2023年第二十屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克高一第二天試題（PDF版含解析）

第第頁2023年第二十屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克高一第二天試題（PDF版含解析）第二十屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克

浙江·溫州

高一年級第二天

2023年7月31日上午8:00-12:00

1.如圖，是半圓上異于直徑的弦，是線段的中點.是一條平行于的直線，使

得線段的延長線與相交于圓外一點，,是上的兩個點，與半圓相交于點,且

∠=∠.若點是的垂心，證明：直線與的交點在半圓上.

證明：設BP與半圓O交于點E，連結AE并延長交直線l于點Q1，我們只要證明M是

OPQ1的垂心.

連結AP、AD、DE、DB、BQ1、PM.

PCD=DMC，OCD=OMC，又COD=MOC，OOCUDV∽ABC

OMC，OC2=OMOD，OA=OC，OA2=OMOD，又AM⊥OD，

OA⊥AD，DA與半圓O相切.DAE=ABE，PD//AB，DPE=ABE，

DPE=DAE，D、P、A、E四點共圓，DA與半圓O相切，DB與半圓O相

切，同理D、Q1、B、E四點共圓.

DPA=DEQ1=DBQ1，PAD=PED=BQ1D，DOPUAV∽ADBBCQ1，

DPDB

=，DPDQ1=DADB=DA

2=DB2.

DADQ1

{#{ABTQoAggggAgBAABgCUQUSCEMQkACCAAgGxEAAsAAASBFABAA=}#}

2222

PQ1PO

2=(DP+DQ)PO21=DQ1+2DPDQ1OD

2=DQ1+2DA

2OD2

222

=DQ1+2DMDOOD

2=DQ1+DM(DM+MO)+DMDOOD

2=DQ21+DM

2

+DMMOMOOD=MQMO21，PM⊥OQ，又1OD⊥PQ，1M是OPQ1

的垂心.

2.設n為正整數(shù)，aaa0．證明：12n

2

111nk(2k1)

．

aaa22212nk1a1a2ak

證明：對n用數(shù)學歸納法證明結論．

2

11

當n1時，原不等式為，顯然成立．

a1a

2

1

假設nm時成立，則當nm1時，由歸納假設知

22

111111111

2

aaaaaaaaa212m11m1mm1m1

nk(2k1)2211

．①

a222k11a2aka1amam1am1

由柯西不等式，

111

22(2a12amam1)(2m1)

2，

a1amam1

故

2211(2m1)2

aaa21mm1am12a1am12amam1am1

(2m1)2(2m1)2

(a2a222222221m1)(amam1)am1(a1amam1)mam1

(2m1)2

222m(a1amam1)(a

222

1amam1)

m1

(m1)(2m1)

，②

a2221amam1

其中倒數(shù)第二步用到了aiam10(i1,2,,m)．

由①、②知nm1時也成立．

由數(shù)學歸納法，結論得證．

{#{ABTQoAggggAgBAABgCUQUSCEMQkACCAAgGxEAAsAAASBFABAA=}#}

3.稱正整數(shù)S為“育英數(shù)”，如果存在正整數(shù)以及2個正整數(shù)1,2,…,,1,2,…,，

使得=∑=1，且∑=1(

2

2

)=1,∑

=1(+)=2023，求：

（1）最小的育英數(shù)；

（2）最大的育英數(shù).

解：（1）一方面，令a1=a2=a3=2，a4=a5=…=a1009=1，b1=b2=b3=1，b4=3，

b5=b6==b1009=1，n=1009滿足題設條件，且∑

=1=1014

另一方面，因為(ai1)(bi1)≥0,1≤i≤n，

所以∑=1≥∑=1(+1)=2023.因為2023=∑

=1(+)≥2，所以n≤

1011

若n=1011,則a1,2,…,,1,2,…,中有1個2，2023個1，顯然不合題意.

若n=1010，則∑=1(1+1)=3，討論得矛盾。

所以n≤1009,∑=1≥20231009=1014

（2）一方面，取n=3,a1=1=,1006，a2=3,a3=3,b2=4,b3=1滿足題設條件，且

∑=1=1006

2+15

另一方面，若∑2=1>1005+23，由柯西不等式有(∑

22

=1i+1)(∑=1i)=

(∑2)(∑2)≥(Σ)2≥(10062+15)2>(100622=1i=1i=1+15)(1006+15)

所以∑22222=1i>1006+15,∑=1i>∑=1i>1006+15

又由(∑)2≥∑

2

>10062+15知∑=1=1=1≥1007，同理∑

=1≥1007

所以∑=1=2023∑=1≤1016，∑=1≤1016，

由排序不等式，不妨設a1≥2≥≥

,b1≥2≥≥，則1017a1≥∑=11≥

∑2=1≥1006+2415，得a1≥900

又10062+150.證明：

(+是+…+

≥2k-)

a1a2

an

、臺匠++暖

8,稱正整數(shù)S為“育英數(shù)”，如果存在正整數(shù)n以及2n個正整數(shù)a