有限差分方法24差分方程的相容性收斂性和穩(wěn)定性課件

計(jì)算力學(xué)基礎(chǔ)第二章有限差分方法2.4差分方程的相容性、收斂性和穩(wěn)定性計(jì)算力學(xué)基礎(chǔ)第二章有限差分方法2.4差分

一個(gè)微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么，我們要問，對于這些不同的差分方程是否都同樣有效，同樣可靠，而且能得到同樣的計(jì)算結(jié)果呢？答案是否定的。事實(shí)上，不同的差分方程和原方程有完全不同的對應(yīng)關(guān)系，它們具有各自不同的性質(zhì)，因此，數(shù)值結(jié)果也完全不同。在這些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有在一定的條件下是有效的、可靠的；有些差分方程則是完全無效的、不可靠的。所以，如何判斷和分析差分方程有效性和可靠性就成為非常必要和現(xiàn)實(shí)的問題了。在這一節(jié)中我們首先對差分方程有效性的一些基本概念（如相容性、收斂性、穩(wěn)定性）作簡單介紹，為本章以后各節(jié)的分析討論奠定基礎(chǔ)。

一個(gè)微分方程采用不同的方法可以得到不同的差差分方程相容性是討論當(dāng)時(shí)，差分方程逼近于微分方程的程度，因此，相容性是討論差分方程和微分方程的關(guān)系。定義：對于一足夠光滑函數(shù)，若時(shí)間步長，空間步長趨近于0時(shí)，差分方程截?cái)嗾`差對于每一點(diǎn)都趨近于0，則該差分方程逼近微分方程，即差分方程與微分方程是相容的。差分方程相容性可以通過Taylor展開方法來證明。例如，擴(kuò)散方程的FTCS差分格式為：

2.4.1相容性（Consistency）2.4.1相容性（Consistency）把作為t的函數(shù)，在鄰域展開成Taylor級數(shù)，把和

作為x的函數(shù)，在鄰域展開成Taylor級數(shù)：

將代入FTCS格式中，即可得到：、和把作為t的函數(shù)，在鄰域展當(dāng)時(shí)，上等式右側(cè)所有項(xiàng)都趨近0，差分方程趨近于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。關(guān)于差分方程相容性需要作以下說明：相容性是對求解區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限體積算法）首先必須滿足的有效性條件。有限差分方法24差分方程的相容性收斂性和穩(wěn)定性ppt課件相容性要求對于求解區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)，在同時(shí)趨近于0，截?cái)嗾`差趨近于0。如果不是同時(shí)趨近于0或并不趨近于0，而是趨近于某值，或結(jié)論并不是對每個(gè)點(diǎn)都成立，則差分方程就不滿足相容性條件，差分方程也就不逼近于微分方程。相容性條件不僅要求差分方程截?cái)嗾`差趨近于0，而且要求差分方程定解條件截?cái)嗾`差也同時(shí)趨近于0。差分格式有兩種不同形式的相容性，即無條件相容和有條件相容。相容性要求對于求解區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)，在2.4.2收斂性（Convergence）差分方程收斂性是討論當(dāng)時(shí)，差分方程的解和微分方程的解是否一致性的問題，也就是討論差分方程的解和微分方程的解的逼近程度。定義1：差分方程的數(shù)值解為，微分方程的精確解為，它們之間的誤差用表示，則稱為離散化誤差。定義2：節(jié)點(diǎn)為微分方程求解區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，差分方程數(shù)值解趨近于微分方程精確解，即，則差分方程收斂于微分方程。2.4.2收斂性（Convergence）差分方程收斂性差分方程收斂性有兩種證明方法，直接證明法和數(shù)值試驗(yàn)法。一、直接證明法對流方程的FTBS差分格式為：(a)設(shè)求解區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，，它的微分方程精確解為u，差分方程解為，則離散化誤差為，把差分方程和微分方程相減可得離散化誤差方程：(b)差分方程收斂性有兩種證明方法，直接證明法和數(shù)值試驗(yàn)法。一、直由（b）式可以看出離散化誤差方程在形式上和差分方程是完全相同的，由此可以得到：設(shè)a≥0，≤1，則0≤≤1，于是有：(c)由（b）式可以看出離散化誤差方程在形式上和差分方程是完全相同式中表示在n層的所有節(jié)點(diǎn)上離散化誤差絕對值最大值，對于所有節(jié)點(diǎn)j有：于是有：…式中表示在n層的所有節(jié)點(diǎn)上離由此可得到：(d)在t=0時(shí)，差分方程的初始條件應(yīng)該是完全準(zhǔn)確的，即：即：即差分方程離散化誤差和截?cái)嗾`差是相同數(shù)量級，因此，若→0，則：(f)由此可知，F(xiàn)TBS格式在a＞0，時(shí)，是收斂的。(e)由此可得到：(d)在t=0時(shí)，差分方程的初始條件應(yīng)該是完全準(zhǔn)二、數(shù)值試驗(yàn)法數(shù)值試驗(yàn)法基本思想是用差分方程求出FTBS數(shù)值解，然后和微分方程精確解進(jìn)行比較，確定差分方程是否收斂。直接證明法比較簡單，但是只有很少幾個(gè)差分方程可以采用直接證明法來證明其收斂性，而數(shù)值試驗(yàn)法又非常麻煩，一般來說，很難用數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)格證明差分方程是否收斂?？偟恼f來，不管是采用直接證明法，還是數(shù)值試驗(yàn)法，要證明差分方程收斂性都是比較困難的。二、數(shù)值試驗(yàn)法數(shù)值試驗(yàn)法基本思想是用差分方程求出FTBS數(shù)值關(guān)于差分方程收斂性需要作以下說明：(1)差分方程收斂性表示差分方程數(shù)值解和微分方程精確解逼近程度，只有在差分方程收斂于微分方程時(shí)，差分方程解才可能是微分方程精確解。(2)差分方程相容性是差分方程首先要滿足的，差分方程相容性是收斂性的必要性條件，但并不是充分條件。差分方程相容性并不能保證差分方程數(shù)值解一定收斂于微分方程精確解。若差分方程不相容，則數(shù)值解肯定不收斂微分方程的精確解。關(guān)于差分方程收斂性需要作以下說明：(1)差分方程收斂性表示

粗看起來，差分方程相容性要求時(shí)，差分方程逼近于微分方程，似乎差分方程數(shù)值解也應(yīng)該收斂于微分方程精確解。事實(shí)上，當(dāng)我們在證明相容性時(shí)，已經(jīng)假定了差分方程數(shù)值解就是微分方程精確解，在對微分方程進(jìn)行展開時(shí)，截?cái)嗾`差中已經(jīng)忽略了離散化誤差的存在。因此，差分方程相容性并不能保證其收斂性。(3)差分方程同樣也有兩種不同形式的收斂性：有條件收斂和無條件收斂。粗看起來，差分方程相容性要求時(shí)，差分方程逼近于微分方2.4.3穩(wěn)定性（Stability）用計(jì)算機(jī)數(shù)值求解差分方程時(shí)，計(jì)算誤差總是不可避免的。計(jì)算誤差包括舍入誤差、離散誤差和初值誤差。設(shè)微分方程精確解為，具有計(jì)算誤差差分方程數(shù)值解為，則計(jì)算誤差定義為：式中，是離散化誤差，而就是舍入誤差。根據(jù)收斂性條件，當(dāng)，差分方程收斂于微分方程。而數(shù)學(xué)性質(zhì)討論，就屬于穩(wěn)定性所要討論的范圍。由此可知，穩(wěn)定性是討論在計(jì)算過程中，某一時(shí)刻，某一點(diǎn)產(chǎn)生計(jì)算誤差，隨著計(jì)算時(shí)間增加，這個(gè)誤差是否能被抑制的問題。2.4.3穩(wěn)定性（Stability）用計(jì)算機(jī)數(shù)值求定義：在某一個(gè)時(shí)刻tn存在計(jì)算誤差，若在時(shí)刻滿足：條件，則差分方程是穩(wěn)定的。這里定義：是某種定義的范數(shù)。定義：在某一個(gè)時(shí)刻tn存在計(jì)算誤差，若在下面我們用幾個(gè)簡單的例子來說明差分方程穩(wěn)定性概念。（1）對流方程FTFS差分方程為：其中。設(shè)在n時(shí)刻計(jì)算誤差為，n+1時(shí)刻計(jì)算誤差為，則計(jì)算誤差傳播方程為：可以采用直觀的數(shù)值試驗(yàn)法來分析誤差傳播規(guī)律。(a)下面我們用幾個(gè)簡單的例子來說明差分方程穩(wěn)定性概念。（1）對在（a）式中設(shè)在tn時(shí)刻xj的計(jì)算誤差為，而計(jì)算到n+100時(shí)刻，（xj，tn+100）點(diǎn)的計(jì)算誤差將發(fā)展到，假定只有在節(jié)點(diǎn)（xj，tn）上存在誤差，其他各節(jié)點(diǎn)的計(jì)算誤差為零，則若取r=0.8，則。由此可以看出，這個(gè)計(jì)算誤差必定會(huì)將差分方程精確解原來面目完全淹沒了，所求得差分方程數(shù)值解已經(jīng)沒有任何意義了，因此，F(xiàn)TFS差分方程是不穩(wěn)定的。在（a）式中設(shè)在tn時(shí)刻xj的計(jì)算誤差為，而計(jì)算到（2）對流方程FTBS差分格式的誤差傳播方程為：(b)當(dāng)a＞0，時(shí)，，通過迭代運(yùn)算可得到：…（2）對流方程FTBS差分格式的誤差傳播方程為：(b)當(dāng)a＞由此可知，在n時(shí)刻的計(jì)算誤差是不會(huì)大于，因此，當(dāng)a＞0，時(shí)，F(xiàn)TBS差分格式是穩(wěn)定的（見圖a）。這是有條件的穩(wěn)定，穩(wěn)定的條件是a＞0，。但是，對于不同的a，Δt，Δx，F(xiàn)TBS差分格式的穩(wěn)定條件是不同的（見圖b）。由此可知，在n時(shí)刻的計(jì)算誤差是不會(huì)大于當(dāng)a=1，Δx=0.1，r=0.8，則有：；當(dāng)a=1，Δx=0.1，r=1.0，則有：；當(dāng)a=1，Δx=0.1，r=2.0，則有：。通過對（b）式的數(shù)值分析可知：(b)當(dāng)a=1，Δx=0.1，r=0.8，則有：圖b中給出了上述不同條件下差分方程計(jì)算誤差的圖解。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r=1.0時(shí)，差分方程解和微分方程解是一致的；當(dāng)r=0.8時(shí)，在差分方程解的兩端有耗散現(xiàn)象，當(dāng)r=2.0時(shí)，差分方程解會(huì)出現(xiàn)振蕩，并且在t=nΔt繼續(xù)增加時(shí)，振蕩也繼續(xù)加劇，直到計(jì)算完全失敗。數(shù)值分析表明，F(xiàn)TBS差分方程只有在r1.0時(shí)計(jì)算才是穩(wěn)定，當(dāng)r＞1.0時(shí)差分方程計(jì)算是不穩(wěn)定。差分格式穩(wěn)定性有兩種不同的形式：有條件穩(wěn)定和無條件穩(wěn)定。圖b中給出了上述不同條件下差分方程計(jì)算誤差的圖解。從圖中可以我們已經(jīng)討論了差分方程穩(wěn)定性和收斂性。穩(wěn)定性是反映差分方程在時(shí)間進(jìn)程上的特性，收斂性是反映差分方程空間位置上的特性，它們都體現(xiàn)了差分方程內(nèi)在性質(zhì)，都是十分重要的基本概念。那么，差分方程收斂性和穩(wěn)定性之間存在什么關(guān)系呢？Lax定理給出了這個(gè)問題的答案。Lax定理：對于適定和線性的初值問題微分方程，若逼近它的差分方程和它是相容的，則差