2022-2023學(xué)年江蘇省南通市南郊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市南郊中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合,，，則為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B2.若，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＜0 D．cos2α＜0參考答案：D【考點(diǎn)】正切函數(shù)的圖象．【分析】先求得α的范圍，可得2α的范圍，再根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，得出結(jié)論．【解答】解：，等價(jià)于kπ﹣＜α+＜kπ，等價(jià)于kπ﹣＜α＜kπ﹣，等價(jià)于，∴cos2α＜0，故選：D．3.已知，則=

A. B.C. D.參考答案：C略4.設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C5.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

（

）A.2

B.3

C.4

D.5參考答案：B6.已知（

）A.3

B.1

C.

D.參考答案：Ｃ7.如圖是將二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的程序框圖，判斷框內(nèi)填入條件是（

）

參考答案：A略8.設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是

A.若

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

G3

G4

G5【答案解析】B

解析：若則平面可能相交，此時(shí)交線與平行，故A錯(cuò)誤；若l⊥α，l⊥β，根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可得B正確；若l⊥α，l∥β，則存在直線mβ，使l∥m，則m⊥α，故此時(shí)α⊥β，故C錯(cuò)誤；若α⊥β，l∥α，則l與β可能相交，可能平行，也可能線在面內(nèi)，故D錯(cuò)誤；故選：B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面平行的幾何特征及面面平行的判定方法，可判斷A；根據(jù)面面平行的判定方法及線面垂直的幾何特征，可判斷B；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，線面垂直及面面垂直的判定定理，可判斷C；根據(jù)面面垂直及線面平行的幾何特征，可判斷D．9.設(shè)=（

）（A）

（B）（－1，1）（C）

（D）參考答案：D10.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是

A．B．C．D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半（縱坐標(biāo)不變），再將它的圖像向左平移個(gè)單位，得到了一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為

.參考答案：12.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

.參考答案：13.已知雙曲線C:與拋物線y2=8x有公共的焦點(diǎn)F，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)的交點(diǎn)為M.若雙曲線C的離心率為2，則|MF|=_____.參考答案：略14.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，其中，若的值是

。參考答案：21略15.如圖是某算法的程序框圖，若任意輸入中的實(shí)數(shù)，則輸出的大于的概率為

;

參考答案：16.已知一個(gè)圓錐的底面積為2π，側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為

．參考答案：【考點(diǎn)】L5：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由圓柱的側(cè)面積、圓面積公式列出方程組求解，代入柱體的體積公式求解．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則，解得，所以高，所以．故答案為：．17.(幾何證明選講選做題)如圖3，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，，則BD等于

.參考答案：6由得又三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分，附加題滿分4分）（I）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說明；（II）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；（III）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個(gè)直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要說明。

參考答案：解析：（I）如圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)正三棱錐．如圖2，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長(zhǎng)的一組鄰邊邊長(zhǎng)為三角形邊長(zhǎng)的，有一組對(duì)角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個(gè)缺上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱錐的上底．（II）依上面剪拼方法，有．推理如下：設(shè)給出正三角形紙片的邊長(zhǎng)為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其面積為．現(xiàn)在計(jì)算它們的高：，．所以．（III）如圖3，分別連結(jié)三角形的內(nèi)心與各頂點(diǎn)，得三條線段，再以這三條線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過新三角形的三個(gè)頂點(diǎn)向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個(gè)四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個(gè)缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．

19.已知公差為的等差數(shù)列，0＜＜，0＜＜，其前項(xiàng)和為，若，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。參考答案：.解：（1）∵，∴，∴，

∵0＜＜，0＜＜，∴0＜＜，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，∴，∴

，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為。（2）∵，∴，

∴①，

②，

①－②得

=，

∴。20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=﹣3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q．①證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；②當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：第（1）問中，由正三角形底邊與高的關(guān)系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程組求得a2，b2；第（2）問中，先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線PQ的方程，利用兩點(diǎn)間距離公式及弦長(zhǎng)公式將表示出來，由取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點(diǎn)T的坐標(biāo)．解答： 解：（1）依題意有解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1．（2）設(shè)T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點(diǎn)為N（x0，y0），①證明：由F（﹣2，0），可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2，則PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，從而，即，則直線ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直線TF的斜率，得t=m．從而，即kOT=kON，所以O(shè)，N，T三點(diǎn)共線，從而OT平分線段PQ，故得證．②由兩點(diǎn)間距離公式得，由弦長(zhǎng)公式得==，所以，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)x2=2時(shí)，取“=”號(hào)），所以當(dāng)最小時(shí)，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此時(shí)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．點(diǎn)評(píng)：本題屬相交弦問題，應(yīng)注意考慮這幾個(gè)方面：1、設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程；2、聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y或x，得到一個(gè)關(guān)于x或y一元二次方程，利用韋達(dá)定理；3、利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性探求最值問題．21.已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）令（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列,的方程組求解再求前n項(xiàng)和公式即可得出．（2）變形，利用裂項(xiàng)相消求和【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,∵,,∴,解得,,∴;.（2）,