2023初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽例題+練習(xí) 專題39 分式方程（學(xué)生版+解析版）

專題39分式方程一、解復(fù)雜分式方程【典例】計算⑴而;(2) + +?,? x(x+l)(x+l)(x+2) 3+2005)3+2006)【解答】解：⑴—-x+yx2x2-y~x+yx+y=匸x+y'(2) + +,,,+ ,x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006)一x+1+x+T~x+2+…+7+2005一x+2006'~xx+2006'2006=x(x+2006)-【鞏固】實數(shù)*與），使得x+y,x-y,個，§四個數(shù)中的三個有相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(x,y).二、求分式方程的取值范圍【典例】若以、為未知數(shù)的方程亡-左=器*無解，則.=【解答】解：去分母得：x-2+a（X-1）=2（a+1）解得:3a+4解得:3a+4X=~a+1當(dāng)。+1=。即。=-1時，方程無解.3-2根據(jù)題意得：竺;=1時，解得3-2a+1當(dāng)竺芒=2時，解得:a=-2a+1故答案是?1或一言或-2.

【鞏固】若關(guān)"的方程號+鴛=1+緡有且只有-個實數(shù)根，求實數(shù)挪所有可能值.三、分式方程的應(yīng)用【典例】為增加學(xué)生閱讀量，某校購買了“科普類”和“文學(xué)類”兩種書籍，購買“科普類”圖書花費了3600元，購買“文學(xué)類”圖書花費了2700元，其中"科普類”圖書的單價比“文學(xué)類”圖書的單價多20%,購買“科普類”圖書的數(shù)量比“文學(xué)類”圖書的數(shù)量多20本.（1）求這兩種圖書的單價分別是多少元？（2）學(xué)校決定再次購買這兩種圖書共100本，且總費用不超過1600元，求最多能購買'‘科普類”圖書多少本？【解答】解：（1）設(shè)“文學(xué)類”圖書的單價為x元/本，則“科普類”圖書的單價為（1+20%）尤元/本，依題意:(l+20%)x依題意:(l+20%)xx解之得：x=15.經(jīng)檢驗，x=15是所列方程的根，且符合題意,所以(1+20%)1=18.答：科普類書單價為18元/本，文學(xué)類書單價為15元/本;（2）設(shè)“科普類”書購0本，則“文學(xué)類”書購（100-a）本,依題意:18a+15(100-a)<1600.解之得:因為。是正整數(shù),所以a最大（n=33.答：最多可購“科普類”圖書33本.【鞏固】某工廠急需生產(chǎn)一批健身器械共500臺，送往銷售點出售.當(dāng)生產(chǎn)150臺后，接到通知，要求提前完成任務(wù)，因而接下來的時間里每天生產(chǎn)的臺數(shù)提高到原來的1.4倍，一共用8天剛好完成任務(wù).（1） 原來每天生產(chǎn)健身器械多少臺？（2） 運輸公司大貨車數(shù)量不足10輛，小貨車數(shù)量充足，計劃同時使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運輸.己知每輛大貨車一次可以運輸健身器械50臺，每輛車需要費用1500元；每輛小貨車一次可以運輸健身器械20臺，每輛車需要費用800元.在運輸總費用不多于16000元的前提下，請寫出所有符合題意的運輸方案？哪種運輸方案的費用最低，最低運輸費用是多少？

鞏固練習(xí)e—l+x y+a2a<~f有且只有四個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程J?十一；=】

22x+q y-1y-1TOC\o"1-5"\h\z的解為非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)0的和為（ ）A.-3 B.-2 C.1 D.2若關(guān)于x的方程x+￥=c+M的兩個解是x=c，U*,則關(guān)于x的方程的并畐=。+涪j的解是（ ）a+1a,a+1a, a-1A.a,— B.a-1, C.a, D.a a-1 a-1己知關(guān)于x的分式方程豈一3=冬的解為正數(shù)，則&的取值范圍是kK6且奸-2A.k>?6 B.k>-2 C.k>-6kK6且奸-2對于兩個不相等的實數(shù)力，我們規(guī)定符號min{a,時表示a,b中較小的數(shù)，如：min{3,5}=3.按照這個規(guī)定，方程-3}=呂一去的解為（3A.-2D.-A.-245.Y—5.Y—IX已知關(guān)于I的方程口-姉=^豈無解，則〃的值為解下列分式方程如圖，某小區(qū)有一塊長為4。米（0>1）,寬為（4“-2）米的長方形地塊.該長方形地塊正中間是一個長為（2。+1）米的長方形，四個角是大小相同的正方形，該小區(qū)計劃將陰影部分進(jìn)行綠化，對四個角的正方形用A型綠化方案，對正中間的長方形采用B型綠化方案.（1） 用含〃的代數(shù)式表示采用A型綠化方案的四個正方形邊長是 米，B型綠化方案的長方形的另一邊長是 米.（2） 請你判斷使用A型，B型綠化方案的面積哪個少？并說明理由.540（3） 若使用A型，B型綠化方案的總造價相同，均為1350元，每平方米造價高的比低的多（2a_i）2元，求兩個工程隊共同參與一項筑路工程.若先由甲、乙兩隊合作30天，剩下的工程再由乙隊單獨做15天可以完成，共需施工費810萬元若由甲、乙合作完成此項工程共需36天，共需施工費828萬元.（1） 求乙隊單獨完成這項工程需多少天（2） 甲、乙兩隊每天的施工費各為多少萬元？（3） 若工程預(yù)算的總費用不超過840萬元，則乙隊最少施工多少天？ x+1定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分 x+1 式，，.如1±1=^=^+^_=1+2竺2=心^生￡+蘭=2+奇，則區(qū)和x-1 x-1 x-1x-1 x-1x+lx+1 x+1 x+1 x+1 X-12乂一3x+1都是“和諧分式”.（I）下列式子中，屬于“和諧分式”的是 （填序號）:吁泮專尊 （2） 將“和諧分式”"-2：+3化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式為:宀2：+3= a-1 a-1+ ； （3） 應(yīng)用：先化簡竺平-二普號三~,并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù).x+1xx2+2x某商場在一樓至二樓間安裝了一部自動扶梯，以勻速向上行駛.甲、乙兩同學(xué)同時從扶梯上勻速走到二樓，且甲每分鐘走動的級數(shù)是乙的兩倍.已知甲走了24級到扶梯頂部，乙走了16級到扶梯頂部（甲、乙兩同學(xué)每次只跨一級臺階）.（1） 扶梯露在外面的部分有多少級？（2） 如果與扶梯并排有一從二樓到一樓的樓梯道，臺階數(shù)與扶梯級數(shù)相同，甲、乙各自到扶梯頂部后按原速再下樓梯到樓梯底部再乘扶梯，若樓梯與扶梯之間的距離忽略不計，問甲第1次追上乙時是在扶梯上還是在樓拂上？他已經(jīng)走動的級數(shù)是多少級？專題專題39分式方程一、解復(fù)雜分式方程［典例】計算(1)——-x+y；x+y111(2) 4- 4-... x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006)-尤2【解答】解：(1) -x+y,x+y_￥_》2_y2一x+yx+y'=匸x+y111(2) + +…+ .x(x+l)(x+l)(x+2) (x+2005)(x+2006) 1 _1_ 1_ 1 1_~x~FT1+x+l x+2十…十x+2005 x+2006'11=x_x+2006,2006=x(x+2006)-【鞏固】實數(shù)》與y使得Hy,x-y,功；四個數(shù)中的三個有相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(x,y).【解答】解：由題意知片0,此時我y/x-y,依題意，有x+y=xy=或x-y=xy=5，I、 當(dāng)x+y=穢=；時，=xy(D9②由②得，尸±1,將)，=1代入①得，Hl=x,此等式不成立，將)，=-1代入①得，x-l=-x,??x=即卜=壹(y=-1.II、 當(dāng)x-y=xy=^時，

\x~y=^⑴即X*弓⑵由(2)得，y=±l,將y=l代入(1)得，x?l=x,此等式不成立,將)，=-1代入(1)得，x+l=-x,?'?x=故滿足條件的數(shù)對3y)為弓，?1)和(?壹，-1).二、求分式方程的取值范圍【典例】若以、為未知數(shù)的方程訪一2-廣宀3并22("1)無解，則。= 【典例】若以、為未知數(shù)的方程訪一2-廣宀3并22("1)無解，則。= 【解答】解：去分母得：x?2+0(x-1)=2(0+I)解得：x：解得：x：~a+l當(dāng)。+1=0即。=-1時，方程無解.3a+4 2根據(jù)題意徐訶=1時，解得“7當(dāng)藉=2時，解得：.=?2故答案是?1或一宣或-2.【鞏固】若關(guān)于"勺方程”尹+柴=1+緡有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)A的所有可能值.【解答】解：竺￥+甕=”爵兩邊同時乘以x(x+1)得：k(X-I)(計1)+2好l=x(H1)+2公整理得：(jt-1) (2妍1)屮■妍1=0(I)當(dāng)*=1時，原方程可變?yōu)椋?3x+2=0解得:經(jīng)檢驗，x=壹是原分式方程的唯一實數(shù)根，符合題意.(2)當(dāng)婦M時，關(guān)于x的方程(^-1) (2好l)x+好1=0是一元二次方程,..?原分式方程有且只有一個實數(shù)根，(2jH1)]2-4(k-1)(jHD=0解得k=-j將*=一乎代入方程得：一#+気一扌=0解得：X1=X2=§經(jīng)檢驗，x=§是原分式方程的唯一實數(shù)根，符合題意.當(dāng)△=（）時，則方程必有一個實數(shù)根為0或-1.把x=0代入，可得k=-1,此時方程為-2?+x=0,解得x=0或§經(jīng)檢驗是方程的解.把x=?l代入，可得k=-\.此時方程為5?+2r-3=0.解得）=-1或§經(jīng)檢驗x=?是方程的解，綜上，實數(shù)&的所有可能值為1或-?或0或?1.三、分式方程的應(yīng)用【典例】為増加學(xué)生閱讀量，某校購買了“科普類”和“文學(xué)類”兩種書籍，購買“科普類”圖書花費了3600元，購買“文學(xué)類”圖書花費了2700元，其中“科普類”圖書的單價比“文學(xué)類”圖書的單價多20%,購買“科普類”圖書的數(shù)量比“文學(xué)類”圖書的數(shù)量多20本.（1） 求這兩種圖書的單價分別是多少元？（2） 學(xué)校決定再次購買這兩種圖書共100本，且總費用不超過1600元，求最多能購買“科普類”圖書多少本？【解答】解：（I）設(shè)“文學(xué)類”圖書的單價為x元/本，則“科普類”圖書的單價為（1+20%）I元/本,依題意:——-20=依題意: (l+20%)x %解之得：x=15.經(jīng)檢驗，x=15是所列方程的根，且符合題意,所以(1+20%)x=18.答：科普類書單價為18元/本，文學(xué)類書單價為15元/本；（2）設(shè)“科普類”書購。本，則“文學(xué)類”書購（100-G本,依題意：18。+15(1003)W1600,解之得：a＜羽因為〃是正整數(shù),所以a?Affi=33-答：最多可購“科普類”圖書33本.【鞏固】某工廠急需生產(chǎn)一批健身器械共500臺，送往銷售點出售.當(dāng)生產(chǎn)150臺后，接到通知，要求提前完成任務(wù)，因而接下來的時間里每天生產(chǎn)的臺數(shù)提高到原來的1.4倍，一共用8天剛好完成任務(wù).（1） 原來每天生產(chǎn)健身器械多少臺？（2） 運輸公司大貨車數(shù)量不足10輛，小貨車數(shù)量充足，計劃同時使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運輸.已知每輛大貨車一次可以運輸健身器械50臺，每輛車需要費用1500元：每輛小貨車一次可以運輸健身器械20臺，每輛車需要費用800元.在運輸總費用不多于16000元的前提下，請寫出所有符合題意的運輸方案？哪種運輸方案的費用最低，最低運輸費用是多少？【解答】解：（1）設(shè)原來每天生產(chǎn)健身器械X臺，則提高工作效率后每天生產(chǎn)健身器械1.4尤臺，a，口150 500-150依題忠得： + =8,X1AX解得：x=50,經(jīng)檢驗，x=50是原方程的解，且符合題意.答：原來每天生產(chǎn)健身器械50臺.（2）設(shè)使用，〃輛大貨車，使用〃輛小貨車，???同時使用大、小貨車一次完成這批健身器械的運輸，??.50，”+20〃N500,...〃=25-備〃.又..?運輸公司大貨車數(shù)量不足10輛，且運輸總費用不多于16000元，?e—in m<10.?JmVIO ，即 5 ,（1500m+800n<16000 1500m+800（25-^m）<16000解得：8W〃V10.又5為整數(shù)，可以為8,9.當(dāng)/n=8時，n^25-|/n=25-|x8=5：當(dāng)用=9時，n>25-|/n=25-|x9=|,又?.靠為整數(shù)，?..〃的最小值為3.?.?共有2種運輸方案，方案1：使用8輛大貨車，5輛小貨車；方案2：使用9輛大貨車，3輛小貨車.方案1所需費用為1500X8^800X5=16000（元），方案2所需費用為1500X9+800X3=15900（元）.VI6000>15900,..?運輸方案2的費用最低，最低運輸費用是15900元.

鞏固練習(xí)/+x y+a2a蒔數(shù),使關(guān)"的不等式組｛/彥；嚴(yán)只有四個整數(shù)解，且使關(guān)于,，的分式方程云+戸=1的解為非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)〃的和為（ ）A.-3B.-2C.1A.-3B.-2C.1D.2【解答】解：解不等式—<—，得x<5.解不等式5x-2Nx+0,得x>哼由不等式組有且僅有4個整數(shù)解，得到0V宰式1，解得?2<a^2.解分式方程7+~~=2?得y=2-a（y^=l,即aHl）.y-11-yv+a2a.??關(guān)于y的方程匕二+—=2的解為非負(fù)數(shù)，y-ii-y?..2*N0,?.?aW2,..?滿足條件的】的值為-1、0、2,..?滿足條件的整數(shù)】的值之和是-1+0+2=1.故選：C.若關(guān)于x的方程］+￥*+￥的兩個解是X=c,x=|,則關(guān)于x的方程的1+￡=。+冬的解是（a+1D.a, a-1a+1D.a, a-1A.a,- B.a-1.—- C.a,—-a a-1 a-1【解答】解:x+￡=，+￡r即xt+￡=0t+￡i則xT=〃-1或a-1解得：x\=a,X2= +1=故選：D.已知關(guān)于x的分式方程豈-3=占的解為正數(shù)，則化的取值范圍是（ ）A.k>-6 B.k>-2 C.k>-6且k尹-2D.kN-6且A尹-2【解答】解：分式方程豈-3=右,

去分時得：x-3(x-2)=-k.去括號得：x-3x+6=-k,解得:》=號^,由分式方程的解為正數(shù)，得哮X),且%於2,解得：k>-6且妃：?2.故選：C.對于兩個不相等的實數(shù)。，饑我們規(guī)定符號min{a,b}表示。中較小的數(shù)，如：5)=3.按照這個規(guī)定，方程min{-2,-3}=亮一疫的解為(B.-3A.-2【解答】解：由題意：?3=芻-擊,B.-3兩邊乘x-2得到：-3x+6=3+x3-43-4經(jīng)檢驗：是分式方程的解.故選：D.,已知關(guān)于、的方程巖左=骼無解，則〃的值為 V—,已知關(guān)于、的方程巖左=骼無解，則〃的值為 V—1【解答】解：口-奸1-宀》_2‘a(chǎn)x+1(x+1)(X-1)-X(x-2)=ax+l.x—1 xax+1,??關(guān)于X的方程口一姉=E無解'：.x-2=0或x+l=O,把x=2代入(x+1)a-1)a?2)=E1中可得：3=2a+l,解得a=l,把x=-1代入(x+1)(尤-1)-x(x-2)=ar+l中可得：-3=?a+l,解得a=4,..?a的值為1或4,故答案為：1或4.6.解下列分式方程1-x22x1-x22xx-2(x-3)(x-2)x-3'(3)三=2-義y-3 3-y【解答】解：（1）兩邊同時乘以G-2）（廠3）得:x(x-3)-(1-x2)=2xCx-2)?解得x=l，經(jīng)檢驗，x=l是原方程的解,（2）兩邊同時乘以（a-1）（對1）得:(對1)2-4=(X-1)(x+1),解得x=1.經(jīng)檢驗，x=1是原方程的增根,?.?原方程無解;（3）兩邊同時乘以（y-3）得:y-2=2(y-3)+1,解得）=3,經(jīng)檢驗，），=3是原方程的增根,?.?原方程無解;7.如圖，某小區(qū)有一塊長為4〃米寬為（4。-2）米的長方形地塊.該長方形地塊正中間是一個長為（2。+1）米的長方形，四個角是大小相同的正方形，該小區(qū)計劃將陰影部分進(jìn)行綠化，對四個角的正方形用A型綠化方案，對正中間的長方形釆用B型綠化方案.米，B型綠化方案的長方形的另（I）用含0的代數(shù)式表示釆用A米，B型綠化方案的長方形的另一邊長是. 一邊長是. 米.（2）請你判斷使用A型，B型綠化方案的面積哪個少？并說明理由.540⑶若使用A型，B型綠化方案的總造價相同，均為炫。元，每平方米造價高的比低的多不訐元，求。的值.。的值.【解答】解：（1）A型綠化方案的四個正方形邊長是（?-|）米，B型綠化方案的長方形的另一邊長是（匕-1）米；

故答案為：(。一凱(&-1);記A型面積為Sa,B型面積為Sb,根據(jù)題意得：Sa=4(o-|)2=4a2-4a+l,Sb=(2a+l)(2a~1)=4a2-1,Sa-Sb=-4a+2,V4?-2>0,?.?-4"+2V0,即Sa?SbVO,則Sa<Sb；由(2)得SaVSb,13501350 540 nr,1350 1350 540.L— ■=， ,即— 1= ，.SASB(2q-1)2 (2a-l)2(2a+l)(2a-l)(2a-1)2解得：a=2,經(jīng)檢驗a=2是分式方程的解.兩個工程隊共同參與一項筑路工程.若先由甲、乙兩隊合作30天，剩下的工程再由乙隊單獨做15天可以完成，共需施工費810萬元若由甲、乙合作完成此項工程共需36天，共需施工費828萬元.求乙隊單獨完成這項工程需多少天甲、乙兩隊每天的施工費各為多少萬元？若工程預(yù)算的總費用不超過840萬元，則乙隊最少施工多少天？【解答】解：(1)設(shè)乙隊單獨完成這項工程需x天，由題意得：土X30+啓=1,解得:x=90,經(jīng)檢驗x=90是分式方程的解；答：乙隊單獨完成這項工程需90天；(2)設(shè)甲隊每天的施工費為小萬元，乙隊每天的施工費為〃萬元，答：甲隊每天的施工費為15萬元，乙隊每天的施工費為8萬元:..?乙隊單獨完成這項工程需90天，甲、乙合作完成此項工程共需36天,?.?甲隊單獨完成這項工程的天數(shù)為匚三=60,36_90設(shè)乙隊施工〃天，甲隊施工b天,由題意得：90+60=1①(15b+8a<840@

由①得：。=60-爭，把。一60-爭代入②得：15X（60-條）&W840,解得：?！?0,即乙隊最少施工30天；答：乙隊最少施工30天.定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分4,LX+l X-l+2 X-1 2 2 2x-3 2X+2-5 2x4-2 -5 一5r,,x+lr式”.如：一-=———=―+—-=1+=，—-= =―-+—-=2+K,則一和x-1x-1 x-1 x-1 x-1 x-1 x+1X+l X+l X+1x-12x—3-7廠都是“和諧分式”.X+1（1） 下列式子中，屬于“和諧分式”的是 （填序號）；號冷專尊a2a2-2a+3（2） 將“和諧分式”"一2：+3化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式為:a-1a-1 a-1+ ;3x+6X—l V2—1（3） 應(yīng)用：先化簡— 并求X取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù). 【解答】解：（1）=1+；是和諧分式；是和諧分式；④=1+^2是和諧分式：故答案為：①?④； ⑵七空=411