微積分極限思想推導(dǎo)圓周長面積公式_第1頁
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微積分極限思想推導(dǎo)圓周長面積公式1.積分法在平面直角坐標(biāo)下圓的方程是x^2+y^2=r^2x=r*Costy=r*Sintt∈[0,2π](x'(t))^2+(y'(t))^2)dt（Q:此處x,y對t為什么都要導(dǎo)A:將一個圓的周長分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1),y'(t)=△y=yn-y(n-1).當(dāng)n→∞,△x，△y→0(x'(t))^2+(y'(t))^2).所以C就是√((x'(t))^2+(y'(t))^2)從0到2π的積分.雖然不導(dǎo)得出的結(jié)果是一樣的，但原理方面就解釋不通了.）(-rSint)^2+(rCost)^2)dt=∫(0到2π)rdt2.極限法其底邊長為2*r*sin(π/n)，所以等n邊形周長為n*2*r*sin(π/n)lim[n*2*r*sin(π/n)]運(yùn)用等價(jià)無窮小規(guī)則，當(dāng)x→0時(shí)，有sinx→x所以lim[n*2*r*sin(π/n)]=lim[n*2*r*π/n]=2πr.應(yīng)用圓周長C=2πr1.可以將圓分成兩個半圓兩個半圓，再將兩個半圓分成無數(shù)個面積相等的扇形并展開，在拼接起來，底邊可以以直代曲，那么就是一個底邊長為πr，高2.積分法r，為自變量.設(shè)每個圓環(huán)厚度為dr→0，則圓環(huán)周長可看為2πr，圓面積為所有這些圓環(huán)的面積之和.所以S=∫2πrdr,從0積到R.所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]=πR^2.(球體積公式推導(dǎo)方法中的“球殼法ShellMethod”與此法是類似的.)1.積分法(1)圓方程為x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0積到r)，然后乘以4.方法和求曲邊梯形面積類似，具體不再敘述.(2)我們回過頭來看到上面周長推導(dǎo)中的Q和A.C/n=√(△x^2+△y^2)=√((x'(t))^2+(y'(t))^2)，每份C/n與兩條半徑組成的扇形的底面角形，每個面積就是r*C/n*1/2=1/2*r*√(△x^2+△y^2)=1/2*r*√((x'(t))^2+(y'(t))^2).S=∫(0到2π)1/2*r*√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt=1/2*r*∫(0到2π)√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt=1/2*r*C=1/2*r*2πr=πr^2.2.極限法根據(jù)正弦定理，其面積為1/2*r*r*sin(2*π/n)，所以等n邊形面積為n*1/2*r^2*sin(2*π/n)lim[n*1/2*r^2*sin(2*π/n)]運(yùn)用等價(jià)無窮小規(guī)則，當(dāng)

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