復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)課件

復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)1第一章：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的幾何表示1、復(fù)平面1）復(fù)數(shù)用平面上的點表示；2）復(fù)數(shù)用平面上的向量表示第一章：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的概念23）復(fù)數(shù)的三角表示式及指數(shù)表示式（三角式）（指數(shù)式）2、復(fù)球面復(fù)數(shù)可以用復(fù)球面上的點表示擴充復(fù)平面復(fù)數(shù)的乘冪與方根1、積與商設(shè)，則3）復(fù)數(shù)的三角表示式及指數(shù)表示式32、乘冪設(shè)則3、方根設(shè)，則復(fù)平面上的區(qū)域復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)2、乘冪4例滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解

是實數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解例滿足下列條件的點組成何種圖形?是不是區(qū)解5

是以為焦點,以3為半長軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因為圖中解解在圓環(huán)內(nèi)的點不是內(nèi)點.是以為焦點,以3為半6例函數(shù)將平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？解又于是表示平面上的圓.(1)例函數(shù)將平面上的下列7解表示平面上以為圓心，為半徑的圓.解表示平面上以為圓心，8例（）（Ａ）等于（Ｂ）等于（Ｃ）等于（Ｄ）不存在解當沿，時，有與有關(guān)，極限不存在.例（）（Ａ）等于（Ｂ）等于（Ｃ）等于（Ｄ9第二章：解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分解析函數(shù)的概念如果在點及的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，稱在點解析。如果在區(qū)域D內(nèi)每一點解析，稱在D內(nèi)解析，或稱是D內(nèi)的解析函數(shù)（全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果在不解析，稱為的奇點。第二章：解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分10兩個解析函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為0的點）都是解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)。復(fù)變函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系在解析在可導(dǎo)在連續(xù)在區(qū)域D內(nèi)解析在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)兩個解析函數(shù)的和、差、積、商（除去分母為011函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件定理1設(shè)函數(shù)定義在區(qū)域D內(nèi)，則在D內(nèi)點可導(dǎo)與在點可微，且滿足柯西-黎曼方程函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)公式：函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件12定理2設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則在D內(nèi)解析與在D內(nèi)可微，且滿足柯西-黎曼方程

復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法（1）利用可導(dǎo)與解析的定義及運算法則（2）利用可導(dǎo)與解析的充要條件定理2設(shè)函數(shù)13初等函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：（1），（2）對任意的，有加法定理（3）是以為周期的周期函數(shù)（4）在復(fù)平面上處處解析，且初等函數(shù)142、對數(shù)函數(shù)主值分支對數(shù)函數(shù)的每個分支在除去原點和負實軸的復(fù)平面內(nèi)處處解析，且2、對數(shù)函數(shù)153、冪函數(shù)為復(fù)數(shù)當為正整數(shù)及分數(shù)時，就是的次乘冪及次根，此時冪函數(shù)分別為單值函數(shù)和值函數(shù)。一般來說，冪函數(shù)是一個多值函數(shù)。當定義中對數(shù)函數(shù)取主值時，相應(yīng)的冪函數(shù)也稱其主值，冪函數(shù)的各個分支在除去原點及負實軸的復(fù)平面內(nèi)也是解析的，且3、冪函數(shù)16例函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析.解故僅在直線上可導(dǎo).故在復(fù)平面上處處不解析.例函數(shù)17例設(shè)為解析函數(shù)，求的值.解設(shè)故由于解析，所以即故例設(shè)18例求下列各式的值解例求下列各式的值解19復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件20例解答案課堂練習(xí)例解答案課堂練習(xí)21例解例解22第三章：復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)積分的定義復(fù)積分存在的條件設(shè)函數(shù)在區(qū)域Ｄ內(nèi)連續(xù)，曲線Ｃ光滑，則復(fù)積分存在，且第三章：復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)積分的定義23復(fù)積分的性質(zhì)１、２、３、４、曲線Ｃ的長度為Ｌ，函數(shù)在Ｃ上滿足復(fù)積分的性質(zhì)24復(fù)積分計算的一般方法設(shè)沿曲線Ｃ連續(xù)，曲線Ｃ的參數(shù)方程為，其中起點為，終點為，則

特別的，有復(fù)積分計算的一般方法25復(fù)積分的基本定理１、柯西－古薩定理如果函數(shù)在單連通區(qū)域Ｄ內(nèi)處處解析，Ｃ為Ｄ內(nèi)任一條封閉曲線，則復(fù)積分的基本定理26２、復(fù)合閉路定理設(shè)Ｃ為多連通區(qū)域Ｄ內(nèi)的一條簡單閉曲線，為Ｃ內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含又互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全部屬于Ｄ，如果在Ｄ內(nèi)解析，則

其中與均取正向其中是由與組成的復(fù)合閉路２、復(fù)合閉路定理27３、牛頓－萊不尼茨公式設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域Ｄ內(nèi)解析，為的一個原函數(shù)，則４、柯西積分公式設(shè)函數(shù)在區(qū)域Ｄ內(nèi)處處解析，Ｃ為Ｄ內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部完全屬于Ｄ，為Ｃ內(nèi)任一點，則３、牛頓－萊不尼茨公式28５、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導(dǎo)數(shù)為其中為函數(shù)的解析區(qū)域Ｄ內(nèi)圍繞的任意一條簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部全含于Ｄ。６、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系１）如果二元實函數(shù)在區(qū)域Ｄ內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足Laplace方程稱為區(qū)域Ｄ內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。５、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式29２）區(qū)域Ｄ內(nèi)的解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。而且虛部是實部的共軛調(diào)和函數(shù)。（這里與的位置不能顛倒）３）由調(diào)和函數(shù)（或）確定另一個調(diào)和函數(shù)或解析函數(shù)的方法：＊偏微分法：從柯西－黎曼方程出發(fā)，解簡單的一階微分方程。＊不定積分法：從出發(fā)，將其寫成的函數(shù)，利用積分求出。２）區(qū)域Ｄ內(nèi)的解析函數(shù)的實部30解解31解法一利用柯西-古薩基本定理及重要公式由柯西-古薩基本定理有解法一利用柯西-古薩基本定理及重要公式由柯西-32復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件33

解法二利用柯西積分公式解法二利用柯西積分公式34因此由柯西積分公式得因此由柯西積分公式得35復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件36解分以下四種情況討論：解分以下四種情況討論：37復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件38復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件39復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件40復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件41解為大于1的自然數(shù).例計算下列積分解為大于1的自然數(shù).例計算下列積分42解法一不定積分法.利用柯西—黎曼方程,解法一不定積分法.利用柯西—黎曼方程,43因而得到解析函數(shù)因而得到解析函數(shù)44

解法二線積分法.解法二線積分法.45因而得到解析函數(shù)因而得到解析函數(shù)46解法三全微分法解法三全微分法47解例

已知求解

析函數(shù),使符合條件解例已知48復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件49第四章：級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)１、復(fù)數(shù)列收斂實部和虛部都收斂。設(shè)２、復(fù)級數(shù)收斂實部級數(shù)與虛部級數(shù)都收斂３、復(fù)級數(shù)收斂的必要條件：第四章：級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)50冪級數(shù)１、阿貝爾（Abel）定理冪級數(shù)如果在處收斂，則對滿足的，級數(shù)絕對收斂；如果在處發(fā)散，則對滿足的，級數(shù)發(fā)散。２、冪級數(shù)收斂半徑的求法１）比值法如果，則２）根值法如果，則冪級數(shù)51..收斂圓收斂半徑..收斂圓收斂半徑52３、冪級數(shù)的運算及性質(zhì)１）在收斂半徑較小的區(qū)域內(nèi)，冪級數(shù)可以進行加法、減法、乘法運算，利用乘法運算，可定義除法運算；冪級數(shù)也可以進行復(fù)合運算。２）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)；而且可逐項求導(dǎo)與逐項積分，收斂半徑不變。，３、冪級數(shù)的運算及性質(zhì)53泰勒（Taylor）級數(shù)1、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)如果函數(shù)在圓域內(nèi)解析，則函數(shù)在此圓內(nèi)可以展開成冪級數(shù)，且展開式惟一。２、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法１）直接法：利用泰勒級數(shù)公式，求各階導(dǎo)數(shù)２）間接法：利用已知級數(shù)，逐項積分或求導(dǎo)泰勒（Taylor）級數(shù)54羅朗（Laurent）級數(shù)１、函數(shù)展開成羅朗級數(shù)如果函數(shù)在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)解析，則在此區(qū)域內(nèi)可以展開成羅朗級數(shù)，且展開式惟一。其中為圓環(huán)內(nèi)繞的任意一條正向簡單曲線。

函數(shù)展開成羅朗級數(shù)一般用間接方法羅朗（Laurent）級數(shù)55例判別級數(shù)的斂散性.解發(fā)散，收斂，例判別級數(shù)的斂散性.解發(fā)散，收斂，56解解57解收斂收斂解收斂收斂58解

由正項級數(shù)的比值判別法知絕對收斂.解由正項級數(shù)的比值判別法知絕對收斂.59例

求下列冪級數(shù)的收斂半徑解例求下列冪級數(shù)的收斂半徑解60例解例解61例解有例解有62復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)ppt課件63

同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式是不同的.同一級數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式是不同64第五章：留數(shù)孤立奇點１、孤立奇點分類：可去奇點、極點、本性奇點。２、奇點的特征１）可去奇點孤立奇點為的可去奇點在的去心鄰域內(nèi)的羅朗展開式中不含的負冪指數(shù)項（有限數(shù)）第五章：留數(shù)孤立奇點65２）極點孤立奇點為的級極點在的去心鄰域內(nèi)的羅朗展開式中只含有限個負冪指數(shù)項且關(guān)于的最高冪為次在的去心鄰域內(nèi)可表示為其中在點解析且孤立奇點為的極點（此特征沒有指出極點的級數(shù)）２）極點66３）本性奇點孤立奇點為的本性奇點在的去心鄰域內(nèi)的羅朗展開式中含有無窮多個的負冪指數(shù)項不存在且不為無窮大。４）零點與極點的關(guān)系若不恒為零的解析函數(shù)在的鄰域內(nèi)能表示為，其中在解析，且，為正整數(shù)，稱為的級零點。３）本性奇點67為的級零點

不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的。為的級零點是的級極點為的級零點68５）函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)函數(shù)在處的性態(tài)就是在的性態(tài)。如果為的可去奇點、級極點、本性奇點，則為的可去奇點、級極點、本性奇點。

５）函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)69為的可去奇點、極點、本性奇點分別為當時，的極限為有限數(shù)、無窮大、不為無窮大的不存在在內(nèi)羅朗展開式中不含正冪項、含有有限個正冪項、含有無窮多個正冪項。為的可去奇點、極點、本性奇點70留數(shù)及其計算1、定義設(shè)為的孤立奇點，則在點的留數(shù)其中是的去心鄰域內(nèi)包含的任意一條正向簡單閉曲線。留數(shù)及其計算71２、留數(shù)的計算方法１）利用羅朗展開式，求出的系數(shù)２）討論奇點的類型?如果是可去奇點，則?如果是本性奇點，只能利用羅朗