解三角形應(yīng)用舉例（優(yōu)秀課件）

高度角度距離有關(guān)三角形計算距離的測量高度角度距離有關(guān)三角形計算距離的測量

1、正弦定理：知識點小結(jié)

可以解決的有關(guān)解三角形問題：（1）已知兩角和任一邊；（2）已知兩邊和其中一邊的對角。

a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC可以解決的有關(guān)解三角形的問題：（1）已知三邊；（2）已知兩邊和他們的夾角。2、余弦定理：1、正弦定理：知識點小結(jié)可以解決的有關(guān)解三經(jīng)緯儀，測量水平角和豎直角的儀器。是根據(jù)測角原理設(shè)計的。目前最常用的是光學(xué)經(jīng)緯儀。光學(xué)經(jīng)緯儀鋼卷尺經(jīng)緯儀，測量水平角和豎直角的儀器。光學(xué)經(jīng)緯儀鋼卷尺引例：如圖，A,B兩點在河兩岸，現(xiàn)有經(jīng)緯儀和鋼卷尺兩種工具，如何測量A,B兩點距離？引例：如圖，A,B兩點在河兩岸，現(xiàn)有經(jīng)緯儀和練習(xí)1.如圖在鐵路建設(shè)中需要確定隧道兩端A,B的距離，請你設(shè)計一種測量A,B距離的方法？練習(xí)1.如圖在鐵路建設(shè)中需要確定隧道兩端A,B的距離，請你設(shè)練習(xí)2.如圖河流的一岸有條公路，一輛汽車在公路上勻速行駛，某人在另一岸的C點看到汽車從A點到B點用了t秒，請你設(shè)計方案求汽車的速度？分析：用引例的方法，可以計算出AC,BC的距離，再測出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以計算出A、B兩點間的距離。公路河流練習(xí)2.如圖河流的一岸有條公路，一輛汽車在公路上勻速行駛，某公路河流解：在岸邊選定一點D，測得CD=a,并且在C、D兩點分別測得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，應(yīng)用正弦定理得計算出AC和BC后，再在⊿ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離公路河流解：在岸邊選定一點D，測得CD=a,并且在C、D兩點測量問題之一：水平距離的測量①兩點間不能到達，又不能相互看到。(如圖1所示)

需要測量CB、CA的長和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的長。②兩點能相互看到，但不能到達。(如圖2所示)

需要測量BC的長、角B和角C的大小，由三角形的內(nèi)角和，求出角A然后由正弦定理，可求邊AB的長。圖1圖2測量問題之一：水平距離的測量①兩點間不能到達，又不能相互看到③兩點都不能到達③兩點都不能到達1、分析：理解題意，畫出示意圖2、建模：把已知量與求解量集中在一個三角形中3、求解：運用正弦定理和余弦定理，有順序地解這些三子角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。4、檢驗：檢驗所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解。實際問題→數(shù)學(xué)問題（三角形）→數(shù)學(xué)問題的解（解三角形）→實際問題的解解應(yīng)用題的一般步驟是：小結(jié)1、分析：理解題意，畫出示意圖2、建模：把已知量與求解量集中練習(xí)1

如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40米的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B兩點的距離是答案解析練習(xí)1如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距

在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，在△ACD

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA在△ABC中，由余弦定理，得數(shù)學(xué)作業(yè)：1.

A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，求AB兩點的距離。2.某人向東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120°，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好

千米，求x的值。3.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四點共圓，求AC的長.數(shù)學(xué)作業(yè)：1.A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)2.如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點C，測出A，C的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為答案解析

∠B＝180°－45°－105°＝30°，√2.如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)1233.某人向東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120°，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點恰好

千米，那么x的值是___.

由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.4答案解析1233.某人向東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120°，再朝新4.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四點共圓，則AC的長為____km.7答案解析4.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩

因為A，B，C，D四點共圓，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，故AC＝7.因為A，B，C，D四點共圓，故AC＝7.高度角度距離有關(guān)三角形計算高度和角度的測量高度角度距離有關(guān)三角形計算高度和角度的測量解應(yīng)用題中的幾個角的概念1、仰角、俯角的概念：在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫做俯角。如圖：2、方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，如圖解應(yīng)用題中的幾個角的概念1、仰角、俯角的概念：2、方向角：指解三角形應(yīng)用舉例（優(yōu)秀ppt課件）問題的本質(zhì)如圖，已知∠AEC為直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的長，所得結(jié)果再加上h.梳理BEAHGDC問題的本質(zhì)如圖，已知∠AEC為直角，CD＝m，用α、β、m表練習(xí)1:在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角α＝60°

，在塔底C處測得A處的俯角β＝30°。已知鐵塔BC部分的高為28m，求出山高CD.分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計算出AB或AC的長DABC練習(xí)1:在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角α＝60°CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度約為14米。解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根據(jù)正弦定理，CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度約為14例2如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北測遠處一山頂D在西偏北15o的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在西偏北25o的方向上，仰角為8o，求此山的高度CD.例2如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測梳理問題本質(zhì)是：如圖，已知三棱錐

D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的長．梳理問題本質(zhì)是：如圖，已知三棱錐D－ABC，DC⊥平面AB練習(xí)

如圖所示，A、B是水平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D點是點C到水平面的垂足，求山高CD.解答練習(xí)如圖所示，A、B是水平面上的兩個點，相距800m，在

由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東450相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東750的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東450相距9海里的C處有答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東830方向去追，經(jīng)過1.5小時才追趕上該走私船.答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東830方向去追，經(jīng)過1.5小時才追趕上跟蹤訓(xùn)練1

甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時

海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？解答跟蹤訓(xùn)練1甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每

如圖所示．設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，則在△ABC中，BC＝at(海里)，如圖所示．設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，

∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船應(yīng)沿著北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇．∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，當堂訓(xùn)練當堂訓(xùn)練1

江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_____m.

設(shè)兩條船所在位置分別為A、B兩點，炮臺底部所在位置為C點，30所以AB＝30(m).答案解析1江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同1232.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________________.答案解析

1232.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?03

如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是答案解析3如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在

在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°