廣東省深圳市2023屆高三二模數(shù)學試題含答案

2023年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試數(shù)學一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A{0} B.{2} C.{3} D.{0，3}2.已知函數(shù)，則（）A.2 B.-2 C. D.-3.設等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.0 B. C. D.4.設表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（）A. B. C. D.5.已知中，，，與相交于點，，則有序數(shù)對（）A. B. C. D.6.從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為（）A B. C. D.7.設橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線l過點.若點關于l的對稱點P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.8.已知，，且，則下列關系式恒成立的為（）A. B. C. D.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.為了研究y關于x的線性相關關系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：x12345y0.50811.21.5假設經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.B.當時，y預測值為2.2C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8D.去掉樣本點后，x與y的樣本相關系數(shù)r不變10.已知是定義在閉區(qū)間上的偶函數(shù)，且在y軸右側的圖象是函數(shù)圖象的一部分(如圖所示)，則（）A.的定義域為B.當時，取得最大值C.當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為D.當時，有且只有兩個零點和11.如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點E、F重合，記為點P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（）A.三棱錐的體積為 B.直線PA與直線BC所成角的余弦值為C.直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D.三棱錐外接球的半徑為12.設拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上不同的兩點A，B分別作C的切線，兩條切線的交點為P，AB的中點為Q，則（）A.軸 B. C. D.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復數(shù)滿足，則_____________.14.若，則__________(精確到0.01).參考數(shù)據(jù)：若，則，.15.已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，且，則_________.16.足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖，某標準足球場的底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點，使得最大，這時候點就是最佳射門位置.當攻方球員甲位于邊線上的點處（，）時，根據(jù)場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇.若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達最佳射門位置；若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達最佳射門位置.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.（1）證明:；（2）若，，，求AM的長度.18.飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經(jīng)成為了年輕人運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關，對該地區(qū)的年輕人進行了簡單隨機抽樣，得到如下列聯(lián)表:性別飛盤運動合計不愛好愛好男61622女42428合計104050（1）在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關聯(lián)性，結論還一樣嗎？請解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82819.三棱柱中，，，.（1）證明:；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值.20.已知數(shù)列滿足，，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明:數(shù)列中的任意三項均不能構成等差數(shù)列.21.已知雙曲線：，點M為雙曲線C右支上一點，A、B為雙曲線C的左、右頂點，直線與y軸交于點D，點Q在x軸正半軸上，點E在y軸上.（1）若點，，過點Q作BM的垂線l交該雙曲線C于S，T兩點，求的面積；（2）若點M不與B重合，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①；②；③.注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，函數(shù)恰有兩個零點.（i）求m的取值范圍；（ii）證明:.2023年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試數(shù)學一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.{0} B.{2} C.{3} D.{0，3}【答案】D【解析】因為，，所以，，所以.故選：D.2.已知函數(shù)，則（）A.2 B.-2 C. D.-【答案】A【解析】，因為，所以，故選：A.3.設等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．故選：C.4.設表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.正方體表面積為，所以，所以；如圖，正四面體，為的中點，為的中心，則是底面上的高.則，，所以，所以，所以正四面體的表面積為，所以.又為的中心，所以.又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知，所以，所以；球的表面積為，所以，所以，.因為，所以，所以，故選：B.5.已知中，，，與相交于點，，則有序數(shù)對（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意、、三點共線，故，所以，又、、三點共線，故，則，所以，解得，所以，又，所以，所以有序數(shù)對，故選：D6.從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數(shù)可得基本事件為，10種情況，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)有，9種情況，它們之和大于8共有，5種情況，從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為.故選:D.7.設橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線l過點.若點關于l的對稱點P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時除以可得，，解得，或（舍去），所以.故選：C.8.已知，，且，則下列關系式恒成立的為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】構造，，則，當時，，，所以在單調(diào)遞增，因為，當，時，則,所以所以，單調(diào)遞增，所以;當，時,所以所以,單調(diào)遞減，所以，故選：A【點睛】關鍵點點睛，構造函數(shù)，本題中構造進行求解，利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.為了研究y關于x的線性相關關系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：x12345y0.50.811.21.5假設經(jīng)驗回歸方程為，則（）A.B.當時，y的預測值為2.2C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8D.去掉樣本點后，x與y的樣本相關系數(shù)r不變【答案】ABD【解析】對于A選項：線性回歸方程必過點，，，解得，所以選項A正確；對于B選項：當時，可以的出y的預測值為2.2,所以B選項正確；對于C選項：從小到大排列共有5個數(shù)據(jù)，則是整數(shù)，則第40百分位數(shù)為從小到大排列的第3個數(shù)據(jù)，即第40百分位數(shù)為3，所以C選項錯誤；對于D選項：因為相關系數(shù)為,5組樣本數(shù)據(jù)的相關系數(shù)為：

，

去掉樣本中心點后相關系數(shù)為，所以相關系數(shù)r不變,所以D選項正確；故選：ABD.10.已知是定義在閉區(qū)間上的偶函數(shù)，且在y軸右側的圖象是函數(shù)圖象的一部分(如圖所示)，則（）A.的定義域為B.當時，取得最大值C.當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為D.當時，有且只有兩個零點和【答案】BCD【解析】由圖得，且位于增區(qū)間上，所以，又因為，所以，，則，得，所以，所以，由圖可知，原點右側的第二個零點為，所以的定義域為，故A錯誤；當時，，因為為最大值，則當時，取得最大值，故B正確；當時，令，則，又因為，所以當時，的減區(qū)間為，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；當時，，令，得或，則或，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以當時，有且只有兩個零點和，故D正確.故選：BCD.11.如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點E、F重合，記為點P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（）A.三棱錐的體積為 B.直線PA與直線BC所成角的余弦值為C.直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D.三棱錐外接球的半徑為【答案】BD【解析】由題意可得，又平面，所以平面，在中，，邊上的高為，所以，故A錯誤；對于B，在中，，，所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故B正確；對于C，，設點到平面的距離為，由，得，解得，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故C錯誤；由B選項知，，則，所以的外接圓的半徑，設三棱錐外接球的半徑為，又因為平面，則，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故D正確，故選：BD.12.設拋物線C：的焦點為F，過拋物線C上不同的兩點A，B分別作C的切線，兩條切線的交點為P，AB的中點為Q，則（）A.軸 B. C. D.【答案】AC【解析】對于A選項：設,,,過點A切線為：①,過點B切線為:②,①②得化簡可得，軸,A選項正確.設過A點的切線為,過B點的切線為,交點為AB的中點為，所以不垂直,B選項錯誤；,所以,D選項錯誤;作拋物線準線的垂線,連接，則顯然,所以又因為由拋物線定義,得,故知是線段的中垂線,得到則，同理可證：,，所以，即,所以,即.故選:AC.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復數(shù)滿足，則_____________.【答案】【解析】因為，即，所以或，若，則，則，若，則，則.綜上所述，.14.若，則__________(精確到0.01).參考數(shù)據(jù)：若，則，.【答案】0.82【解析】因為，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，.已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，且，則_________.【答案】【解析】因為為奇函數(shù)，則，所以，在等式中，令，可得，解得，又因為，則，①所以，②由①②可得，即，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且該函數(shù)的周期為，所以.16.足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖，某標準足球場的底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點，使得最大，這時候點就是最佳射門位置.當攻方球員甲位于邊線上的點處（，）時，根據(jù)場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇.若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達最佳射門位置；若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達最佳射門位置.【答案】①.②.【解析】若選擇線路，設，其中，，，則，，所以，當且僅當時，即當時，等號成立，此時，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時，到達最佳射門位置；若選擇線路，以線段的中點為坐標原點，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，直線的方程為，設點，其中，，，所以，，令，則，所以，當且僅當時，即當，即當時，等號成立，所以，當且僅當時，等號成立，此時，，若選擇線路，則甲帶球碼時，到達最佳射門位置.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.（1）證明:；（2）若，，，求AM的長度.【解析】（1）由，得，則，由正弦定理和余弦定理得，化簡得；（2）在中，，又因為，所以，所以，所以，由，得，在中，，所以.18.飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經(jīng)成為了年輕人運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關，對該地區(qū)的年輕人進行了簡單隨機抽樣，得到如下列聯(lián)表:性別飛盤運動合計不愛好愛好男61622女42428合計104050（1）在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關聯(lián)性，結論還一樣嗎？請解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510828【解析】（1）樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為，按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人.隨機變量的取值為:.,,隨機變量的分布列為隨機變量的數(shù)學期望.（2）零假設為:愛好飛盤運動與性別無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表重的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為愛好飛盤運動與性別無關聯(lián).列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大到原來的10倍后，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷成立，即認為愛好飛盤運動與性別有關聯(lián).所以結論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都擴大為原來10倍，相當于樣本量變大為原來的10倍，導致推斷結論發(fā)生了變化.19.在三棱柱中，，，.（1）證明:；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）設的中點為，連接因為，所以，又因為且，所以，因為平面，且，所以平面,因為平面，所以,又因為是的中點，所以.（2）在中，由余弦定理求得則因為，所以，解得,在和中，可知.在中，，因此.由(1)知，，且平面，且，所以平面.以所在直線分別為x軸，y軸，z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則.所以,設平面的法向量為，則,即,令，得.設平面的法向量為,則,即令，得,設平面與平面夾角為,則,所以平面與平面夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列滿足，，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明:數(shù)列中的任意三項均不能構成等差數(shù)列.【解析】（1）由，得，以上兩式相比，得,由，得,所以數(shù)列是首項為3，公比4為的等比數(shù)列，,數(shù)列是首項為6，公比為4等比數(shù)列，,綜上，數(shù)列的通項公式為.（2）假設數(shù)列中存在三項數(shù)列(其中）成等差數(shù)列，則.由（1）得，即,兩邊同時除以，得(*)(*）式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)(*）等式不成立，假設不成立.所以，數(shù)列中得任意三項均不能構成等差數(shù)列．21.已知雙曲線：，點M為雙曲線C右支上一點，A、B為雙曲線C的左、右頂點，直線與y軸交于點D，點Q在x軸正半軸上，點E在y軸上.（1）若點，，過點Q作BM的垂線l交該雙曲線C于S，T兩點，求的面積；（2）若點M不與B重合，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①；②；③.注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【解析】（1）由已知可得，，.因為點，直線的斜率為，所以直線的垂線的方程為，整理可得，.設點，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，，則，且，所以，.原點到直線的距離為，所以的面積為.（2）①②為條件，③為結論令點，，且，因為三點共線，所以.又，所以點的坐標為，所以直線的斜率為.又，所以.設點，因為直線的斜率，所以，所以；①③為條件，②為結論令點，，且，因為三點共線，所以.又，所以點的坐標為，又，點Q在x軸正半軸上，所以，所以.又，所以，所以，；②③為條件，①為結論令點，，且，不妨設.因為三點共線，所