解不等式(知識點、題型詳解)

解不等式(知識點、題型詳解)不等式的解法1、一元一次不等式ax>b解法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為ax>b的形式，若a>0，則x>b/a；若a<0，則x<b/a；若a=0，則當(dāng)b<0時，x∈R；當(dāng)b≥0時，x∈??！纠?-1】（1）ax-3>3x解：此時，因為a的符號不知道，所以要分：a=0，a>0,a<0這三種情況來討論.由原不等式得ax>3x+3，①當(dāng)a=0時，0>3+3，無解。②當(dāng)a>0時，x>3/(a-3)。③當(dāng)a<0時，x<3/(a-3)?！纠?-2】已知不等式(3a+2b)x+6(a-b)<0與不等式3(a-a+1)x+a-a+1<0同解，解不等式3(a-2b)x+2(b-3a)>0。解：a∈R，a2-a+1>0，∴3(a-a+1)x+a-a+1<0的解為x<-1/3?！?3a+2b)x<-6(a-b)中(3a+2b)>0，∴解x<-6(a-b)/(16(a-b)-3a+2b)。由題意，-2b/3=-a/4，代入所求：-2bx-6b>0，∴x<-3。要注意：當(dāng)一元一次不等式中未知數(shù)的系數(shù)是字母時，要分未知數(shù)的系數(shù)等于、大于、小于這三種情況來討論。2、一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖像）。尤其當(dāng)Δ=0和Δ<0時的解集你會正確表示嗎？基本步驟：①把二次項系數(shù)a化為正；②求對應(yīng)的一元二次方程的根（先考慮十字相乘法，不能因式分解的再考慮用求根公式）；③利用二次函數(shù)的圖像（下圖，三個“二”的關(guān)系）求出對應(yīng)的解集，用集合或區(qū)間表示。設(shè)a>0，x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩實根，且x1<x2，則其解集如下表：二次函數(shù)、方程ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0Δ>0{x|x<x1或x>x2}{x|x≤x1或x≥x2}{x|x1<x<x2}{x|x1≤x≤x2}Δ=0{x|x≠-b/2a}R\{-b/2a}{x|x=x1=x2}{x|x=x1=x2}Δ<0RR{x|x∈?}{x|x∈R}【例2-1】解下列關(guān)于x的不等式：(1)2x2-3x-5>0；(2)3x2-4x-1≤0；(3)x2-2x+1≤0；(4)x2-2x+1>0；(5)x2-2x+3>0；(6)x2-2x+3≤0。2（1）因為對于此不等式對應(yīng)的一元二次方程$x^2-(a+1)x+a=0$，根據(jù)題意容易發(fā)現(xiàn)其可以因式分解為$(x-1)(x-a)>0$，所以該方程的兩根為$x_1=1$或$x_2=a$。又因為此不等式對應(yīng)的一元二次函數(shù)$y=x^2-(a+1)x+a$的拋物線開口向上，所以根據(jù)“大于在兩邊，小于在中間”的原理，可以直接寫出不等式$(x-1)(x-a)>0$的范圍：$x<1$或$x>a$。（2）同樣地，對于此不等式對應(yīng)的一元二次方程$x^2-(a+a^2)x+a^3=0$，可以用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式來求兩根。但是，這里不易因式分解，需要使用求根公式，得到兩根為$x_1=\frac{1+a^2-\sqrt{1-2a-3a^2-4a^3-4a^4}}{2}$，$x_2=\frac{1+a^2+\sqrt{1-2a-3a^2-4a^3-4a^4}}{2}$。根據(jù)一元二次函數(shù)$y=x^2-(a+a^2)x+a^3$的拋物線開口向上，可以得到不等式$(x-x_1)(x-x_2)\leq0$的范圍為$x_1\leqx\leqx_2$。（3）對于此不等式對應(yīng)的一元二次方程$ax^2+ax+1=0$，根據(jù)判別式$\Delta=a^2-4a<0$，得到該方程沒有實數(shù)根。因此，不等式$ax^2+ax+1\leq0$的解集為空集。綜上所述，解如下：（1）$x<1$或$x>a$；（2）$x_1\leqx\leqx_2$，其中$x_1=\frac{1+a^2-\sqrt{1-2a-3a^2-4a^3-4a^4}}{2}$，$x_2=\frac{1+a^2+\sqrt{1-2a-3a^2-4a^3-4a^4}}{2}$；（3）解集為空集。總結(jié)：對于易因式分解求出兩根的不等式，先求出兩根，再分類討論；對于不易因式分解求出兩根的不等式，以x的系數(shù)和判別式得出參數(shù)a值作為討論依據(jù)，將數(shù)軸分為幾部分，每種情況內(nèi)部不能取交集，最終結(jié)果只能分類回答。數(shù)軸穿根法可以用于簡單的一元高次不等式的解法，即將不等式右邊化為0，左邊分解成若干個一次因式或二次不可分因式的積，將每個因式的最高次項系數(shù)化為正數(shù)，將每個一次因式的根從小到大依次標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每個點畫出曲線，遇到奇次因式的根對應(yīng)的點，曲線穿過數(shù)軸；遇到偶次因式的根對應(yīng)的點，曲線不穿過數(shù)軸，仍在數(shù)軸同側(cè)迂回。分式不等式的解法中，當(dāng)分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。簡單的一元高次不等式的解法可以使用數(shù)軸穿根法，將不等式右邊化為0，左邊分解成若干個一次因式或二次不可分因式的積，并將每個因式的最高次項系數(shù)化為正數(shù)。然后將每個一次因式的根從小到大依次標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每個點畫出曲線，遇到奇次因式的根對應(yīng)的點，曲線穿過數(shù)軸；遇到偶次因式的根對應(yīng)的點，曲線不穿過數(shù)軸，仍在數(shù)軸同側(cè)迂回。根據(jù)曲線就可以知道函數(shù)值符號變化規(guī)律，從而解出不等式。分式不等式的解法中，當(dāng)分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母，其他情況需要使用其他方法解決。當(dāng)$x<2$時，$-(2x-4)>3x+7\Rightarrowx<-\frac{11}{5}$.取交集得：$x<-\frac{11}{5}$.以上兩種情況取并集得不等式的解為：$x<-\frac{11}{5}$.本題的基本思路與前兩題類似，即“討論去絕對值”。當(dāng)$x\geq3$時，$4x-9\leq8x+3\Rightarrowx\geq-3$.因此，$x\geq-3$.當(dāng)$x<\frac{9}{4}$時，原不等式$\Leftrightarrow-(4x-9)\leq8x+3\Rightarrowx\geq-\frac{5}{6}$.因此，$-\frac{5}{6}\leqx<\frac{9}{4}$.以上兩種情況取并集得不等式的解為：$x\geq-3$.本題可以用公式法去絕對值，變成一元二次不等式組來解。原不等式$\Leftrightarrow-1<x-2x-2<1\Leftrightarrow-1<x-2<1$，即$-1<x<3$.因此，$-1<x<1-2$或$1+2<x<3$.綜合得到不等式的解為：$-1<x<1-2$或$1+2<x<3$.對于形如$c<|ax+b|<d$或$c\leq|ax+b|\leqd$類型的絕對值不等式題型，可以采用“零點分區(qū)間法”分類討論或公式法來解。例如，對于不等式$1<|x+2|\leq4$，可以將其分為$|x+2|>1$和$|x+2|\leq4$兩種情況來討論，或者用公式法將其變形為$-1<x<-6$或$-3\leqx\leq2$，再取交集得到不等式的解。解下列關(guān)于x的（不）等式：(1)|x-1|+|x+1|=2；(2)2|x-1|-|x+1|=2；(3)|2x-1|+|x-3|>0；(4)|x-2|-|x|≤-2.2解析：這是含有兩個絕對值符號的（不）等式，并且（不）等號后面為常數(shù)的題型。這種題型的基本解法有兩種：討論去絕對值和利用絕對值的幾何意義來解。(1)方法一，分類討論去絕對值：當(dāng)x<-1時，原式為-（x-1）-(x+1)=2；當(dāng)-1≤x<1時，原式為-（x-1）+(x+1)=2；當(dāng)x≥1時，原式為（x-1）+(x+1)=2。所以，x=-1，兩者取交集得原式的解集為空集。方法二，利用絕對值的幾何意義：|x-1|表示數(shù)軸上一點x離1的距離；|x+2|表示數(shù)軸上一點x離-2的距離。令絕對值符號內(nèi)的式子為0，即x-1=0，x+1=0，得兩個值x=1，x=-1。這兩個值把數(shù)軸分為三部分：x<-1，-1≤x<1，x≥1。只有當(dāng)-1≤x≤1時，才能滿足原式。所以，原方程的解為：-1≤x≤1。(2)方法一，分類討論去絕對值：當(dāng)x≥1時，原式為2(x-1)-(x+1)=2；當(dāng)-1<x<1時，原式為2(x-1)+(x+1)=2；當(dāng)x≤-1時，原式為-2(x-1)-(x+1)=2。所以，x=3，兩者取交集得原式的解集為空集。方法二，利用絕對值的幾何意義：|x-1|表示數(shù)軸上一點x離1的距離；|x+2|表示數(shù)軸上一點x離-2的距離。令絕對值符號內(nèi)的式子為0，即2(x-1)=0，x+1=0，得兩個值x=1/2，x=-1。這兩個值把數(shù)軸分為三部分：x<1/2，1/2≤x<1，x≥1。只有當(dāng)1/2≤x<1時，才能滿足原式。所以，原方程的解為：1/2≤x<1。(3)當(dāng)2x-1≥0時，原式為2x-1+x-3>0，即x>1；當(dāng)2x-1<0時，原式為-(2x-1)+x-3>0，即x<3/2。所以，原方程的解為：x<3/2或x>1。(4)當(dāng)x≥2時，原式為x-2-x≤-2.2，即-2.2≤-2.2，恒成立；當(dāng)x<2時，原式為2-x-x≤-2.2，即x≥6.2。所以，原方程的解為：x≥6.2或x≥2。對于（2）（3）（4）這三題，可以使用以上兩種方法進(jìn)行解答。讀者可以自行嘗試。解題方法一：分類討論去絕對值。將絕對值內(nèi)的式子分別取正負(fù)值，得到不同的情況，并將每種情況的解集取并集。解題方法二：利用絕對值的幾何意義。將絕對值看作數(shù)軸上的距離，根據(jù)不等式的符號關(guān)系，在數(shù)軸上劃分出不同的區(qū)間，再根據(jù)每個區(qū)間內(nèi)的情況進(jìn)行討論。對于題型五：形如|ax+b|±|cx+d|<(或=)ex+f或|ax+b|±|cx+d|>(或=)ex+f類型的絕對值不等式題型，仍然可以使用分類討論去絕對值的方法進(jìn)行解答。對于題型六：形如||f(x)||g(x)|，可以使用兩邊平方的方法進(jìn)行解答。注意：在解題過程中，要注意一種情況內(nèi)部取交集，把所有情況的結(jié)果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集。同時，要注意絕對值的幾何意義，將其看作數(shù)軸上的距離。相對于利用絕對值的幾何意義來解題，分類討論去絕對值的方法相對較為繁瑣。解：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，有$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。將其代入$2\cos\frac{\pi}{3}\cos2x-2\sin\frac{\pi}{3}\sin2x=1$中得$2\cos(\frac{\pi}{3}+2x)=1$，即$\cos(\frac{\pi}{3}+2x)=\frac{1}{2}$。根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，有$\frac{\pi}{3}+2x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3}$，即$x=k\pi\pm\frac{\pi}{6}$，其中$k\inZ$。因此，方程的解為$x=k\pi\pm\frac{\pi}{6}$，其中$k\inZ$。選擇$y=\tanx$圖像上以$x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$為一個周期的部分作為研究對象。對于$y\leq1$的部分，即$\tanx\leq1$，根據(jù)$\tanx$的周期性，只需考慮$x\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$的部分即可。在該區(qū)間內(nèi)，$\tanx$單調(diào)遞增且連續(xù)，且$\tan(-\frac{\pi}{4})=-1$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，因此$\tanx\leq1$的解集為$x\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$。對于$y=\frac{2}{\cosx}-\frac{1}{\sinx}\leq0$的不等式，先將其化簡為$2\sinx-\cosx\geq0$。根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，有$\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。將其代入$2\sinx-\cosx\geq0$中得$2\sin(x-\frac{3\pi}{4})\geq0$，即$\sin(x-\frac{3\pi}{4})\geq0$。根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，有$x-\frac{3\pi}{4}=2k\pi+\frac{\pi}{2}$，即$x=2k\pi+\frac{5\pi}{4}$，或$x-\frac{3\pi}{4}=2k\pi$，即$x=2k\pi+\frac{3\pi}{4}$，其中$k\inZ$。因此，原不等式的解集為$x=2k\pi+\frac{3\pi}{4}$或$x=2k\pi+\frac{5\pi}{4}$，其中$k\inZ$。對于$(\sinx+\cosx)^2\leq2\sin2x$，先將其化簡為$\sinx+\cosx\leq\sqrt{2}\sinx$。當(dāng)$\sinx\neq0$時，兩邊同除以$\sinx$，得$\tanx+1\leq\sqrt{2}$，即$\tanx\leq\sqrt{2}-1$。根據(jù)$\tanx$的周期性，只需考慮$x\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$的部分即可。在該區(qū)間內(nèi)，$\tanx$單調(diào)遞增且連續(xù)，且$\tan(-\frac{\pi}{4})=-1$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$，因此$\tanx\leq\sqrt{2}-1$的解集為$x\in(-\frac{\pi}{4},\arctan(\sqrt{2}-1)]$。當(dāng)$\sinx=0$時，原不等式化為$\cosx\leq0$，即$x\in[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$，其中$k\inZ$。綜上，原不等式的解集為$x\in(-\frac{\pi}{4},\arctan(\sqrt{2}-1)]\cup[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]$，其中$k\inZ$。對于$2\cos^2x-3\sinx\geq0$，先將其化簡為$\cosx\geq\frac{3}{2}\sinx$。當(dāng)$\sinx\neq0$時，兩邊同除以$\cosx$，得$\tanx\geq\frac{3}{2}$。根據(jù)$\tanx$的周期性，只需考慮$x\in(-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2})$的部分即可。在該區(qū)間內(nèi)，$\tanx$單調(diào)遞增且連續(xù)，且$\tan(-\frac{\pi}{2})=-\infty$，$\tan\frac{\pi}{2}=+\infty$，因此$\tanx\geq\frac{3}{2}$的解集為$x\in(\arctan(\frac{3}{2}),\frac{\pi}{2})$。當(dāng)$\sinx=0$時，原不等式化為$2\cos^2x\geq0$，即$x\in[\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{3\pi}{2}+k\pi]$，其中$k\inZ$。綜上，原不等式的解集為$x\in(\arctan(\frac{3}{2}),\frac{\pi}{2})\cup[\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{3\pi}{2}+k\pi]$，其中$k\inZ$。綜上所述，解這種題型時需要牢記各種三角函數(shù)的圖像和特殊角的三角函數(shù)值，以及$k\inZ$的限制條件。若不是一個三角函數(shù)式的形式，要先化為一個三角函數(shù)式的形式，常用輔助角公式。選擇哪一個周期不影響答案的正確性，但通常選擇原點附近的一個周期，并使得滿足條件的答案形式盡量簡單。對于含參不等式，求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”，并注意按參數(shù)取值分別說明其解集或求并集。時，f(-x)=-f(x)，說明f(x)是奇函數(shù)，即關(guān)于原點對稱.又因為f(1)=1，所以當(dāng)x∈0,1時，f(x)>0；當(dāng)x∈-1,0時，f(x)<0.因此，f(x)在-1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增.對于不等式f(a)+f(b)>11(a+b)2x-1，我們可以根據(jù)f(x)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號，得到f(a)+f(b)>11(a+b)2x-1>0，即f(a)+f(b)>0.因此，要使不等式f(x+)<f()成立，只