一次函數(shù)復(fù)習(xí)專題

一次函數(shù)復(fù)習(xí)專題【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】一、一次函數(shù)的定義:一般的：如果y=kx+b，那么y叫做x的一次函數(shù)。特別的：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就變?yōu)閥=kx(k≠0)，這時(shí)y叫做x的正比例函數(shù)。反之不一定成立，只有當(dāng)b=0時(shí)，它才是正比例函數(shù)。二、一次函數(shù)的同象及性質(zhì)：1、一次函數(shù)y=kx+b的同象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，b）和（-1，k+b）的一條直線，正比例函數(shù)y=kx的同象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線。因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的同象是一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象只需選取兩個(gè)特殊的點(diǎn)，過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)畫一條直線即可。2、正比例函數(shù)y=kx(k≠0)，當(dāng)k>0時(shí)，其同象過(guò)第一象限，當(dāng)k<0時(shí)，其同象過(guò)第三象限，時(shí)y隨x的增大而減小。3、一次函數(shù)y=kx+b，圖象及函數(shù)性質(zhì)①、k>0b>0過(guò)第二象限②、k>0b<0過(guò)第四象限③、k<0b>0過(guò)第一象限④、k<0b<0過(guò)第三象限y隨x的增大而增大或減小。4、若直線l1：y=k1x+b1與l2：y=k2x+b2平行，則k1=k2，若k1≠k2，則l1與l2無(wú)交點(diǎn)?！居么ㄏ禂?shù)法求一次函數(shù)解析式】關(guān)鍵：確定一次函數(shù)y=kx+b中的k和b的值。步驟：1、設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式。2、將x，y的對(duì)應(yīng)值或點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式。3、解關(guān)于系數(shù)的方程或方程組。4、將所求的待定系數(shù)代入所設(shè)函數(shù)表達(dá)式中。【一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組】1、一次函數(shù)與一元一次方程：一般地將x=0或y=0代入y=kx+b中解一元一次方程可求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。2、一次函數(shù)與一元一次不等式：kx+b>0或kx+b<0即一次函數(shù)圖象位于x軸上方或下方時(shí)相應(yīng)的x的取值范圍，反之也成立。3、一次函數(shù)與二元一次方程組：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即為兩個(gè)一次函數(shù)所列二元一次方程組的解，反之根據(jù)方程組的解可求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)?！疽淮魏瘮?shù)的應(yīng)用】一般步驟：1、設(shè)定問(wèn)題中的變量。2、建立一次函數(shù)關(guān)系式。3、確定自變量的取值范圍，利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題，作答。值得注意的是，一次函數(shù)的應(yīng)用多與二元一次方程組或一元一次不等式（組）相聯(lián)系，經(jīng)常涉及交點(diǎn)問(wèn)題，方案設(shè)計(jì)問(wèn)題等?！局攸c(diǎn)考點(diǎn)例析】考點(diǎn)一：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1（2015?大慶）對(duì)于函數(shù)y=-3x+1，下列結(jié)論正確的是（）A．它的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，3）B．它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限C．當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0D．y的值隨x值的增大而減小對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1．（2015?徐州）下列函數(shù)中，y隨x的增大而減少的函數(shù)是（）A．y=2x+8B．y=-2+4xC．y=-2x+8D．y=4x考點(diǎn)二：一次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系例2（2015?莆田）如圖，一次函數(shù)y=(m-2)x-1的圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，則m的取值范圍是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞-2D．m＜-2例3（2015?遵義）點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函數(shù)y=-kx的圖象上的兩點(diǎn)，下列判斷中，正確的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2D．當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＞y2對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2．（2015?眉山）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，且a＜b＜c，則函數(shù)y=cx+a的圖象可能是（）A．B．C．D．3．（2015?福州）A，B兩點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上的位置如圖所示，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x+a，y+b），B（x，y），下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)＜0C．b=0D．a(chǎn)b＜0考點(diǎn)三：一次函數(shù)解析式的確定例4（2015?常州）已知一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)且k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-2）和點(diǎn)B（1，1），則k=3，b=-2。對(duì)應(yīng)訓(xùn)練4．（2013?重慶）已知正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-2），則這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為y=-2x?？键c(diǎn)四：一次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）的關(guān)系例5（2015?黔西南州）如圖，函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖象相交于點(diǎn)A（m，3），則不等式2x＜ax+4的解集為x＜3/2。注：文章中原來(lái)的一些符號(hào)和公式可能由于編碼問(wèn)題無(wú)法還原，已經(jīng)盡可能修正。D.x>3在體育課上，20人一組進(jìn)行足球比賽，每人射點(diǎn)球5次，已知某一組的進(jìn)球總數(shù)為49個(gè)，進(jìn)球情況記錄如下表，其中進(jìn)2個(gè)球的有x人，進(jìn)3個(gè)球的有y人。若（x，y）恰好是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，則這兩條直線的解析式是什么？進(jìn)球數(shù)人數(shù)11253x435y思路分析：根據(jù)一共20個(gè)人，進(jìn)球49個(gè)列出關(guān)于x、y的方程即可得到答案。解：根據(jù)進(jìn)球總數(shù)為49個(gè)得：2x+3y=49-5-3×4-2×5=22，整理得：y=-2/3x+22/3。因?yàn)?0人一組進(jìn)行足球比賽，所以1+5+x+y+3+2=20，整理得：y=-x+9。所以這兩條直線的解析式是y=-2/3x+22/3和y=-x+9，選C。點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目列出方程并整理成函數(shù)的形式。對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：5.直線y=2x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，5），求關(guān)于x的不等式2x+b≥的解集。6.一個(gè)正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=-x+1的圖象相交于點(diǎn)P，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式是什么?？键c(diǎn)五：一次函數(shù)綜合題如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長(zhǎng)分別是一元二次方程x^2-14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）C（8，6）；（2）直線MN的解析式為y=-3/4x+6；（3）因?yàn)锳（8，0），C（0，6），B（8，6）。因?yàn)辄c(diǎn)P在直線MN上，所以可以設(shè)P（a，-3/4a+6）。當(dāng)以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類討論：①當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P（4，3）；②當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P（2，4.5）；③當(dāng)PB=BC時(shí)，點(diǎn)P是線段PC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P（5，3.75）。因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（4，3），（2，4.5），或（5，3.75）。8．解：（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知，小明從家出發(fā)后1小時(shí)到達(dá)南亞所，所以他離家的時(shí)間為x-1，對(duì)應(yīng)的路程為y-10，媽媽離家的時(shí)間為x-1.83，對(duì)應(yīng)的路程為y-20，設(shè)小明騎車的速度為v，則有：y-10=v(x-1)y-20=v(x-1.83)將兩式相減得：10=v(0.83)，即v≈12.05（km/h）所以小明在南亞所游玩的時(shí)間為1小時(shí)，停留時(shí)間為1.83-1=0.83小時(shí)，即50分鐘．（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，小明到達(dá)湖光巖時(shí)，路程為20km，所以有：y-10=v(x-1)=20解得x≈2.67，即小明騎車到達(dá)湖光巖用時(shí)2小時(shí)40分鐘．最高點(diǎn)為函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)，即直線AC的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則有：b=0.5×(10+30)=20又因?yàn)橹本€AC的斜率為2，所以有：b-10=2(a-1)，即b=2a-8解得a=9，所以最高點(diǎn)坐標(biāo)為（9，20），即該植物最高長(zhǎng)20厘米．題目1：直線方程的象限給定一條直線的斜率和截距，求它所在的象限。根據(jù)斜率和截距的關(guān)系式可以得到斜率和截距的值，從而確定直線在坐標(biāo)系中的位置。根據(jù)直線的斜率和截距可以得到k+b=-5和kb=6，解得k=-6，b=1。因?yàn)閗<0，所以直線在第二和第四象限。題目2：一次函數(shù)的象限給定反比例函數(shù)上的兩個(gè)點(diǎn)和一次函數(shù)的表達(dá)式，求一次函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)的象限。因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖像是一個(gè)雙曲線，所以兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是不相等的。根據(jù)一次函數(shù)的表達(dá)式可以得到它的斜率為-2，代入兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到兩個(gè)方程，解得k=2，b=0。因?yàn)閗<0，所以一次函數(shù)的圖像在第二象限。題目3：一次函數(shù)的取值范圍給定一次函數(shù)在兩個(gè)點(diǎn)上的取值關(guān)系，求函數(shù)的取值范圍。根據(jù)題意可以得到兩個(gè)方程，分別是-2+b<1和2+b>-1，解得b>-3。因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的斜率為-2，所以它的圖像是下降的，所以b的取值范圍為b>-3。題目4：直線的平移和交點(diǎn)給定兩條直線，求將其中一條直線上移后與另一條直線的交點(diǎn)在第一象限的平移距離的范圍。根據(jù)題意可以得到兩條直線的表達(dá)式，分別是y=-x+3和y=2x+4。將第一條直線上移m個(gè)單位后，得到新的直線為y=-x+3+m。將兩條直線相交，解得交點(diǎn)為(1/3,10/3)。因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以3<m<4。題目5：摩托車的相遇給定兩輛摩托車的行駛距離和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，判斷幾個(gè)說(shuō)法的正確性。根據(jù)題意可以得到兩輛摩托車的行駛距離和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，分別是l1=20-2s和l2=20+3s。因?yàn)閮奢v摩托車相向而行，所以它們的相對(duì)速度是v1+v2=5km/h。根據(jù)相對(duì)速度可以得到它們相遇的時(shí)間為t=4/5h。因?yàn)橐夷ν熊囯xA地更近，所以說(shuō)法A錯(cuò)誤。因?yàn)榧啄ν熊囋?.3小時(shí)后到達(dá)中點(diǎn)，所以說(shuō)法B正確。因?yàn)榧?、乙摩托車?.25小時(shí)后相遇，所以說(shuō)法C正確。因?yàn)橐夷ν熊嚨竭_(dá)A地時(shí)，甲摩托車距離A地17km，所以說(shuō)法D錯(cuò)誤。題目6：一次函數(shù)的成本和利潤(rùn)給定一種機(jī)器的生產(chǎn)成本和銷售數(shù)量和售價(jià)的函數(shù)關(guān)系，求生產(chǎn)數(shù)量和銷售利潤(rùn)。根據(jù)題意可以得到生產(chǎn)成本和銷售數(shù)量的函數(shù)關(guān)系，是一次函數(shù)y=-2x+85。因?yàn)樯a(chǎn)數(shù)量至少為10臺(tái)，但不超過(guò)70臺(tái)，所以10≤x≤70。根據(jù)生產(chǎn)成本和銷售售價(jià)的函數(shù)關(guān)系可以得到銷售售價(jià)為85萬(wàn)元/臺(tái)。因?yàn)樵搹S第一個(gè)月銷售了25臺(tái)，所以銷售利潤(rùn)為(85-60)×25=625萬(wàn)元。解答如下：解題思路：根據(jù)題意，對(duì)每個(gè)問(wèn)題逐一解答，并進(jìn)行必要的改寫和調(diào)整。2.對(duì)于第二題，原文中有一處明顯的錯(cuò)誤，即“當(dāng)x=50時(shí)，y=40”這句話缺少上下文，無(wú)法理解。因此，需要?jiǎng)h除這句話。另外，對(duì)于第二小問(wèn)，需要對(duì)解答進(jìn)行補(bǔ)充，具體如下：（1）已知直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y=x，因此過(guò)原點(diǎn)且與l1垂直的直線l2的斜率為-1，即直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=-x。（2）①直線l3的斜率為tan30°=1/√3，因此直線l3的函數(shù)表達(dá)式為y=(1/√3)x；②將直線l3繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，相當(dāng)于將直線l3的斜率取負(fù)倒數(shù)，即直線l4的斜率為-√3，因此直線l4的函數(shù)表達(dá)式為y=-√3x。（3）根據(jù)猜想，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們的函數(shù)表達(dá)式中自變量的系數(shù)之間互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系。因此，過(guò)原點(diǎn)且與直線y=-5x垂直的直線l5的函數(shù)表達(dá)式為y=5x。8.（2015·濟(jì)寧）如圖，直線$y=-2x+4$與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線$y=x$交于點(diǎn)C。在線段OA上，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF。若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形PEFQ總為矩形（點(diǎn)P、Q重合除外）。（1）求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是多少？（2）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形？（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值。解：（1）因?yàn)橹本€$y=-2x+4$與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，所以當(dāng)$x=0$時(shí)，$y=4$，當(dāng)$y=0$時(shí)，$x=8$，所以$BO/AO=4/8=1/2$。當(dāng)$t$秒時(shí)，$QO=FQ=t$，則$EP=t$。因?yàn)?EP\parallelBO$，所以$BO/EP=AO/AP$，即$BO/EP=8/2t$。所以$EP=16/t$。因?yàn)?EP+FQ=BO+OQ=1$，所以$FQ=1-16/t=(t-16)/t$。因?yàn)?EF\parallelAB$，所以$\trianglePEF\sim\trianglePAB$，所以$PE/PB=EP/AP$，即$PE/4=16/2t$，所以$PE=8/t$。因?yàn)?PE\parallelBO$，所以$\trianglePEF\sim\triangleBOF$，所以$EF/BO=PE/BF$，即$EF/4=8/t$，所以$EF=32/t$。因?yàn)?PEFQ$為矩形，所以$EF=FQ$，即$32/t=(t-16)/t$，解得$t=8$。所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度。（2）如圖1，當(dāng)$PQ=PE$時(shí)，矩形$PEFQ$為正方形。因?yàn)?OQ=FQ=t$，$PA=2t$，所以$QP=8-t-2t=8-3t$。所以$8-3t=t$，解得$t=2$。所以當(dāng)$t=2$時(shí)，矩形$PEFQ$為正方形。（3）如圖1，當(dāng)$Q$在$P$點(diǎn)的左邊時(shí)，$OQ=t$，$PA=2t$，所以$QP=8-t-2t=8-3t$。所以$S_{PEFQ}=QP\cdotQF=(8-3t)\cdott=8t-3t^2$。當(dāng)$t=-8/3$時(shí)，$S_{PEFQ}$的最大值為$128/9$。如圖2，當(dāng)$Q$在$P$點(diǎn)的右邊時(shí)，$OQ=t$，$PA=2t$，所以$QP=t-(8-2t)=3t-8$。所以$S_{PEFQ}=QP\cdotQE=(3t-8)\cdott=3t^2-8t$。因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，所以$0\leqt\leq4$。當(dāng)$t=-8/3$時(shí)，$S_{PEFQ}$的最小值為$128/9$。當(dāng)$t=4$時(shí)，$S_{PEFQ}$的最大值為$16$