A川+|A段+忻用）.:3比用伽瑪由雙曲線的定義可知：|筋|一|9|=2a=4

由|A段=2,所以|A制=6,

所以;（6+2+4啦）"=；*4夜x2,

解得：l書興通-吟=2五一2,

2+V22

因為為AKAB的NA-B的角平分線,

所以。3一定在月6上，即X軸上，令圓。3半徑為R,

在中，由等面積法得：g（|A￡|+忸用+=

又|M|=|%|=J|%『+|M2=J（40『+22=6

所以;x（6+6+4）?R=3x4&x4,

所以H=J5，

所以|產(chǎn)用=r=2及一2,

\O3P\=\O3F2\-\PF2\=R-r=y[2-（2y/2-2]=2-42,

所以S?。必=g|。。21103P|=3x2rx|Q尸|

=rx|03Pl=（2拒-2）x（2_0）=6啦-8,

故選：A.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.已知瓦豆分別為隨機事件A8的對立事件，P（A）＞0,P（8）＞0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（A）+P（可=1

B.P（A|B）+P（Z|B）=l

C.若AB互斥,則P(AB)=P(A)P(6)

D.若A8獨立,則P(A|B)=尸⑷

ABD

【分析】結(jié)合互斥事件、對立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷即可.

【詳解】選項A中：由對立事件定義可知P(A)+P(Z)=1,選項A正確；

選項B中：尸(川8)+可彳忸)=曳號花遜=鐳^=1,選項B正確；

選項C中：A,B互斥，P(AB)=O,P(A)>0,P(B)>0,P(AB)P(A)P(B),故選項C錯誤;

p(AD\

選項D中：A,B獨立,則尸(AB)=P(A)P(B),則尸(A忸)=嗔―=P(A),故選項D正確.故選:

r{D)

ABD

10.已知/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，./'(x)=asinx-/?cosx(aZ7W0),則下列結(jié)論正確的是()

A.將/'(x)圖象上所有的點向右平移1個單位長度可得〃力的圖象

B./(X)與/'(X)的圖象關(guān)于直線》=子對稱

C./(x)+/'(x)與“X)-/'(X)有相同的最大值

D.當(dāng)a=/2時，/(x)+/'(x)與/3-7'(力都在區(qū)間畫)上單調(diào)遞增

AC

【分析】首先求得/(X)的導(dǎo)函數(shù)r(x)=acosx+Ainx,然后根據(jù)三角函數(shù)圖像平移驗證A選項的正誤,

根據(jù)函數(shù)的對稱性驗證B選項的正誤，根據(jù)求三角函數(shù)的值域驗證C選項的正誤，根據(jù)求解三角函數(shù)的單

調(diào)性驗證D選項的正誤.

【詳解】,.?/(x)=asinx-bcosx^ab^G),/'(x)=acosx+/?sinx.

將廣(X)的圖像向右平移!■個單位得y=acos(x71+/?sin(=asinx-bcosx=/(x)的圖像，故A

/(x)+(x)=(a+&)sinx+(tz-/7)cosx=^a+bf+(tz-b)2sin(x+g),其中tan*=4+：,

"(x)+f'(x)最大值為Jg+bf+(a-bf=萬+/,

f(x)-f'(x)=(a-b)sinx-卜'+/?)cosx=J(a-+(“+sin(x-O),其中tan。="+：,

最大值為Q(a-bf+(a+Z?)2=0-4a1+b2，故C選項正確；

當(dāng)a=Z?時，/(x)+/'(x)=2asinx,/(%)-7,(x)=-2acosx,

當(dāng)”>()時?，/(x)+/'(x)在［o，B上單調(diào)遞增，〃X)—r(x)在，，最上單調(diào)遞增，

當(dāng)“<0時，/(x)+/'(x)在(0馬上單調(diào)遞減，/(X)-/'(x)在(0,9上單調(diào)遞減，綜上可知

/(x)+/'(x)和/⑴一/'(x)在(0段)上單調(diào)性相同，但可能遞增也可能遞減，故D選項錯誤.

故選；AC

11.在矩形ABC。中，AB=也,BC=g,將八4￡>。沿對角線AC進行翻折，點。翻折至點以，連接

D'B,得到三棱錐。'一ABC,則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是()

A.三棱錐D'-ABC的外接球表面積不變

B.三棱錐。'-ABC的體積最大值為立

2

C.異面直線4)'與BC所成的角可能是90

D.直線AD'與平面A8C所成角不可能是60

AD

【分析】當(dāng)平面O'AC_L平面A8C時，點到平面ABC的距離最大，此時三棱錐體積最大，AD'與平

面A8C所成角最大，利用等面積求得O'E后，即可確定BD的正誤；取AC中點為M,可得

AM=MC=D'M=BM,所以M為棱錐O'—ABC的外接球球心，故球的表面積不變，可判斷A的正

誤；設(shè)異面直線A￡>'與BC所成的角是90，由線面垂直的判斷和性質(zhì)，可判斷C的正誤.

【詳解】對于A,記AC中點為〃，如圖所示

和AABC均為直角三角形，M為AC中點,

.-.AM=MC=D'M

為棱錐。'一ABC的外接球球心，半徑為AM,

2

5%..,?三棱錐。'—ABC的表面積不變，，故A正確;

=DC=D'C=0,BC=AO'=AO="AC=百,

當(dāng)平面D'AC1平面ABC時,三棱錐D'-ABC的體積最大,

過點30向4c做垂線，垂足為E,

ADRC尋叵病

?/D'A=6,D'C=&,在4AlyE中可得D'E

AC5

?.?平面Q'AC_L平面ABC,

平面D'AC0平面ABC=AC,D'E±AC,

DE是三棱錐D'-ABC的高,

.??三棱錐。'一ABC的體積最大值為.w‘-r>'E=LxLx0x6x《ie=逑=@

3*325305

故B不正確;

對于C,若異面直線A￡>'與8c所成的角是90。，

則AD'_LBC,又因為A5LBC,

ABc47=A,ABu平面ABD,4°'u平面ABD,

，BCJ_平面AB。'，則在△BCD中，UC=6<BC=6，

不成立，所以異面直線AD'與6C所成的角不可能是90、，故C不正確；

對于D,設(shè)4)'與平面ABC所成角為。，點OC到平面ABC距離為d,則sin6=F=-7G，

AD,2

???當(dāng)點以到平面ABC距離最大時，AD'與平面ABC所成角最大，

當(dāng)平面￡>'AC_L平面ABC時，點。C到平面ABC距離最大，由B知，此時4n2,=。右=等,

即(sin6)ma'=^<#,，4儂<60°,D正確.

故選：AD.

12.已知a>0,b>0,a/?e"+lnZ?-l=0,則()

,,11

A.\nb>-B.efl>-

ab

C.a+\nh<1D.cib<\

BCD

【分析】對于A選項，嘗試找反例.

對于B,C選項，構(gòu)造函數(shù)g(x)=xe、幫助分析.

對于D選項，設(shè)8=e'"，再研究函數(shù)"(x)=xev+m+m-1零點所在范圍.

【詳解】對于A選項，當(dāng)。=1時，abea+InZ?-1=00eZ?+InZ?-1=0-

設(shè)/(x)=ex+Inx-1,其中x>0.

則r(x)=e+g>0,故/(x)在(0,+紇)上單調(diào)遞增.

又/⑴=e-1>0,=-1<0,則川eI,使/優(yōu))=0.

11]

即存在。=Ifbe—,1,使+In/?—1=0-

\e)

但此時，InZ?vIn1=0v1=故A錯誤.

對于B選項，abea4-In/?-1=0oaea+—In人=—oaea---In—=—

bhbhb

oaea-In-e'=L設(shè)g(x)=xe",其中x>0.則g'(x)=(x+l)e*>0.

bb

得g(x)在在(0,+e)上單調(diào)遞增.注意到“e。一In-e"=-<=>g(a)-gIn-=

hb7yb)b

則-gln-=->0=>6f>ln7.又y=e'在R上遞增，

vyb)bb

In-1

則有e“>e=>ea>上.故B正確.

b

對于C選項，由B選項可知e">,，則由a為"+In匕-1=0，

b

有0=abe11+In/?-1>ab?—+Inb-I=>a+Inb<1.故C正確.

b

對于D選項，因a>(),b>0,abe1'+Inb-]=0，

則abe"=l-ln^>0=>ln&<l=>/?<e.設(shè)。=e'n>其中〃2<1.

則abea+In8-1=0oaea+m+m-1=0?

設(shè)力(x)=xex+m+m-1,其中xe(0,+oo).則〃'(x)=(x+1)ex+,">0,

得/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

⑴若0<相<1,注意到〃(1一m)=(1一加)(e-l)>0,〃(0)=m-1<0,則支e(0,1-/篦)，使

/?(%)=0.即aG(0,1-〃z),

則ab<e'"(1-/n),設(shè)2(x)=e*(1-x),則p'(x)=-xex,

得p(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則ab=em(1-rnj=p(m)<p(0)=1.

(2)當(dāng)機=0,A(x)=jce'-1,注意到"0)=-1<0,/i(1)=e-1>0.

則ae(0,l),此時必=a<1.

(3)當(dāng)機<0,注意到〃(一利)=一1(0，A(l-/w)=(l-m)(e-l)^0

則aG{-m,1-m),又由(1)分析可知在(-8,0)上單調(diào)遞增.

則ab=e"'(1-m)=p(，〃)<p(0)=1.

綜上，有.故D正確.

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及雙變量，構(gòu)造函數(shù)，難度較大.對于A選項，直接證明較為復(fù)雜，故嘗試

找反例.

對于B,C選項，在Inx與e*同時出現(xiàn)的題目中，常利用x=lnev=使出現(xiàn)相同結(jié)構(gòu).

對于D選項，將匕看作參數(shù)，并設(shè)匕=e'"簡化運算.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(a+x)(l+x)s的展開式中小的系數(shù)是20,則實數(shù)。=.

2

【分析】根據(jù)二項展開式可得(a+x)(l+x)5=(a+xXl+C；x+C；x2+c>3+cH+Cd),則可得展開式中一

的系數(shù)，列方程即可得實數(shù)”的值.

【詳解】解：因為(a+xNl+xyKa+xXl+Cx+Ck+Cjd+CW+C；%5)

則展開式中x4的系數(shù)是尤；+C；=5a+10=20,求得a=2.

故答案為：2.

14.已知向量1=(—2,丸)》=(1,1),且Z'M則4=［一，在辦方向上的投影向量的坐標(biāo)為

①.2(-h-l)

【分析】①根據(jù)平面向量垂直的判定條件求解；I的值即可；

②首先根據(jù)投影的計算公式求出％一3在B方向上的投影，進而求出在5方向上的投影向量.

【詳解】①已知2=(—2"),1=(1,1),由于￡工石，所以1B=(-2)xl+/lxl=0,解得2=2；

②由①知：2=(—2,2),石=(1,1),得Z—］=(—3,1),

貝=3)*1+1*1=—2,|^|=Vl2+12=A/2,

(a-b\b_2r-

故a-各在］方向上的投影為向=《=-6，

得a-b在b方向上的投影向量為一魯,&=(-1,-1)?

故答案為：2；（T,7）15.若過點（0力）S＞0）只可以作曲線y=2的一條切線，則匕的取值范圍是

e

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，設(shè)切點坐標(biāo)為（玉）,2?），則得切線方程y-含=詈＜%-％）,

22

過點（0㈤（。＞0）,則。=W，構(gòu)造函數(shù)/z（x）=一,

確定函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，即可得力的取值范圍.

【詳解】解：函數(shù)y=j的定義域為R，則了=寧，設(shè)切點坐標(biāo)為（玉），亮），

則切線斜率為女=上/，故切線方程為：y-々=±m(xù)（x-x。），

e°e2e”＞

又切線過點（o,b）S＞0）,則方一宗=匕含（一X。）=＞方=W，

設(shè)〃（x）=則/?'（X）=無）=0得，尤=0或x=2,

則當(dāng)xe（—8,0）時，〃'（x）＜0,函數(shù)/z（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)為?0,2）時,“（力＞0,函數(shù)〃（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)X￡（2,+OO）時，//（x）＜0,函數(shù)/z（x）單調(diào)遞減，

4

所以〃（0）=0,〃（2）=；,

e

又1-＞一8時，力（工）-400,Xf+8時，

所以/,=另有且只有一個根，且6＞0,則〃＞：,故〃的取值范圍是［之,+力］.

e-'°e-ye"）

故答案為：

16.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內(nèi)放兩

個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面與截面都相切，設(shè)圖中球。一球。2的半徑分別為4和2,

球心距離|。2|=2版，截面分別與球。1，球。2相切于點民F（￡尸是截口橢圓的焦點），則此橢圓的

離心率等于.

1【分析】根據(jù)已知條件求得a，c,從而求得橢圓的離心率.

【詳解】設(shè)OacEF=D,

IM\O.F\_I

由|?；貄0,￡|2，解得口必=網(wǎng)。,|0囚=出

|。2。|+|?。|=2加33

42

所以2c=—+—=2,。=1,

33

設(shè)直線所與圓錐的母線相交于點A,圓錐的母線與球相切于比。兩點，如圖所示,

則閾=回照=網(wǎng),

兩式相加得|AB|+1AC|—|AE|+1AF^—a—c+ci+c—24z,即|/?C|-2a,

過02作QGJ_aB,垂直為G,

則四邊形BGO2c為矩形，所以2a=|BC|=J(2啊12?=6，a=3,

c1i

所以橢圓的離心率為-=;7.故答案為：一

a33

【點睛】求解橢圓離心率的問題，思考方向有兩個，一個求得

求得a，c,從而求得橢圓的離心率二：一個是求得關(guān)于凡。的關(guān)系式，可以是一次式，也可以是二次式,

a

但必須是齊次式，由此化簡求得橢圓的離心率.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且S6=4S3，%=2a“+l(〃eN)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)a=2'-'a?,求數(shù)列｛仇｝的前〃項和7；.

(1)=2〃-1

(2)7；=(2〃一3卜2"+3

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得數(shù)列的首項和公差，從而求得可.

(2)利用錯位相減求和法求得

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為"，依題意，S6=4S3,?2?=2??+l(neN*),則4=24+1

64+15d=4(3。］+3d)C

所以［1,''),解得a1=l1,d=2,所以凡=2〃-1.

q+d=2。］+1

【小問2詳解】

2=2"4=（2〃一1）21,

所以7；=lx2°+3x2'+…+（2”—1）X2"T,

27；,=lx2,+3x22+...+（2n-l）x2\

兩式相減得-；7=1+2。+23+…+2”—（2〃-1）x2"

=]+4,:）_（2“—l）x2"=（3-2n）-2,,-3,

所以騫=（2〃-3>2"+3.

18.在中，內(nèi)角A3,C的對邊分別為a,"。，c=2b,2sinA=3sin2C.

（1）求sinC；

（2）若的面積為,求AB邊上的中線CO的長.

2

⑴反

4

（2）幣

【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出結(jié)果；

（2）利用三角形面積公式，及（1）的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向量的線性表示出

CD，最后利用求模公式即可求AB邊上的中線CD的長.

【小問1詳解】

因2sinA=3sin2C,

所以2sinA=6sinCcosC,

所以2〃=6ccosC,

即a=3ccosC,所以cosC=q,

3c

由余弦定理及c=2b得：

22222222

「a+b-ca+h-4ba-3b

cosC=--------------=----------------=----------

2ah2ab2ab

a

又cosC=—

3c6h

a2-3b2

所以—=>2a2=9b2,

lab6b

日門3V2,

即。=----h，

2

3吟

所以c°sC"=2V|.

6b6b~4~

【小問2詳解】

rhc1;1A,.,V143A/7

由SARC=-absinC=-ufjcib---=----?

△ABC2242

所以=6>/2，

由⑴a等,

所以b=2,a=3\/2,

因為CO為A3邊上的中線,

所以麗=g0+西，

所以?麗『二：q河2+|麗I+2C4CB)

=；x(/72+。2+2a/?cosC)=；x4+18+2x2x30x=7,所以|前|=近,

所以A8邊上的中線。。的長為：幣.

19.如圖，已知四棱錐產(chǎn)一ABCO的底面ABC。是菱形，平面平面A8CD,，4。。=30。,￡為

AO的中點，點廠在Q4上，AP^3AF.

p

（1）證明：PC//平面BEF；

B

（2）若NPDC=NPDB,且PO與平面ABC。所成的角為45°，求平面與平面龐戶夾角的余弦

值.

（1）見解析（2）正

4

【分析】（1）設(shè)AC8E的交點為。，連接產(chǎn)。，可證得FO//PC,再由線面平行的判定定理即可證明;

（2）取8。的中點為H,連接P”，由面面垂直的性質(zhì)定理可證得則平面ABC。，以〃為坐標(biāo)

原點，為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AEE與平面8防的法

向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.

【小問1詳解】

設(shè)的交點為0,連接產(chǎn)。，已知。為的重心,

AT1

CCI,AO1AOAF

所以——=-——=—,所以在中,--

AC2AP2ACAP2

所以F0//PC，所以尸Ou平面班F，PC2平面B￡F，

則PC//平面血尸.

【小問2詳解】

因為NACD=30',所以NAC3=30°,

所以△OCB為等邊三角形，所以O(shè)C=DB,又因為=所以APDBMAPDC,所以

PB=PC，

取的中點為H,連接PH，則

平面PBC1平面ABC。，平面尸BCc平面AB8=3C,

則平面A8CD,以H為坐標(biāo)原點，“。,"&"尸為工,，,2軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為P￡）與平面A8CO所成的角為NPD”=45°,所以PH=DH,

設(shè)菱形的邊長為2,所以PH=DH=g，所以

P（0,0,V3）,B（0,l,0）,A（^,2,0）,D（^,0,0）,￡（^,l,0）,

4

因為入「=3而，所以產(chǎn)

5'

EF=-4￡,與，荏=（0,-1,0）,礪=（右,0,0卜

設(shè)力=（x,y,z）±平面AEF，

-y=0

n-AE=0

_=><乖,I垂）c'令x=l,y=0,z=l,

n-EF=Q------x+-y-\----z=0

333

所以3=（1,0,1）,

設(shè)玩=(馬，必,z?)_L平面BEE，

J和麗=0瓜2=0

令y—y/3,x—0,z=T,

[m-EF^Q-與Xz+gy?+與Z2=0