江西省南昌市新建二中2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)在平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列隨機試驗的結(jié)果，不能用離散型隨機變量表示的是()A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點數(shù)之和B．某籃球運動員6次罰球中投進的球數(shù)C．電視機的使用壽命D．從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)3．設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（）A．60 B．65 C．80 D．814．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個三等分點，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值5．如圖，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是，且是互相獨立的，燈亮的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．若1a<1bA．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<9．若滿足約束條件，則的最大值為（）A．9 B．5 C．11 D．310．定義上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，設(shè)，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．11．中，，是的中點，若，則（）.A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若、，，使得成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，含項的系數(shù)為______．14．設(shè)為實數(shù)時，實數(shù)的值是__________．15．若隨機變量，且，則__________.16．_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．18．（12分）已知直線：(為參數(shù))，曲線：（為參數(shù)）．(1)設(shè)與相交于兩點，求；(2)若把曲線上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點P是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．19．（12分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點，使得平面？不需說明理由．20．（12分）（1）求證：當(dāng)時，；（2）證明：不可能是同一個等差數(shù)列中的三項.21．（12分）已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為0.（1）求的值和的最大值；（2）若實數(shù)，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.22．（10分）人站成兩排隊列，前排人，后排人.（1）一共有多少種站法；（2）現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，求有多少種不同的加入方法.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分析：先化簡復(fù)數(shù)z,再判斷其在平面內(nèi)對應(yīng)的點在第幾象限.詳解：由題得，所以復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以在平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的計算和復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點是（a,b）,點（a,b）所在的象限就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在的象限.復(fù)數(shù)和點（a,b）是一一對應(yīng)的關(guān)系.2、C【解析】分析：直接利用離散型隨機變量的定義逐一判斷即可.詳解：隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量兩種，隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量，有些隨機變量，它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為“離散型隨機變量”，題目中都屬于離散型隨機變量，而電視機的使用壽命屬于連續(xù)型隨機變量，故選C.點睛：隨機取值的變量就是隨機變量，隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量兩種（變量分為定性和定量兩類，其中定性變量又分為分類變量和有序變量；定量變量分為離散型和連續(xù)型），隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量，本題考的離散型隨機變量.3、D【解析】由題意可得，成立，需要分五種情況討論：當(dāng)時，只有一種情況，即；當(dāng)時，即，有種；當(dāng)時，即，有種；當(dāng)時，即，有種當(dāng)時，即，有種，綜合以上五種情況，則總共為：種，故選D.【點睛】本題主要考查了創(chuàng)新型問題，往往涉及方程，不等式，函數(shù)等，對涉及的不同內(nèi)容，先要弄清題意，看是先分類還是先步，再處理每一類或每一步，本題抓住只能取相應(yīng)的幾個整數(shù)值的特點進行分類，對于涉及多個變量的排列，組合問題，要注意分類列舉方法的運用，且要注意變量取值的檢驗，切勿漏掉特殊情況.4、B【解析】

將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，計算，，則，得到答案.【詳解】將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，如圖所示：過作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設(shè)為，則，，故.同理可得：設(shè)二面角的平面角為，.，當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力.5、B【解析】分析：設(shè)大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.詳解：設(shè)大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.點睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計算問題，其中根據(jù)題意，準(zhǔn)確求解陰影部分的面積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

燈泡不亮包括四個開關(guān)都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．【詳解】由題意知，本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，燈泡不亮包括四個開關(guān)都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，燈泡不亮的概率是，燈亮和燈不亮是兩個對立事件，燈亮的概率是，故選：．【點睛】本題結(jié)合物理的電路考查了有關(guān)概率的知識，考查對立事件的概率和項和對立事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是看出事件之間的關(guān)系，燈亮的情況比較多，需要從反面來考慮，屬于中檔題．7、C【解析】

求導(dǎo)計算處導(dǎo)數(shù)，畫出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時，，則，；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；畫出和函數(shù)圖像，如圖所示：函數(shù)有3個交點，根據(jù)圖像知.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

不妨令a=-1，b=-2【詳解】由題1a<1b<0，不妨令a=-1，b=-2，可得a2＜ba-b=-1【點睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】

先作出不等式組所表示的可行域，然后平移直線，觀察直線在軸上的截距取最大值時對應(yīng)的最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入函數(shù)即可得出答案?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，點的坐標(biāo)為，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過點，它在軸上的截距取最大值，此時，取最大值，即，故選：A.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，解題思路就是作出可行域，平移直線觀察在坐標(biāo)軸上的截距變化尋找最優(yōu)解，是?？碱}型，屬于中等題。10、A【解析】

設(shè)，故，函數(shù)單調(diào)遞減，，代入化簡得到答案.【詳解】設(shè)，故，所以在上單調(diào)遞減，故，即，即，故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.11、D【解析】

作出圖象，設(shè)出未知量，在中，由正弦定理可得，進而可得，在中，還可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)，，，，在中，由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)解得，故，而在中，，故可得，化簡可得，解之可得，再由勾股定理可得，聯(lián)立可得，故在中，，故選：D．【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及勾股定理的應(yīng)用，屬于中檔題．12、B【解析】

對的范圍分類討論，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，即可判斷：、，，使得成立.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷：一定不存在、，，使得成立，問題得解.【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則：、，，使得成立.當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，在也遞增，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時一定不存在、，，使得成立.故選：B【點睛】本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于難題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用二項展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，再代入通項可得出項的系數(shù).【詳解】二項式展開式的通項為，令，因此，在的展開式中，含項的系數(shù)為，故答案為：.【點睛】本題考查利用二項式通項求指定項的系數(shù)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、3【解析】

設(shè)為實數(shù)，，可得或又因為，故答案為.15、【解析】

由條件求得，可得正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對稱．求得的值，根據(jù)對稱性，即可求得答案.【詳解】隨機變量，且，可得，正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對稱．，故答案為：．【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、4【解析】分析：利用微積分基本定理直接求解即可.詳解：即答案為4.點睛：本題考查微積分基本定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析:（1）在三角形中，兩邊和一角知道，該三角形是確定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三邊.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求角的正切值.（3）若是已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)大邊對大角進行判斷.（4）在三角興中，注意這個隱含條件的使用.試題解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.5分（2）設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化簡得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.12分考點：（1）在三角形中正余弦定理的應(yīng)用.（2）求角的三角函數(shù).18、(1)；(2)【解析】

（1）消去直線參數(shù)方程的參數(shù)，求得直線的普通方程.消去曲線參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線的普通方程，聯(lián)立直線和曲線的方程求得交點的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式求得.（2）根據(jù)坐標(biāo)變換求得曲線的參數(shù)方程，由此設(shè)出點坐標(biāo)，利用點到直線距離公式列式，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得到直線的距離的最大值.【詳解】（1）的普通方程為，的普通方程為，聯(lián)立方程組，解得交點為,所以=；（2）曲線：（為參數(shù)）．設(shè)所求的點為，則到直線的距離.當(dāng)時，取得最大值．【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線和圓相交所得弦長的求法，考查坐標(biāo)變換以及點到直線距離公式，還考查了三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題.19、（1）詳見解析（2）（3）不存在【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形求得，再利用線面平行的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夾角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，證明得出平面與平面不可能垂直，得出不存在點G.【詳解】解：（1）因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為，所以平面．（2）在平面ABEF內(nèi)，過A作，因為平面平面，，，所以，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由題意得，，，，，．所以，．設(shè)平面的法向量為則即令，則，，所以平面的一個法向量為則．所以二面角的余弦值．（3）線段上不存在點，使得平面，理由如下：解法一：設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以．因為，所以平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點，使得平面．解法二：線段上不存在點，使得平面，理由如下：假設(shè)線段上存在點，使得平面，設(shè)，其中．設(shè)，則有，所以，，，從而，所以．因為平面，所以．所以有，因為上述方程組無解，所以假設(shè)不成立．所以線段上不存在點，使得平面．【點睛】本題目主要考查了線面平行的判定，以及利用空間向量求二面角和線面垂直的方法，解題的關(guān)鍵是在于平面的法向量的求法，運算量較大，屬于中檔題.20、（1）證明過程詳見試題解析；（2）證明過程詳見試題解析.【解析】

（1）利用綜合法證明即可；（2）利用反證法證明，假設(shè)是同一個等差數(shù)列中的三項，分別設(shè)為am，an，ap，推出為無理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾，即可證明不可能是等差數(shù)列中的三項．【詳解】解：（1）∵（）2＝2a+2?，0，0且a+2≠a﹣2，∴，∴2（2）假設(shè)是同一個等差數(shù)列中的三項，分別設(shè)為am，an，ap，則為無理數(shù)，又為有理數(shù)，矛盾．所以，假設(shè)不成立，即不可能是同一個等差數(shù)列中的三項．【點睛】反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得．應(yīng)用反證法證明的具體步驟是：①反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；②歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：說明反設(shè)成立，從而肯定原命題成立．21、（1），的最大值為0.（2）【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)計算出，得出的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值作為函數(shù)的最大值；（2）將所求不等式轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為，對的取值范圍進行分類討論，考查函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)