四邊形中的旋轉(zhuǎn)、折疊問題

四邊形中的旋轉(zhuǎn)、折疊問題例題：如圖，在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)邊長OC為9的矩形紙片ABCO．將紙片翻折后，點(diǎn)B恰好落在x軸上，記為B′，折痕為CE，已知tan∠OB′C＝．（1）求B′點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求折痕CE所在直線的解析式．例題：（1）如圖①，ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O。直線EF過點(diǎn)O，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F求證：AE=CF。（2）如圖②，將ABCD（紙片）沿過對角線交點(diǎn)O的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處。設(shè)FB1交CD于點(diǎn)G，A1B1分別交CD、DE于點(diǎn)H、I。求證：EI=FG。例題：（2012?德州）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．（2012?南寧）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長．解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG=AG，∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形．（2）連接ON，6.（2010山東濰坊）如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，點(diǎn)E在AB上，將△CBE沿CE翻折，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則∠BCE的正切值是________．(89頁)7.梯形中的對角線（88頁）8..如圖，將正方形對折后展開（圖④是連續(xù)兩次對折后再展開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個(gè)直角三角形，且它的一條直角邊等于斜邊的一半．這樣的圖形有【】 (A)4個(gè) (B)3個(gè) (C)2個(gè) (D)1個(gè)9如圖所示，把一長方形紙片沿MN折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，則∠NMD′等于（A）144°（B）126°（C）108°（D）72°AABCDD′C′NMF(第10題)ABCDE(F)BA(F)ABCDE(F)BA(F)DECG(第8題)圖2圖1(A)75cm2(B)cm2(C)cm2(D)cm2例題：在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、CG，如圖（1），易證EG=CG且EG⊥CG.（1）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想.（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明.解（1）EG=CGEG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)（2）EG=CGEG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)證明：延長FE交DC延長線于M，連MG∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°∴四邊形BEMC是矩形.∴BE=CM，∠EMC=90°又∵BE=EF∴EF=CM∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG∴MG=FD=FG∵BC=EM，BC=CD∴EM=CD∵EF=CM∴FM=DM∴∠F=45°又FG=DG∵∠CMG=∠EMC=45°∴∠F=∠GMC∴△GFE≌△GMC∴EG=CG，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG∴MG⊥FD∴∠FGE+∠EGM=90°∴∠MGC+∠EGM=90°即∠EGC=90°∴