《理論力學(xué)教案》

（七）教學(xué)手段：傳統(tǒng)講授與多媒體教學(xué)相結(jié)合是理論物理的第一門課程。是從物理學(xué)的基本經(jīng)驗(yàn)規(guī)律出發(fā)，借助于微積分等數(shù)學(xué)工具，推導(dǎo)出關(guān)于物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的整體規(guī)律的一門課程。第一章牛頓動(dòng)力學(xué)方程教學(xué)目的和基本要求：要求學(xué)生了解牛頓運(yùn)動(dòng)定律的歷史地位，掌握牛頓第二定律在常用理解質(zhì)點(diǎn)系、質(zhì)心、動(dòng)量、角動(dòng)量和能量的概念；熟練掌握三個(gè)基本定理、三個(gè)守恒定律的內(nèi)容和它們的適用條件，以及應(yīng)用它們求解問題的方法步驟；了解研究變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)5（3）運(yùn)動(dòng)觀：牛頓第三定律和力學(xué)相對(duì)性原理，它們可以看成是力學(xué)的最高原理。另外發(fā)明了微積分，將力學(xué)原理與數(shù)學(xué)結(jié)合起來，使力學(xué)成為了嚴(yán)密的科學(xué)理論。三：牛頓運(yùn)動(dòng)三定律dtdt22：力學(xué)相對(duì)性原理：在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部的任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)，都不能決定這一系統(tǒng)是靜止的還存在的，這樣就為牛頓力學(xué)的使用找到了一個(gè)理論依據(jù)。6五：牛頓的認(rèn)識(shí)論、方法論簡介：簡單性，簡單性：科學(xué)上正確的東西都是簡單的，如果同一個(gè)問題可用簡繁不同的方法得到相同的結(jié)果必然可確定唯一的原因。這在量子力學(xué)出現(xiàn)之前一直是物理學(xué)最牢固的一個(gè)信條。統(tǒng)一性：指《原理》中所闡述的定律和物質(zhì)觀等在沒有證明它的局限性和錯(cuò)誤性之前應(yīng)該認(rèn)為它對(duì)整個(gè)自然界都是普遍適用的。六：本節(jié)重點(diǎn)：了解力學(xué)的發(fā)展歷史，掌握牛頓運(yùn)動(dòng)三定律。dt2pF。7Fzi、j而改變。將e、e和e化為i、j、k的函數(shù)，如prpeθφφRnntppp=-及p=-及ppn+|m-|m-=Fnt8類似于平面自然坐標(biāo)，利用|m-=F|m-=Fnptn得牛頓第二定律的表達(dá)式（3）適用范圍：適用于運(yùn)動(dòng)軌道已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，或用于介質(zhì)阻力不能忽略的運(yùn)動(dòng)。而應(yīng)該看質(zhì)點(diǎn)之間的作用力是否對(duì)發(fā)生作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均有9iiiijii,若F=0，則質(zhì)點(diǎn)(e)=ΣniiijFFjiFFjiiΣdijiijF(e)ipF(i)i,所以上式中Σ(i)=ΣnΣni=Σ=Σ F(e)=F(e)ii上式即為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，它表示質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化率等于體系所受的的合外力，與內(nèi)F(e)sF(e)F(e)F(e)scΣm)ii=為pr=cΣm Σi=iΣm iims（4.9）將mv推導(dǎo)：由角動(dòng)量的定義式L=r×p，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：rrrθ=Σ=Σxm。iiiid=Σx(e)=Σ(e)=(e)，即質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受的外dtiiiimvrirmarF(e)rF(i)，dtdtiidtiiiidL=ΣdxpimvrirmarF(e)rF(i)，dtdtiidtiiiirF(i)rF(i)rF(i)0，考慮到上式中ΣpxprF(i)rF(i)rF(i)0，iiijiiji最終可得角動(dòng)量定理dL=dtiiiM(e)M(e)i以上討論的均是相對(duì)于慣性系的坐標(biāo)原點(diǎn)而言，但在處理實(shí)際的力學(xué)問題時(shí)，往往選取L=ΣxLri=Σ,rpip,ii=Σxm=Σ(iiiiiip常piiiiipxP+LM(e)M(e)同理可得p(e)+rxF(e)常p p=一vdtp或或PSPp p=一vdtpxmv+Mp────p p=M。三：質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理中相應(yīng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，多為理論工作者使用。），），dtiiiiic中的速度，而后者是質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心系中的速度。但是可以證明L’、Σm,xpCpp四本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握慣性系中的角動(dòng)量定理。2或T2-2p-2pp二：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理iiidTF(e)drF(i)drdTF(e)drF(i)driiiiiiiiidridriiiiiiiic+Σ(i).diiiiΣ(i).(d+d①②π,i1pr000rππ0013.機(jī)械能守恒：定義動(dòng)能T與勢能V之和為機(jī)械能E，ΣV()，ii5.例：計(jì)算受中心力的兩質(zhì)點(diǎn)的勢能（從略）以上兩類問題均可用動(dòng)量定理推導(dǎo)出的變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程求解。二：變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程1dtΔt喻0ΔtdtΔt喻0ΔtdtΔt喻0Δt,即提高v和r2Rre為廢氣相對(duì)于火箭的速度，它與errrr,將上式代入變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)dm=或mdv,需設(shè)法提高FpFR,其中pFRrdtrrdtrrvvfrr0r0dtrm,0rrm,,,,r0,,,,r0,,,,r0第二章拉格朗日方程教學(xué)目的和基本要求：正確理解各種約束的物理意義，掌握判斷力學(xué)體系自由度的方法和選擇廣義坐標(biāo)的基本原則；能應(yīng)用虛功原理求解處于靜平衡的力學(xué)體系的各類問題；教學(xué)重點(diǎn)：在理解各種約束、自由度的物理意義的基礎(chǔ)上，熟練掌握應(yīng)用拉格朗日方教學(xué)難點(diǎn)：約束、自由度的物理意義及拉格朗日方程在力學(xué)問題中的應(yīng)用。iiiσ—喻—喻2.實(shí)例：以圖1.7的力學(xué)問題為例（從略）3.局限性：當(dāng)n、k的個(gè)數(shù)較大時(shí)，求解方程將十分困難甚至無法完成。因此n大時(shí)超出了力學(xué)的范疇而擴(kuò)展到物理學(xué)別的領(lǐng)域。二：虛位移、約束和虛功實(shí)位移：質(zhì)點(diǎn)按=(t)力學(xué)規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，在dt時(shí)間內(nèi)實(shí)際所發(fā)生的位移，用d表示。2)2.約束：力學(xué)體系在運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的某些規(guī)律，約束在物理上均可用約束方程的形式確3.實(shí)位移和虛位移地關(guān)系1.定義：所有約束力（內(nèi)，外約束力）在體系的任意虛位移上所做的虛功之和為零，則pNNNN1N2FF在PPN1N1用F,F表示兩個(gè)剛體相互之間的作用力和反作N1N2N1N2（4）兩剛體以完全粗糙的表面相接觸。（5）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以柔軟不可伸長的繩子相連接。可用類似于（2）的方法證明。實(shí)際的力學(xué)體系可看成由剛體和質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，只要相互之間的聯(lián)結(jié)是剛性的，接觸面是光fiiiiFiiiiNiiiNiiiiiiiiNiiiiiip七：本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握虛位移、虛功、理想約束等物理概念，掌握用達(dá)朗貝爾方程求解簡單力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程的方法。p達(dá)朗貝爾方程中雖然不含F(xiàn)，但仍有非獨(dú)立坐標(biāo)，對(duì)于一種完整約束，可在達(dá)朗貝爾piiiiiiiiiii分的方法利用（2.4）式將不獨(dú)立的坐標(biāo)消去。但可證明如果輪子做直線滾動(dòng)即θ為常數(shù)i體系的廣義坐標(biāo)一旦確定了，其在空間的位形也就確定下來。廣義坐標(biāo)與自由度的關(guān)系：完整約束其廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)與自由度個(gè)數(shù)相等。非完整約束其廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)可大于自由度個(gè)數(shù)?？珊唵蔚卣J(rèn)為自由度比廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性更強(qiáng)，獨(dú)立的也更徹底。在本書以后的討論中均限于完整約束，所以可認(rèn)為廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)等于自2.選?。簭睦碚撋现v，可選取任意能反映力學(xué)體系位形的相互獨(dú)立的s個(gè)變量作為廣義對(duì)于理想、完整約束體系，在選取合適的廣義坐標(biāo)后可直接由廣義坐標(biāo)寫出體系的動(dòng)pΣi CC,將其代入達(dá)朗貝爾方程Σ(一m).δ=0消去δ化簡后可得：iiiiiΣiC=0，因上式中的q相互獨(dú)立，要使該式恒成立必有：CΣΣiΣΣiiiiii另由T.-iiCCiΣ ii iiΣii i iCini-ΣiΣC()-，再將結(jié)果代入（3.3）可得理想、完整約束拉格朗日方程。CCCCCCiC該方程是由s個(gè)二階微分方程構(gòu)成的微分方程組。二保守體系的拉格朗日方程：Cn-（3.11）-CCCCCCC（3.12）為保守體系的拉格朗日方程，有些教材將其稱為第二類拉格朗日方程，它在力學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，在分析力學(xué)中占有重要的地位。CCCC（3）保守體系：傳統(tǒng)定義—所有內(nèi)力與外力均為保守力，或內(nèi)力雖不是保守力，但所有分析力學(xué)的定義—理想、完整約束下，只要主動(dòng)力為保守力，這樣的體系均為保守體系。從兩種定義的比較可知，后者是對(duì)傳統(tǒng)定義的擴(kuò)展。對(duì)于理想、完整體系而言其約束力可能是非保守力，在受不穩(wěn)定約束時(shí)雖然約束力的實(shí)功之和不為零，但約束力的虛功之和仍為零，保守體系的拉格朗日方程仍成立，所以這樣的力學(xué)體系在分析力學(xué)中也被成為..CpF.i非CCCCCCFi非Fi非 iC（3.14）三：拉格朗日方程與牛頓方程的區(qū)別與聯(lián)系C上述第一類問題用拉格朗日方程求解很方便，第CQCQCFi（4.1）CCCC三：例題（從略）四：重點(diǎn)掌握：掌握用拉格朗日平衡方程求解力學(xué)平衡問題的一般方法。1.牛頓力學(xué)：利用動(dòng)量、角動(dòng)量、能量守恒定律來取代牛頓動(dòng)力學(xué)方程的全部或其中的一部分，可直接得到一階的微分方程，而牛頓動(dòng)力學(xué)方程CC過程中保持不變，則該函數(shù)被稱為運(yùn)動(dòng)積分。理論上可用這些運(yùn)動(dòng)積分取代aaaaaaiaaaaaaaaaa廣義速度。②當(dāng)q代表不同的坐標(biāo)時(shí)，就p代表不同的動(dòng)量。如q取x，y，z，-pya22aa=1aadtaaadtdtdtaaΣΣaadtaaadtdtdtaaΣdtaaaaiiiiaa2101Σiiiiaa210I=10iT122=ΣΣaΣmΣ(-aaa的一次齊次式。fiΣΣ,可得paΣ2 i i空間的均勻性和各向同性意味著坐標(biāo)軸的原點(diǎn)和方向可任意選取而不會(huì)改變力學(xué)體系φsaΣaΣaΣaaaa上式為空間的均勻性、各向同性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。3.空間的均勻性導(dǎo)致動(dòng)量守恒ΣΣ,即動(dòng)量4.空間的各向同性導(dǎo)致角動(dòng)量守恒ΣΣdtiiiii5.外場對(duì)空間性質(zhì)的影響總結(jié)3、4的結(jié)果可知，如果質(zhì)點(diǎn)處在外力場中，空外場對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用會(huì)有所改變，因而p和L不會(huì)守恒。但如果教學(xué)目的和基本要求：正確理解兩體問題的物理意義，掌握將兩體問題化為單粒子問題的方法；能夠運(yùn)用有效勢分析并熟練掌握單粒子在中心勢場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，了解中心勢場中粒子運(yùn)動(dòng)軌道的穩(wěn)定性、彈性碰撞、散射截面等物理規(guī)律和概念。教學(xué)重點(diǎn)：在理解兩體問題意義的基礎(chǔ)上，熟練掌握單粒子在中心勢場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。教學(xué)難點(diǎn)：在中心勢場中單粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的分析討論。隨質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)隨質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理決定相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)先將兩粒子間相對(duì)運(yùn)動(dòng)約化為一個(gè)單粒子的運(yùn)動(dòng)由單粒子的運(yùn)動(dòng)求出兩粒子相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)由單粒子的運(yùn)動(dòng)求出兩粒子相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)p(e)(r)+V(i)(r)rr(r0c0c0crV(irr=r-r0c1-V(i)()=L2r,稱為1-(m-V(i)()r○結(jié)論：從L=L+L可看出，兩體問題中兩粒子的運(yùn)動(dòng)可分解為反映質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的0c0c 2r在上述關(guān)于勢能V(e)=V(e)()及V(i)=V(i)()的假設(shè)中，后者一般情況下都成立，而0c前者未必。所以在求V=V(e)()+V(i)()時(shí)會(huì)很復(fù)雜。但我們所遇到的主要力學(xué)問題為：0cp以后如果不特殊說明，則討論的問題均指同時(shí)滿足以上兩條件的力學(xué)問題。4：相對(duì)運(yùn)動(dòng)——單粒子的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩粒子相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)pr=r-r=-1r,r表示在質(zhì)心系中兩粒子的位φF=-▽V(r)=-—edrrrprrr22)-V(r)拉2拉222二：粒子在中心勢場中運(yùn)動(dòng)方程的解.L2,2r2[E-V(r)]-2.粒子運(yùn)動(dòng)的軌道方程2L2[E-V(r)]-聯(lián)立2L2[E-V(r)]-2r2L-L2r22m[E--L2r2L2LLmr22 L2求出r的極值點(diǎn)就可以初步確定r的變化規(guī)律。因r的極值點(diǎn)處r&=0，所以由-mr22effL2r2~∞)之間運(yùn)動(dòng)，具體情況與V(r)的表達(dá)式有關(guān)。rminrdrdrr2L2m[E-V(r)]-r2Lmn（2.12）時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)才可能形成閉合r軌道。可證明當(dāng)V(r)r或V(r)=br2arar后再與解析解的結(jié)果相比較。fL2-arLrLL2effrrL2 L綜合（123）可大致繪出的曲線如右圖3.5被限制在(rrr)內(nèi)運(yùn)動(dòng)。粒子在(r~)內(nèi)運(yùn)動(dòng)。1LL2m[EV(r)]r2接著引入pL22（3.4）則軌道方程可化簡為rp以該圓錐曲線的極坐標(biāo)的極角起始位置正好就是近日點(diǎn)的矢徑位置。a2L3a3討論：上式說明周期T的平方和能量E絕對(duì)值的三次方成反比，或者說與半長軸的三次方成正比，這正是開普勒的第三定律的內(nèi)容，也是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力的依據(jù)。三：粒子的運(yùn)動(dòng)方程：以上討論的是軌道方程，較為簡明。而粒子的運(yùn)動(dòng)方程則較復(fù)雜，只能用參數(shù)式表達(dá)。ardrrdra2e2-(r-a)2,令r-a=-aecosξ3a3aa22araL2aeffeffarar-parar多數(shù)情況下并不能求出，此時(shí)可利用來定性地分析粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。另外我們還關(guān)心一種軌跡的穩(wěn)定性問題，下面將詳細(xì)討論。一：軌道的穩(wěn)定性r3m2.穩(wěn)定性定義：設(shè)在一定的初始條件下，粒子在中心勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)的軌道方程為dt2L2rrmr2m--○如果ε隨時(shí)間的推移逐漸變大，則軌道不穩(wěn)定；如果ε隨時(shí)間的推移維持在一個(gè)小范圍內(nèi)002222+u0LdFdF203.V(r)的穩(wěn)定性分析.0LLr3—Lr3—LdrL2dr2rdrrdrr3drC,r2dr2-r。rrmdrdr2L2drdr2L2+V(r)代入上兩式，化簡后可得3dV(r)+rd2V(r)>0（4.8）或-3F-rdF>0drdr2dr定義：如果兩粒子在碰撞前后的內(nèi)部狀態(tài)不發(fā)生改變，那么這種碰撞為彈性碰撞，或稱（2）已知相互作用，由碰撞前粒子狀態(tài)推斷碰撞后粒子的狀態(tài)；或者已知粒子碰撞后狀態(tài)，反推出粒子碰撞前的狀態(tài)；還有根據(jù)碰撞前后粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來推斷兩粒子間相互作用的具體形式V(r)，此為碰撞的動(dòng)力學(xué)問題，或稱為散射問題。二：碰撞問題的理論計(jì)算：這個(gè)問題可分為在質(zhì)心系和慣性系兩種情況討論。,pp1 2rp1 v21 1 2;同理可得v,1v2v21|v2++ +mp1++m2p pp 在該式中的需根據(jù)粒子間相互作用V(r)的具體形式來計(jì)算確定。如果已知V(r)的具體形式，那么可由碰撞前的速度求出碰撞后的速度，反之也成立。三.圖示法：我們可借助于圖形來形象地求出上述結(jié)果，同樣也分為在質(zhì)心系和慣性系兩首先由常r|v2++mp1++m2p 101202- ++rvrvp12r1c顯然這個(gè)結(jié)論也適合于粒子碰撞前動(dòng)量的表示，即++rrp12pr1c2.質(zhì)心系：以O(shè)為圓心，以mvmvrC11ABOv運(yùn)動(dòng)所具有的動(dòng)量或稱為mABOv運(yùn)動(dòng)所具有的動(dòng)量或稱為m的牽連動(dòng)量，同理有11v,為v,為m對(duì)以22,為碰撞后m在質(zhì)心系1222（2）碰撞后粒子的絕對(duì)動(dòng)量prpr2r20cr同理可在圓周上找到另一點(diǎn)C，用OC=mv=mv代表碰撞前m的相對(duì)動(dòng)量，0pr2prrpr1pr23.慣性系中的主要問題：從以上分析可看出，給出兩粒子的初始速度后，要確定粒子碰撞m2CA1OMax1ACO1r2m<mv,即,,AB三pm12θ θ22m m1θ,兩粒子交換角θ。而要求出θ必須給出一定的初始條件如能量E、角動(dòng)量L根據(jù)這些條件就可借助于單粒子在中心勢場中的軌跡方程或mr在中心勢場中的軌道方程00LLLrminr2dr[EV(r)]一rr2AOrb0r2r2rminrminr偽minL22minmin偽min偽所組成的整個(gè)離子束的散射情況。如圖3.14所示。不同的b將有不同的θ,定義dN表示nn,r2r2以上所進(jìn)行的討論都是在質(zhì)心系中進(jìn)行的，如果要討論粒子在慣性系中的散射情況，和（5.15）式可確定Θ、Θ與θ的關(guān)系，將（6.9）式中的θ用Θ替換，則可得：,則可得m1在慣性系中的散射關(guān)系。四：本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握散射截面的定義及如何利用V(r)、b、v求出散射角θ和散射截面dσ。教學(xué)目的和基本要求：理解剛體角速度、角加速度、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心、剛體上任一點(diǎn)的線速度和線加速度，歐拉角等概念；掌握用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問教學(xué)重點(diǎn)：在理解剛體角速度、角加速度等概念的基礎(chǔ)上，掌握用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題；熟練掌握用基點(diǎn)法、瞬心法求平面平行運(yùn)動(dòng)剛體一點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用剛體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程處理剛體的平面運(yùn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)問題。2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上各點(diǎn)繞剛體上或剛體以外的固定直線做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)軸在剛體以外3.平面平行運(yùn)動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體上任一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)4.定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)過程中，剛體上各點(diǎn)到某一固定點(diǎn)的距離保持不變，或者說剛體上剛體的平動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可看成滿足同樣的規(guī)律，因而不需要過多討論。剛體運(yùn)動(dòng)的特殊性在于它的轉(zhuǎn)動(dòng)。為了描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，我們可引入角位移和角速度及角加速度。-Δt喻0Δtdt1.有限角位移和無限小角位移：首先可證明，有限角位移并不是矢量，因它不遵守矢量的P圖4.8p-Δt喻0Δtdt（2）角速度的分解與合成：因角速度為矢量所以可以進(jìn)行分解與合成，當(dāng)剛體做定點(diǎn)轉(zhuǎn)剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)是由三個(gè)相互獨(dú)立的轉(zhuǎn)動(dòng)—進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)和自轉(zhuǎn)構(gòu)成。,將以上三式代入（2.6）化簡后令各矢量的分量相等0x|x|xlylz）為歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，后者的應(yīng)用更廣。從上式可看出只要知道，剛體的