哈工大第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)課件

關(guān)于實數(shù)完備性的6個基本定理1.確界原理（定理1.1）；2.單調(diào)有界定理（定理2.9）；

3.區(qū)間套定理（定理7.1）；4.有限覆蓋定理（定理7.3）

5.聚點定理（定理7.2）6.柯西收斂準(zhǔn)則（定理2.10）；在實數(shù)系中這六個命題是相互等價的。第七章關(guān)于實數(shù)完備性的6個基本定理1.確界原理（定理1.1）；1在有理數(shù)系中這六個命題不成立。1.確界原理

在實數(shù)系中，任意非空有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界。在有理數(shù)系中這六個命題不成立。1.確界原理22.單調(diào)有界定理；

在實數(shù)系中，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。即數(shù)列的單調(diào)有界定理在有理數(shù)域不成立。2.單調(diào)有界定理；在實數(shù)系中，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。即數(shù)33.區(qū)間套定理

若{[]}是一個區(qū)間套，則在實數(shù)系中存在唯一的點所以區(qū)間套定理在有理數(shù)系不成立。反例：3.區(qū)間套定理若{[]}是一個區(qū)間44.有限覆蓋定理在實數(shù)系中，閉區(qū)間[a,b]的任一開覆蓋H，必可從H中選出有限個開區(qū)間覆蓋[a,b]。反例：4.有限覆蓋定理在實數(shù)系中，閉區(qū)間[a,b]的任一開覆蓋55.聚點定理實數(shù)系中的任意有界無限點集至少有一個聚點。反例：S是有界的無限有理點集，在實數(shù)域內(nèi)的聚點為e,因而在有理數(shù)域沒有聚點。5.1致密性定理：在實數(shù)系中，有界數(shù)列必含有收斂子列。反例：其極限為無理數(shù)e,從而任一子列均收斂于e。故{xn}在有理數(shù)域內(nèi)沒有收斂的子列。5.聚點定理實數(shù)系中的任意有界無限點集至少有一個聚點。反例66.柯西收斂準(zhǔn)則反例：即柯西收斂準(zhǔn)則在有理數(shù)域不成立。6.柯西收斂準(zhǔn)則反例：即柯西收斂準(zhǔn)則在有理數(shù)域不成立。7幾個概念：區(qū)間套（閉區(qū)間套），聚點（3個等價定義及其等價性的證明），開覆蓋（有限開覆蓋）。舉例說明閉區(qū)間套定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)間結(jié)論不成立。但不存在屬于所有開區(qū)間的公共點。

幾個概念：區(qū)間套（閉區(qū)間套），聚點（3個等價定義及其等價性的8舉例說明有限覆蓋定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)間結(jié)論不成立。但不能從中選出有限個開區(qū)間蓋?。?，1）。因為右端點始終為1，左端點有限個中必有一個最小者，構(gòu)成了開區(qū)間（0，1）的一個開覆蓋，舉例說明有限覆蓋定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)間結(jié)論不成立。但不能從9積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分幾種特殊類型函數(shù)的積分第八章不定積分積分法原函數(shù)選基第一換元法直接分部不定積分幾10一、主要內(nèi)容1、原函數(shù)與不定積分的概念。2、不定積分:(1)存在性;(2)唯一性;(3)如何求？3、不定積分運算與微分運算的互逆關(guān)系。4、積分表。5、不定積分的計算：（1）基本思想——化歸為積分表中的積分；（2）常用積分方法：一、主要內(nèi)容1、原函數(shù)與不定積分的概念。2、不定積分:(1111）恒等變形（加一項減一項、乘一項除一項、三角恒等變形）；

2）線性運算；

3）換元法：第一類（湊分法）——不需要變換式可逆；第二類——變換式必須可逆；

4）分部積分法——常可用于兩個不同類型函數(shù)乘積的積分；“對反冪三指，前者設(shè)為u”

5）三種特殊類型函數(shù)“程序化”的積分法。

注：檢驗積分結(jié)果正確與否的基本方法。1）恒等變形（加一項減一項、乘一項除一項、212（3）求積分比求微分困難——1）沒有萬能的積分法；2）有的初等函數(shù)的積分不是初等函數(shù)，從而“積不出來”，如另外：每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù).（3）求積分比求微分困難——另外：每一個含有第一類間斷點的函136、基本積分表是常數(shù))6、基本積分表是常數(shù))14哈工大第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)ppt課件157、湊微分常見類型:7、湊微分常見類型:16湊微分時常用到：湊微分法就是設(shè)法把

一般沒有規(guī)律可循，只有掌握典型例題，多做多總結(jié)。湊微分時常用到：湊微分法就是設(shè)法把一般沒有規(guī)律可循，只有17三角代換去掉如下二次根式：可令可令可令8、常用代換:三角代換去掉如下二次根式：可令可令可令8、常用代換:18當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令x=tn,（其中n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）當(dāng)分母的階>>分子的階時,可考慮試用倒代換：當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式19一、主要內(nèi)容1、定積分的定義第九章定積分定積分是個數(shù)，與被積函數(shù)在有限個點處的定義無關(guān)；與積分變量記號的選擇無關(guān)。一、主要內(nèi)容1、定積分的定義第九章定積分定積分是個數(shù)，與被20（2）利用牛頓-萊布尼茲公式。2、定積分的計算在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方法求出其值：（2）利用牛頓-萊布尼茲公式。2、定積分的計算在已知定積分213、定積分的幾何意義——面積的代數(shù)和。4、定積分的性質(zhì)線性、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、估值不等式、積分第一、第二中值定理。5、定積分與不定積分的聯(lián)系（1）變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；保號性、3、定積分的幾何意義——面積的代數(shù)和。4、定積分的性質(zhì)線性、22（2）牛-萊公式。（3）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。因為“含有第一類間斷點的函數(shù)”都沒有原函數(shù)，而“含有有限個第一類間斷點的函數(shù)”都可積。所以可積函數(shù)不一定有原函數(shù)。（2）牛-萊公式。（3）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函23即說明有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。即說明有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。246、可積條件必要條件

若函數(shù)f在[a,b]上可積，則f在[a,b]上必定有界。充要條件（1）

函數(shù)f在[a,b]可積當(dāng)且僅當(dāng)：

使得屬于T的所有小區(qū)間中，

充要條件（2）

函數(shù)f在[a,b]可積當(dāng)且僅當(dāng)：

對應(yīng)于振幅的那些小區(qū)間的總長6、可積條件必要條件若函數(shù)f在[a,b]上可積，則f在257、可積函數(shù)類1、在[a,b]上連續(xù)的函數(shù)在[a,b]可積。2、在[a,b]上只有有限個間斷點的有界函數(shù)在[a,b]上可積。3、在[a,b]上單調(diào)的有界函數(shù)在[a,b]上可積。（允許有無限多個間斷點）但并非可積函數(shù)只有這3類。如：黎曼函數(shù)不屬于這3類的任何一類，但它是可積的。

在[a,b]上函數(shù)的間斷點形成收斂的數(shù)列，則函數(shù)在[a,b]可積。7、可積函數(shù)類1、在[a,b]上連續(xù)的函數(shù)在[a,b]可積。268、利用不定積分計算定積分（1）線性；恒等變形；換元；分部積分；一些特殊類型函數(shù)的積分。（2）與不定積分法的差別（3）利用對稱性、周期性及幾何意義?！?萊公式

積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)求出后不需回代。（4）開偶次方時，要帶絕對值。8、利用不定積分計算定積分（1）線性；恒等變形；換元；分部積279、雜記（1）定積分可用于計算某類特殊數(shù)列的極限。（2）對D(x)和R(x)的可積問題多一些關(guān)注。9、雜記（1）定積分可用于計算某類特殊數(shù)列的極限。（2）對281、微元法的理論依據(jù)第10章1、微元法的理論依據(jù)第10章292、名稱釋譯2、名稱釋譯303、所求量的特點3、所求量的特點314、解題步驟4、解題步驟32哈工大第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)ppt課件33平面圖形的面積直角坐標(biāo)參數(shù)方程極坐標(biāo)弧微分弧長旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積?平面圖形的面積直角坐標(biāo)參數(shù)方程極坐標(biāo)弧微分弧長旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)345、定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形——上曲線減下曲線對x積分。5、定積分應(yīng)用的常用公式(1)平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形35Ax=f(y)（圖5）x=g(y)——右曲線減左曲線對y積分。一般解題步驟：（1）畫草圖，定結(jié)構(gòu)；（2）解必要的交點，定積分限；（3）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。注意：答案永遠為正。Ax=f(y)（圖5）x=g(y)——右曲線減左曲線對y積分36如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函數(shù)如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函37極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形38(2)體積xyo(2)體積xyo39平行截面面積為已知的立體的體積））平行截面面積為已知的立體的體積））40(3)平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為(3)平面曲線的弧長弧長A．曲線弧為弧長B．曲線弧為41C．曲線弧為弧長(4)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xyoC．曲線弧為弧長(4)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xyo42(5)變力所作的功(6)液體壓力(5)變力所作的功(6)液體壓力43(7)引力(8)函數(shù)的平均值(7)引力(8)函數(shù)的平均值44第11章一、兩類反常積分的概念

a為任意常數(shù),第11章一、兩類反常積分的概念a為任意常數(shù),45如果a,b都是瑕點，則定義

c為(a,b)內(nèi)任一實數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個積分都收斂時，才稱左端瑕積分收斂。二、計算方法——求正常積分+求極限；如果a,b都是瑕點，則定義c為(a,b)內(nèi)任一實數(shù)。當(dāng)且僅46三、兩類反常積分的判斂方法1、Cauchy準(zhǔn)則

三、兩類反常積分的判斂方法1、Cauchy準(zhǔn)則472、比較法則

通常取p-積分為比較對象，且常用極限形式。3、Dirichelet判別法和Abel判別法

用于判別兩個函數(shù)相乘時的反常積分的斂散性。2、比較法則通常取p-積分為比較對象，且常用極限形式。3、48四、絕對收斂與條件收斂定積分：無窮積分：瑕積分：四、絕對收斂與條件收斂定積分：無窮積分：瑕積分：49第12章數(shù)項級數(shù)正項級數(shù)交錯級數(shù)一般項級數(shù)第12章數(shù)項級數(shù)正項級數(shù)交錯級數(shù)一般項級數(shù)50哈工大第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)ppt課件51哈工大第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)ppt課件52哈工大第二學(xué)期數(shù)學(xué)分析知識點總結(jié)ppt課件53收斂級數(shù)的基本性質(zhì)：3.

級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限項無關(guān)，但收斂的和一般會有影響。4.收斂級數(shù)加括號后仍收斂，且和不變（即有結(jié)合律）；5.絕對收斂級數(shù)的任意重排級數(shù)仍絕對收斂，且和不變（即有交換律）。6.

收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的和必為發(fā)散級數(shù)。收斂級數(shù)的基本性質(zhì)：3.級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限項54正項級數(shù)審斂法1、比較法（un為有理表達式時）；2、比式法（un含n!時）；3、根式法（un含n次方時）；4、積分法(）；5、拉貝法（

）；正項級數(shù)審斂法1、比較法（un為有理表達式時）；2、比式法（55交錯級數(shù)審斂法這是Dirichelet判別法的特殊情形。交錯級數(shù)審斂法這是Dirichelet判別法的特殊情形。56一般項級數(shù)審斂法1、Abel判別法，2、Dirichelet判別法。

用比值或根值判別法判定的非絕對收斂級數(shù)一定發(fā)散。一般項級數(shù)審斂法1、Abel判別法，2、Dirichelet57則它們的乘積按任意順序所得的級數(shù)也絕對收斂于AB.絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)

條件收斂的級數(shù)，可以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)定的方式收斂或發(fā)散。則它們的乘積按任意順序所得的級數(shù)也絕對收斂于AB.絕對收斂級58第13章等價于下列3條之一：好用！典型例題：I第13章等價于下列3條之一：好用！典型例題：I59I的常用判定法：I的常用判定法：60等價于下列3條之一：典型例題：等價于下列3條之一：典型例題：61（1）優(yōu)級數(shù)判別法（2）Abel判別法（3）Dirichelet判別法（1）優(yōu)級數(shù)判別法（2）Abel判別法（3）Dirichel62的常用判定法：DD的常用判定法：DD63一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：（1）（2）II（3）一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：（1）（2）II（3）64一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)(1)(2)D（3）一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)(1)(2)D（3）65第14章一、冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域說明冪級數(shù)存在收斂半徑。收斂半徑的求法：（1）根式法，（2）比式法，第14章一、冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域說明冪級數(shù)存66這個方法不適合求缺項級數(shù)的收斂半徑。冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)項級數(shù)的判斂問題。這個方法不適合求缺項級數(shù)的收斂半徑。冪級數(shù)在收67二、冪級數(shù)的性質(zhì)（1）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，（2）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，（3）在收斂區(qū)間可以逐項求導(dǎo)、逐項求積，且所得冪級數(shù)收斂半徑不變。二、冪級數(shù)的性質(zhì)（1）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，（2）和函數(shù)在68三、冪級數(shù)的求和通常采用逐項求導(dǎo)、逐項求積，并利用一些已知級數(shù)的和函數(shù)。注意這個級數(shù)的各種變異。三、冪級數(shù)的求和通常采用逐項求導(dǎo)、逐項求積，并利用一些已知級69記住下列冪級數(shù)的和函數(shù)：記住下列冪級數(shù)的和函數(shù)：70四、函數(shù)展開成冪級數(shù)

如果f(x)能展成冪級數(shù)，則這個冪級數(shù)是唯一的，就是f(x)的泰勒級數(shù)。四、函數(shù)展開成冪級數(shù)如果f(x)能展成冪級數(shù)711.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導(dǎo),逐項積分等方法,求展開式.1.直接法(泰勒級數(shù)法)步驟:2.間接法根據(jù)唯一性,利用常72記住幾個特殊函數(shù)的展開式：注意收斂范圍。記住幾個特殊函數(shù)的展開式：注意收斂范圍。73本章討論了下面三類問題：1、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。2、冪級數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。3、函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件及方法。本章討論了下面三類問