圓錐曲線專題之第四章 技巧套路篇

圓錐曲線專題TOC\o"1-3"\h\u3849第四章心有猛虎，技巧套路篇 5101763§1犬吠水聲中，韋達定理基礎(chǔ)篇(設(shè)線法) 510274731.1韋達定理公式全家福和硬解定理 51042311.2整體替換，避免重復(fù)計算 513179431.3隱形的斜率比 51681291.4選擇合適的直線方程進行聯(lián)立 51696991.5直線方程復(fù)雜時的換元聯(lián)立 51950051.6求另一個交點 521240771.7點乘轉(zhuǎn)化為雙根算法 526186941.8距離或者向量投影坐標(biāo)化 528230031.9非對稱韋達問題 53024205§2桃花帶雨濃，韋達定理進階篇 536260102.1和圓相關(guān) 53684412.2直線的定比分點式方程 53834482.3雙切線問題 54231636§3樹深時見鹿，雙切線同構(gòu)法 542102783.1利用韋達定理轉(zhuǎn)化 542186073.2蒙日圓 54750003.3斜率等差 54941073.4彭色列閉形定理 54971763.5和切點弦相關(guān) 553269963.6拋物線的雙切線模型 55328733.7其他類型 55311578§4溪午不聞鐘，垂直平分線和對稱性問題 5552494.1圓錐曲線垂直平分線的性質(zhì) 555106054.2對稱問題內(nèi)部法 56646534.3點關(guān)于直線的對稱點公式 5702570§5野竹分青靄，點差法篇 576170965.1兩種點差法 576213715.2中點點差法的應(yīng)用 588237565.3對稱點點法差法vs點的斗轉(zhuǎn)星移 59825755.4對稱點點法差法vs斜率和積商vs定點 608297765.5兩個曲線點差 620139215.6隱形的點差 624104625.7對稱點差法的使用技巧總結(jié) 628137655.8中點點差法vs定點 631303765.9截距點差法 635325545.10定比點差法 649159615.11兩類點差法的綜合運用 6842074§6飛泉掛碧峰，圓錐曲線的極坐標(biāo)方程 68683456.1圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程 68648056.2統(tǒng)一極坐標(biāo)方程的偽裝法 689293036.3焦半徑和焦點弦的性質(zhì) 692136136.4題型： 699313176.5非統(tǒng)一極坐標(biāo)系 70210995§7無人知所去，直線參數(shù)方程 710248447.1基礎(chǔ)知識 710200547.2設(shè)點法vs設(shè)線法 712249337.3應(yīng)用舉例 72114947§8愁倚兩三松，構(gòu)造齊次方程 725205038.1定點在圓錐曲線上 725264708.2定點在原點 725第四章心有猛虎，技巧套路篇§1犬吠水聲中，韋達定理基礎(chǔ)篇(設(shè)線法)思路流程：將已知和所求最終肯定得化成坐標(biāo)的形式，然后，再利用韋達定理，把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個變量的式子，這是韋達定理的通法．1.1韋達定理公式全家福和硬解定理1.一元二次方程公式全家福(1)

求根公式設(shè)是二次方程的兩個根，則有．注①推導(dǎo)方法一般利用配方法，即；②記憶方法或者結(jié)合對稱軸和判別式，簡記為．(2)

韋達定理設(shè)是二次方程的兩個根，則有，.拓展公式①．②，即．注②的用法見后面的非對稱韋達定理專題．2.硬解定理——此處以直線和橢圓方程的聯(lián)立為例進行說明聯(lián)立消去y，可得：．(1)

韋達定理，．注①，等效判別式的前半部分；消去y時，都有；中的強記一下；中的，消去誰就減去誰．②如果是消去x，只需要把公式中的字母中的a、A分別換為b、B即可，而分母和C均不用變！即，．③考試的時候，可以先寫出韋達定理，再逆推出聯(lián)立的方程?。?2)

完全判別式，注①一定要和“等效判別式”區(qū)分開！！對于等效判別式，可以借助三角函數(shù)進行記憶．②判別式中的，消去誰就留誰！故消去x，對應(yīng)的判別式為：．(3)

弦長公式注①公式的分母都是；，這部分是一順寫．②記憶口訣這個公式有點“二”，小方積、大方和，大方小方成對去虐單C方，虐完C方去下方．③公式的好處傳統(tǒng)的弦長公式有兩個，一定要注意區(qū)分兩者的區(qū)別??！因此，熟記上述弦長公式，可以避免由于用錯弦長公式而帶來的錯誤?。?！消y版：；消x版：．④和判別式串聯(lián)顯然利用③中的公式，也可輕松逆推出判別式或．⑤易錯提醒如果是橢圓，公式中絕對值符號可以直接拿掉！但是，對于雙曲線，絕對值符號不能省略！！同時，直線和雙曲線的漸近線二合一方程“”，也不能用此弦長公式?。。?4)

求根公式寫出通式，利用上面韋達定理和判別式相應(yīng)代入即可！不過，實際沒啥用?。≌埶伎既绻侵本€和雙曲線聯(lián)立，即，此時又當(dāng)如何？分析由于，只需要將替換上面的即可，也就是的前面添個負(fù)號！！其實，如果把上述推導(dǎo)過程中的分別換為，則更顯然?。∫族e提醒對于直線和雙曲線的漸近線二合一方程“”聯(lián)立，即，上述硬解定理是不成立的！！使用說明硬解定理以前在網(wǎng)絡(luò)上還是很流行的，所以本人在此給出一個簡單總結(jié)，其中包含的公式有很多，但是，個人認(rèn)為，只有那個弦長公式還有點實用性，畢竟解析幾何大題中，經(jīng)常用到弦長公式，考試之時，可以作為檢驗之用！同時，弦長公式有口訣，也不是很難記憶??！至于韋達定理公式，實際上也沒啥大用，畢竟把直線和圓錐曲線聯(lián)立，這個過程并不復(fù)雜；至于完全判別式公式，實際解題時，往往“等效判別式”就足夠用的了，因此，也么啥用．例已知橢圓，過點的直線l與橢圓交于A、B兩點，過點的直線與橢圓交于M、N兩點．．(1)

當(dāng)l的斜率是k時，用a、b、k表示出的值；(2)

若直線的傾斜角互補，是否存在實數(shù)，使得為定值，若存在，求出該定值及，若不存在，請說明理由．答案(1)

；(2)

，定值是．例(2011北京理)已知橢圓.過點作圓的切線I交橢圓G于A、B兩點．(1)

求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；(2)

將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．例(2007浙江文理)如圖，直線與橢圓交于A、B兩點，記△AOB的面積為S．(1)

求在，的條件下，S的最大值；(2)

當(dāng)，時，求直線AB的方程．1.2整體替換，避免重復(fù)計算例(2016全國Ⅱ理)已知橢圓的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為的直線交E于A、M兩點，點N在E上，．(1)

當(dāng)，時，求的面積；(2)

當(dāng)時，求k的取值范圍．解(1)

，橢圓E為，，由于，且，由橢圓的對稱性，可得，則直線AM的方程為：，與橢圓聯(lián)立：，可得，故．(2)

法一

通法先行，設(shè)k韋達法，這也是常見的模型，定點交叉雙直線模型，直線和圓錐曲線的另一個交點可以求出來的．同時，注意到隱藏條件，．設(shè)直線AM為：，則直線AN為：，直線AM與橢圓聯(lián)立：，由于，，故，，【硬解定理：】同理可得：，由于，可解得，因為橢圓E的焦點在x軸，所以，即，整理得：，解得．例(2016全國Ⅱ文)已知點A是橢圓的左頂點，斜率為的直線交E于A、M兩點，點N在E上，．(1)

當(dāng)時，求的面積；(2)

當(dāng)時，證明：．解(1)

，和上面的理科相同，故略．(2)

設(shè)直線AM為：，則直線AN為：；直線AM和橢圓聯(lián)立：，由于，，故，，【硬解定理：】同理可得：，由于，可得：，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點存在定理可知：．例(2016山東文壓軸)已知橢圓的長軸長為4，焦距為．(1)

求橢圓C的方程；(2)

過動點的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點．過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B．(i)

設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k'，證明為定值．(ii)

求直線AB的斜率的最小值．解(1)

；(2)(i)由于是線段PN的中點，所以設(shè)，則，故．(ii)

設(shè)，，直線PA為：，直線QB為：，直線PA和橢圓聯(lián)立：，，同理可得：．故 ，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，直線AB的斜率的最小值是．另解定比點差法，純屬娛樂，考試之時，通法先行，請勿模仿！設(shè)，則，其中，．設(shè)，，則，，利用定比點差法易得：，故，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，直線AB的斜率的最小值是．注最后的均值不等式，是利用待定系數(shù)法湊出來的：設(shè)，則，令，可解得．1.3隱形的斜率比例如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的下頂點為B，點M、N是橢圓上異于點B的動點，直線BM、BN分別與x軸交于點P、Q，且點Q是線段OP的中點．當(dāng)點N運動到點時，點Q的坐標(biāo)為．(1)

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

設(shè)直線MN交y軸于點D，當(dāng)點M、N均在y軸右側(cè)，且時，求直線BM的方程．略解(1)

；(2)；由于點Q是線段OP的中點，因此，設(shè)直線BM的斜率為k則直線BN的斜率為，接下來韋達求出M、N坐標(biāo)，代入即可．1.4選擇合適的直線方程進行聯(lián)立直線方程的設(shè)法根據(jù)定點位置的不同，分成如下兩種情況：定點在x軸過直線過x軸的上的定點，就把直線方程設(shè)成“”的形式！但是，不包括斜率為0的情況??！定點在y軸過直線過y軸的上的定點，就把直線方程設(shè)成“”的形式！同時，根據(jù)題意，需要另行討論斜率不存在的情況！！注(1)按照上述規(guī)則設(shè)直線方程，在聯(lián)立圓錐曲線方程的時候，以及對于后續(xù)的計算和化簡，都會起到簡化的作用！比如，過直線過x軸的上的定點，如果把直線方程設(shè)成“”的形式，不妨和橢圓方程聯(lián)立，同時結(jié)合韋達定理，易知式子中含有的式子比較多，計算相對會復(fù)雜一些！(2)對于“”，許多資料被稱為“反設(shè)直線”，但是，我更喜歡稱作“倒斜率直線方程”，即，因為有些粗心的同學(xué)，很容易把t當(dāng)成斜率k進行后續(xù)的計算．(3)易錯提醒無論使用哪種直線，都需要根據(jù)題意，討論相應(yīng)的斜率?。?4)如何設(shè)方程？以避免討論斜率優(yōu)先？以定點位置優(yōu)先？？個人建議，以定點位置優(yōu)先！！具體可參考如下的例題，進行實質(zhì)性的理解?。±?2013江西理)如圖，橢圓經(jīng)過點離心率，直線l的方程為．(1)

求橢圓C的方程；(2)

AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦（不經(jīng)過點P），設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA、PB、PM的斜率分別為，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在求的值；若不存在，說明理由．解(1)

；(2)

法一參考答案解法，利用點斜式直線方程，不討論斜率易知直線AB的斜率必存在，設(shè)直線AB為，則點，設(shè)，，直線AB與橢圓聯(lián)立：，則，，注意到A、F、B三點共線，故，即，故 ，又，故，故存在常數(shù)符合題意．注此解法中的“注意到A、F、B三點共線，故，即”，這步處理是關(guān)鍵，如果按照常規(guī)方法進行硬算，即，顯然，這個式子的計算量是很龐大的！法二法一之所以會產(chǎn)生如此多的麻煩，歸根結(jié)底，還是直線的方程沒有設(shè)好，由于定點在x軸上，因此，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓聯(lián)立：，故，又，，故．當(dāng)直線AB的斜率不存在時，，，，易得，，故．綜上所述，，即存在常數(shù)符合題意．注法二和法一相比，孰優(yōu)孰劣很明顯，盡管法二多討論了斜率一步，但是，總體計算量明顯比法一少了很多很多，對比之下，我們也可以了解到，在解析幾何中，直線的方程不是隨隨便便設(shè)的！！法三參考答案解法，設(shè)點法設(shè)，則直線FB為，令，可得，故．直線FB與橢圓聯(lián)立，…，解得，故，因此，，即存在常數(shù)符合題意．法四定比點差，純屬娛樂，考試慎用，請勿模仿設(shè)，，，設(shè)，，則，，，即…③，由②③可得：，，故，由①③可得：，故，即存在常數(shù)符合題意．法五設(shè)點法＋對稱點點差法，同樣是純屬娛樂，請勿模仿設(shè)，，則直線AB為，令，可得點，故…①．又，即為，同理可得，則，展開作差可得： …②由于A、F、B三點共線，故…③，將①③代入②可得：，即．注通過這幾種方法，定比點差法除外，可以發(fā)現(xiàn)，無論是設(shè)點法還是設(shè)線法，其實本質(zhì)都是設(shè)參數(shù)，然后轉(zhuǎn)化化歸，即將其他未知的參數(shù)，都用所設(shè)的參數(shù)表達出來，然后結(jié)合條件進行相應(yīng)的計算求解．1.5直線方程復(fù)雜時的換元聯(lián)立比如聯(lián)立，顯然會很復(fù)雜，因此，可以令，再聯(lián)立就簡單很多了．例(2006天津理壓軸)如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點A．連結(jié)OA交小圓于點B．設(shè)直線BF是小圓的切線．(1)

證明，并求直線BF與y軸的交點M的坐標(biāo)；(2)

設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明：．解(1)

和圓有關(guān)的題，很多時候會牽扯到直角三角形，因此，和直角三角形相關(guān)的一些平幾知識要熟練，比如，中線正逆判定，射影定理，由于AF⊥OF，BF⊥OA，因此，利用直角三角形的射影定理，顯然有，即；易知點A的坐標(biāo)為，故，直線BF的方程為：，令，可得，即直線BF與y軸的交點M的坐標(biāo)為．(2)

直線BF方程和橢圓方程中的a、b、c都是抽象的參數(shù)，顯然直接聯(lián)立，勢必會很繁瑣，因此，熟悉硬解定理的話，可以直接得到，當(dāng)然，直接現(xiàn)推也不麻煩！由于…①同理，…②【直接替換利用①即可！】對于①，令直線BF方程為，則、，故，對于②，令直線BF方程為，則、，故；因此，，即 ．注最后的計算，“”是化簡的關(guān)鍵！1.6求另一個交點此類模型，很常見，一定要熟練識別和求解！單直線過圓錐曲線的頂點直線和圓錐曲線相交，其中的一個交點已知，這是一種很常見的模型，一般可以利用韋達定理求出另一個交點，同時，比較常見的是過頂點的直線！！例(2014陜西理)如圖，曲線C由上半橢圓和部分拋物線連接而成，的公共點為A、B，其中的離心率為．(1)

求a、b的值；(2)

過點B的直線l與分別交于P、Q（均異于點A、B），若，求直線l的方程．略解(1)

易得，；(2)

直線l的方程為；易知，直線l與x軸不重合也不垂直，故設(shè)直線l為：，【如果設(shè)直線l為，明顯計算量大一些！】直線l與橢圓聯(lián)立，點B的坐標(biāo)已知，利用韋達定理即可求得點P的坐標(biāo)，同理，也可求得點Q的坐標(biāo)，最后利用，即可解出m．例(2010江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F．設(shè)過點的直線TA、TB與橢圓分別交于點、，其中，，．(1)

設(shè)動點P滿足，求點P的軌跡；(2)

設(shè)，，求點T的坐標(biāo)；(3)

設(shè)，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）．解(1)(2)

略；(3)

由題設(shè)知，直線AT的方程為y=m12x+3，直線BT點Mx1,y因為x1≠?3，則x1?39點Nx2,y若x1=x2，則由240?3m280+m2=3m2?6020+m2及直線ND的斜率kND=?20m20+m23m2?6020+m2例(2016天津文理)設(shè)橢圓的右焦點為F，右頂點為A，已知，其中O為原點，e為橢圓的離心率．(1)

求橢圓的方程；(2)(理)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，若，且，求直線的l斜率的取值范圍．(2)(文)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，若，且，求直線的l斜率．解(1)

；(2)(理)此問的關(guān)鍵是由“”得到，其余的就是計算了．設(shè)直線l為：，與橢圓聯(lián)立：，易知，由于，可得：，，，由，可解得，直線MH為：，與直線l聯(lián)立，可解得，由于，故（三角形中大角對大邊），即，化簡得，即，解得或．所以，直線l的斜率的取值范圍為．(2)(文)由于，故，即，化簡得，即，解得．例(2015天津文)已知橢圓的上頂點為B，左焦點為F，離心率為．(1)

求直線BF的斜率；(2)

設(shè)直線BF與橢圓交于點P（P異于點B），過點B且垂直于BF的直線與橢圓交于點Q（Q異于點B）直線PQ與x軸交于點M，．(＝1\×

romani)

求的值；(＝2\×

romanii)若，求橢圓的方程．解(1)

由及，可得，，故．(2)

(＝1\×

romani)設(shè)點，，，由(1)可得橢圓方程為，直線BF的方程為，與橢圓方程聯(lián)立：，解得．因為，所以直線BQ方程為，與橢圓方程聯(lián)立得：，解得，又因為，及得．(＝2\×

romanii)由于，所以，，又，顯然，橢圓方程為．【當(dāng)然，也可以轉(zhuǎn)化為點M到直線BQ的距離，不過計算量稍大．】用一個未知點表示另一個未知點例如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知分別是橢圓的左右焦點，A、B分別是橢圓E的左右頂點，是線段的中點，且．(1)

求橢圓E的方程；(2)

若M是橢圓E上的動點（異于點A、B），連結(jié)并延長交橢圓E于點N，連結(jié)MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連結(jié)PQ．設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為，試問：是否存在常數(shù)t，使得恒成立？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．解(1)

；(2)

．法一通法先行，設(shè)點法＋韋達定理，求解點P、Q的坐標(biāo)設(shè)，，，，直線MD的方程為：，和橢圓聯(lián)立，整理可得：，則，即，從而，故點，同理可得點．由M、、N三點共線，可得：．，故存在常數(shù)，且．法二截距點差法設(shè)，，，，對M、D、P三點，利用截距點差法：，解得點．對N、D、Q三點，同理可得點．由M、、N三點共線，可得：．故，故存在常數(shù)，且．法三定比點差法——雙定比練習(xí)已知橢圓，斜率為1的直線l與橢圓交于A、B兩點，點，直線AM、BM分別與橢圓C交于，求證：直線恒過定點．答案．例已知橢圓的左、右焦點分別為，拋物線．直線與橢圓交于A、B兩點，斜率為的直線與拋物線交于C、D兩點，斜率為的直線與拋物線交于E、F兩點（C、D與E、F分別在兩側(cè)，如圖所示），證明：直線DF經(jīng)過定點．證明設(shè)，，其中，；直線與橢圓方程聯(lián)立：，故，．設(shè)，，則直線DF的方程為：，因此，只須將分別用點A、B的坐標(biāo)表示出來即可．直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立：，故 ，同理可得：，故 ，因此，直線DF的方程為：，顯然，直線DF經(jīng)過定點．1.7點乘轉(zhuǎn)化為雙根算法例(2007山東文壓軸、理)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1．(1)

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

若直線與橢圓C相交于A、B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．答案(1)

；(2)

定點為；下面給出第(2)問的幾種常見解法．法一通法先行！注意到題目中已經(jīng)給出直線l的方程，因此，也就不需要討論斜率的存在性問題！當(dāng)然，如果沒有給出直線l的方程，就要設(shè)成的形式，避免討論斜率??！設(shè)，，聯(lián)立得：，則，令，可解得．．由于以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，故，即，即，代入數(shù)據(jù)，整理可得：，解得，，且均滿足．當(dāng)時，l的方程，直線過點，與已知矛盾；當(dāng)時，l的方程為，直線過定點．綜上所述，直線l過定點，定點坐標(biāo)為．法二點乘雙根算法此解法的思路和法一是一樣的，不同之處是在計算的過程中，利用“雙根法”省去了“許多”計算量．此處只把不同之處寫出，如下：因為是聯(lián)立后方程的兩個根，所以有： …由于以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，故，即．令代入式，可得：；令代入式，可得：，因此，，即為，后續(xù)過程同上，故略過．注通過法一和法二的類比，個人認(rèn)為，實際上，“點乘雙根算法”并沒有太多的優(yōu)勢，也節(jié)省不了多少時間．同時，對于學(xué)生而言，畢竟“雙根法”需要一定的變形技巧，不熟練不細(xì)心的話，就很容易出現(xiàn)計算錯誤，因此，不如老老實實展開計算的穩(wěn)當(dāng)！法三對稱點點差法設(shè)，，右頂點為，則，由于，故 ，即，作差可得：，利用橫截距公式，顯然，過定點．1.8距離或者向量投影坐標(biāo)化韋達定理的解題思想，就是坐標(biāo)化，因此，如果給出的是距離或者向量，就需要進行坐標(biāo)化，例(2008浙江文壓軸、理)已知曲線C是到點和到直線距離相等的點的軌跡．l是過點的直線，M是C上（不在．上）的動點；A、B在．上，，軸（如圖）．(1)

求曲線C的方程；(2)

求出直線l的方程，使得為常數(shù)．解(1)

直譯即可，易得曲線C的方程為；(2)

易知直線l的斜率不為0，因此，設(shè)直線l為：，由于，只需要求出、即可，利用拋物線的設(shè)點法，設(shè)，則．直線MA為：，與直線l聯(lián)立，可解得，故 顯然，只有當(dāng)，即時，為常數(shù)，因此，直線l的方程為．注也可利用平幾性質(zhì)，構(gòu)造出如圖所示的輔助線進行求解，具體過程略．例(2011山東文壓軸)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點的直線l交橢圓C于A、B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線于點．(1)

求的最小值；(2)

若?，(＝2\×

romani)

求證：直線l過定點；(＝2\×

romanii)

試問點B、G能否關(guān)于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．解(1)

直線l的斜率，因此，利用中定點差法，…，可得，即，即，故，即的最小值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．(2)(＝2\×

romani)

此題的背景是：極線對應(yīng)的極點是，故直線l過定點．由(1)知直線OD為，與橢圓聯(lián)立，可解得點，設(shè)直線l為，與直線OD聯(lián)立，可解得點，又點，由可得：，即，即，故直線l為，顯然，過定點．

(＝2\×

romanii)

假設(shè)點B、G能關(guān)于x軸對稱，由(＝2\×

romani)知點B的坐標(biāo)為，代入直線l，整理得：，即，解得或，當(dāng)時，，產(chǎn)生矛盾，故舍去，故，即．當(dāng)時，，，又點，故點A為，易知△ABG的外接圓的圓心在x軸上，直線AB的中垂線為：，令，可得圓心為，進而可得半徑，因此，△ABG的外接圓的方程為．1.9非對稱韋達問題非對稱問題我們知道，利用韋達定理解題，一般是將已知條件轉(zhuǎn)化為“”的式子．但是，并不是所有的題都可以走這個套路，比如，有的題目將已知條件轉(zhuǎn)化為方程后，會出現(xiàn)“”、“”、“”或“”的形式，此種情況，是無法直接利用韋達定理的，而這類題一般也稱作非對稱問題！類型一“”型處理方法．例已知橢圓的離心率為，過點的直線l交橢圓C于A、B兩點，，且當(dāng)直線l垂直于x軸時，．(1)

求橢圓C的方程；(2)

若，求弦長的取值范圍．答案(1)

；(2)

．解(2)當(dāng)直線l的斜率為0時，易得或，故舍去．因此，設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立：，由于點M在橢圓內(nèi)部，故必有，同時，設(shè)，，，則，故 ，由于，故，易得．因此，．類型二“”型．處理方法①先湊出關(guān)于的形式：，即，②兩個式子相乘：，此時，就可以利用韋達定理了．說明①實際上，在實際解題時，此種情況的題型極少?、诖送?，個人認(rèn)為沒有必要按照這個套路走，實際上，直接解方程組往往更快捷，可以參考如下的例題！例如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點在x軸上的橢圓經(jīng)過點，其中e為橢圓C的離心率．過點作斜率為的直線l交橢圓C于A、B兩點(A在x軸下方)．(1)

求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

過點O且平行于l的直線交橢圓C于點M、N，求的值；(3)

記直線l與y軸的交點為P．若，求直線l的斜率k．答案(1)；(2)；(3)．略解(1)，又，故，解得．(2)設(shè)，，直線l為，與橢圓聯(lián)立：．直線MN為，與橢圓聯(lián)立，解得．故．【草稿上，也可以利用點乘雙根算法：】(3)

法一消元法…①，由(2)可知：…②，…③，三個未知數(shù)，三個方程，剛好可以解出k，由①②可得：，代入③整理得：，解得或(舍去)，又，故．法二利用非對稱問題的處理套路，即，即，然后代入即可，具體過程略．注①對于第(3)問，也可以利用定比點差法：設(shè)，代入，整理可得：，解得或，則或(舍)，故，．②對于第(3)問，兩種方法對比而言，在計算量上，沒有多大出入！例如圖，在橢圓上，經(jīng)過點的直線l交橢圓于E、F（E在F上方），直線MP交橢圓于點N．(1)

求橢圓C的方程；(2)

若，求直線l的方程．解(1)

；(2)，，，由得： ，故．法一常規(guī)韋達定理法設(shè)直線l的方程為：，與橢圓聯(lián)立： ，設(shè)，，則…①由得：，即…②方向1直接利用①②消元，先求出，再代入即可．方向2湊出韋達定理的對稱結(jié)構(gòu)，由②變形： ，即，即，再代入①即可，方向3換元轉(zhuǎn)化，令，則②變形為：，即，此時，重新聯(lián)立，再利用套路：即可．顯然，前兩個方向的計算量都是巨大的，皆不可取；對于第3個方向，變形確實巧妙，不過，此法的本質(zhì)就是下面的參數(shù)方程．法二線段比的問題，優(yōu)先使用參數(shù)方程法設(shè)過點P的直線l的參數(shù)方程為：(t為常數(shù))，與橢圓聯(lián)立： 設(shè)點E、F對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，由得：，故 ，即，解得（不要被題目配圖所騙），故直線l的方程為：．類型三“”型處理方法一般有兩種常用方法，具體參考如下例題．例已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點分別為、．(1)

求橢圓C的方程；(2)

過直線與橢圓C交于P、Q兩點，直線與交于點S，試問：當(dāng)m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．解(1)

；(2)

分析此題的背景是極點極線，所求直線是極點所對應(yīng)的極線！法一韋達定理法——典型的非對稱問題聯(lián)立可得：，，，直線的方程：…①，直線的方程：…②，聯(lián)立①②消去y可得：，到這一步，有兩個常用方向：方向1湊韋達消同一單元 ，解得．方向2和積轉(zhuǎn)化（強烈推薦熟練此法?。。┯傻玫剑?，故 ，解得．法二定比點差法易知直線過定點，設(shè)，，，則，直線的方程：…①，直線的方程：…②，聯(lián)立①②消去y可得：，解得．法三截距點差法設(shè)，，易知直線過定點，由于P、M、Q三點共線，故，即…①又，可得：…②直線的方程：…③，直線的方程：…④，到這一步，可以有兩個常用方向可走：方向1聯(lián)立③④直接解出x，可得：．方向2聯(lián)立③④消去y可得：，由①②可得：，因此，，解得．練習(xí)(2020北京)已知橢圓過點，且．(1)求橢圓C的方程；(2)過點的直線l交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別交直線于點P，Q，求的值．答案(1)

；(2)1．§2桃花帶雨濃，韋達定理進階篇2.1和圓相關(guān)例(2011大綱卷文)設(shè)兩圓都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點，則兩圓心的距離()．A．4 B． C．8 D．答案選C．解易知兩個圓都在第一象限，且圓心在直線上，故可設(shè)圓的方程為：，過點：，即，設(shè)為此方程的兩個根，則的坐標(biāo)為、，故，故選C．例已知經(jīng)過點的兩個圓都與直線、相切，則這兩個圓的圓心距等于．答案．解兩條直線的方程互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，結(jié)合圖象，可知圓心都在直線上，因此，可以設(shè)圓心，，則是關(guān)于x的方程，即的兩個根，故．例已知點P為圓與圓的公共點，圓，圓，若，，則點P與直線上任意一點M之間的距離的最小值為．解由于，故可以嘗試湊出關(guān)于a、c的二次方程，因此，需要先把b、d換掉！設(shè)，，則，，代入可得：，同理可得：，因此，a、c是方程的兩個根，故，即點P的軌跡方程為：，易得．例(2015江蘇聯(lián)賽初賽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓、圓都與直線及x軸正半軸相切，若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個交點為，求直線l的方程．解由于圓、圓都與直線及x軸正半軸相切，因此，圓心、在直線l和x軸的角平分線上，不妨設(shè)此直線為，則．設(shè)圓、圓的半徑分別為，則，可以嘗試構(gòu)造關(guān)于r的二次方程，然后，利用韋達定理．易知圓的圓心為，則，即，即，同理可得：．因此，是方程的兩個根，故，即，進而，所以直線l的方程為．背景圓、圓是位似圓，設(shè)圓、圓與x軸的切點分別為A、B，可以利用平幾知識證明得到：，即，即．練習(xí)已知兩圓的圓心在直線上，且兩圓均與x軸相切，兩圓圓心的橫坐標(biāo)a、b滿足．若記兩圓交點，且的最大值為10，求k的值．解易求得a、b是關(guān)于方程的兩個根，因此，．又，故，即，因此，點P的軌跡是圓．不妨令，則，解得．類題如圖，圓M和圓N與直線分別相切于A、B，與x軸相切，并且圓心連線與l交于點C，若且，則實數(shù)k的值為()．A．1 B． C． D．解選D；設(shè)圓M、圓N與x軸的切點分別為P、Q，圓M、圓N的半徑分別為．由于，故，即．易知OM、ON分別是∠POA、∠BOQ的角平分線，因此，OM⊥ON，設(shè)ON的斜率為m，則，即為，解得．因此，．注也可以利用平幾知識，易證得Rt△OPM≌Rt△NQO，則QO＝PM，．2.2直線的定比分點式方程直線的定比分點式方程經(jīng)過兩個不同的定點、的直線的參數(shù)方程為： (為參數(shù)，)；設(shè)為P、Q兩點所確定的直線上的任意一點，參數(shù)的幾何意義是動點M分有向線段即向量的定比，即，顯然，利用定比分點的知識，可得到：①當(dāng)時，M為內(nèi)分點；②當(dāng)，且時，M為外分點；③當(dāng)時，點M與Q重合．注實際上，根據(jù)定點的個數(shù)，我們可以將直線的參數(shù)方程分為兩種：①利用一個定點，再利用直線的方向向量，以有向線段為參數(shù)的參數(shù)方程；②利用兩個定點，再利用定比分點的知識（實質(zhì)也是向量的共線定理），以定比為參數(shù)的參數(shù)方程．因此，直線的定比分點式方程實際上是屬于直線的參數(shù)方程的一種?。±阎c對橢圓的切點弦為AB，過點P的直線l交切點弦AB于Q，交橢圓于R、S，求證：．證法一利用直線的參數(shù)方程設(shè)直線l為(t為參數(shù))，易知切點弦AB為：，故．直線l與橢圓方程聯(lián)立可得：，則，故得證．證法二借助調(diào)和點列的背景，即．設(shè)，，，，則，將坐標(biāo)代入，可得： …①．同理，設(shè)，則，代入，可得： …②．由①②可知：是關(guān)于t的二次方程的兩個根，故，又點在切點弦AB上，所以，則．故，即，即，即．例(2006山東理)雙曲線C與橢圓有相同的焦點，直線為C的一條漸近線．(1)

求雙曲線C的方程；(2)

過點的直線l交雙曲線C于A、B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）．當(dāng)，且時，求Q點的坐標(biāo)．答案(1)

；(2)．解(2)

設(shè)，由得：，即，代入雙曲線的方程：．同理，由得：，故是關(guān)于的二次方程 的兩個根，故，解得，即點Q的坐標(biāo)為．注常規(guī)韋達定理方法：，設(shè)直線l的方程為：，其中，與雙曲線聯(lián)立：，后略；和上述方法相比，顯然繁瑣很多．例(2007福建文壓軸、理)如圖，已知點，直線，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且．(1)

求動點P的軌跡C的方程；(2)

過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，已知，，求的值．(3)(文)求的最小值．解(1)

；(2)

；法一設(shè)，，，則，又，可得：；同理，由可得：；故是關(guān)于的二次方程的兩個根，因此，．法二利用平幾性質(zhì)由已知，，得．則…①如圖，過點A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為、，則有：…②由①②得：，即．(3)(文)設(shè)直線AB的方程為，則；直線AB的方程與C聯(lián)立：，則，，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號．例已知橢圓的長軸長為4，A、分別為橢圓C的上、下頂點，P為橢圓C上異于A、的動點，直線PA與的斜率之積恒為．(1)

求橢圓C的方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于D、E兩點，點Q滿足：且，當(dāng)直線l繞著T點轉(zhuǎn)動時，求動點Q的軌跡方程．答案(1)

；(2)．略解(2)設(shè)，，由得：，又D在橢圓C上，故 ，對于，同理得：，故、是關(guān)于t的二次方程的兩個根，所以，解得．練習(xí)已知拋物線，直線l不過原點O，且與拋物線相交于P、Q，與x軸交于點A，與y軸交于點B．(1)

設(shè)，，證明：；(2)

設(shè)直線OP與直線OQ的斜率分別為、，若，求證：直線l過定點．解(1)

設(shè)，，，由得：，代入得： ，同理，由得：，故、是二次方程的兩個實根，因此，，，故得證．(2)

設(shè)，，則直線PQ的方程為：…①．又，即…②，①②對比，顯然直線PQ過定點．2.3雙切線問題參考相應(yīng)章節(jié)的總結(jié)．§3樹深時見鹿，雙切線同構(gòu)法3.1利用韋達定理轉(zhuǎn)化例(2012湖南理)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的點均在外，且對上任意一點M，M到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值．(1)

求曲線的方程；(2)

設(shè)為圓外一點，過P作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點A、B和C、D．證明：當(dāng)P在直線上運動時，四點A、B、C、D的縱坐標(biāo)之積為定值．解(1)

法一設(shè)，根據(jù)題意可得：，易知上的點位于直線的右側(cè)，于是，故，化簡可得的方程為：．法二根據(jù)題意可知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離．因此，曲線是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線．故其方程為．(2)

當(dāng)點P在直線上運動時，點P為，又，則過點P且與圓相切的直線的斜率k存在且不為0．因此，設(shè)切線方程為，即為．于是，整理得：，設(shè)過點P的兩條切線PA、PC的斜率分別為，則，．設(shè)四點A、B、C、D的縱坐標(biāo)分別為，切線PA為：，與聯(lián)立：，則，同理可得：，故．例(2012湖南文)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓的圓心．(1)

求橢圓E的方程；(2)

設(shè)P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線，當(dāng)直線都與圓C相切時，求P的坐標(biāo)．解(1)

；(2)

設(shè)，直線分別為：、，其中．由直線與圓C相切可得：，即，同理可得：，因此，是方程 的兩個實根，則…①，且…②，又…③，聯(lián)立②③解方程組得：或，經(jīng)檢驗都滿足①式，故點P的坐標(biāo)為或或或．例(2011浙江理)已知拋物線，圓的圓心為點M．(1)

求點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；(2)

已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂足于AB，求直線l的方程．解(1)；(2)點P的坐標(biāo)為，直線l的方程為．法一通法就是設(shè)，設(shè)直線方程，利用相切條件，構(gòu)造關(guān)于斜率、的二次方程，再利用韋達定理求解，具體過程此處略．法二注意到P、A、B是拋物線上輪換的三點，再結(jié)合題目條件，顯然，可以利用拋物線的兩點式方程＋韋達定理的構(gòu)造求解．設(shè)，根據(jù)題意可知：且，設(shè)，，則直線PA的方程為：，又，直線PA和圓M相切：，即 ，對于直線PB，同理可得：，故是二次方程 的兩個根，所以．又直線AB的方程為：，故，即，解得，后略．練習(xí)已知圓和拋物線，O為坐標(biāo)原點．(1)

已知直線l和圓O相切，與拋物線E交于M、N兩點，且滿足OM⊥ON，求直線l的方程；(1)

過拋物線E上一點作兩直線PQ、PR和圓O相切，且分別交拋物線E于Q、R兩點，若直線QR的斜率為，求點P的坐標(biāo)．答案(1)

；(2)或．練習(xí)(2011浙江文壓軸)如圖，設(shè)P為拋物線上的動點．過點P做圓的兩條切線，交直線于A、B兩點．(1)

求的圓心M到拋物線準(zhǔn)線的距離．(2)

是否存在點P，使線段AB被拋物線在點P處的切線平分，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．答案(1)；(2)．例(2016鹽城一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點是橢圓上一點，從原點O向圓作兩條切線分別與橢圓C交于點P、Q，直線OP、OQ的斜率分別記為．(1)

若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點，求圓M的方程；(2)

若，①求證：；②求的最大值．解(1)

；(2)

①雙切線問題，反轉(zhuǎn)利用韋達定理即可；②可以利用參數(shù)方程，或者直接平方變形，求得，故．例如圖，已知橢圓的上頂點為，離心率為．(1)

求橢圓C的方程；(2)

若過點A作圓的兩條切線分別與橢圓C相交于點B、D（不同于點A）．當(dāng)r變化時，試問直線BD是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由．解(1)

；(2)

設(shè)切線方程為，則，即，設(shè)直線AB、AD的斜率分別為，則．此時就轉(zhuǎn)化為常見的問題了，利用點差法的套路即可．設(shè)，，則，即，作差可得：，結(jié)合縱截距公式，顯然，過定點．3.2蒙日圓橢圓橢圓的兩條互相垂直的切線PA、PB的交點P的軌跡是圓，這個圓一般叫作“蒙日圓”，也叫“準(zhǔn)圓”，“伴隨圓”；此外，如果過橢圓上一點C作橢圓的切線交蒙日圓于M、N兩點，則（假設(shè)OM、ON的斜率都存在且不為0）．證明常規(guī)的證明方法，設(shè)出切線，利用等效判別式快速得到關(guān)于k的二次方程，再利用韋達定理計算即可，具體的過程可參考如下的例題，此處略．對于，與蒙日圓方程齊次化聯(lián)立即可輕松證明，具體過程如下：設(shè)，則切線MN的方程為：，與蒙日圓聯(lián)立：，即，故 ．不過，在實際考試之時，還是建議使用設(shè)線法，即設(shè)，結(jié)合等效判別式進行齊次化聯(lián)立求解，因為切線MN的方程是不好求得的??！注(1)

對于蒙日圓的證明，也可以利用幾何法，借助橢圓的光學(xué)性質(zhì)，如圖所示，過右焦點F作兩條切線的垂線，垂足分別為M、N，則點M、N在“大圓”上（具體證明參見前面的光學(xué)性質(zhì)專題）．又四邊形FMPN為矩形，因此，利用矩形的性質(zhì)得：，即．(2)也可以將斜率乘積關(guān)系推廣到其他情況，比如或，繼續(xù)利用韋達定理求解即可．雙曲線對于雙曲線，在的前提下，可得雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓．拋物線拋物線的兩條互相垂直的切線的交點軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線．例(2014廣東文理)已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，離心率為．(1)

求橢圓的方程；(2)

若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程．分析這是一道古董題了，平時如果遇到過基本上就是送分的，但是如果第一次見，還是有一定難度的！注意兩點即可：①要注意的斜率的討論；②利用等效判別式進行計算，即由，可得：，即．解(1)

；(2)

設(shè)兩條切線分別為、，①當(dāng)與x軸既不垂直也不平行時，設(shè)直線為，與橢圓聯(lián)立可得：，由可得：，故k是方程的一個根，同理，直線的斜率也是方程的一個根，因此，，即，其中．②當(dāng)⊥x軸或∥x軸時，對應(yīng)∥x軸或⊥x軸，可知，亦滿足．綜上可得，點P的軌跡方程是．例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，一條準(zhǔn)線方程為，且經(jīng)過點．(1)

求橢圓C的方程；(2)

若一個矩形的每一條邊所在直線與橢圓有且只有一個公共點，則稱該矩形為橢圓的外切矩形．(=1\*romani)求證：橢圓C的所有外切矩形的頂點在一個定圓上；(=2\*romanii)

求橢圓C的外切矩形面積S的取值范圍．解(1)

；(2)①若矩形的邊與坐標(biāo)軸不平行，則過頂點的兩條邊的斜率滿足；設(shè)矩形邊所在直線的方程為，則由得：，令，可得：．又，則，即，即，易知是此方程的兩個根，因此，，即．②若矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，則四個頂點顯然滿足．綜上所述，滿足條件的所有矩形的頂點在定圓上．(=2\*romanii)

當(dāng)矩形的邊與坐標(biāo)軸不平行時，由(=1\*romani)知，令，可得矩形的一組對邊所在直線的方程為，即，則另一組對邊所在直線的方程為．由于矩形一組對邊所在直線間的距離為另一組對邊的邊長，故矩形的一條邊長為，另一條邊長為．因此，，令，則，于是．若矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，則．故S的取值范圍是．3.3斜率等差參見極點極線章節(jié)．3.4彭色列閉形定理彭色列閉形定理：共內(nèi)切圓的三角形必共外接橢圓．例(2009江西文壓軸)如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓，其中A為橢圓的左頂點．(1)

求圓G的半徑r；(2)

過點作圓G的兩條切線交橢圓于E、F兩點，證明：直線EF與圓G相切．解(1)

法一直線過點，顯然可以輕易求出點B設(shè)直線AB為，與橢圓聯(lián)立：，故，，圓G是△ABC的內(nèi)切圓，則直線AB和AC關(guān)于x軸對稱，直線BC⊥x軸，故，消去r，整理可得：，故或．當(dāng)時，，不成立，故只取，則．注如果選擇消去，則可得：，這是一個三次方程，而且比較復(fù)雜，試根法也不好使，因此，此路不通！最后，借助軟件得到：．法二由于含有內(nèi)切圓，也有直角三角形，故可以嘗試借助平幾性質(zhì)進行求解設(shè)，過圓心G作GD⊥AB于點D，BC交長軸于點H，則，即，即…①，又點在橢圓上，故…②由①②可得：，解得或（舍去）．(2)

設(shè)過點與圓G相切的直線為：，則，即，設(shè)直線ME、MF的斜率分別為，則，．直線與橢圓聯(lián)立：，解得，同理．故直線EF的斜率為，因此，直線EF的方程為：，即，即，又，則，因此，直線EF的方程為：，圓心到直線EF的距離為，故直線EF與圓G相切．注或者直接得到點、，然后，利用直線EF的兩點式方程，即為，即，此式看上去復(fù)雜，細(xì)心點，計算量不大的！整理得：，代入，，即，即．例已知曲線過定點，點P是曲線C上的動點，過點P的圓的切線分別交曲線C于另外兩點A、B．(1)

求曲線C的方程；(2)

若，點P為原點，判斷直線AB與圓的位置關(guān)系；(3)

對任意的動點P，是否存在實數(shù)t，使得直線AB與圓相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．解(1)

；(2)

若，點P為原點，則圓為，設(shè)切線為，則，解得，即切線為，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)對稱性，易解得直線AB為，此時，圓心到直線的距離為，因此，直線AB和圓相交．(3)

探索型的題目，可以先利用特殊值引路：取，圓，設(shè)切線為，由，解得…①；切線與拋物線聯(lián)立，根據(jù)對稱性，可解得直線AB為．若直線和圓相切，則…②，由①②解得或（舍去）．因此，對任意的動點P，直線AB和圓相切，必有．下面繼續(xù)證明時，對任意的動點P，直線AB和圓相切．法一常規(guī)方法，設(shè)出點P，設(shè)出切線，先利用雙切線模型，然后，再利用韋達定理求出點A、B的坐標(biāo)設(shè)點，過點P和圓M相切的切線為，則，整理可得：…，設(shè)切線PA、PB對應(yīng)的m分別為、，則，．切線與拋物線聯(lián)立：，則，即，即點，同理可得點．因此，直線AB為，即為，則圓心到直線AB的距離，結(jié)合式，代入化簡可得：．綜上所述，對任意的動點P，存在實數(shù)，使得直線AB與圓相切．法二利用拋物線的兩點式方程＋雙切線模型＋輪換證明設(shè)，，，則切線PA為，由可得：…①；對于切線，同理可得…②．因此，欲證明直線和圓相切，只需要由①②證得成立即可．根據(jù)①②可知：是二次方程，即的兩個根，故…③，…④，此時，只需要設(shè)法利用③④消去即可．由③＋④、③－④分別可得：、．因此，，此時，再利用④就可以消去，利用④可知，故，展開可得，故得證．3.5和切點弦相關(guān)參見極點極線章節(jié)．3.6拋物線的雙切線模型參考相應(yīng)的章節(jié)．3.7其他類型例(2017山東文壓軸)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，橢圓C截直線所得線段的長度為．(1)

求橢圓C的方程；(2)

動直線交橢圓C于A、B兩點，交y軸于點M．點N是M關(guān)于O的對稱點，⊙N的半徑為．設(shè)D為AB的中點，DE、DF與⊙N分別相切于點E、F，求∠EDF的最小值．解(1)

；(2)，由可得：；設(shè)，，，則，，即．由于，故．又，且為銳角，因此，只需要求的最小值即可！由于，欲求的最小值，只需要求出的最大值即可．，令，則，，因此，當(dāng)，即時，取得最大值為3，此時，即，因此，∠EDF的最小值為．例(2017山東理壓軸)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，焦距為2．(1)

求橢圓E的方程；(2)

如圖，動直線交橢圓E于A、B兩點，C是橢圓E上一點，直線OC的斜率為，且．M是線段OC延長線上一點，且，⊙M的半徑為，OS、OT是⊙M的兩條切線，切點分別為S、T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值時直線l的斜率．解(1)

；(2)

，，注意到直線l恒過定點，此定點在橢圓內(nèi)部，并結(jié)合，可知．由于，又，欲求∠SOT的最大值，只需要求出的最小值即可．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，即，因此，∠SOT的最大值為，此時直線l的斜率為．平行四邊形的判斷§4溪午不聞鐘，垂直平分線和對稱性問題4.1圓錐曲線垂直平分線的性質(zhì)性質(zhì)(1)

若不與坐標(biāo)軸平行的直線與曲線（橢圓和雙曲線，焦點在x軸）交于A、B兩點，設(shè)線段AB的中點為，曲線的離心率為e，則線段AB的垂直平分線和x軸的交點為(比較常考，可簡單記憶)，與y軸的交點為．(2)

若不與x軸垂直的直線與拋物線交于A、B兩點，設(shè)線段AB的中點為，則線段AB的垂直平分線和x軸的交點為．證明(1)

以橢圓為例：由于，故，即．(2)

由于，故，即；也可以利用進行證明，具體過程略．性質(zhì)拓展至極限形式——切線和法線當(dāng)A、B兩點不斷靠近，直至重合時，此時AB變?yōu)榍芯€，AB的垂直平分線變?yōu)榍芯€的法線！那么此時，上述性質(zhì)(1)(2)也是成立的！證明顯然，可以直接借助切線方程，求出法線方程進行驗證，當(dāng)然，也有其他方法．例如，橢圓在點處的切線斜率滿足：（中點點差法的極限形式），即，此時，對比上面的證明過程，顯然是一致的！因此，此拓展實質(zhì)就是“中點點差法的極限形式”的應(yīng)用，當(dāng)然，最根本的實質(zhì)還是“中點點差法”.性質(zhì)推論如果上述的直線AB過焦點F，則對于橢圓、雙曲線和拋物線都有：．證法一利用性質(zhì)(1)(2)，易求得，然后，利用焦半徑公式表示出即可，具體過程此處略．證法二既然AB過焦點，也可以不利用性質(zhì)(1)(2)，直接借助第二定義或者極坐標(biāo)進行證明．利用第二定義不妨以橢圓為例，如圖所示，設(shè)F為左焦點，A、B在左準(zhǔn)線上的投影分別為，則，故．利用極坐標(biāo)，，，，故，顯然有．例(1992全國卷理壓軸)已知橢圓，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點．證明：．略解設(shè)AB的中點為，則，又，故．注實際解題時，要分成兩種情況：①線段AB與坐標(biāo)軸不平行；②線段AB與坐標(biāo)軸平行．例如圖，、為橢圓的左、右焦點，點P為橢圓上一點，的內(nèi)心為I，連結(jié)PI并延長分別交x、y軸于點D、E．若，則．答案；橢圓的離心率為，設(shè)，故．例(2014浙江文壓軸、理)設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A、B．若點滿足，則該雙曲線的離心率是___________．答案．法一設(shè)AB中點為，利用點差法可知：，故．由，解得：，代入得：．又，即，易得．法二設(shè)線段AB的中點是，直線AB的垂直平分線PM是：，則，利用中點點差法可得：，解得．法三設(shè)線段AB的中點是，則，代入直線得：，即，解得．法四注意到直線AB過定點，因此，在中，，設(shè)，則，故，即．例(2012浙江理)如圖，分別是雙曲線的左右焦點，B是虛軸的端點，直線與C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M．若，則C的離心率是()．A． B． C． D．答案選B．法一直線的方程為：，斜率為．同上題類似，設(shè)PQ中點為，得到：．由，解得：（也就是結(jié)論），代入得：．又，即，易得，故選B．法二設(shè)線段PQ的中點為，利用結(jié)論可得點，由可得：，即，代入直線PQ的方程：，解得，又，易得．例(1)(2011湖北文理)將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則()．A． B． C． D．(2)已知正△ABC的頂點A、B在拋物線上，另一個頂點，則這樣的正三角形的個數(shù)是()．A．1 B．2 C．3 D．4解(1)選C；分成兩種情況：①如果兩個頂點不關(guān)于x軸對稱，利用上述結(jié)論可知，這兩個頂點的中垂線是不可能過焦點的，故不存在；②如果兩個頂點關(guān)于x軸對稱，則有可能組成正三角形，且有2個．(2)選D；①顯然，當(dāng)直線AB⊥x軸時，有兩個滿足的正三角形；②當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)線段AB的中點為，則線段AB的垂直平分線必須過頂點C，利用上述結(jié)論易得，即，此時結(jié)合圖形，易猜到此種情況也有兩個滿足的，當(dāng)然，嚴(yán)格論證也不難，只需要求出即可．直線AB為：，與拋物線聯(lián)立：，故，又，即，解得，故直線AB為：．例(2005全國Ⅲ理)設(shè)、兩點在拋物線上，l是AB的垂直平分線．(1)

當(dāng)且僅當(dāng)取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論；(2)

當(dāng)直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍．解(1)

易知，即，即，由于，故，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點F．(2)

設(shè)l在y軸上的截距為m，則直線l為，進而可設(shè)直線AB為，直線AB與拋物線聯(lián)立：，則，，設(shè)線段AB的中點為，則，，將中點代入直線l可得：，故，即l在y軸上截距的取值范圍為． 例已知拋物線的焦點為F，A、B是拋物線上橫坐標(biāo)不相等的兩點，若AB的垂直平分線與x軸的交點是，則的最大值為()．A．2 B．4 C．6 D．10解選C；設(shè)，，AB的中點為，利用結(jié)論可知：，即．因此，．或者，直接利用推論：取得最大值，必定過焦點，因此，．練習(xí)已知拋物線，過其焦點F且斜率為的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點為P，過點P作線段AB的垂直平分線交x軸于點，則的值為()．A． B． C． D．解選C；設(shè)線段AB的中點為，則…①，又…②，由①②可得：，，故．例(2008湖南理)若A、B是拋物線上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦”．已知當(dāng)時，點存在無窮多條“相關(guān)弦”．給定．(1)

證明：點的所有“相關(guān)弦”中的中點的橫坐標(biāo)相同；(2)

試問：點的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，請說明理由．分析對于第(1)小問，利用上述總結(jié)的結(jié)論，易知中點橫坐標(biāo)是；在上一小題的鋪墊下，對于第(2)小問，應(yīng)該不難猜測，點的“相關(guān)弦”的弦長中如果存在最大值，則該弦必定過焦點，因此，如果該弦過焦點，則該弦的弦長必定要大于通徑4，至此，我們便得到了分界點，進而，如果弦長小于或等于通徑4，則不存在最大值．具體的，當(dāng)，即時，有最大值；當(dāng)時，不存在最大值．解(1)

設(shè)，，線段AB的斜率為，中點為，則，即，從而線段AB的垂直平分線為：，令，可得，因此，點的所有“相關(guān)弦”中的中點的橫坐標(biāo)都是．(2)

由(1)知弦AB所在直線的方程是，代入：，設(shè)點P的“相關(guān)弦”AB的弦長為l，則，，故 ，由于，故令，其中，當(dāng)，即時，則在處，即時，l有最大值；當(dāng)時，，在區(qū)間上是減函數(shù)，則，不存在最大值．綜上所述，當(dāng)時，點的“相關(guān)弦”的弦長中存在最大值，且最大值為；當(dāng)時，點的“相關(guān)弦”的弦長中不存在最大值．例已知雙曲線的離心率為4，過右焦點作直線交該雙曲線的右支于兩點，弦的垂直平分線交軸與點，若，則()．A．14 B．16 C．18 D．20解選D；．例(2007重慶文壓軸)如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點．(1)

求拋物線的焦點F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；(2)

若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明：為定值，并求此定值．解(1)

焦點，準(zhǔn)線l的方程為．(2)

利用極坐標(biāo)，易得，，設(shè)線段AB的中點為M，則 因此，，故．例設(shè)分別是橢圓的左右焦點．(1)

若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；(2)

是否存在經(jīng)過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．解(1)

設(shè)，則 ，由于，故，因此，的最大值是4，最小值是3．(2)

設(shè)CD的中點為，則，利用上述結(jié)論可知：，即，顯然不成立，下面利用點差法進行嚴(yán)格證明．由于直線l的斜率存在且不為0，因此，，即，兩式相除，解得，顯然矛盾，因此，不存在．練習(xí)已知橢圓的一個頂點為，焦點在x軸上，若右焦點到直線的距離為3．(1)

求橢圓的方程；(2)

是否存在斜率為，且過定點的直線l，使l與橢圓交于兩個不同的點M、N，且？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．答案(1)

；(2)

設(shè)MN的中點為，則，即，解得，，此時，，即點P在橢圓上，顯然矛盾，故不存在．例(2006福建文理)已知橢圓的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點．(1)

求過點O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；(2)(理)設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍．(2)(文)設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線上，求直線AB的方程．解(1)

易得，準(zhǔn)線l為，圓過點O、F，故圓心在直線上．設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為M，圓和準(zhǔn)線的切點為N，則，故，因此，圓心坐標(biāo)為，半徑為，故所求圓的方程為．(2)(理)利用結(jié)論易得點G的坐標(biāo)易得是，其中為線段AB的中點，但是的限制范圍并不知道，因此，不能利用點差法求解，而需要設(shè)直線聯(lián)立橢圓組進行確定．設(shè)直線AB為，與橢圓聯(lián)立：，由于點F在橢圓內(nèi)部，故必有，設(shè)線段AB的中點為，則，．直線AB垂直平分線PG為，令，可得，由于，易得，即，故點G橫坐標(biāo)的取值范圍為．易錯提醒千萬不要把直線AB垂直平分線PG寫成：！！(2)(文)法一當(dāng)直線AB的斜率為0時，即直線AB為時，線段AB的中點在直線上，符合題意．當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線AB為，與橢圓聯(lián)立：，由于點F在橢圓內(nèi)部，故必有．設(shè)線段AB的中點為，則，，即點，代入，解得，即直線AB為．綜上所述，直線AB的方程為或．法二利用點差法，但是要討論三種情況！當(dāng)直線AB的斜率為0時，即直線AB為時，線段AB的中點在直線上，符合題意．當(dāng)直線AB的斜率不存在時，線段AB的中點不在直線上，故舍去．當(dāng)直線AB的斜率存在且不為為0時，設(shè)線段AB的中點為，利用點差法：，故，又，解得，，直線AB為．綜上所述，直線AB的方程為或．例(2010天津文理)已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4．(1)

求橢圓的方程；(2)

設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B．已知點A的坐標(biāo)為．(＝2\×

romani)(文)若，求直線l的傾斜角；(＝2\×

romanii)

若點在線段AB的垂直平分線上，且．求的值．分析由于點A在x軸上，故設(shè)直線為的形式，此外，牽扯到垂直平分線的問題，要注意討論的斜率為0和不存在兩種情況．解(1)

；(2)(＝2\×

romani)(文)，設(shè)直線l為：，易知，直線l與橢圓聯(lián)立可得：，故，，即，即，進而易得直線l的傾斜角或．(＝2\×

romanii)

由于，可得點，線段AB的中點為，故線段AB的垂直平分線為：，令可得：，則，，代入，可解得，故．此外，當(dāng)直線l的斜率為0時，點B的坐標(biāo)為，線段AB的垂直平分線為y軸，于是，，代入，可解得．綜上所述，或．另法對于(＝2\×

romanii)，由于是弦的垂直平分線問題，因此，也可以利用中點點差法進行處理．設(shè)，則，線段AB的中點為，線段AB的垂直平分線為：，令可得：，則，，代入可得：，即，即，即，故．當(dāng)時，點B的坐標(biāo)為，…，后續(xù)同上解得．例(2008天津文壓軸、理)已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是，一條漸近線的方程是．(1)

求雙曲線C的方程；(2)

若以為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．例(2010安徽文理)已知橢圓E經(jīng)過點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在x軸上，離心率．(1)

求橢圓E的方程；(2)

求的角平分線所在直線l的方程；(3)(理)在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．解(1)

設(shè)橢圓方程為，則，解得，橢圓E為：．(2)

法一利用角平分線的點到角平分線的距離相等，，則直線為：，直線為：，由題意可知，直線l的斜率必為正數(shù)，因此，設(shè)為直線l上任意一點，則，即為，即為（斜率為負(fù)值，舍去），或，因此，直線l的方程為．法二利用直線的方向向量，，則，，，故，直線l的方程為．(3)(理)由于直線l是點A處切線的法線，利用上述總結(jié)易知不存在，下面給予嚴(yán)格的證明！思路利用中定點差法求中點坐標(biāo)，解出來的坐標(biāo)必定和點A重合假設(shè)存在這樣的兩個不同的點，設(shè)為和，則BC⊥l，，設(shè)BC的中點為，則(求中點坐標(biāo)的慣用套路方程組)，解得，即B、C的中點為點A，顯然矛盾，因此，橢圓E上不存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點．例已知圓M：EQ(x－m)\S\UP6(2)＋(y－n)\S\UP6(2)＝EQr\S\UP6(2)及定點，點P是圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足，．(1)

若，，，求點G的軌跡C的方程；(2)

若動圓M和(1)中所求軌跡C相交于不同兩點A、B，是否存在一組正實數(shù)m、n、r使得直線MN垂直平分線段AB，若存在，求出這組正實數(shù)；若不存在，說明理由．解(1)

∵EQ\o\ac(\S\UP7(→),NP)＝EQ2\o\ac(\S\UP7(→),NQ),∴點Q為PN的中點，又∵EQ\o\ac(\S\UP7(→),GQ)﹒\o\ac(\S\UP7(→),NP)＝0，∴GQ⊥PN或G點與Q點重合．∴|PG|＝|GN|．又|GM|＋|GN|＝|GM|＋|GP|＝|PM|＝4．∴點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，且a＝2，c＝1．∴b＝EQ\R(,a\S\UP6(2)－c\S\UP6(2))＝EQ\R(,3),∴G的軌跡方程是EQ\F(x\S\UP6(2),4)＋\F(y\S\UP6(2),3)＝1．(2)

不存在這樣一組正實數(shù)，下面證明：由題意，若存在這樣的一組正實數(shù)，當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)之為k，故直線MN的方程為：y＝k(x－1),設(shè)EQA\b\bc\((\l(x\S\DO(1),y\S\DO(1))),B\b\bc\((\l(x\S\DO(2),y\S\DO(2))),AB中點EQD\b\bc\((\l(x\S\DO(0),y\S\DO(0))),則EQ\B\lc\{(\a\al(\F(x\S\DO(1)\S\UP6(2),4)＋\F(y\S\DO(1)\S\UP6(2),3)＝1,\F(x\S\DO(2)\S\UP6(2),4)＋\F(y\S\DO(2)\S\UP6(2),3)＝1))，兩式相減得：EQ\F(\b\bc\((\l(x\S\DO(1)－x\S\DO(2)))\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2))),4)＋\F(\b\bc\((\l(y\S\DO(1)－y\S\DO(2)))\b\bc\((\l(y\S\DO(1)＋y\S\DO(2))),3)＝0，①注意到EQ\F(y\S\DO(1)－y\S\DO(2),x\S\DO(1)－x\S\DO(2))＝EQ－\F(1,k),且EQ\B\lc\{(\a\al(x\S\DO(0)＝\F(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2),2),y\S\DO(0)＝\F(y\S\DO(1)＋y\S\DO(2),2)))，則EQ\F(3x\S\DO(0),4y\S\DO(0))＝EQ\F(1,k)．②又點D在直線MN上，∴EQy\S\DO(0)＝EQk\b\bc\((\l(x\S\DO(0)－1)),代入②式得：EQx\S\DO(0)＝4，因為弦AB的中點D在（1）所給橢圓C內(nèi)，故EQ－2＜x\S\DO(0)＜2,這與EQx\S\DO(0)＝4矛盾．所以所求這組正實數(shù)不存在．當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x＝1，則此時EQy\S\DO(1)＝EQy\S\DO(2),x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)＝2，代入①式得EQx\S\DO(1)－x\S\DO(2)＝0，這與A，B是不同兩點矛盾．綜上，所求的這組正實數(shù)不存在．4.2對稱問題內(nèi)部法例(1986廣東)已知橢圓，直線，試確定m的取值范圍，使橢圓C上有關(guān)于直線l對稱的兩個不同點．解假設(shè)使橢圓C上關(guān)于直線l對稱的兩個不同點分別為、，則AB的中點在直線l上，即…①利用中點點差法，可知：，其中，故…②聯(lián)立①②解得：，．由于點M在橢圓內(nèi)，因此，，解得．例(2002北京春招文理)已知某橢圓的焦點是、，過點并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且，橢圓上不同的兩點、滿足條件：、、成等差數(shù)列．(1)

求該橢圓方程；(2)

求弦AC中點的橫坐標(biāo)；(3)

設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為，求m的取值范圍．略解(1)

；(2)

，利用焦半徑公式：，即，故弦AC中點的橫坐標(biāo)為4；(3)

．設(shè)AC的中點為，則，解得，即點D為，由于點D在橢圓內(nèi)部，故，解得．例(2003上海文理)在以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系中，點為△OAB的直角頂點．已知，且點B的縱坐標(biāo)大于零．(1)

求向量的坐標(biāo)；(2)

求圓關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；(3)

是否存在實數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍．解(1)

設(shè)，則，即，解得或，又，則，故只取，即．小規(guī)律向量以原點O中心旋轉(zhuǎn)，得到向量（逆時針）或（順時針）．(2)

由(1)知，己點B為，直線OB為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓心為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線OB的對稱點為，則，解得，故所求圓的方程為．利用對稱點公式．(3)

法一設(shè)、為拋物線上關(guān)于直線OB對稱兩點，且線段PQ中點為，則，即，，只需要點在拋物線的內(nèi)部即可，故，或，此時無解．因此，當(dāng)時，