第六節(jié)　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第三章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過(guò)具體實(shí)例,了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.能畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1).強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分

3.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=

logaM+logaN

;

換底公式的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)對(duì)數(shù)化為兩個(gè)同底數(shù)的對(duì)數(shù)的商4.換底公式微點(diǎn)撥

換底公式的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)同底數(shù)的對(duì)數(shù)的商.由此可得:(2)logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).5.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念:一般地,函數(shù)y=logax稱為對(duì)數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)圖象特征在y軸右側(cè),過(guò)定點(diǎn)(1,0)當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象是上升的當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象是下降的性質(zhì)定義域(0,+∞)值域R單調(diào)性在(0,+∞)上單調(diào)遞增在(0,+∞)上單調(diào)遞減函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x=1時(shí),y=0當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0微點(diǎn)撥1.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),且過(guò)點(diǎn)(a,1),(,-1),函數(shù)圖象只在第一、四象限.

2.在直線x=1的右側(cè),當(dāng)a>1時(shí),底數(shù)越大,圖象越靠近x軸;當(dāng)0<a<1時(shí),底數(shù)越小,圖象越靠近x軸.也就是說(shuō),在第一象限內(nèi),不同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

微思考

如何確定對(duì)數(shù)型函數(shù)y=kloga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)圖象所過(guò)的定點(diǎn)?

6.反函數(shù)一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為

反函數(shù)

,它們的定義域與值域正好互換.

微點(diǎn)撥1.只有在定義域上單調(diào)的函數(shù)才存在反函數(shù).2.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.常用結(jié)論1.對(duì)數(shù)值的符號(hào)法則:logab>0?(a-1)(b-1)>0,logab<0?(a-1)(b-1)<0,其中a>0,a≠1,b>0.3.對(duì)于函數(shù)f(x)=|logax|(a>0,且a≠1),若f(m)=f(n)(m≠n),則必有mn=1.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1.若a>0,a≠1,M>0,N>0,則loga(M+N)=logaM+logaN.(

)2.若a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,則logab·logbc=logac.(

)4.函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在其定義域上單調(diào)遞增.(

)×√×√題組二

雙基自測(cè)5.(2023·河南洛陽(yáng)模擬)科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn),地震時(shí)釋放出的能量E(單位:焦耳)與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系是lgE=4.8+1.5M.據(jù)中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)測(cè)定,2022年1月8日,11時(shí)24分在智利中部沿岸近海發(fā)生5.9級(jí)地震,1時(shí)45分在中國(guó)青海海北州門(mén)源縣發(fā)生6.9級(jí)地震.設(shè)智利中部沿岸近海地震所釋放的能量為E1,門(mén)源縣地震所釋放的能量為E2,A.15

B.20

C.32

D.35答案

C6.

已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

答案

(1,+∞)研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算題組(1)(2022·天津高考)化簡(jiǎn)(2log43+log83)·(log32+log92)的值為(

)A.1 B.2 C.4 D.6(2)(2023·江蘇無(wú)錫高三檢測(cè))已知log23=m,log37=n,則log4256=(

)規(guī)律方法

對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用方法與技巧(1)將指數(shù)式與對(duì)數(shù)式進(jìn)行互化,構(gòu)造同底數(shù)的對(duì)數(shù)或指數(shù)式.(2)逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍化簡(jiǎn)合并.(3)當(dāng)對(duì)數(shù)的底數(shù)不同但真數(shù)相同時(shí),可以取倒數(shù),將其化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)再進(jìn)行運(yùn)算.(4)通過(guò)換底公式的運(yùn)用,轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)的底數(shù),再進(jìn)行化簡(jiǎn)合并.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用題組(1)已知函數(shù)f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則a,b滿足的關(guān)系是(

)A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1答案

(1)A

(2)B解析

(1)由函數(shù)圖象可知,f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,又y=2x+b-1在R上單調(diào)遞增,故a>1.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,logab),由函數(shù)圖象可知-1<logab<0,即logaa-1<logab<loga1,所以a-1<b<1.綜上,0<a-1<b<1.引申探究1將本題組(2)中“4x<logax”變?yōu)椤?x=logax有解”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

規(guī)律方法

對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用技巧(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí),要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)等排除不符合要求的選項(xiàng).(2)對(duì)于一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)區(qū)間、值域、零點(diǎn)等問(wèn)題時(shí),可利用數(shù)形結(jié)合的思想.(3)對(duì)于一些與對(duì)數(shù)型方程、不等式等內(nèi)容有關(guān)的問(wèn)題,通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))考向1比較大小A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a(2)設(shè)a=log26,b=log312,c=log515,則(

)A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.c<a<b答案

(1)A

(2)B(2)a=log26=1+log23,b=log312=1+log34,c=log515=1+log53.因?yàn)閘og23>log22=1,log34>log33=1,0<log53<log55=1,所以a>c,b>c.又因?yàn)?log23=log29>log28=3,2log34=log316<log327=3,所以2log23>2log34,即log23>log34,a>b.所以a>b>c.規(guī)律方法

比較對(duì)數(shù)值大小的方法

若底數(shù)為同一常數(shù)可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷;若底數(shù)為同一字母,則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論若底數(shù)不同,真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較若底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進(jìn)行比較考向2解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式題組(1)已知函數(shù)f(x)=|log2x|,則不等式f(x)<2的解集為(

)A.(-4,0)∪(0,4)B.(0,4)答案

(1)C

(2)(-1,0)∪(1,+∞)規(guī)律方法

求解對(duì)數(shù)不等式的兩種類型及方法

類型方法logax>logab借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況討論logax>b需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式,再借助y=logax的單調(diào)性求解考向3對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

答案

ACD規(guī)律方法

有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的綜合問(wèn)題要注意的三點(diǎn)

定義域所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論底數(shù)要判斷底數(shù)與1的大小關(guān)系復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成判斷復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)若a>b>c>1且ac<b2,則(

)A.logab>logbc>logca

B.logcb>logba>logacC.logbc>logab>logca

D.logba>logcb>logac(2)(2023·河南許昌高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,f(1)=0,則不等式f(log2x)>0的解集為(

)答案

(1)B

(2)D

(3)C(3)對(duì)于A,由題意知mx2+4x+8>0對(duì)x∈R恒成立,由于當(dāng)m=0時(shí),不等式4x+8>0不恒成立,所以m≠0.當(dāng)m≠0時(shí),由

,所以A不正確;對(duì)于B,若函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2,+∞),則f(x)min=2,顯然m不為0,則函數(shù)y=mx2+4x+8的最小值為4,則當(dāng)