第七節(jié)　正弦定理和余弦定理

第七節(jié)正弦定理和余弦定理第五章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.通過(guò)對(duì)三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.2.會(huì)用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題.3.會(huì)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決三角形中的綜合問(wèn)題.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.正弦定理和余弦定理在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,R為△ABC外接圓的半徑,則2.三角形的面積公式

微點(diǎn)撥

△ABC的面積公式的其他形式(4)S△ABC=2R2sin

Asin

Bsin

C,其中R為三角形外接圓半徑;常用結(jié)論1.三角形中,大邊對(duì)大角,大角的正弦值也較大,即a>b?A>B?sin

A>sin

B.4.三角形中的射影定理:bcos

C+ccos

B=a,acos

C+ccos

A=b,acos

B+bcos

A=c.5.三角形中判斷內(nèi)角范圍的方法:(1)若b2+c2>a2,則角A為銳角;(2)若b2+c2=a2,則角A為直角;(3)若b2+c2<a2,則角A為鈍角.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.在△ABC中,一定有a+b+c=sinA+sinB+sinC.(

)2.在△ABC中,若sin2A=sin2B,則必有A=B.(

)××√題組二

雙基自測(cè)5.

在△ABC中,求證:c(acosB-bcosA)=a2-b2.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一利用正弦定理和余弦定理求三角形的基本量題組(1)(2023·江蘇淮安高三月考)在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,則cosB=(

)答案

(1)B

(2)C

(3)A規(guī)律方法

三角形中邊角互化的基本原則(1)若式子中含有正弦的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”;(2)若式子中含有a,b,c的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”;(3)若式子中含有余弦的齊次式,優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”;(4)含有面積公式的問(wèn)題,要考慮結(jié)合余弦定理求解;(5)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí),要用到三角形的內(nèi)角和定理.考點(diǎn)二利用正弦定理和余弦定理判斷三角形形狀例題(2023·江蘇徐州高三期中)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a-b=ccosB-ccosA,則△ABC的形狀一定是(

)A.等腰三角形

B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案

D解析

(方法1)因?yàn)閍-b=ccos

B-ccos

A,所以由正弦定理得sin

A-sin

B=sin

Ccos

B-sin

Ccos

A.又因?yàn)閟in

A=sin(B+C)=sin

Bcos

C+cos

Bsin

C,sin

B=sin(A+C)=sin

Acos

C+cos

Asin

C,所以sin

Bcos

C+cos

Bsin

C-sin

Acos

C-cos

Asin

C=sin

Ccos

B-sin

Ccos

A,整理得sin

Bcos

C-sin

Acos

C=0,因此(sin

B-sin

A)cos

C=0,所以sin

B=sin

A或cos

C=0.因?yàn)锳,B,C∈(0,π),所以A=B或C=,即△ABC是等腰或直角三角形,故選D.規(guī)律方法

判斷三角形形狀的基本方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·江蘇南通高三模擬)小強(qiáng)計(jì)劃制作一個(gè)三角形,使得它的三條邊中線的長(zhǎng)度分別為1,,,則(

)A.能制作一個(gè)銳角三角形B.能制作一個(gè)直角三角形C.能制作一個(gè)鈍角三角形D.不能制作這樣的三角形答案

C考點(diǎn)三正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1范圍與最值問(wèn)題例題(2023·安徽合肥高三月考)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(a-b)sinA=csinC-bsinB.若△ABC的面積為3,則c的最小值為(

)答案

A引申探究1將本例中的條件“若△ABC的面積為3”改為“若AB=4”,則AB邊上的高的最大值為

.

引申探究2將本例中的條件“若△ABC的面積為3”改為“若b=2”,且將“△ABC”改為“銳角三角形”,試確定△ABC面積的取值范圍.規(guī)律方法

解決三角形最值與范圍問(wèn)題的兩個(gè)基本途徑(1)利用均值不等式解決三角形的最值問(wèn)題:在解決三角形問(wèn)題時(shí),主要涉及邊與角的關(guān)系,特別是在運(yùn)用余弦定理、計(jì)算周長(zhǎng)、計(jì)算面積時(shí),會(huì)出現(xiàn)三角形兩邊的平方和、兩邊的積、兩邊的和等代數(shù)式,這就為均值不等式的應(yīng)用提供了條件,因此在解決最值或范圍問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意均值不等式的合理運(yùn)用.(2)借助三角恒等變換解決三角形中的最值或范圍問(wèn)題:解決三角形問(wèn)題時(shí),通過(guò)正弦定理與余弦定理的應(yīng)用,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一內(nèi)角的三角函數(shù),然后借助三角恒等變換,求出三角函數(shù)的最值或值域,解決相關(guān)的最值或范圍問(wèn)題.考向2多三角形背景問(wèn)題

規(guī)律方法

多三角形背景問(wèn)題的求解策略(1)尋找各三角形中已知條件較多,邊角關(guān)系較明顯的三角形,以這樣的三角形為主運(yùn)用正弦、余弦定理解決問(wèn)題.(2)注意發(fā)現(xiàn)不同三角形內(nèi)角之間的關(guān)系,尤其是具有互余、互補(bǔ)關(guān)系的角,通過(guò)這些關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式的運(yùn)用進(jìn)行三角函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化并進(jìn)行求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·江蘇鹽城高三期末)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD⊥CD,AB⊥AC,AB=2.(1)若∠ABC=30°,CD=AD,求BD的長(zhǎng);(2)若AC=2,∠ADB=30°,求sin∠CAD的值.考向3三角形的中線與角平分線問(wèn)題例題(1)(2023·廣東佛山高三期中)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC.①求A;②若b+c=8,求△ABC的中線AM的最小值.(2)(2023·吉林高三模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且①求角A的大小;②若AB=3,AC=1,∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D,求AD.規(guī)律方法

求解三角形中線或角平分線問(wèn)題的常用方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2023·遼寧鐵嶺高三期中)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,bsinB=asinA-(b+c