第三章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程課件

大綱要求大綱要求§3.1數(shù)學(xué)期望§3.2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望§3.3

關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理

§3.4

方差與標(biāo)準(zhǔn)差§3.5某些常用分布的數(shù)學(xué)期望及方差

§3.6原點(diǎn)矩與中心矩§3.7協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)§3.8切比雪夫不等式與大數(shù)定律學(xué)習(xí)內(nèi)容§3.1數(shù)學(xué)期望學(xué)習(xí)內(nèi)容§3.1數(shù)學(xué)期望離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望§3.1數(shù)學(xué)期望離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即則稱(chēng)級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X).X記作設(shè)X是離散隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，即則稱(chēng)級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X).X解:計(jì)算X1的數(shù)學(xué)期望,由定義有

E(X1)例1.甲,乙兩人進(jìn)行打靶,所得分?jǐn)?shù)分別記為X1,X2,它們的概率分布表分別為:X1012X2012P(xk)00.20.8p(xk)0.60.30.1試評(píng)定他們的成績(jī)好壞.而乙的得分為

=00+10.2+20.8=1.8(如甲進(jìn)行很多次射擊,其得分的平均分為1.8)E(X2)=00.6+10.3+20.1=0.5顯然,乙的成績(jī)比甲的差.解:計(jì)算X1的數(shù)學(xué)期望,由定義有例1.甲,乙兩人進(jìn)行打設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f（x），如果積分絕對(duì)收斂，即則積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f（x），如果積分例2

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的數(shù)學(xué)期望。例3

設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布，其概率密度為求X的數(shù)學(xué)期望。例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的數(shù)學(xué)期望。例3二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散r.v.連續(xù)r.v.二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散r.v.連續(xù)r.v.§3.2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望離散r.v.的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望連續(xù)r.v.的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望§3.2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望離散r.v.的函數(shù)的數(shù)學(xué)期是X的函數(shù)，它的取值為則有（2）設(shè)X是連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為又是X的函數(shù)，則（1）設(shè)X是離散隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為是X的函數(shù)，它的取值為則有（2）設(shè)X是連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函例2

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=2X＋1的數(shù)學(xué)期望。例1

一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等。以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口數(shù),求X的概率分布與。例2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求Y=2X＋1的數(shù)學(xué)期望例3

游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀(guān)光，電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行，假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在[0,60]上服從均勻分布，求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。解：已知，其概率密度為設(shè)隨機(jī)變量Y是游客等候電梯的時(shí)間，則則隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為例3游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀(guān)光，電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5§3.3關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理定理1E(c)=c;其中c是常數(shù)；定理2E(aX)=aE(X);定理3E(X+Y)=E(X)+E(Y)；定理4

注意：E(X-Y)=?§3.3關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理定理1E(c)=c;其中定理5兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量X，Y，則定理6有限個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，則例1

某保險(xiǎn)公司規(guī)定，如果一年內(nèi)，顧客的投保事件A發(fā)生，該公司就賠償a元，若一年內(nèi)事件A發(fā)生的概率為P，為使公司收益的期望值等于a的10%，該公司應(yīng)該要求顧客交多少保險(xiǎn)費(fèi)？定理5兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量X，Y，則定理6有限個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變§3.4方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義方差的計(jì)算公式方差的性質(zhì)定理§3.4方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義(1)設(shè)X為隨機(jī)變量,E(X)存在,稱(chēng)X-E(X)為離差;顯然,E[X-E(X)]=0(2)設(shè)X為隨機(jī)變量,E(X)存在,且E{[X-E(X)]2}存在,則稱(chēng)此數(shù)學(xué)期望為X的方差,記為:D(X)=E{[X-E(X)]2}

(3)為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.注意:方差反映了隨機(jī)變量相對(duì)其均值的偏離程度.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義:(1)設(shè)X為隨機(jī)變量,E(X)存在,稱(chēng)X-E(X)為離方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式方差的性質(zhì)定理(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=D(X)(4)D(aX+b)=a2D(X)(5)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量(6)有限個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量注意：若相互獨(dú)立，方差的性質(zhì)定理(1)D(c)=0;(4)D(aX+b)=a課堂練習(xí)1.設(shè)X~,求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1)2X-1,(2)(X-2)23.隨機(jī)變量X只取-1,0,1三個(gè)值,且相應(yīng)概率比為1:2:2,又Y=X2,求(1)E(X),(2)D(X),(3)E(Y),(4)D(Y)。2.設(shè)X~,求E(X),D(X).4.X,Y獨(dú)立，D(X)=6，D(Y)=3，則D(2X-Y)=（）。課堂練習(xí)1.設(shè)X~,求下列X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(§3.5某些常用分布的數(shù)學(xué)期望及方差（1）若則（2）若則（3）若則（4）若則（5）若則（6）若則§3.5某些常用分布的數(shù)學(xué)期望及方差（1）若則（2）若則1

設(shè)隨機(jī)變量X~P(2),則E(X)=(),D(X)=(),E(X2)=()2

若隨機(jī)變量X~B(n,p),已知E(X)=2.4，

D(X)=1.44,則n=(),p=()例題3

若隨機(jī)變量X~U(a,b),已知E(X)=2.4，

D(X)=3,則a=(),b=()1設(shè)隨機(jī)變量X~P(2),則E(X)=(§3.6原點(diǎn)矩與中心矩若E(Xk),k=1,2,…存在,則稱(chēng)它為X的k階原點(diǎn)矩.記作(2)若E{[X-E(X)]k},k=1,2,…存在,則稱(chēng)它為X的k階中心矩.記作特別：k=1時(shí)，特別：k=1時(shí)，

k=2時(shí)，§3.6原點(diǎn)矩與中心矩若E(Xk),k=1,2,…§3.7協(xié)方差（相關(guān)矩）與相關(guān)系數(shù)離散r.v.連續(xù)r.v.注：相關(guān)矩描述隨機(jī)變量之間的相關(guān)性；§3.7協(xié)方差（相關(guān)矩）與相關(guān)系數(shù)離散r.v.連續(xù)r相關(guān)矩的性質(zhì)3.Cov(X,Y)=Cov(Y,X);4.Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),

其中a1,a2,b1,b2是常數(shù);5.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);1.Cov(X，X)=DX；2.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y);6.若X,Y相互獨(dú)立,則Cov(X,Y)=0;反之不成立.注意：若隨機(jī)變量X與Y不相互獨(dú)立，則（X+Y）和（X-Y）的方差與協(xié)方差的關(guān)系相關(guān)矩的性質(zhì)3.Cov(X,Y)=Cov(Y,X);相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量與的協(xié)方差，稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)，記作即由協(xié)方差的定義，得相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理1定理2

當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)變量Y與X之間存在線(xiàn)性關(guān)系時(shí)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值等于1，并且定理3

設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，則他們的相關(guān)系數(shù)等于零，即。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理1定理2當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)變量Y與X之間§3.8切比雪夫不等式與大數(shù)定律切比雪夫不等式大數(shù)定律切比雪夫定理辛欽大數(shù)定理伯努利定理§3.8切比雪夫不等式與大數(shù)定律切比雪夫不等式切比雪夫定

切比雪夫不等式等價(jià)形式為：設(shè)隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)，則對(duì)于任意正數(shù)，下列不等式成立切比雪夫不等式等價(jià)形式為：設(shè)隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望E(X)和課堂練習(xí)例1

設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有例2

設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為–0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式有例3

已知隨機(jī)變量X

的概率分布為X123

p0.20.30.5試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)事件的概率.課堂練習(xí)例1設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2，則根據(jù)大數(shù)定律：切比雪夫定理大數(shù)定律！描述了大數(shù)量的隨機(jī)試驗(yàn)的平均結(jié)果的穩(wěn)定性，它揭示了隨機(jī)現(xiàn)象的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，且均存在數(shù)學(xué)期望，方差(n=1,2,...),

則對(duì)任意的ε>0，有大數(shù)定律：切比雪夫定理大數(shù)定律！描述了大數(shù)量的隨機(jī)試驗(yàn)依概率收斂設(shè)隨機(jī)序列a是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于給定的正數(shù)

，有則稱(chēng)序列依概率收斂于a.切比雪夫定理!依概率收斂設(shè)隨機(jī)序列a是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于給定的正數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}是獨(dú)立