山西省呂梁市臨縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．若命題：，，命題：，.則下列命題中是真命題的是（）A． B． C． D．3．甲、乙、丙三位同學(xué)獨(dú)立的解決同一個(gè)間題，已知三位同學(xué)能夠正確解決這個(gè)問題的概率分別為、、，則有人能夠解決這個(gè)問題的概率為（）A． B． C． D．4．某校有高一學(xué)生n名，其中男生數(shù)與女生數(shù)之比為6:5，為了解學(xué)生的視力情況，現(xiàn)要求按分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本容量為n10的樣本，若樣本中男生比女生多12人，則n=（A．990 B．1320 C．1430 D．15605．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步證明由到時(shí)，左邊應(yīng)加（）A． B． C． D．6．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對、兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)與殘差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)、兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則等于（）A． B． C． D．9．在公差為的等差數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)，滿足f'(x1A．（13，12）B．（32，3）C．（111．已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形12．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是______．14．設(shè)，若，則15．已知，則___________；16．已知向量的夾角為，且，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值與最小值．19．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（包括兩個(gè)端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.20．（12分）設(shè)，已知.（1）求的值（2）設(shè)，其中，求的值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)．（1）如果直線過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；（2）如果，證明直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其共軛復(fù)數(shù)即可.詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有：，則，其對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2、C【解析】

先判斷命題p和q的真假，再判斷選項(xiàng)得解.【詳解】對于命題p,,所以命題p是假命題，所以是真命題；對于命題q,，,是真命題.所以是真命題.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)合命題的真假的判斷，考查全稱命題和特稱命題的真假的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、B【解析】試題分析：此題沒有被解答的概率為，故能夠?qū)⒋祟}解答出的概率為．故選D．考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、對立事件的概率公式；注意正難則反的原則，屬于中檔題．4、B【解析】

根據(jù)題意得出樣本中男生和女生所占的比例分別為611和511，于是得出樣本中男生與女生人數(shù)之差為611【詳解】依題意可得(611-511)×n【點(diǎn)睛】本題考考查分層抽樣的相關(guān)計(jì)算，解題時(shí)要利用分層抽樣的特點(diǎn)列式求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5、D【解析】

當(dāng)成立，當(dāng)時(shí)，寫出對應(yīng)的關(guān)系式，觀察計(jì)算即可得答案.【詳解】在第二步證明時(shí)，假設(shè)時(shí)成立，即左側(cè)，則成立時(shí)，左側(cè)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查到成立時(shí)左邊項(xiàng)數(shù)的變化情況，考查理解與應(yīng)用的能力，屬于中檔題．6、B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．7、D【解析】試題分析：由題表格；相關(guān)系數(shù)越大，則相關(guān)性越強(qiáng)．而殘差越大，則相關(guān)性越?。傻眉住⒁?、丙、丁四位同學(xué)，中丁的線性相關(guān)性最強(qiáng)．考點(diǎn)：線性相關(guān)關(guān)系的判斷．8、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以分布列關(guān)于對稱，又所有概率和為1，所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì).9、A【解析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數(shù)列；若是遞增數(shù)列，則，，推不出，則“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件的判定.10、C【解析】試題分析：f'(x)=3x2-2x，f(a)-f(0)a-0=a2-a，所以函數(shù)f(x)=x3-x2+a是區(qū)間[0,a]上的“雙中值函數(shù)”等價(jià)于f'考點(diǎn)：1.新定義問題；2.函數(shù)與方程；3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義問題、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及學(xué)生接受鷴知識(shí)的能力與運(yùn)用新知識(shí)的能力，難題.新定義問題是命題的新視角，在解題時(shí)首先是把新定義問題中的新的、不了解的知識(shí)通過轉(zhuǎn)翻譯成了解的、熟悉的知識(shí)，然后再去求解、運(yùn)算.11、B【解析】分析：根據(jù)題意利用韋達(dá)定理列出關(guān)系式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡得到A=B，即可確定出三角形形狀．詳解：設(shè)已知方程的兩根分別為x1，x2，根據(jù)韋達(dá)定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC為等腰三角形．故選B．點(diǎn)睛：此題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識(shí)有：根與系數(shù)的關(guān)系，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．12、C【解析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值，再由基本不等式求出的最小值，結(jié)合題中條件，列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，由得；由得；因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以；又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故（當(dāng)且僅當(dāng)與同時(shí)取最小值時(shí)，等號(hào)成立）因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得，所以，解得.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及由基本不等式求最小值，熟記利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，以及熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分和兩種情況討論，根據(jù)外層函數(shù)的單調(diào)性、內(nèi)層函數(shù)的最值以及真數(shù)恒大于零可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為減函數(shù)，對于內(nèi)層函數(shù)，，則對任意的實(shí)數(shù)恒成立，由于二次函數(shù)有最小值，此時(shí)函數(shù)沒有最小值；當(dāng)時(shí)，外層函數(shù)為增函數(shù)，對于內(nèi)層函數(shù)，函數(shù)有最小值，若使得函數(shù)有最小值，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．14、1【解析】

15、【解析】

分別令和，代入求值，然后兩式相減計(jì)算結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，兩式相減：，所以：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式求系數(shù)和，重點(diǎn)考查賦值法，屬于基礎(chǔ)題型.16、3【解析】

運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義可得????，再利用向量的平方即為模的平方，計(jì)算可得答案.【詳解】解：?????????.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，相對簡單.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；單調(diào)增區(qū)間是.(2)存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.【解析】試題分析：本題考查用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的能成立問題.（1）求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性.（2）由題意只需求出函數(shù)的最小值即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.試題解析：⑴由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?∵，∴，①當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，恒成立，上單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，，∴，∴函數(shù)單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，即.若關(guān)于的不等式有解，則，又為整數(shù)，所以.所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.點(diǎn)睛：（1）能成立等價(jià)于；能成立等價(jià)于.（2）對于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在但不可求的問題，可根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定出零點(diǎn)所在的區(qū)間，在求函數(shù)的最值時(shí)可利用整體代換的方法求解，這是在用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題中常見的一種類型.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值為2，最小值為–1．【解析】（1）因?yàn)?，由，求得，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）因?yàn)椋?，故有，故?dāng)即x=0時(shí)，f（x）的最小值為–1，當(dāng)即時(shí)，f（x）的最大值為2．19、（1）①見解析；②；（2）.【解析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直和計(jì)算二面角．（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標(biāo)法求得設(shè)設(shè)由導(dǎo)數(shù)法求得范圍．【詳解】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，則①因?yàn)樗约储谝驗(yàn)樵O(shè)平面的一個(gè)法向量為由可得，取，則所以又因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，則.因?yàn)闉殇J角，所以所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為（2）因?yàn)樵诰€段上，所以設(shè)（），解得，所以.因?yàn)樵O(shè)平面的一個(gè)法向量為由可得，取則所以設(shè)直線與平面所成的角為則因?yàn)樗栽O(shè)則所以，設(shè)則，設(shè)可求得的取值范圍為，進(jìn)一步可求得的取值范圍為所以直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題全面考查利用空間向量坐標(biāo)法證明線線垂直，求二面角，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)求范圍，運(yùn)算難度較大．20、(1)；(2)；【解析】

（1）根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，求得的表達(dá)式，代入解方程，求得的值.（2）利用二項(xiàng)式展開式化簡，由此求得的值.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以因?yàn)樗越獾茫?）由（1）知.即所以因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式，考查方程的思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）-3（Ⅱ）過定點(diǎn)，證明過程詳見解析.【解析】

Ⅰ根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達(dá)出兩個(gè)向量的數(shù)量積．Ⅱ設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】Ⅰ由題意：拋物線焦點(diǎn)為設(shè)l：代入拋物線消去x得，，設(shè)，則，．Ⅱ設(shè)l：代入拋物線，消去x得設(shè)，則，令，．直線l過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】從最近幾年命題來看，向量為每年必考考點(diǎn)，都是以選擇題呈現(xiàn)，從2006到現(xiàn)在幾乎各省