2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（理）（解析版）

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（理）知識點(diǎn)目錄知識點(diǎn)1：恒成立與有解問題知識點(diǎn)2：極最值問題知識點(diǎn)3：證明不等式知識點(diǎn)4：雙變量問題（極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移）知識點(diǎn)5：零點(diǎn)問題近三年高考真題知識點(diǎn)1：恒成立與有解問題1．（2023?甲卷（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）已知SKIPIF1<0，函數(shù)定義域?yàn)镾KIPIF1<0，若SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；（2）不妨設(shè)SKIPIF1<0，函數(shù)定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，此時SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，此時SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，符合題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以在區(qū)間SKIPIF1<0上存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，可得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不符合題意，綜上，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．2．（2021?天津）已知SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程；（2）證明函數(shù)SKIPIF1<0存在唯一的極值點(diǎn)；（3）若SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0；（2）證明：令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，作出圖象，如圖，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0僅有一個交點(diǎn)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)；所以SKIPIF1<0時是SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，故SKIPIF1<0僅有一個極值點(diǎn)；（3）由（2）知SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，則等價(jià)于存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為單調(diào)增函數(shù)，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2023?上海）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0，則稱函數(shù)SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的“控制函數(shù)”，且對所有滿足條件的函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得的最小值記為SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試判斷函數(shù)SKIPIF1<0是否為函數(shù)SKIPIF1<0的“控制函數(shù)”，并說明理由；（2）若SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線為直線SKIPIF1<0，證明：函數(shù)SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的“控制函數(shù)”，并求SKIPIF1<0的值；（3）若曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線過點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（c）SKIPIF1<0（c）．【解析】（1）SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0單調(diào)減，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“控制函數(shù)“；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的“控制函數(shù)“，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；證明：（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，函數(shù)SKIPIF1<0必是函數(shù)SKIPIF1<0的“控制函數(shù)“，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的“控制函數(shù)“，此時“控制函數(shù)“SKIPIF1<0必與SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處相切，且過點(diǎn)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0之間的點(diǎn)不可能使得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0切線下方，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線過點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．知識點(diǎn)2：極最值問題4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(3)求SKIPIF1<0的極值點(diǎn)個數(shù)．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0恒成立，所以令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0的單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（3）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個極小值點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個極大值點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個極小值點(diǎn)；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無極值點(diǎn)；綜上：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上各有一個極小值點(diǎn)，在SKIPIF1<0上有一個極大值點(diǎn)，共有SKIPIF1<0個極值點(diǎn).5．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；參考答案（2）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜合可得：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，易知存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，這顯然與SKIPIF1<0為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去；②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，滿足SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，符合題意；③若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為偶函數(shù)，SKIPIF1<0只考慮SKIPIF1<0的情況，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，與顯然與SKIPIF1<0為函數(shù)的極大值點(diǎn)相矛盾，故舍去．綜合可得：SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．6．（2023?乙卷（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0處的切線方程；（2）是否存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得曲線SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，若存在，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，若不存在，說明理由；（3）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在極值，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使函數(shù)SKIPIF1<0的圖像關(guān)于SKIPIF1<0對稱，則由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的圖像關(guān)于SKIPIF1<0對稱，則SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在極值點(diǎn)，則方程SKIPIF1<0有正根，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，不符合題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，不符合題意；③當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，不符合題意；易知SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故只需SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，故取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，符合題意；綜上所述，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在極值點(diǎn)．知識點(diǎn)3：證明不等式7．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；（3）設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減．（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)遞增，所以SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0矛盾，故舍去；②當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，符合題意．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．另SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)為SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，所以SKIPIF1<0，與題意矛盾；②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，所以SKIPIF1<0，滿足題意；．③當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減，所以SKIPIF1<0，滿足題意；④當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0遞減，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，此時SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，所以SKIPIF1<0，與題意矛盾．綜上可得，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）由（2）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．另運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)SKIPIF1<0時，左邊SKIPIF1<0成立．假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式成立，即SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，要證SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0．可令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則需證明SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，則需證明SKIPIF1<0．構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上遞減，則SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，所以原不等式成立，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立．綜上可得，SKIPIF1<0成立．8．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，②當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．證明：（2）由（1）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（a）單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得證，即SKIPIF1<0得證．9．（2021?乙卷（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0的極值點(diǎn)．（1）求SKIPIF1<0；（2）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的極值點(diǎn)，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的一個極大值點(diǎn)．綜上所述，SKIPIF1<0；（2）證明：由（1）可知，SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即需證明SKIPIF1<0，因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以需證明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10．（2023?天津）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（Ⅰ）求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線斜率；（Ⅱ）當(dāng)SKIPIF1<0時，求證：SKIPIF1<0；（Ⅲ）證明：SKIPIF1<0．【解析】（Ⅰ）對函數(shù)SKIPIF1<0求導(dǎo)，可得SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0；（Ⅱ）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，因此SKIPIF1<0，原不等式得證；（Ⅲ）證明：設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由（2），SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，不等式右邊得證；要證SKIPIF1<0，只需證：對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，累加得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即得證．知識點(diǎn)4：雙變量問題（極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移）11．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個不相等的正數(shù)，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由函數(shù)的解析式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減．（2）證明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的兩根，其中SKIPIF1<0．不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，先證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得證．同理，要證SKIPIF1<0，（法一）即證SKIPIF1<0，根據(jù)（1）中SKIPIF1<0單調(diào)性，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0得證，（法二）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得證，則SKIPIF1<0．12．（2022?天津）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線方程；（2）若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共點(diǎn)．（ⅰ）當(dāng)SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的取值范圍；（ⅱ）求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0；（2）（?。㏒KIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共點(diǎn)，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，顯然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有解，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）證明：令交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由柯西不等式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又易證SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．13．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．（Ⅰ）求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上不同的三點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處的切線都經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．證明：（ⅰ）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0；（ⅱ）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（注SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】（Ⅰ）SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．（Ⅱ）SKIPIF1<0證明：SKIPIF1<0過SKIPIF1<0有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0有3個不同的根，該方程整理為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上為減函數(shù)，在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，SKIPIF1<0有3個不同的零點(diǎn)，SKIPIF1<0（e）SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（a）為SKIPIF1<0上的減函數(shù)，SKIPIF1<0（a）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0當(dāng)