線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件

第一章數(shù)學基礎(chǔ)1.1線性空間與線性變換1.1.1線性空間定義 在集合上賦予一定的結(jié)構(gòu)或一定的要求,這個集合就稱為一個特定的空間。定義1.1.1 線性空間定義（11頁）： 設(shè)V是一個非空集合,P是一個數(shù)域……第一章數(shù)學基礎(chǔ)1.1線性空間與線性變換1線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件2線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件3則也是實數(shù)域

R上的線性空間。因此不難看出，實數(shù)域上的線性空間的本質(zhì)是指他們內(nèi)部的運算具有線性性。

例1.1.3

設(shè)是線性空間，則不難驗證

是的子空間。它也稱為由構(gòu)成的子空間。則也是實數(shù)域R上的線性空間。因此不難看出，實數(shù)域上4例1.1.4

設(shè)

是線性空間

是的子空間，也稱是由所生成的子空間

例1.1.5

設(shè)是線性空間，顯然，那么是的子空間，稱為零子空間。

中個元

或稱為中的個向量，則例1.1.4設(shè)是線性空間是的子空間，也稱51.1.2線性空間的基和維數(shù)1.1.2線性空間的基和維數(shù)6線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件7線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件8例1.1.6

在歐氏空間中選取個無關(guān)向量它們便構(gòu)成的一組基。因此，也稱為維歐氏空間。

例1.1.6在歐氏空間中選取個無關(guān)向量91.1.3線性變換1.1.3線性變換10例1.1.7

記

這里表示區(qū)間上一次可微函數(shù)的全體，表示區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的全體。容易驗證都是實數(shù)域上的線性空間。定義

也不難驗證是到的線性變換，有時也稱為線性算子或微分算子。

例1.1.7記

這里11線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件12例1.1.8

令則為上的線性變換，易知是的核空間，即

例1.1.8令13顯然，若向量構(gòu)成的一組基，則由上述基的定義可知，對所有，均可以惟一表成我們稱為關(guān)于基的坐標。若向量構(gòu)成的另一組基，則有顯然，若向量構(gòu)成的一組基，則由14而對任意，有由此可知

我們稱為基和基之間的坐標變換。容易驗證，坐標變換也是上的線性變換。而對任意，有由此可知151.2矩陣代數(shù)中的幾個結(jié)果1.2.1矩陣必秩的條件定義1.2.1矩陣列秩:矩陣中列向量的最大線性無關(guān)組的個數(shù)；行秩:矩陣中行向量的最大線性無關(guān)組的個數(shù)。矩陣的行秩與列秩相等。矩陣A的行秩和列秩稱為矩陣A的秩。1.2矩陣代數(shù)中的幾個結(jié)果1.2.1矩陣必秩的條件16線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件171.2.2Vendermonde矩陣與友矩陣⑴Vendermonde矩陣及基性質(zhì)1.2.2Vendermonde矩陣與友矩陣⑴Vend18線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件19⑵友矩陣及其性質(zhì)⑵友矩陣及其性質(zhì)20線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件21線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件221.2.3

Cayley-Hamilton定理與化零多項式1.2.3Cayley-Hamilton定理與化零多項式23線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件241.2.4豫解矩陣與Leverrier算法1.2.4豫解矩陣與Leverrier算法25線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件26線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件271.3多項式矩陣1.3多項式矩陣281.3.1基本概念1.3.1基本概念29線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件30線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件311.3.2初等變換多項式的初等行(列)變換,是指下列三種典型操作:①矩陣的兩行(或兩列)互換位置;②矩陣的某一行(或某一列)乘以非零的常數(shù)C;③矩陣的某一行(或某一列)加上另一行(或列)的Φ(s)倍,Φ(s)為一個多項式。1.3.2初等變換多項式的初等行(列)變換,是指下列三種32線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件331.3.3Smith標準型定義1.3.3如果可以用一系列初選變換將多項式方陣A(s)化為多項式矩陣B(s),則稱多項式A(s)和B(s)互相等價。等價是多項式矩陣之間的一種關(guān)系，有下述三個性質(zhì)：①反身性，每一個多項式矩陣均與自身等價；②對稱性，A(s)等價B(s)，B(s)等價A(s)；③傳遞性，A(s)等價B(s)，B(s)等價C(s)，A(s)等價C(s)。1.3.3Smith標準型定義1.3.3如果可以用一34線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件35線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件36線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件371.4有理分式矩陣及其互質(zhì)分解1.4有理分式矩陣及其互質(zhì)分解38線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件391.4.1互質(zhì)多項式矩陣1.4.1互質(zhì)多項式矩陣40線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件41線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件42線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件43線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件44線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件45線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件461.4.2有理分式矩陣的互質(zhì)分解1.4.2有理分式矩陣的互質(zhì)分解47線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件481.4.3

1.4.349線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件50線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件511.5Jordan分解1.5Jordan分解521.5.1特征值的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)1.5.1特征值的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)53矩陣某特征值的幾何重數(shù):

矩陣的Jordan標準型與該特征值相關(guān)聯(lián)的Jordan塊的個數(shù).矩陣某特征值的代數(shù)重數(shù):

矩陣的Jordan標準型與該特征值相關(guān)所有的Jordan塊的階數(shù)之和.線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件54線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件551.5.2廣義特征向量鏈1.5.2廣義特征向量鏈56我們可對應地將特征向量矩陣V按列做如下分塊我們可對應地將特征向量矩陣V按列做如下分塊57線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件58線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件591.5.3Jordan分解的求取1.5.3Jordan分解的求取60線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件61線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件62線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件63線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件64線性系統(tǒng)理論1數(shù)學基礎(chǔ)課件651.6廣義Sylvester矩陣1.6廣義Sylvester矩陣661.6.1求解問題與假設(shè)條件1.6.1求解問題與假設(shè)條件67線