第一節(jié)-微分中值定理課件

第三章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式

(第三節(jié))推廣微分中值定理

與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題1一、羅爾(Rolle)定理第一節(jié)二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理

一、羅爾(Rolle)定理第一節(jié)二、拉格朗日中值定理三2費(fèi)馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:設(shè)則證畢由保號(hào)性費(fèi)馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存3羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)羅爾（Rolle）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b4證證5第一節(jié)-微分中值定理ppt課件6幾何解釋:注意:1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,幾何解釋:注意:1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立7例1.

證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)例1.證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)8二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使幾何解釋:設(shè):

------連接兩端點(diǎn)弦的斜率AB二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連9思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.即要證:思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)10拉格朗日中值定理的其它形式:(1)比如:拉格朗日中值定理的其它形式:(1)比如:11(2)令則(3)介于之間.介于之間,必有,使拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理(2)令則(3)介于之間.介于之間,必有,使拉格朗日12推論:(1)若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).(2)若,則證:令而所以即推論:(1)若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在I上必為常數(shù).證13(3)若,則(3)若,則14例2.

證明等式證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在I上例2.證明等式證:設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=15例3.

證明不等式證:設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有例3.證明不等式證:設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有16三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:分析:要證三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在閉區(qū)間[a17證:作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同錯(cuò)!上面兩式相比即得結(jié)論.證:作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:柯18柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率19例4.

設(shè)至少存在一點(diǎn)使證:結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使即證明例4.設(shè)至少存在一點(diǎn)使證:結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,120第一節(jié)-微分中值定理ppt課件21例6.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)例6.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,22小結(jié)小結(jié)23Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.RolleLagrangeCauchy羅爾定理、拉格朗日中值24思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,則中值2)設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間上.方程思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿足25第一節(jié)-微分中值定理ppt課件26第一節(jié)-微分中值定理ppt課件27第一節(jié)-微分中值定理ppt課件28備用題求證存在使1.設(shè)可導(dǎo)，且