2023年中考數(shù)學高頻考點突破-圓的切線的證明

2023年中考數(shù)學高頻考點突破—圓的切線的證明

1.如圖，,ABC內(nèi)接于O,A3=AC,AA￡)C與..ABC關(guān)于直線AC對稱，AO交。

于點E.

(1)求證：C。是。的切線.

⑵連接CE,若cos￡)=；,AB=6,求CE的長.

2.如圖，48是。的直徑，點C為。上一點，CO平分NACB,交于點E,交O

于點。，延長剛到點P,使得PE=PC.

(1)求證：PC與。相切；

⑵若。的半徑3,PC=4,求C。的長.

3.如圖，A8是。的直徑，射線8c交，。于點力，E是劣弧AO上一點，且AE=DE,

過點E作所18c于點尸，延長E尸和84的延長線交于點G.

(1)證明：GF是。的切線；

(2)若AG=2,GE=4,求班'的長.

4.如圖，在RtZVLBC中，ZC=90°,以A3上一點。為圓心，的長為半徑作O,

交AC、A3分別于。，E兩點，連接3。，S.ZA=ZCBD.

(2)若C￡>=1,BC=2,求A短的長度.

5.如圖，A8為。的直徑，8是。的弦，點E在A8的延長線上，連接OC,AD,

CD//AB,CO//DE,ZA=22.5°.

(1)求證：DE是0的切線；

⑵當CD=2及時，求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，在ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點。在ABC內(nèi)部，。經(jīng)過B,C兩

點，交A8于點。，連接CO并延長交A3于G，以G￡>,GC為鄰邊作平行四邊形GDEC.

(1)求證：直線DE是。的切線；

(2)若OE=17,CE=\3,求O的半徑.

7.如圖，在A8C中，ZC=90°,AO平分,C48交8c于點。,的垂直平分線交

試卷第2頁，共6頁

A3于點。，以點。為圓心，以長為半徑作。0,交A3于點E.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)已知3E=2,AC=4.8,求。0的半徑.

8.如圖，ABC中，ZB=ZACB=30°,點。在線段BC上，連接AO,AO=OC,過

點C作CD〃至交AO的延長線于點。，以。為圓心，為半徑作O.

(1)求證：AC為。的切線；

(2)若A￡>=6,求圖中陰影部分的面積.

9.如圖，BD為A8C外接圓。的直徑，且NBAE=NC.

(1)求證：AE與。相切于點A；

(2)若AE〃8c,BC=2￡,AC=2,求。的直徑.

10.如圖，A8是。的直徑，C,。是。上兩點，C是BO的中點，過點C作AD的

垂線，垂足為E,連接AC交B/)于點尸.

E

C

D.

(1)求證：CE是。的切線；

(2)若。尸=1,DC=?>,求)0的半徑.

11.如圖，在MC中,AB^AC，點。是邊BC的中點.以3。為直徑作圓。，交邊A3

于點P,連接PC,交A。于點E.

(1)求證：A。是圓。的切線.

(2)若PC是圓。的切線，BC=4,求PE的長.

12.如圖，ABC中，他=AC，以4c為直徑的。與8c交于點。，過點。作DE/AB

于點E,延長ED、AC交于點F.

(1)求證：直線EF'為。的切線.

(2)若CF=2,。尸=4,求。的半徑和EQ長.

13.如圖，點0是矩形ABC。中A8邊上的一點，以。為圓心，08為半徑作圓，O

試卷第4頁，共6頁

交邊于點E,且恰好過點。,連接3。，過點E作E-〃3。，若238=120。.

(1)求NCEb的度數(shù)；

(2)求證：EF是。的切線.

14.如圖，點。為正方形A8CD對角線上一點，以O(shè)為圓心，。4的長為半徑的。與8

相切于點例.

⑴求證：8C與。相切；

(2)若。的半徑為應(yīng)，求正方形的邊長.

15.如圖，43為。的直徑，點。在。外，/&10的平分線與。交于點C,連接BC、

CD,且？。90?.

(1)求證：co是。的切線；

(2)若NDC4=60。，BC=3,BC的長等于

16.如圖，A3C內(nèi)接于。,ZCBG=ZBAC,CD為直徑，OC與4?相交于點E,

過點E作EF/8C,垂足為F,延長CD交G8的延長線于點尸，連接8。.

p、

D,

O

E

B

G

⑴求證：PG與。相切；

八*EF54BE&…

⑵若一=-,求'一"的值；

AC8'0C'

17.如圖，ABC內(nèi)接于O,A8是。的直徑，AC=CE,連接AE交8c于點。，

⑴判斷直線AF與。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若AC=13,tanNC4E=：j1,求AE的長.

18.如圖，以AB為直徑的。經(jīng)過AC的中點。,DELBC于點E.

(1)求證：OE是。的切線；

(2)當8。=8,/。=30。時，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留根號和加).

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.(1)證明見解析

(2)4

【分析】(1)如圖所示，連接OC,連接AO并延長交8c于尸，根據(jù)等邊對等角得到

ZABC=ZACB,再證明AFIBC,得到NACF+NC4尸=90。，由。4=OC,得到

ZOAC=ZOCA,由軸對稱的性質(zhì)可得NAC3=NACE)，即可證明NACD+NOC4=90。，從

而證明C。是。的切線；

(2)由軸對稱的性質(zhì)得NB=ND,CD=BC再由圓內(nèi)接四邊形對角互補推出/CED=ND,

得到CE=8=8C，解RtABF，求出8/=2，則8。=28斤=4，即可得到CE=8尸=4.

【解析】(1)證明：如圖所示，連接OC,連接AO并延長交8c于產(chǎn)，

：AB=AC,

AZABC=ZACB,

；.ABC內(nèi)接于O,

AFIBC,

AZACF+ZC4F=90°,

OA=OC,

/.ZOAC=^OCA,

AZACF+ZOCA=90°,

由軸對稱的性質(zhì)可得NACK=NACD,

AZACD+AOCA=90°,即NOS=90。,

又：oc是。的半徑，

...CD是。的切線；

答案第7頁，共29頁

E

D

B

(2)解：由軸對稱的性質(zhì)得N8=NO,CD=BC,

???四邊形A8CE是圓內(nèi)接四邊形，

NB+ZAEC=180°=ZAEC+ZCED,

ZCED=ZD,

CE=CD=BC,

cosD=—

3

cosB=cosD=-

3

在RtA8P中，BF=ABcosB=2,

：.BC=2BF=4,

CE=BF=4.

【點評】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)，軸對稱的

性質(zhì)等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析

⑵當

【分析】(1)連接ocOD,先證明Z48=2ZA8=90。，再證明

ZOCP=ZPCE+ZOCD=ZOED+ZODC=90,即可證明PC與。相切；

pAPCAp

(2)連接8。，先證明PACPCB,得三二=三=三，所以PC-^PAPB,即可求得

rCPBC13

答案第8頁，共29頁

ACPA1久/c

PA=2,則M=PE-R4=2,所以等=M=：，可求得AC=^,再由勾股定理求得

J-lx乙J

BD=3叵，然后證明CDBCAE，即可根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得CO=等.

【解析】（1）如圖，連接OCOD,則OC=QD,

:.ZOCD=ZODC,

:A3是。的直徑，

：.ZACB=90°,

???。。平分-48,

/.Z4CD=Z.BCD=-ZACB=45°,

2，

/.ZAOD=2ZACD=90°,

,:PE=PC,

：.ZPCE=ZPEC,

■:/PEC=/OED,

:.ZPCE=ZOED,

:.ZOCP=ZPCE+ZOCD=ZOED+ZODC=90°,

???OC是PCO的半徑，且PC_LOC,

???PC與O相切.

(2)??,如圖，連接8。,

?.?ZPCA+ZOCA=90°,ZB+ZOAC=90°,Z.OCA=Z.OAC,

：.ZPCA=ZB,

???ZP=ZP,

答案第9頁，共29頁

:.PACPCB,

.PA_PCAC

9'~PC~~PB~~CB'

:.PC?=PAPB,

VOA=OB=3,PE=PC=4,

:.AB=6,

：.42=PA(PA+6),

???％=2或PA=-8(不符合題意，舍去),

JAE=PE-PA=4-2=2,

..ACPA_2

*CF-PC-4-2，

JCB=2AC,

AAC2+(2AC?=AB2,

?“_6石

??AC=---,

5

?.,/BOD=2/BCD=90°,OB=OD=3,

BD=>j0B2+0D2=V32+32=372,

?：/BCD=/ECA,ZCDB=ZCAE,

:.CDBCAE,

.CDBD

AC-AE'

6-R

??.「〃ACBD飛-xwz9.，

CD=---------=-------------=-------

AE25

???CD的長是生叵.

5

【點評】此題重點考查圓的切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理

等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(1)見解析

答案第10頁，共29頁

⑵吁彳

【分析】（1）連接,先證明NABE=NCB￡,再證明NOE3=NFBE,BF〃OE,進而

證明OE_LGE,即可證明GF是。。的切線；

（2）設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)勾股定理得到產(chǎn)+4?=（2+rf,解方程即可得到。。的半徑

為3;根據(jù)8尸〃OE,得到BFGOEG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解析】（1）證明：如圖，連接OE,

AE=DE,

ZABE=NCBE,

'：OE=OB,

；?NOBE=NOEB,

AZOEB=ZFBE,

???BF〃OE,

?:EF±BC,

：?/BFE=90。,

/.ZBFE=ZOEG=90°,

AOE±GE,

???G/是。的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,AG=2,GE=4,

???在RtZ\GO￡中，OE2+GE2=OG2,

答案第11頁，共29頁

r2+42=(2+r)2,

解得/'=3,

即。。的半徑為3;

的半徑為3,

AOG=AG+OA=5,GB=OG+OB=8,

BF〃OE,

：.BFGOEG,

?BF_GB

"~OE~~GO'

【點評】本題為圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的判定，勾股定理，相似三角形的判

定和性質(zhì)等知識，熟知相關(guān)定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

4.(1)見解析

(2)AD=3

【分析】(1)添加輔助線，通過證補角為90。來證明NOD8為直角

(2)通過證明CBDCAB,得到對應(yīng)線段成比例，從而得出對應(yīng)邊的長度.

如圖，連接,

ZDAO=ZADO,

又ZA=NCBD且NCBD+NBDC=90。,

ZA+ZBDC=ZADO+NBDC=90°,

答案第12頁，共29頁

AZODB=180°-90°=90°,

?,?瓦)是。O的切線；

(2)ZA=NCBD,ZC=ZC,

/.CBDCAB,

.CDBC

*'BC-AC'

...1—=--2-

2AC'

:.AC=4

:.AD=AC-CD=4-l=3.

【點評】本題考查切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握判定方法是關(guān)鍵.

5.⑴見解析;

(2)2-y.

【分析】（1）連接。。，由圓周角定理結(jié)合已知易證NDCO=NCDO=45。，從而得到

NODE=NCOD=90。可證明O￡>1;

（2）結(jié)合（1）和已知易證。。石是等腰直角三角形，由勾股定理可求出0。，最后用割補

法S陰影=5“小一品通前即可求出陰影部分面積.

【解析】（1）證明：如圖，連接0。.

VZA=22.5°,

???ZBOD=2ZA=45°.

■:CD//AB,

：?NCDO=/BOD=45。.

'：OC=OD,

答案第13頁，共29頁

：.ZDCO=ZCDO=45°,

ZCOD=180°-45°-45°=90°.

CO//DE,

NODE=NCOD=90°,

，OD1DE.

?；。。是。的半徑，

，DE是。的切線.

(2)解：：CD//AB,CO//DE,

，四邊形8EO是平行四邊形，

/.OE=CD=2>/2.

由(1)可得NO￡>E=90。，ZDOE=45°,

/.ADEO=ZDOE=45°,

：.OD=DE.

在RtZ\ODE中，

由勾股定理，

^OD2+DE2=OE2,

即20￡>2=(2應(yīng)丫，

解得:。。=2,

.c_ec_l、，c、，c45^x2?一cn

,'J陰影DOE一?扇88一/XZXZ——，一5?

【點評】本題考查了圓周角定理，切線的證明，平行線性質(zhì)的應(yīng)用及平行四邊形的證明，勾

股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是證明ODIDE和ODE是等腰直角三角形.

6.(1)見解析

(2)12

【分析】(1)連接OD,根據(jù)圓周角定理得出NCOQ=2NABC=90°.進而根據(jù)OE〃CG,

答案第14頁，共29頁

得出NO￡>E+NCOD=180。，貝ljNODE=90。,即可得證；

(2)設(shè)。的半徑為，?，根據(jù)(1)的結(jié)論結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，得出NGOD=90。，根

據(jù)勾股定理得出Or?2+OG2=OG2,解方程即可求解.

【解析】(1)證明：連接.

.ZACB=90°,AC=BC,

.-.ZABC=45°,

ZCOD=2ZABC=90°.

?.?四邊形GDEC是平行四邊形，

DE//CG,

/LODE+Z.COD=180°,

:.NODE=90°，即.

.?.O￡?是半徑，

:?直線DE是，。的切線.

(2)設(shè)。的半徑為，?.

四邊形GDEC是平行四邊形，

:.CG=DE=11,DG=CE=\3>.

.ZGOD=90°,

OD2+OG2=DG2,

即產(chǎn)+(17-)=132,

解得4=5,4=12.

當，?=5時，OG=12,此時點G在。外，不合題意，舍去，

答案第15頁，共29頁

r=12.

二.Q的半徑為12.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，點與圓的位置關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)與

判定是解題的關(guān)鍵.

7.(1)見解析

(2)3

【分析】(1)連接0。，由垂直平分線的性質(zhì)可知，OA=OD，易知。經(jīng)過點。，由AO平

分NCAB,可知NC4D=Z?4力，由Q4=OD,可知NA4￡)=NOZM,：.^CAD=ZODA,進

而得AC〃O。,可知NQD8=NC=90。，易知8±BC,得證8c是O的切線；

(2)由(1)易證BO?BAC，可得好=誓.設(shè)。的半徑為*,則白=9^，解

AC4,.o2+

出方程即可得。的半徑.

【解析】(1)證明：連接,

B

4）的垂直平分線交A8于點。，

：.OA=OD,

，Q經(jīng)過點。，

AD平分,

：.ZCAD=ZBAD,

OA=OD,

:.ZBAD=ZODA,

答案第16頁，共29頁

/.ZCAD=ZODA,

:.AC//OD

.ZC=90°,

：.40DB=NC=40DC=90P,

:.OD±BC,

「.3。是。的切線；

(2)解：ZC=90°,ZODC=90°,

/.ZC4-ZODC=180°,

,\OD//AC,

.?.△BODs^BAC,

.OPBO

,~AC~~BA,

元

設(shè)二。的半徑為X,貝IJ2r2+,

解得玉=3,々=-L6(舍去),

經(jīng)檢驗，x=3是原分式方程的解，

故。的半徑為3.

【點評】本題考查切線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，通過作輔助線，與圓心相連是解

決問題的關(guān)鍵.

8.(1)證明見解析

(2)4^-^

【分析】(1)過點。作OE1AC,垂足為點E,由N3=NACB=30。可得N54C=120。,再

根據(jù)等邊對等角可得NOAC=NACO=30°,從而得出N84)=90°，接著利用平行線的性質(zhì)

得到ND=N8A￡)=90。,ZOCD=ZB=30°然后證明△OEgZ\8C(AAS)得出OE=。/),

再根據(jù)切線的判定即可得證；

(2)先求出00=2，再利用勾股定理求出CQ=2G，然后分別求出四邊形ODCE和扇形

答案第17頁，共29頁

。￡花的面積，相減即可.

【解析】(1)證明：過點。作OE1AC,垂足為點E,

ZOEC=90°,

VZB=ZACB=30°,

ABAC=180°-ZB-ZACB=120°,

,:AO=CO,

：.Z(MC=ZACO=30°,

AZa4￡>=ZBAC-ZOAC=120°-30o=90°,

?.?ABCD,

ZD=ZBAD=90°,ZOCD=ZB=30°,

：./OEC=NODC,ZOCA=ZOCD,

在△QEC和ODC中，

NOEC=NODC

.NOCE=/OCD|

oc=oc

：.AOEC^AODC(AAS),

AOE=OD,

???OE為。的半徑，

■:OEJLAC,

JAC為。的切線.

(2)解：:ZOCD=30°,?￡)90?,

/.OC=2OD,ZCOD=60°,

VAO=OC,

:.AO=2OD,

,:AD=6

：.OD=2,CO=AO=4,

答案第18頁，共29頁

CD=yl0C2-0D2=V42-22=2x/3,

5A?r?=-CDOD=-x2^x2=2y/3,

22

,/4OE84ODC,

:S&0cE,ZCOE=ZC<9D=60°,

5四邊形ODCE=2sA0c0=2x2>/3=4>/3,

Z￡)OE：=ZCOE+ZCOD=60o+60o=120o,

._120^-x22_4

扇形w：=360F'

【點評】本題考查切線的判定，扇形的面積，等邊對等角，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30。

角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形的面積等知識點,

主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力.掌握切線的判定和扇形的面積公式是解

題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

(2)4

【分析】（?）連接半徑。4，由等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出NQ4E=90°.即可證出

結(jié)論；

（2）連接OC，連接OA交BC于點”，證出8c,CH=BH，分別在,AOBH

中通過勾股定理即可求出結(jié)果.

【解析】（1）證明：連接3,

答案第19頁，共29頁

?,.ZD=ZZMO,

VZD=ZC,

/.zc=zmo,

■:/BAE=NC,

AZBAE=ZDAO,

???BD是。的直徑，

ZBAD=90°,BPZDAO+ZBAO=90°,

，“4E+Nft4O=90。,即NQ4E=90。,

AAE.LOA,

又???Q4為O的半徑，

???A￡與。相切于點A;

(2)解：連接OC，連接AO交BC于點〃，

■:AE//BC,OALAE,

：.OA±BC,

答案第20頁，共29頁

：.CH=BH=-BC=y/3,AC=AB=2,

2

在RtAAB//中，

AH=\lAB2-BH2=1,

在RtAOBH中，設(shè)08=r,

OH1+BH-=OB',

.-.(r-l)2+(73)2=r2,

解得：r=2,

DB=2r=4,

即。的直徑為4.

【點評】本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理，切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性

質(zhì)，圓周角定理，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵.

10.(1)證明見解析；

⑵逑

2

【分析】(1)連接OC交8D于點G,利用弧、弦關(guān)系得到3G=/，再根據(jù)垂徑定理的推

論得到,因為直徑所對的圓周角是直角，即NA￡>3=90°,得到NEE>8=90°,又

Z￡=90°,推出四邊形￡?GC是矩形，得到/ECG=90°,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)尸G=x,OC=r,貝lJ8G=GO=x+l,BF=2x+\,利用互余的性質(zhì)得到

NBCG=NCFB,證明RtBCG-RtBFC,得至!l3C?=8G.3下,列方程求得x=l,利用

勾股定理求出CG=>/^,進而得至IJOG=;"-核,再利用勾股定理列方程，即可求出，的值

得到答案.

【解析】(1)證明：連接OC交8。于點G,

點。是30的中點，

BC=CD,

/.BG=DG,

答案第21頁，共29頁

OC為半徑，

OCLBD,

.\ZDGC=90°,

/W是O的直徑，

/.ZADB=90°,

:./EDB=90。,

,CE±AE,

/.ZE=90°,

.?四邊形EDGC是矩形，

.'.ZECG=90°,

:.CELOC,

?.CE是O的切線；

(2)解：設(shè)FG=x,OC=r,

由(1)得BC=CDf,BG=GD=FG+DF=x+\,

BF=BG+GD-DF=2x+\,

口是。的直徑，

/.ZACB=90°,

:.ZBCG+ZFCG=90°,

ZDGC=90°,

:.NCFB+NFCG=90。,

:"BCG=NCFB,

「.RtBCGsRiBFC,

答案第22頁，共29頁

.BCBG

BC2=BGBF,

.?.(#)=(x+l)(2x+l),

解得：X=1,x2=-|(不符合題意，舍)，

:.BG=GD=2,BF=3,

由勾股定理得：CG=yjBC2-BG2=^(X/6)2-22=-Jl,

OG=OC-CG=r-y/2,

在RtOBG中，OG2+BG2=OB：

.■.(r-V2)2+22=r2,

解得：,

2

的半徑為逑.

2

【點評】本題考查了垂徑定理，直角所對的圓周角是直角，矩形的判定和性質(zhì)，圓的切線判

定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程等知識，熟練掌握圓的相關(guān)

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

1.(1)見解析

⑵4

2

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得到A。，8c,即可得證；

(2)連接OP,通過證明DEC-..POC,利用相似三角形的性質(zhì)得到PC與CE的長度，再

進行線段和差即可求解.

【解析】(1)AB=AC,。是8c的中點，

:.AD^BC,BD=DC,

OD是。的半徑，

答案第23頁，共29頁

.?.A￡＞是圓。的切線；

(2)連接。尸，

3c=4,

:.BD=DC=2,

爾）為直徑，

:.BO=OD=\,

EP為。切線，

:.OP=\,

OC=3,

...在RtOPC中,OC2-OP2=PC2,

.?.PC=j32-F=2厄.

/ECD=/PCO,ZEDC=Z<9PO=90°,

DECsPOC,

,ECDC

"'OC~~PC'

,EC_2

"3"2x/2,

EC=-42

2

:.PE=PC-EC=1>l2--42=~.

22

【點評】本題考查切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).如果已知切線，連半徑,

得垂直；如果證明切線，則連半徑，證垂直.

12.⑴見解析

答案第24頁，共29頁

（2）。的半徑為3,DE=￡

【分析】（1）連接A￡>,。。，由題意易得NADC=90°,則有CD=Br>,然后根據(jù)三角形

中位線可進行求解；

（2）由（1）可得NCZ）F=mF,則有CDFs,DAF,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進行

求解圓的半徑，進而根據(jù)平行線所截線段成比例可進行求解.

【解析】（1）證明：連接,。。，如圖所示：

：AC為。的直徑，

ZADC=90°,

AB=AC,

：.CD=BD,即點。為8c的中點，

?.?點。為AC的中點，

0。為A5C的中位線，

OD//AB,

,/DEJ.AB,

ODLEF,

為。的半徑，

???直線所為。的切線；

（2）解：由（1）可知:ZADC=ZODF=90°,

答案第25頁，共29頁

/.ZADO+ZODC=AODC+ACDF=90°,

???AADO=匕CDF,

9：OA=OD,

:.ZADO=/DAF,

/.ZCDF=ZDAF,

ZF=ZF,

:?CDFs1tDAF,

.DFCFCDnn2

??TF=="77T，即D卜=AFCF,

AFDFDA

?：CF=2,DF=4,

-42=2AF,

???AF=8,

:.AC=AF-CF=6,

???。的半徑為3,

/.OF=OC+CF=5,

■:OD//AB,

.OFDF5

^~OA~~DE~31

.八口12

..DE=——.

5

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練

掌握等腰三角形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

13.(1)30°

(2)見解析

【分析】(1)先根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出NO8D=30°,再由矩形的性質(zhì)得

到NCQ8=NO8D=30。，即可利用平行線的性質(zhì)得到NCEF=NCD3=30。;

(2)如圖，連接OE,先求出NODE=60°,再根據(jù)等邊對等角得到4匹。=60°,由此利

答案第26頁，共29頁

用平角的定義求出NOEF=90。,由此即可證明所是。的切線.

【解析】(1)解：???OD=OAZZ)OB=120o,

180°-ZBQD

ZOBD=ZODB==30°

2

???四邊形ABC。是矩形，

:.ABCD,

AZCDB=ZOBD=30°,

?:EF//BD,

:?NCEF=/CDB=3U;

(2)證明：如圖，連接。石,

?:NODB=ZDBO=NEDB=30°,

：.ZODE=ZODB+Z.BDE=60°,

?：OD=OE,

：.ZDEO=ZODE=60°,

JZOEF=180。一ZDEO-ZCEF=180°-60°-30°=90°,

?.?。￡是O的半徑，

???EF是。的切線.

【點評】本題主要考查了切線的判定，矩形的性質(zhì)，等邊對頂角，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)

角和定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.(1)答案見解析

⑵友+1

【分析】(1)過。作于"，由正方形A3CO,可得NAC4=NACD=45。，證明

OM±CD,再證明OM=?！睆亩傻媒Y(jié)論；

答案第27頁，共29頁

(2)先根據(jù)勾股定理求出OC=2，從而可得AC=V5+2，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定

理即可得答案.

【解析】(1)解：如下圖，過。作18c于4,

正方形43co,

:.ZACB=ZACD=45°,

8是。0的切線，

:.OMLCD,

:.OM=OH,

QOM為。的半徑，

；.OH為，。的半徑，

??.BC與。相切；

(2)，。的半徑為百，

：.OA=OM=y/2,

由(])可知，CM=0M=&,

AC=OA+OC=+2,

四邊形ABC。是正方形，

AB=BC,/B=90°,

則在RrABC中，

AC-=AB2+BC2=2AB2，即AC=拒AB,

也AB=血+2,

答案第28頁，共29頁

解得：AB=V2+1,

故正方形ABC。的邊長為&+1.

【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)，圓的切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，

熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.⑴見解析

⑵2C的長為兀

【分析】（1）連接OC，證明OC〃AD,得出NOCD=90。即可得證；

（2）由圓周角定理得出NAC3=90°,即可求得NOCB=60°,得到03c是等邊三角形，

可求得半徑為3,BC的圓心角度數(shù)，再利用弧長公式求得結(jié)果即可.

【解析】（1）解：證明：連接OC,

4c是的平分線，

ZC4D=ZBAC,

又OA=OC,

ZOAC=ZOCA,

ZOCA=ZCAD,

:.OC//AD,

ZOCD=ZD=90°,

:.CD是。的切線；

(2)解：.ZACD=60°,

:.ZOCA=30°,

AB為O的直徑，

答案第29頁，共29頁

/.ZACB=90°,

/.ZOCB=60°,

OC=OB,

08是等邊三角形，

：.OB=OC=BC=3,406=60。,

60兀3

BC的長：=兀

180

【點評】此題主要考查圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理的運用，求弧長，

掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

16.(1)證明見解析

八BE5

(2)-----=

OC4

【分析】(1)連接08,則03=8,NBDC=NOBD,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得

ZBDC=ZBAC,可證NCBG=NOBQ,根據(jù)直徑所對圓周角是90。可得

N08D+N08C=90。，等量代換得NC3G+NOBC=90。，即NO3G=90。，故PG與。相

切；

(2)過點。作,垂足為H,根據(jù)。4=0。,可得NAO”=NCO"=gzAOC,

AH=CH=-AC,由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可知NA8C=；NAOC，貝lj

RFFFFFFF

ACOH=ZABC,可得△8￡Fs4oc”，所以力;=右7，由已知言=56，得等=51，即

OACo(_?"4

RF

可求出衣的值.

【解析】(1)解：連接,如圖：

答案第30頁，共29頁

p、

a

：.OB=OD,

:.4BDC=/OBD,

VZBDC=ZBAC,ZCBG=ZBAC,

:.ZBDC=ZCBG=ZOBD,

???。。為。的直徑，

ZOBD+ZOBC=90°,

：.ZCBG+ZOBC=90°,

：.ZOBG=9Q°,

；?PG與。相切.

(2)解：過點。作OH,AC，垂足為",

JOA=OC,ZOHC=90°,

ZAOH=Z.COH=-ZAOC,AH=CH=-AC,

22

又：ZABC=-ZAOC,

2

:.NCOH=ZABC,

?.*EF±BC,

AZEFB=90°,

答案第31頁，共29頁

：.ZEFB=ZOHC=90°,

.BEEF

^~OC~~CH'

EF51

?.?——=-,CH=-AC,

AC82'

?.?EF—5

CH4'

.BE5

..---=一

OC41

【點評】本題考查了圓的綜合問題，涉及圓周角定理、圓心角定理、相