《線性代數(shù)》課程教學(xué)大綱

PAGEPAGE1線性代數(shù)課程教學(xué)大綱LINEARALGEBRA學(xué)時(shí)數(shù)：40其中：實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)：0課外學(xué)時(shí)：0學(xué)分?jǐn)?shù)：2.5適用專業(yè)：各有關(guān)專業(yè)一、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)線性代數(shù)是一門公共基礎(chǔ)課。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解和掌握矩陣、行列式、線性關(guān)系、線性方程組、二次型、線性空間、線性變換等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為其它課程的學(xué)習(xí)打下一定的代數(shù)基礎(chǔ)。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力和自學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的邏輯性和嚴(yán)密性。二、課程教學(xué)的基本要求（一）矩陣和行列式1.掌握矩陣的概念。2.掌握矩陣的各種運(yùn)算的定義和所滿足的運(yùn)算律。3.理解矩陣的初等變換的概念。理解矩陣的等價(jià)關(guān)系及其性質(zhì)。4.掌握階行列式的概念與基本性質(zhì)。5.掌握行列式按行（列）展開法則。6.理解方陣的行列式及其運(yùn)算規(guī)律。7.掌握可逆矩陣和逆矩陣的概念，理解方陣可逆的充要條件一，掌握求逆矩陣的公式法。8.理解克拉默(Cramer)法則，會(huì)用于解線性方程組。9.理解齊次線性方程組的有關(guān)概念。10.理解分塊矩陣的概念，了解分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則。（二）矩陣的秩與線性方程組1.理解初等矩陣的概念。了解初等變換與初等矩陣的聯(lián)系。2.理解方陣可逆的充要條件二、三，掌握求逆矩陣的初等變換法。3.掌握矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩的方法，理解矩陣的秩的基本性質(zhì)。4.理解線性方程組有解的充要條件。掌握用初等行變換求解線性方程組的做法。（三）向量組的線性相關(guān)性1.理解線性組合與線性表示的概念2.掌握線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念和性質(zhì)3.理解最大無(wú)關(guān)組與向量組的秩的概念4.掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)（四）相似矩陣與矩陣的對(duì)角化1.掌握向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角的概念及性質(zhì)。2.掌握正交的有關(guān)概念。理解施密特(Schimidt)正交化過(guò)程。3.理解正交矩陣和正交變換的概念。4.掌握方陣的特征值、特征向量的概念與性質(zhì)。5.理解相似矩陣的概念和性質(zhì)。6.理解方陣對(duì)角化問題。掌握實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法。（五）二次型1.理解二次型的概念。2.理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念。了解化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的初等變換法和配方法。掌握化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換法。3.理解正定二次型、正定矩陣的概念和充要條件。（六）線性空間1.掌握線性空間的概念及其性質(zhì)。2.掌握線性空間的維數(shù)、基、坐標(biāo)的概念。3.理解向量空間同構(gòu)的概念。4.理解基變換公式、過(guò)渡矩陣概念、坐標(biāo)變換公式。三、課程的教學(xué)內(nèi)容、重點(diǎn)和難點(diǎn)第一章矩陣和行列式一、矩陣（一）矩陣的概念（二）一些特殊的矩陣（三）同型矩陣與矩陣的相等二、矩陣的運(yùn)算及應(yīng)用舉例（一）矩陣的加法、減法和數(shù)與矩陣的乘法（二）矩陣的乘法與線性方程組（三）矩陣的轉(zhuǎn)置三、矩陣的初等變換與矩陣的等價(jià)（一）矩陣的初等變換的定義（二）矩陣的等價(jià)（三）行階梯形和行最簡(jiǎn)形四、行列式（一）二階與三階行列式（二）排列及其逆序數(shù)（三）階行列式的定義（四）行列式的性質(zhì)和計(jì)算（五）方陣的行列式五、可逆矩陣（一）可逆矩陣的概念與性質(zhì)（二）方陣可逆充要條件一及公式法求逆矩陣（三）克拉默(Cramer)法則（四）矩陣方程六、分塊矩陣（一）分塊矩陣的概念（二）分塊矩陣的運(yùn)算重點(diǎn)：重點(diǎn)：矩陣的初等變換，行列式的性質(zhì)，行列式按行（列）展開。難點(diǎn)：行列式按行（列）展開。第二章矩陣的秩與線性方程組一、初等矩陣（一）初等矩陣的概念（二）初等矩陣與初等變換的聯(lián)系（三）方陣可逆的充要條件二、三及初等變換法求逆矩陣二、矩陣的秩（一）矩陣的階子式的概念（二）矩陣的秩的概念（三）用初等變換求矩陣的秩（四）矩陣的秩的一些基本性質(zhì)三、線性方程組的求解（一）線性方程組有解的判別（二）齊次線性方程組的求解（三）非齊次線性方程組的求解重點(diǎn)：重點(diǎn)：求逆矩陣的初等變換法，用初等變換求矩陣的秩，線性方程組有解的判別。難點(diǎn)：初等變換和初等矩陣的關(guān)系。第三章向量組的線性相關(guān)性一、向量與向量組（一）由元有序數(shù)組構(gòu)成的向量（二）向量組及其線性組合（三）兩向量組等價(jià)的概念及等價(jià)的性質(zhì)二、向量組的線性相關(guān)性（一）線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念與性質(zhì)（二）線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判別（三）向量組與其延長(zhǎng)向量組的線性相關(guān)性三、向量組的秩（一）極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩（二）矩陣的秩與它的行（列）向量組的秩四、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（一）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（二）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)重點(diǎn)：重點(diǎn)：線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念與性質(zhì)，線性方程組的解的結(jié)構(gòu)。難點(diǎn)：線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判別。第四章相似矩陣與矩陣的對(duì)角化一、向量的內(nèi)積與正交矩陣（一）向量的內(nèi)積（二）正交向量組與規(guī)范正交組（三）正交矩陣二、方陣的特征值與特征向量（一）方陣的特征值、特征向量和特征多項(xiàng)式的概念（二）方陣的特征值、特征向量的性質(zhì)與計(jì)算三、相似矩陣（一）相似矩陣的概念和基本性質(zhì)（二）方陣的對(duì)角化問題四、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化（一）實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值的性質(zhì)（二）實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化重點(diǎn)：重點(diǎn)：方陣的特征值、特征向量的性質(zhì)與計(jì)算，實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化。難點(diǎn)：實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化。第五章二次型一、二次型及其矩陣表示（一）二次型的概念（二）二次型的矩陣形式（三）矩陣的合同二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（一）用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（二）用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（三）用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（四）實(shí)二次型的規(guī)范形三、正定二次型（一）正定二次型與正定矩陣的概念（二）正定二次型與正定矩陣的判別重點(diǎn)：重點(diǎn)：用初等變換法、正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，正定矩陣的判別。難點(diǎn)：正定矩陣的判別。第六章線性空間一、線性空間的定義與性質(zhì)（一）線性空間的概念與例子（二）線性空間的一些基本性質(zhì)（三）子空間二、維數(shù)、基與坐標(biāo)（一）線性空間中向量的線性關(guān)系（二）生成子空間（三）基、維數(shù)與坐標(biāo)三、基變換與坐標(biāo)變換（一）基變換與過(guò)渡矩陣（二）坐標(biāo)變換公式四、線性空間的同構(gòu)（一）滿射、單射與雙射（二）同構(gòu)映射與線性空間的同構(gòu)重點(diǎn)：重點(diǎn)：維數(shù)、基與坐標(biāo)，過(guò)渡矩陣，坐標(biāo)變換公式。難點(diǎn)：基變換與過(guò)渡矩陣。四、課程各教學(xué)環(huán)節(jié)要求（一）注意指導(dǎo)課前預(yù)習(xí)通過(guò)指導(dǎo)課前預(yù)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，因?yàn)樵诖髮W(xué)學(xué)習(xí)，很重要的一點(diǎn)是學(xué)會(huì)自學(xué)。（二）課堂教學(xué)宜多使用電化教學(xué)設(shè)備行列式、矩陣、線性方程組的書寫都需要占用不少時(shí)間，故課堂教學(xué)宜多使用電化教學(xué)設(shè)備，提高課堂教學(xué)的效率，把時(shí)間用在分析、講解上。（三）習(xí)題課和課外作業(yè)注意培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性本課程的例題與習(xí)題有相當(dāng)部分是論證，對(duì)學(xué)生的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)是一個(gè)很好的機(jī)會(huì)。教師要注意積累學(xué)生在完成課外作業(yè)所暴露出來(lái)的論證問題方面的缺陷，在習(xí)題課除了典型例題分析外，應(yīng)注意評(píng)講學(xué)生在論證問題時(shí)的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性的缺陷。（四）適當(dāng)組織課堂討論適當(dāng)組織課堂討論可以提高學(xué)習(xí)興趣，且有的問題可以越辯越明，學(xué)生在爭(zhēng)辯中發(fā)現(xiàn)的問題是印象更深刻的。（五）考試宜采用閉卷考試方式。由于本課程的基本概念、基本運(yùn)算技能是需要學(xué)生記憶的。而由于知識(shí)所限，較難有應(yīng)用的課題，故不宜用開卷考試或小論文等形式考核。五、學(xué)時(shí)分配教學(xué)內(nèi)容各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時(shí)分配作業(yè)題量備注章節(jié)主要內(nèi)容講授實(shí)驗(yàn)討論習(xí)題課外其它小計(jì)一矩陣和行列式921117二矩陣的秩與線性方程組5169三向量組的線性相關(guān)性61711四相似矩陣與矩陣的對(duì)角化71812五二次型4046六線性空間4044合計(jì)3554059六、課程與其它課程的聯(lián)系線性代數(shù)課程是高等學(xué)校有關(guān)專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)課。通過(guò)這門課程的學(xué)習(xí)，將為有關(guān)專業(yè)的專業(yè)課學(xué)習(xí)打下一定的代數(shù)基礎(chǔ)。這門課程的學(xué)習(xí)，基本上只需要有中等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因而可以盡早開設(shè)，以供學(xué)習(xí)其它課程時(shí)使用。七、教材與教學(xué)參考書（一）教材同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)及其應(yīng)用（第二版）.北京：高等教育出版社，2008。（二）教學(xué)參考書[1]同濟(jì)大