2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)小結(jié)：2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)拋物線的生活實例噴泉燈衛(wèi)星接收天線2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)拋物線的生活實例拋球運動2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)復(fù)習(xí)回顧：

我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：

都可以看作是,在平面內(nèi)與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡.·MFl0＜e

＜1(2)當(dāng)e＞1時，是雙曲線;(1)當(dāng)0<e<1時,是橢圓;(其中定點不在定直線上)lF·Me＞1那么,當(dāng)e=1時，它又是什么曲線

？2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)問題探究：當(dāng)e=1時，即|MF|=|MH|，點M的軌跡是什么？探究？幾何畫板觀察

可以發(fā)現(xiàn),點M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖)

我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.M·Fl·e=12.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)M·Fl·e=1

在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點,直線l叫拋物線的準(zhǔn)線|MF|=dd為M到l的距離準(zhǔn)線焦點d一、拋物線的定義:2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)M·Fl·e=1二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如何建立坐標(biāo)系呢？

思考：拋物線是軸對稱圖形嗎？2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)1.建立坐標(biāo)系2.設(shè)動點坐標(biāo),相關(guān)點的坐標(biāo).3.列方程4.化簡,整理l

解：以過F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)依題意得5.證明（略）這就是所求的軌跡方程.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)三、標(biāo)準(zhǔn)方程

把方程y2=2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中p為正常數(shù),表示焦點在x軸正半軸上.且p的幾何意義是:焦點到準(zhǔn)線的距離焦點坐標(biāo)是準(zhǔn)線方程為:想一想:

坐標(biāo)系的建立還有沒有其它方案也會使拋物線方程的形式簡單？﹒yxo方案(1)﹒yxo方案(2)﹒yxo方案(3)﹒yxo方案(4)2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)y2=2px(p>0)想一想?

這種坐標(biāo)系下的拋物線方程形式怎樣?四種標(biāo)準(zhǔn)方程

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)﹒yxo﹒yxo﹒yxo﹒yxo(三)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點準(zhǔn)線方程標(biāo)準(zhǔn)方程y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)y2=2px(p>0)2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程對比2.如何根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷拋物線的焦點位置及開口方向？①焦點在一次項字母對應(yīng)的坐標(biāo)軸上.

②一次項系數(shù)的符號決定了拋物線的開口方向.1.拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式上有什么共同特點?左邊都是平方項，右邊都是一次項.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)

2.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=-6x

，則它的焦點坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是.

3.已知拋物線的方程是y=6ax2（a≠0），則它的焦點坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是.應(yīng)用：類題一（由方程求有關(guān)量）1.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x

，則它的焦點坐標(biāo)是,準(zhǔn)線方程是.感悟：求拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程要注意兩點:1.先化為標(biāo)準(zhǔn)方程2.判斷焦點的位置是一次項系數(shù)的是一次項系數(shù)的相反數(shù)即：準(zhǔn)確“定型”2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)練習(xí)：填空（頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上）

方程焦點準(zhǔn)線開口方向開口向右開口向左開口向上開口向下2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)

1.

焦點為F（-2，0），則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.2.準(zhǔn)線方程是y

=

-2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.3.焦點到準(zhǔn)線的距離是4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________________________________.y2=-8xx2=8yy2=±8x、x2=±8y（1）（2）應(yīng)用：類題二（由有關(guān)量求標(biāo)準(zhǔn)方程）感悟：1.“定型”“定量”2.如果焦點位置或者開口方向不定則要注意分類討論.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)4.標(biāo)準(zhǔn)方程中p前面的正負號決定拋物線的開口方向．1.拋物線的定義:2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式:每一對焦點和準(zhǔn)線對應(yīng)一種形式.3.p的幾何意義是:焦點到準(zhǔn)線的距離2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)P66例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）已知拋物線的方程是y=－6x2，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（3）已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因為ｐ＝３，故焦點坐標(biāo)為（－,０）準(zhǔn)線方程為x=-－.3232

112解:方程可化為:x=-－y,故p=－,焦點坐標(biāo)為(0,-－),準(zhǔn)線方程為y=－.16

124

1242解:因焦點在y軸的負半軸上,且p=4,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為:x=-8y22.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)P67練習(xí)1：1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準(zhǔn)線方程是x=；（3）焦點到準(zhǔn)線的距離是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)P67課堂練習(xí)2、求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y2=20x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程(1)(2)(3)(4)（5，0）x=-5（0，—）18y=-—188x=—5（-—，0）58（0，-2）y=22.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)

思考:M是拋物線y2=2px（p＞0）上一點，若點

M

的橫坐標(biāo)為x0，則點M到焦點的距離是

————————————x0+—2pOyx．FM．這就是拋物線的焦半徑公式!2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)3、(1)拋物線y2=2px（p＞0）上一點M到焦點的距離是a，則點M到準(zhǔn)線的距離是__________，點M的橫坐標(biāo)為_______

a

-—2pOyx．FM．P67練習(xí)3(1)a2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)3、(2)拋物線y2=12x上與焦點的距離等于9的點的坐標(biāo)為_______

Oyx．FM．P67練習(xí)3(2)3-32.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)2.若拋物線y2=8x上一點M到原點的距離等于點M到準(zhǔn)線的距離，則點M的坐標(biāo)是_________.

2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)變式練習(xí):已知拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因為是焦點在x

軸上且過M點的拋物線,所以設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為由拋物線的定義知-(-3)=5即p=4.所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-8xy2=-2px(p>0)數(shù)形結(jié)合,用定義轉(zhuǎn)化條件。2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)

5.求過點A（-3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.．AOyx感悟：1.待定系數(shù)法2.數(shù)形結(jié)合3.分類討論應(yīng)用：類題二（由有關(guān)量求標(biāo)準(zhǔn)方程）2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)oxy4.求焦點在直線3x+4y-12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.應(yīng)用：類題二（由有關(guān)量求標(biāo)準(zhǔn)方程）標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的拋物線焦點在坐標(biāo)軸上.分析:2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)例2點M與點F(4,0)的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程.解：如圖,設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),依題意可知點M與點F的距離等于它到直線x+4=0的距離，根據(jù)拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4,0）為焦點的拋物線.∵焦點在x軸的正半軸上，∴點M的軌跡方程為：y2=16xll’MxOyF2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)題型一利用拋物線的定義求方程例1:若動圓M與圓C:(x-2)2+y2=1外切,又與直線x+1=0相切,則動圓圓心的軌跡方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x答案:A2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)解析:如圖所示,設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為R,由題設(shè)可知定圓圓心為C(2,0),半徑r=1.∵兩圓外切,∴|MC|=R+1.又動圓M與已知直線x+1=0相切,∴圓心M到直線x+1=0的距離d=R,∴|MC|=d+1.即動點M到定點C(2,0)的距離等于它到定直線x+2=0的距離.由拋物線的定義可知點M的軌跡為以C為焦點,x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=8x.故正確答案為A.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)變式訓(xùn)練1:動點P到點(3,0)的距離比它到直線x=-2的距離大1,則動點P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.雙曲線一支 D.拋物線解析:將直線x=-2向左平移一個單位,由已知可得動點P到點(3,0)的距離等于到直線x=-3的距離.答案:D2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)2.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是()A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4答案:A解析:y2=8x=2·4x,∴p=4,準(zhǔn)線方程為2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)答案:B解析:x2=ay的準(zhǔn)線方程為,∴a=-8.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)答案:C2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)答案:B2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線關(guān)于x軸對稱,頂點在原點,且過點P(2,4),則該拋物線的方程為__________.y2=8x

解析:設(shè)拋物線方程為y2=ax,又拋物線過點P(2,4),則16=2a,∴a=8,∴y2=8x.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)7.(2008上海,6)若直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,則實數(shù)a=__________.-1解析:由y2=4x得焦點F(1,0),代入直線方程得a+1=0.∴a=-1.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)11.(2010·福建卷)以拋物線y2=4x的焦點為圓心且過坐標(biāo)原點的圓的方程為()A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0解析:∵拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為(1,0),∴圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑r=1,∴圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:D2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)題型二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析:首先需確定使用哪種標(biāo)準(zhǔn)方程形式,若無法確定,則應(yīng)討論,然后由條件求p的值.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)例2:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過點(-3,2);2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)(2)①令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,∴當(dāng)拋物線的焦點為F(0,-2)時,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),則由=2得p=4,∴所求拋物線方程為x2=-8y.②令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,∴當(dāng)拋物線的焦點為F(4,0)時,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則由

=4得p=8,∴所求拋物線方程為y2=16x.綜上,所求拋物線方程為x2=-8y或y2=16x.例2:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)焦點在直線x-2y-4=0上;2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)(3)∵焦點到準(zhǔn)線的距離為∴p=∴所求拋物線方程為:y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.規(guī)律技巧:(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形狀,主要看其焦點的位置和開口方向.(2)不知道焦點的具體位置時,標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種一般形式:y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).例2:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)頂點在原點,以坐標(biāo)軸為對稱軸,焦點到準(zhǔn)線的距離為2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)變式訓(xùn)練2:分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過點(3,-4);解:(1)∵點(3,-4)在第四象限,∴設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把點(3,-4)的坐標(biāo)分別代入y2=2px和x2=-2p1y,得(-4)2=2p\53,32=-2p1\5(-4),2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)(2)令x=0得y=-5,令y=0得x=-15.∴拋物線的焦點為(0,-5)或(-15,0).故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-20y或y2=-60x.變式訓(xùn)練2:分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)焦點在直線x+3y+15=0上.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)1.到定點(3,5)與定直線2x+3y-21=0的距離相等的點的軌跡是()A.圓B.拋物線C.線段D.直線解析:因為定點(3,5)在直線上,所以點的軌跡是直線.答案:D2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)方法：利用平移2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)3.動點P到點A(0,2)的距離比到直線l:y=-4的距離小2，則動點P的軌跡方程為________x2=8y2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2) 1.抓住標(biāo)準(zhǔn)方程的特點,注意與焦點位置,開口方向的對應(yīng)關(guān)系;2.拋物線的定義反映了拋物線的本質(zhì)，靈活應(yīng)用定義往往可以化繁為簡、化難為易，且思路清晰，解法簡捷，巧妙解法常常來源于對定義的恰當(dāng)運用.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)題型三與拋物線有關(guān)的最值問題例3:已知拋物線x2=4y,點P是拋物線上的動點,點A的坐標(biāo)為(12,6).求點P到點A的距離與點P到x軸的距離之和的最小值.提示：利用準(zhǔn)線2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)分析:由定義知,拋物線上的點P到焦點F的距離等于點P到準(zhǔn)線的距離d,求|PA|與點P到x軸的距離之和的最小值,轉(zhuǎn)化成求|PA|+d-的最小值.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)解:如下圖,易判斷知點A在拋物線外側(cè),設(shè)P(x,y),則P到x軸的距離即y值,設(shè)P到準(zhǔn)線y=-1的距離為d,則y=d-1.故|PA|+y=|PA|+d-1,由拋物線定義知|PF|=d.于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由圖可知,當(dāng)A?P?F三點共線時,|PA|+|PF|取最小值為13.故所求距離之和的最小值為|FA|-1=12.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)規(guī)律技巧:定義是解決問題的基礎(chǔ)和靈魂,要善于思考定義和應(yīng)用定義,本題如果設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),利用兩點間距離公式求解,無法得到答案.由拋物線定義可知,|PF|等于P點到準(zhǔn)線的距離,當(dāng)P?A?F三點共線時,|PA|+|PF|的距離最小,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)變式訓(xùn)練3:(2008·遼寧高考)已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()解析:由拋物線的定義可知,拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離等于到焦點的距離.由圖可知,P點,(0,2)點和拋物線的焦點(0.5,0)三點共線時距離之和最小.2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)答案:A2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)1.已知定點A(3,2)和拋物線y2=2x,F是拋物線焦點，試在拋物線上求一點P,使PA與PF的距離之和最小，并求出這個最小值.提示：利用點到直線距離定義及二次函數(shù)最值提示：利用準(zhǔn)線2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)題型四拋物線的應(yīng)用例4:一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線形的隧道,如下圖所示,已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍,若拱寬為am,求能使卡車通過的a的