【壓軸必考】2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略（人教版） 二次函數(shù)中的幾何存在性問題（原卷版）

二次函數(shù)中的幾何存在性問題類型一、特殊三角形問題例1．如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線平行于軸并交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)線段取得最大值時(shí)，在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接．(1)求線段AC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)Р為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．例3.如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上位于直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接AC，BD，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將拋物線沿著射線AD平移m個(gè)單位，平移后A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出m的值：若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)第一象限內(nèi)的二次函數(shù)圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸正半軸上有一點(diǎn)D，且OD=2，當(dāng)S△PCD=3時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M在第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上，是否存在以CD為直角邊的，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+4x+c與直線AB相交于點(diǎn)A(0，1)和點(diǎn)B(3，4)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)C為直線AB上方的拋物線上一點(diǎn)，連接AC，BC，以AC，BC為鄰邊作平行四邊形ACBP，求四邊形ACBP面積的最大值；(3)將該拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)D，是否存在點(diǎn)E使得△ADE是以AD為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．類型二、特殊四邊形問題例1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及對(duì)稱軸；(2)如圖，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在直線BC上方的拋物線上有動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作軸，交BC于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，若點(diǎn)D坐標(biāo)為，軸交直線BC于點(diǎn)E，將沿直線BC平移得到，移動(dòng)過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，C，，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在線段CB上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PFAB交BC于點(diǎn)F．(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式，(2)當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)為最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PEF的周長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)G是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以C、B、G、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE，求面積的最大值；(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上位于直線下方的一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線沿射線的方向平