概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)課件

第一部分概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方差分析8/14/20231第一部分概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)隨機(jī)事件及其概率8/1/201.1隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其運(yùn)算概率的定義及其運(yùn)算條件概率全概率公式與貝葉斯公式事件的獨(dú)立性8/14/202321.1隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其運(yùn)算8/1/20231.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱(chēng)“試驗(yàn)”)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.試驗(yàn)可能結(jié)果不止一個(gè),但能確定所有的可能結(jié)果;3.一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。隨機(jī)試驗(yàn)可表為E

8/14/202331.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)試驗(yàn)(簡(jiǎn)稱(chēng)“試驗(yàn)”)8/例1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)例：E1:

拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E3:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E4:記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E5:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命。8/14/20234例1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)例：8/1/202341.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算樣本空間實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合稱(chēng)為樣本空間，記為?樣本點(diǎn)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱(chēng)為一個(gè)樣本點(diǎn),記為ω

基本事件由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集8/14/202351.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算樣本空間8/1/202351.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”,簡(jiǎn)稱(chēng)“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.稱(chēng)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是A中的元素兩個(gè)特殊事件:必然事件?

、不可能事件Φ.8/14/202361.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件8/1/20236例1.1.2對(duì)于試驗(yàn)E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)，以下隨機(jī)事件:?1={0，1，2，3}-----必然事件?A＝“至少出一個(gè)正面”＝{1，2，3}；而對(duì)試驗(yàn)E5：在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命。?2={x:0≤x≤

∞(小時(shí)）}。B＝“燈泡壽命超過(guò)1000小時(shí)”＝{x:1000<x<∞(小時(shí)）}1.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算8/14/20237例1.1.2對(duì)于試驗(yàn)E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)1.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件之間的關(guān)系1.包含關(guān)系“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”記為ABA＝BAB且BA.2.和事件：“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作ABn個(gè)事件A1,A2,…,An至少有一個(gè)發(fā)生，記作3.積事件:A與B同時(shí)發(fā)生，記作AB＝ABn個(gè)事件A1,A2,…,An同時(shí)發(fā)生，記作A1A2…An8/14/202381.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件之間的關(guān)系8/1/2024.差事件：A－B稱(chēng)為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生5.事件的互斥：AB＝表示事件A、B不能同時(shí)發(fā)生6.事件的互逆AB＝,且AB＝1.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算8/14/202394.差事件：A－B稱(chēng)為A與B的差事件,表示事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)1.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件的運(yùn)算規(guī)律1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、對(duì)偶(DeMorgan)律：

8/14/2023101.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算事件的運(yùn)算規(guī)律8/1/202例1.1.3甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：1.1.1隨機(jī)事件及其運(yùn)算8/14/202311例1.1.3甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C1.1.2概率的定義及其運(yùn)算從直觀上來(lái)看，事件A的概率是指事件A發(fā)生的可能性。古典概型與概率若某實(shí)驗(yàn)E滿(mǎn)足1.有限性：樣本空間?＝{ω1,ω

2,…,ωn};2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).則稱(chēng)E為古典概型也叫等可能概型。8/14/2023121.1.2概率的定義及其運(yùn)算從直觀上來(lái)看，事件A的概率設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A)，以N(?)記樣本空間?中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有P(A)具有如下性質(zhì)：(1)0

P(A)

1；(2)P(

)＝1；P(

)=0(3)AB＝，則

P(A

B

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202313設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為N(A)，以N(?)記樣本空間?例1.1.4甲有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少?解:設(shè)A--至少有一個(gè)男孩,以H表示某個(gè)孩子是男孩T是女孩N(?)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202314例1.1.4甲有三個(gè)子女的家庭,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等例1.1.5:設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202315例1.1.5:設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202316一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則例1.1.6:將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202317例1.1.6:將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)：解:設(shè)A:一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到m個(gè)盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：

某班級(jí)有n個(gè)人(n365)，問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？?1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202318一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到m個(gè)盒子中去(nm)，則每盒至1.1.2概率的定義及其運(yùn)算概率的統(tǒng)計(jì)定義事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱(chēng)為事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).即：fn(A)＝nA/n.頻率的性質(zhì)(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(?)＝1；fn(Φ)=0(3)可加性：若AB＝Φ，則fn(A

B)＝fn(A)＋fn(B).8/14/2023191.1.2概率的定義及其運(yùn)算概率的統(tǒng)計(jì)定義8/1/20實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.50051.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202320實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定1.1.2概率的定義及其運(yùn)算概率的加法公式對(duì)任意兩事件A、B，有P(AUB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，…，An的情形，以及：(1)互補(bǔ)性：P(ā)＝1－P(A);(2)可分性：對(duì)任意兩事件A、B，有P(B)＝P(BA)＋P(Bā).8/14/2023211.1.2概率的定義及其運(yùn)算概率的加法公式8/1/20例1.1.7某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙.沒(méi)有人同時(shí)訂甲乙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào)1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202322例1.1.7某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占1.1.2概率的定義及其運(yùn)算幾何概型設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為某可度量的區(qū)域?，且?中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性大小與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)，則稱(chēng)E為幾何概型的試驗(yàn)。且定義事件A的概率為：8/14/2023231.1.2概率的定義及其運(yùn)算幾何概型8/1/20232例1.1.8:蒲豐(Buffon)投針問(wèn)題：平面上畫(huà)著一些平行線(xiàn)，他們之間的距離都是a，向此平面隨意投一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的針，試求此針與任一平行線(xiàn)相交的概率。解:以x表示針的中點(diǎn)到最近一條平行線(xiàn)的距離，以θ表示針與平行線(xiàn)的夾角，如圖所示：顯然樣本空間為：θxa1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202324例1.1.8:蒲豐(Buffon)投針問(wèn)題：解:以x表示針的以R表示邊長(zhǎng)為a/2與π的長(zhǎng)方形，針與平行線(xiàn)相交當(dāng)且僅當(dāng)：設(shè)在R中滿(mǎn)足該關(guān)系的區(qū)域?yàn)镚，即圖中陰影部分，則所求概率為：x=Lsinθ/2Ra/2Gπ1.1.2概率的定義及其運(yùn)算8/14/202325以R表示邊長(zhǎng)為a/2與π的長(zhǎng)方形，針與平行線(xiàn)相交當(dāng)且僅當(dāng)：設(shè)1.1.3條件概率思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問(wèn)：(1)第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？(2)第二個(gè)人取得紅球的概率是多少？(3)若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？(4)若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？?8/14/2023261.1.3條件概率思考：袋中有十只球，1.1.3條件概率條件概率的定義已知事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱(chēng)為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間?中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則8/14/2023271.1.3條件概率條件概率的定義8/1/202327例1.1.9設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）求兩次均取到紅球的概率（2）求第二次取到紅球的概率（3）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率;設(shè)A——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球1.1.3條件概率8/14/202328例1.1.9設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取?=ABA——第一次取到紅球,B——第二次取到紅球1.1.3條件概率8/14/202329?=ABA——第一次取到紅球,1.1.3條件概率8/11.1.3條件概率乘法公式設(shè)P(A)>0,則:P(AB)＝P(A)P(B|A)

稱(chēng)為事件A、B的概率乘法公式推廣到三個(gè)事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1).8/14/2023301.1.3條件概率乘法公式8/1/202330例1.1.10有1張電影票需要給3個(gè)人分，每個(gè)人都想要，決定用抓鬮的方式解決，問(wèn)抓鬮的先后對(duì)此方法的公平性是否有影響。解：設(shè)Ai為第i次抓鬮時(shí)取到電影票，i=1,2,3。則由此可見(jiàn)，抓鬮的方式是公平的！可推廣到n中抓m的情況。P=m/n8/14/202331例1.1.10有1張電影票需要給3個(gè)人分，每個(gè)人都想要，決1.1.4全概率公式與貝葉斯公式完備事件組事件組A1，A2，…，An(n可為∞)，稱(chēng)為樣本空間?的一個(gè)完備事件組，若滿(mǎn)足：AnA2A1-----B----------?8/14/2023321.1.4全概率公式與貝葉斯公式完備事件組AnA2A11.1.4全概率公式與貝葉斯公式全概率公式事件組A1，A2，…，An為樣本空間?的一個(gè)完備事件組，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件B∈?有：AnA2A1-----B----------?8/14/2023331.1.4全概率公式與貝葉斯公式全概率公式AnA2A1例1.1.11市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠(chǎng)生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠(chǎng)的市場(chǎng)占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠(chǎng)的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。B8/14/202334例1.1.11市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠(chǎng)生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球；

甲乙例1.1.12有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球．這六個(gè)球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑔?wèn)此球是紅球的概率？8/14/202335解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球；甲乙例1.1.121.1.4全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？?事件組A1，A2，…，An為樣本空間?的一個(gè)完備事件組，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對(duì)任何事件B∈?有：8/14/2023361.1.4全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式?事件組A1稱(chēng)為貝葉斯公式。例1.1.13用血清甲胎蛋白法診斷肝癌，試驗(yàn)反應(yīng)有陰性和陽(yáng)性?xún)煞N結(jié)果。當(dāng)被診斷者患肝癌時(shí)，其反應(yīng)為陽(yáng)性的概率為0.95；當(dāng)被診斷者未患肝癌時(shí)，其反應(yīng)為陰性的概率為0.9。根據(jù)記錄，某地人群中肝癌的患病率為0.0004，現(xiàn)有一人的試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，問(wèn)此人確實(shí)患肝癌的概率?8/14/202337稱(chēng)為貝葉斯公式。例1.1.13用血清甲胎蛋白法診斷肝癌，試驗(yàn)解：設(shè)A1——患肝癌；A2——未患肝癌；

B——反應(yīng)為陽(yáng)性；則：根據(jù)貝葉斯公式，有所求概率為：表明還需要通過(guò)綜合考慮其他方面才能確診?。?！8/14/202338解：設(shè)A1——患肝癌；根據(jù)貝葉斯公式，有所求概率為：表明還需1.1.5事件的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件獨(dú)立的定義設(shè)A、B是兩事件，P(A)≠0,若

P(B)＝P(B|A)?

P(AB)＝P(A)P(B)

則稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立（即A的發(fā)生與否對(duì)B毫無(wú)影響）。定理以下四件事等價(jià)：(1)事件A、B相互獨(dú)立；(2)事件A、B相互獨(dú)立；(3)事件A、B相互獨(dú)立；(4)事件A、B相互獨(dú)立。8/14/2023391.1.5事件的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件獨(dú)立的定義8/1/21.1.5事件的獨(dú)立性多個(gè)事件獨(dú)立的定義若三個(gè)事件A、B、C滿(mǎn)足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱(chēng)事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),則稱(chēng)事件A、B、C相互獨(dú)立。8/14/2023401.1.5事件的獨(dú)立性多個(gè)事件獨(dú)立的定義8/1/21.1.5事件的獨(dú)立性推廣：一般地，設(shè)A1，A2，…，An是n個(gè)事件，如果對(duì)任意k(1≤k≤n),任意的1≤i1<i2

<…<ik≤n，具有等式：

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)

則稱(chēng)n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立。8/14/2023411.1.5事件的獨(dú)立性推廣：8/1/2023411.1.5事件的獨(dú)立性事件獨(dú)立性的應(yīng)用1、加法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,則：2、在可靠性理論上的應(yīng)用8/14/2023421.1.5事件的獨(dú)立性事件獨(dú)立性的應(yīng)用8/1/201.2隨機(jī)變量隨機(jī)變量的概念離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量正態(tài)分布8/14/2023431.2隨機(jī)變量隨機(jī)變量的概念8/1/2023431.2.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量

設(shè)?={ω}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量X是定義在?上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè)ω

?，有一實(shí)數(shù)X=X(ω)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)X為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用X、Y、Z或、等表示。通俗地說(shuō)，每一個(gè)樣本點(diǎn)可以數(shù)量化，每次試驗(yàn)的結(jié)果在未結(jié)束前是個(gè)未知變量，而且取值具有隨機(jī)性。隨機(jī)變量的特點(diǎn):(1)X的全部可能取值是互斥且完備的(2)X的部分可能取值描述隨機(jī)事件8/14/2023441.2.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量8/1/202344?請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子例1.2.1引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：(1)將3個(gè)球隨機(jī)放入三個(gè)格子中，記空格子數(shù)為X：事件A={有1個(gè)空格}={X=1}，B={全有球}={X=0}。(2)進(jìn)行5次試驗(yàn)，記試驗(yàn)成功次數(shù)為Y：事件C={試驗(yàn)成功一次}={Y=1}，D={試驗(yàn)至少成功一次}={Y≥1}(3)擲1次硬幣，觀察正反面。記正面為1，反面為08/14/202345?請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子例1.2.1引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量1.2.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的分類(lèi)

隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)X是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，事件{X≤x}的概率P{X≤x}稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P{X≤x}.易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a).

8/14/2023461.2.1隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的分類(lèi)隨機(jī)變量的分布函數(shù)8/1.2.1隨機(jī)變量的概念分布函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)不減性：若x1<x2,則F(x1)≤F(x2);(2)歸一性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0≤F(x)≤1，且(4)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a<b),P{a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a).

具有(1~3)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。(3)右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，8/14/2023471.2.1隨機(jī)變量的概念分布函數(shù)的性質(zhì)(4)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,當(dāng)x<0時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>1時(shí),F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時(shí),特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1例1.2.2向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比，求X的分布函數(shù)解：F(x)=P{X≤x}

1.2.1隨機(jī)變量的概念8/14/202348當(dāng)x<0時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>1時(shí),F(x)=1當(dāng)0≤x≤1.2.2離散型隨機(jī)變量定義

若隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn,…而且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱(chēng)X為離散型隨機(jī)變量，而稱(chēng)P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)為X的分布律(列)或概率分布。也可表為:X

x1 x2 …

xK … P

p1 p2 … pk …8/14/2023491.2.2離散型隨機(jī)變量定義X x1 x2 … xK1.2.2離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1.2.3設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解k可取值0，1，28/14/2023501.2.2離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)(1)pk01.2.2離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)

一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀!8/14/2023511.2.2離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不解

X012P0.10.60.3例1.2.4設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如右表:試求出X的分布函數(shù)。1.2.2離散型隨機(jī)變量8/14/202352解X012P0.10.60.3例1.2兩點(diǎn)(0-1)分布

若隨機(jī)變量X的取值為0,1兩個(gè)值，分布律為：

P{X＝0}=q=1-p,P{X＝1}=p則稱(chēng)X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布)

1.2.2離散型隨機(jī)變量幾個(gè)常用的離散型分布8/14/202353兩點(diǎn)(0-1)分布1.2.2離散型隨機(jī)變量幾個(gè)常用的離散2.貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱(chēng)這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).若以X表示n重貝努里試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記作X~B（n,p)

其分布律為：1.2.2離散型隨機(jī)變量8/14/2023542.貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布1.2.2解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:例1.2.5從某大學(xué)到火車(chē)站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)X為汽車(chē)行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車(chē)行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.8/14/202355解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:3.泊松(Poisson)分布P(λ)若隨機(jī)變量X的分布律為：1.2.2離散型隨機(jī)變量P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的泊松分布。記作X~P（λ)

泊松定理設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

即可認(rèn)為X~P（λ)8/14/2023563.泊松(Poisson)分布P(λ)1.2.2離散型隨泊松定理表明：泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布1.2.2離散型隨機(jī)變量8/14/202357泊松定理表明：泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，1.2.2離解

設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…取λ=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有：例1.2.6某人射擊的命中率為0.02，他獨(dú)立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.8/14/202358解設(shè)X表示400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)，例1.2.6某解:由題意,例1.2.7設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。8/14/202359解:由題意,例1.2.7設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在(-∞，+∞)上的非負(fù)函數(shù)f(x)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有：概率密度則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù).8/14/2023601.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在(-∞，+密度函數(shù)的幾何意義為8/14/202361密度函數(shù)的幾何意義為8/1/202361

(1)

非負(fù)性f(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；

1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)(3)若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則8/14/202362(1)非負(fù)性f(x)0，(-<x<)；性質(zhì)(1)1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(4)對(duì)任意實(shí)數(shù)b，若X～f(x)，(-<x<)，則:P{X=b}＝0。(5)8/14/2023631.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量(4)對(duì)任意實(shí)數(shù)b，若X～f(x1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量幾個(gè)常用的連續(xù)型分布1.

均勻分布若X的分布密度為：則稱(chēng)X在(a,b)內(nèi)服從均勻分布。記作X~U(a,b)

對(duì)任意實(shí)數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有8/14/2023641.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量幾個(gè)常用的連續(xù)型分布1.均勻分布若1545解：設(shè)A—乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60)例1.2.8長(zhǎng)途汽車(chē)起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車(chē)，設(shè)乘客不知發(fā)車(chē)時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站，求乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率8/14/2023651545解：設(shè)A—乘客候車(chē)時(shí)間超過(guò)10分鐘例1.2.8長(zhǎng)途2.

指數(shù)分布

若X的分布密度為：則稱(chēng)X服從參數(shù)為

>0的指數(shù)分布，記為：X~exp(λ)。其分布函數(shù)為1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量8/14/2023662.指數(shù)分布則稱(chēng)X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布，記為：X~e解例1.2.9電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？8/14/202367解例1.2.9電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布8

正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布--高斯(Gauss)分布1.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布密度為：其中為實(shí)數(shù)，

>0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為：X～N(,2).8/14/202368正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多1.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布的特性

(1)單峰對(duì)稱(chēng)密度曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=

對(duì)稱(chēng)；f()＝maxf(x)＝.(2)

的大小直接影響概率分布越大，曲線(xiàn)越平坦；越小，曲線(xiàn)越陡峭。8/14/2023691.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布的特性(1)單峰對(duì)稱(chēng)(2)

參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作：X~N(0,1)。1.2.4正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布8/14/202370參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，1.2.4正態(tài)分布性質(zhì)(1)密度函數(shù)(2)分布函數(shù)(3)(x)＝1－(－x)；(4)若X～N(,2)，則一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書(shū)均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。8/14/2023711.2.4正態(tài)分布性質(zhì)(1)密度函數(shù)(2)分布函數(shù)(3)1.2.4正態(tài)分布性質(zhì)(1)密度函數(shù)(2)分布函數(shù)(3)(x)＝1－(－x)；(4)若X～N(,2)，則8/14/2023721.2.4正態(tài)分布性質(zhì)(1)密度函數(shù)(2)分布函數(shù)(3)例1.2.10

(1)Z~N(0，1):Φ(0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066(2)X~N(μ,σ2):

P{-3σ<X-μ<

3σ}=Φ(3)-Φ(-3)=2Φ(3)-1=0.99731.2.4正態(tài)分布上式稱(chēng)為3

原則.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X|≤3}≈1，忽略P{|X|>3}的值.如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值±3

作兩條線(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線(xiàn)之外時(shí)發(fā)出警報(bào).表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.8/14/202373例1.2.101.2.4正態(tài)分布上式稱(chēng)為3原則.在工程解:設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,p)其中例1.2.11一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時(shí)）服從正態(tài)分布Ｎ(100,225),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率.

1.2.4正態(tài)分布8/14/202374解:設(shè)Y為使用的最初90小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),故則Y~B(3,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律中心極限定理1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征8/14/202375隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征8/1引例：設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如下表所示：分?jǐn)?shù)4060708090100總?cè)藬?shù)人數(shù)169157240則學(xué)生的平均成績(jī)是總分÷總?cè)藬?shù)。即數(shù)學(xué)期望——描述隨機(jī)變量取值的平均特征1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的定義8/14/202376引例：設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)及得分人數(shù)如下表所1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的定義若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,....則稱(chēng)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱(chēng)期望或均值。函數(shù)Y=g(X)的期望E(g(X))為8/14/2023771.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的定義若X~P{1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的定義為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望若X~f(x),-<x<,則稱(chēng)若X~f(x),-<x<,則Y=g(X)的期望8/14/2023781.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的定義為隨機(jī)變量例1.3.1擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望。1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差例1.3.2設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量Y=aX+b的數(shù)學(xué)期望(其中a>0)8/14/202379例1.3.1擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點(diǎn)數(shù)，求解:設(shè)乘客于某時(shí)X分到達(dá)車(chē)站,候車(chē)時(shí)間為Y,則=10分25秒例1.3.3長(zhǎng)途汽車(chē)起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、30分、55分發(fā)車(chē)，設(shè)乘客不知發(fā)車(chē)時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車(chē)站，求乘客的平均候車(chē)時(shí)間8/14/202380解:設(shè)乘客于某時(shí)X分到達(dá)車(chē)站,候車(chē)時(shí)間為Y,則=10分25秒1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.E(c)=c,c為常數(shù);2.E(cX)=cE(X),c為常數(shù);4.若X與Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y).3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)推廣：E(aX+b)=aE(X)+b8/14/2023811.3.1隨機(jī)變量的期望與方差數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.E(例1.3.4若X~B(n,p),求E(X)1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差例1.3.5設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn服從N(μ,σ2)分布，求隨機(jī)變量:的數(shù)學(xué)期望8/14/202382例1.3.4若X~B(n,p),求E(X)1.3.1隨方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的一個(gè)數(shù)字特征。1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差方差的定義若E(X),E(X2)存在,則稱(chēng)E[X-E(X)]2=E(X)2–[E(X)]2

為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X)或Var(X).稱(chēng) 為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差方差的性質(zhì)(1)D(c)=0(2)D(aX)=a2D(X),a為常數(shù)；(3)若X，Y獨(dú)立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);8/14/202383方差是衡量隨機(jī)變量取值波動(dòng)程度的一個(gè)數(shù)字特征。1.3.11.3.1隨機(jī)變量的期望與方差推廣：若X，Y獨(dú)立，則D(X-Y)=D(X)+D(Y)D(aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y)8/14/2023841.3.1隨機(jī)變量的期望與方差推廣：若X，Y獨(dú)立，求D（X）1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差例1.3.6設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為8/14/202385求D（X）1.3.1隨機(jī)變量的期望與方差例1.3.6設(shè)1.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差0-1分布EX=p,E(X2)=p,DX=pq二項(xiàng)分布B(n,p)8/14/2023861.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差0-1分布EX=p,E(X1.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差二項(xiàng)分布B(n,p)8/14/2023871.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差二項(xiàng)分布B(n,p)8/1.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差泊松分布X~P(λ)8/14/2023881.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差泊松分布X~P(λ)8/11.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差均勻分布U(a,b)8/14/2023891.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差均勻分布U(a,b)8/1.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差指數(shù)分布X~exp(λ)8/14/2023901.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差指數(shù)分布X~exp(λ)81.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差正態(tài)分布N(μ,σ2)8/14/2023911.3.2幾個(gè)常見(jiàn)分布的期望與方差正態(tài)分布N(μ,σ2)81.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差定義若隨機(jī)變量X和Y的期望E(X)、E(Y)存在,則稱(chēng)：COV(X,Y)=E{[X

E(X)][Y

E(Y)]}為X與Y的協(xié)方差,易見(jiàn)：

COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y)當(dāng)COV(X,Y)=0時(shí)，稱(chēng)X與Y不相關(guān)。X與Y不相關(guān)是X與Y獨(dú)立的必要條件。8/14/2023921.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差定義若隨機(jī)變量X和1.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差性質(zhì)

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b為常數(shù)(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y).8/14/2023931.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差性質(zhì)(1)COV(1.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)定義若X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且DX>0,DY>0，則稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù).

注：若記稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)化，易知EX*=0，DX*=1.且8/14/2023941.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)定義若X，Y的方差和協(xié)1.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)

(1)|

XY|1；(2)|

XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關(guān)

XY=0;

矩1.K階原點(diǎn)矩

Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)稱(chēng)為X的K階絕對(duì)原點(diǎn)矩；2.K階中心矩

Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k稱(chēng)為X的K階絕對(duì)中心矩；8/14/2023951.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)(1)1.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)

(1)|

XY|1；(2)|

XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X與Y不相關(guān)

XY=0;

矩1.K階原點(diǎn)矩

Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)稱(chēng)為X的K階絕對(duì)原點(diǎn)矩；2.K階中心矩

Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k稱(chēng)為X的K階絕對(duì)中心矩；8/14/2023961.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)(1)設(shè)X1，…,Xn為n個(gè)隨機(jī)變量,記cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.則稱(chēng)由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1，…,Xn的協(xié)方差矩陣C。即1.3.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣8/14/202397設(shè)X1，…,Xn為n個(gè)隨機(jī)變量,記cij=

若隨機(jī)變量X的期望和方差存在，則對(duì)任意0，有這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等價(jià)的形式：切比雪夫不等式1.3.4大數(shù)定律8/14/202398若隨機(jī)變量X的期望和方差存在，則對(duì)任意0，有這就是著1.3.4大數(shù)定律8/14/2023991.3.4大數(shù)定律8/1/202399解:由切比雪夫不等式令1.3.4大數(shù)定律例1.3.6已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a,使股價(jià)超過(guò)1+a元或低于1-a元的概率小于10%。8/14/2023100解:由切比雪夫不等式令1.3.4大數(shù)定律例1.3.6已依概率收斂1.3.4大數(shù)定律設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，若任給>0,使得：則稱(chēng){Xn}依概率收斂于X.可記為8/14/2023101依概率收斂1.3.4大數(shù)定律設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，如意思是:當(dāng)a而意思是:時(shí),Xn落在內(nèi)的概率越來(lái)越大.,當(dāng)1.3.4大數(shù)定律8/14/2023102如意思是:當(dāng)a而意思是:時(shí),Xn落在內(nèi)的概率越來(lái)越大.,當(dāng)1依概率收斂1.3.4大數(shù)定律設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，若任給>0,使得：則稱(chēng){Xn}依概率收斂于X.可記為8/14/2023103依概率收斂1.3.4大數(shù)定律設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有相同的數(shù)學(xué)期望，及方差2>0，則即若任給>0,使得1.3.4大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律8/14/2023104設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有相同證明:由切比雪夫不等式這里故8/14/2023105證明:由切比雪夫不等式這里故8/1/2023105設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，記fn為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，則證明:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定理1.3.4大數(shù)定律伯努里大數(shù)定律8/14/2023106設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，記f若{Xk,k=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,EXk=<,k=1,2,…則推論:若{Xi,i=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E(X1k)=<,則1.3.4大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律8/14/2023107若{Xk,k=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)

設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x),F(x).若在F(x)的連續(xù)點(diǎn)，有則稱(chēng){Xn}依分布收斂于X.可記為1.3.5中心極限定理依分布收斂8/14/2023108設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，其對(duì)應(yīng)的

設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=<，DXk=2≠0，k=1,2,…,則{Xn}滿(mǎn)足：1.3.5中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg)根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時(shí)實(shí)際上，當(dāng)n充分大時(shí)，Xi對(duì)總和的影響既均勻又微小8/14/2023109設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=<解:設(shè) Xk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨(dú)立同分布.由中心極限定理例1.3.7將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？1.3.5中心極限定理8/14/2023110解:設(shè) Xk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,…,100,則

設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=<，DXk=2≠0，k=1,2,…,則{Xn}滿(mǎn)足：1.3.5中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg)根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時(shí)實(shí)際上，當(dāng)n充分大時(shí)，Xi對(duì)總和的影響既均勻又微小8/14/2023111設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=<設(shè)隨機(jī)變量

n(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則證明:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則由中心極限定理,結(jié)論得證1.3.5中心極限定理德莫佛-拉普拉斯中心極限定理8/14/2023112設(shè)隨機(jī)變量n(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(1.3.5中心極限定理例1.3.8在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問(wèn)：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？8/14/20231131.3.5中心極限定理例1.3.8在一家保險(xiǎn)公司里解：

設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X~B(n,p),其中：n=10000，p=0.6%，np=60,npq=59.64設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)，Y=10000*12-1000X于是由中心極限定理(1)P{Y<0}=P{10000*12-1000X<0}=1

P{X

120}

1

(7.75)=0;1.3.5中心極限定理8/14/2023114解：設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X~B(n,p),1.P{Y>60000}=P{10000*12-aX>60000}=P{X

60000/a}

0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價(jià)于1.3.5中心極限定理8/14/2023115P{Y>60000}=P{10000*12-aX>60000隨機(jī)樣本抽樣分布1.4數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念8/14/20231161.4數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念8/1/2023116

1.總體----研究對(duì)象的全體。通常指研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)全體。

組成總體的元素稱(chēng)為個(gè)體。從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布。1.4.1隨機(jī)樣本總體與樣本2.樣本：來(lái)自總體的部分個(gè)體X1，…，Xn如果滿(mǎn)足：(1)同分布性：Xi，i=1,…,n與總體X同分布.8/14/20231171.總體----研究對(duì)象的全體。從本質(zhì)上講，總1.4.1隨機(jī)樣本

(2)獨(dú)立性：X1，…，Xn相互獨(dú)立；則稱(chēng)為容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本。而稱(chēng)X1，…，Xn的一次實(shí)現(xiàn)為樣本觀察值，記為x1，…，xn

簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本來(lái)自于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，特點(diǎn)：(1)每次抽樣中，各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等(2)每次抽樣前，總體成分保持不變樣本容量n相對(duì)于總體容量N而言是極小的，在試驗(yàn)中，不放回抽樣可近似認(rèn)為是有放回抽樣。8/14/20231181.4.1隨機(jī)樣本(2)獨(dú)立性：X1，…，Xn3.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體樣本樣本觀察值？理論分布統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料——樣本觀察值，去推斷總體的情況——總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體1.4.1隨機(jī)樣本8/14/20231193.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體樣本樣本觀察值？理統(tǒng)計(jì)量的定義抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布1.4.2抽樣分布8/14/2023120統(tǒng)計(jì)量的定義1.4.2抽樣分布8/1/20231201.4.2抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的定義如果樣本X1,…,Xn的函數(shù)g(X1，…，Xn)不含未知參數(shù)，則稱(chēng)g(X1，…，Xn)是總體X的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量.

如：8/14/20231211.4.2抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的定義如果樣本X1,…1.4.2抽樣分布三大抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到如下三個(gè)分布：

2—分布、t—分布和F—分布。

1

2—分布8/14/20231221.4.2抽樣分布三大抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分(2)2—分布的密度函數(shù)f(x)曲線(xiàn)1.4.2抽樣分布8/14/2023123(2)2—分布的密度函數(shù)f(x)曲線(xiàn)1.4.2抽(3)臨界點(diǎn)

設(shè)X

~2(n)，若對(duì)于：0<<1，存在滿(mǎn)足則稱(chēng)為分布的臨界點(diǎn)。1.4.2抽樣分布8/14/2023124(3)臨界點(diǎn)滿(mǎn)足則稱(chēng)為分布的臨界點(diǎn)。1.4.2實(shí)際應(yīng)用中，常常將滿(mǎn)足：的點(diǎn)稱(chēng)為分布的上側(cè)臨界點(diǎn)。1.4.2抽樣分布而將滿(mǎn)足：的點(diǎn)分布的下側(cè)臨界點(diǎn)。稱(chēng)為8/14/2023125實(shí)際應(yīng)用中，常常將滿(mǎn)足：的點(diǎn)稱(chēng)為分布的上側(cè)臨界點(diǎn)。1.4.2使得：對(duì)于不同的n和a,和1.4.2抽樣分布可查χ2分布表得到。(4)性質(zhì):分布可加性:

若X~2(n1),Y~2(n2),X與Y獨(dú)立,則X

+

Y

~2(n1+n2)

期望與方差:

若X~2(n)，則E(X)=n，D(X)=2n8/14/2023126使得：對(duì)于不同的n和a,和1.4.2抽樣分布可查χ2分1.4.2抽樣分布三大抽樣分布2

t—分布(1)定理：若~(yú)N(0,1),~2(n),與

獨(dú)立，則t(n)稱(chēng)為自由度為n的t—分布。(2)t(n)

的概率密度為:8/14/20231271.4.2抽樣分布三大抽樣分布2t—分布(1)定1.4.2抽樣分布(3)基本性質(zhì):f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對(duì)稱(chēng)。f(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即

表明：當(dāng)n比較大時(shí)(n≥30),可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替t分布8/14/20231281.4.2抽樣分布(3)基本性質(zhì):表明：當(dāng)n比較大時(shí)(4)臨界點(diǎn)設(shè)T～t(n)，若對(duì):0<<1,存在t

(n)>0，滿(mǎn)足：P{-t

(n)≤T≤t

(n)}=1-，則稱(chēng)t

(n)為t(n)的臨界點(diǎn)1.4.2抽樣分布8/14/2023129(4)臨界點(diǎn)1.4.2抽樣分布8/1/20231291.4.2抽樣分布三大抽樣分布3

F—分布(1)定理：若X~χ2(n1)，Y~χ2(n2)，X與Y獨(dú)立，則稱(chēng)為第一自由度為n1，第二自由度為n2的F—分布。其概率密度為8/14/20231301.4.2抽樣分布三大抽樣分布3F—分布(1)定(2)F-分布的臨界點(diǎn)1.4.2抽樣分布

對(duì)于：0<<1，若存在F/2(n1,n2)>0，滿(mǎn)足：P{FF/2(n1,n2)}=/2，則稱(chēng)F/2(n1,n2)為F分布的上側(cè)臨界點(diǎn)；

對(duì)于：0<<1，若存在F1-/2(n1,n2)>0，滿(mǎn)足：P{FF1-/2(n1,n2)}=1-/2，則稱(chēng)F1-/2(n1,n2）為F分布的下側(cè)臨界點(diǎn)；總之，使得：

P{F1-/2(n1,n2)≤F≤F/2(n1,n2)}=1-8/14/2023131(2)F-分布的臨界點(diǎn)1.4.2抽樣分布對(duì)于：0(3)F-分布的性質(zhì)1.4.2抽樣分布證明:設(shè)F~F(n1,n2),則8/14/2023132(3)F-分布的性質(zhì)1.4.2抽樣分布證明:設(shè)F~F(1.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布1

樣本均值證明:由于n個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性組合,仍然服從正態(tài)分布8/14/20231331.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布1樣本均值證1.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布2

樣本方差定理4證明提示:8/14/20231341.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布2樣本方差定理1.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布2

樣本方差8/14/20231351.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布2樣本方差8/1.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布3

樣本矩8/14/20231361.4.2抽樣分布常用統(tǒng)計(jì)量及其分布3樣本矩8/1點(diǎn)估計(jì)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.5參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題是一類(lèi)統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，指的是在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，采用抽樣的方法，從獲取的樣本數(shù)據(jù)中提取有用的信息，來(lái)對(duì)總體的情況進(jìn)行推斷，主要指的是對(duì)分布形式已知的總體中的某些未知參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題。主要內(nèi)容：8/14/2023137點(diǎn)估計(jì)1.5參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題是設(shè)X1，…，Xn是總體X的一個(gè)樣本，其分布函數(shù)為F(x;

),。其中

為未知參數(shù),

為參數(shù)空間,若統(tǒng)計(jì)量g(X1，…，Xn)可作為

的一個(gè)估計(jì),則稱(chēng)其為的一個(gè)估計(jì)量，記為注：F(x;

)也可用分布律或密度函數(shù)代替.1.5.1點(diǎn)估計(jì)參數(shù)估計(jì)的概念8/14/2023138設(shè)X1，…，Xn是總體X的一個(gè)樣本，其分布若x1，…，xn是樣本的一個(gè)觀測(cè)值。

由于g(x1，…，xn)

是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)用它來(lái)估計(jì)，故稱(chēng)這種估計(jì)為點(diǎn)估計(jì)。

點(diǎn)估計(jì)的經(jīng)典方法是矩估計(jì)法與極大似然估計(jì)法。1.5.1點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)稱(chēng)為估計(jì)量θ的一個(gè)觀測(cè)值。8/14/2023139若x1，…，xn是樣本的一個(gè)觀測(cè)值。由于1.5.1點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)法（簡(jiǎn)稱(chēng)“矩法”）

關(guān)鍵點(diǎn)：用樣本矩作為總體同階矩的估計(jì)，即

一般使用：8/14/20231401.5.1點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)法（簡(jiǎn)稱(chēng)“矩法”）關(guān)鍵點(diǎn)：1.5.1點(diǎn)估計(jì)例1.5.1設(shè)X1,…,Xn為取自總體B(m,p)的樣本，其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估計(jì)。例1.5.2設(shè)X1,…,Xn為取自總體N(μ,σ2)的樣本，求μ,σ2的矩估計(jì)。8/14/20231411.5.1點(diǎn)估計(jì)例1.5.1設(shè)X1,…,Xn為取1.5.1點(diǎn)估計(jì)極大似然估計(jì)法1

極大似然思想

有兩個(gè)射手，一人的命中率為0.9,另一人的命中率為0.1,現(xiàn)在他們中的一個(gè)向目標(biāo)射擊了一發(fā)，結(jié)果命中了，估計(jì)是誰(shuí)射擊的？

一般說(shuō)，事件A發(fā)生的概率與參數(shù)有關(guān)，取值不同，則P(A)也不同。因而應(yīng)記事件A發(fā)生的概率為P(A|).若A發(fā)生了，則認(rèn)為此時(shí)的值應(yīng)是在中使P(A|)達(dá)到最大的那一個(gè)。這就是極大似然思想8/14/20231421.5.1點(diǎn)估計(jì)極大似然估計(jì)法1極大似然思想一般1.5.1點(diǎn)估計(jì)極大似然估計(jì)法2似然函數(shù)為該總體的似然函數(shù)。3極大似然估計(jì)則稱(chēng)為的極大似然估計(jì)若有使得8/14/20231431.5.1點(diǎn)估計(jì)極大似然估計(jì)法2似然函數(shù)為該總1.5.1點(diǎn)估計(jì)極大似然估計(jì)法4求極大似然估計(jì)步驟(1)建立似然函數(shù)(2)做對(duì)數(shù)似然函數(shù)(3)列似然方程若該方程有解，則其解就是注：若概率函數(shù)中含有多個(gè)未知參數(shù)，則可解方程組8/14/20231441.5.1點(diǎn)估計(jì)極大似然估計(jì)法4求極大似然估計(jì)1.5.1點(diǎn)估計(jì)例1.5.3設(shè)X1,…,Xn為取自總體N(μ,σ2)的樣本，求μ,σ2的極大似然估計(jì)。8/14/20231451.5.1點(diǎn)估計(jì)例1.5.3設(shè)X1,…,Xn為取1.5.1點(diǎn)估計(jì)8/14/20231461.5.1點(diǎn)估計(jì)8/1/20231461.5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性可以證明：即：8/14/20231471.5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性可以證明：即：8/1/201.5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)有效性例1.5.4設(shè)分別為取自總體X的容量為n1,n2的兩個(gè)樣本的樣本均值，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a>0,b>0,a+b=1，統(tǒng)計(jì)量都是E(X)的無(wú)偏估計(jì)，并求a,b使所得統(tǒng)計(jì)量最有效8/14/20231481.5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)有效性例1.5.4設(shè)1.5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)8/14/20231491.5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)8/1/20231491.5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)一致性例1.5.5設(shè)X1,…,Xn為取自總體B(m,p)的樣本，其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估計(jì)討論所求估計(jì)量的一致性。8/14/20231501.5.2估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)一致性例1.5.5設(shè)X1,…,1.5.3區(qū)間估計(jì)

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x；)含有未知參數(shù)，對(duì)于給定值（0<<1),若由樣本X1,…,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量使則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間為的置信度為1的置信區(qū)間注：F(x;)也可換成概率密度或分布律。8/14/20231511.5.3區(qū)間估計(jì)設(shè)總體X的分布函數(shù)F(1.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單正態(tài)總體均值μ的置信區(qū)間1總體方差

2已知/21-

的置信度為1的置信區(qū)間為8/14/20231521.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單正態(tài)總體均值μ的置信區(qū)求正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的解題步驟：

(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造樣本的函數(shù)，要求僅含待估參數(shù)且分布已知；(2)令該函數(shù)落在由分位點(diǎn)確定的區(qū)間里的概率為給定的置信度1

，要求區(qū)間按幾何對(duì)稱(chēng)或概率對(duì)稱(chēng)；(3)解不等式得隨機(jī)的置信區(qū)間；(4)由觀測(cè)值及

值查表計(jì)算得所求置信區(qū)間。8/14/2023153求正態(tài)總體參數(shù)置信區(qū)間的解題步驟：8/1/20231531.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)2總體方差

2未知

的置信度為1的置信區(qū)間為8/14/20231541.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)2總體方差2未知的1.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單正態(tài)總體方差σ2的置信區(qū)間假設(shè)總體均值μ未知σ2的置信度為1的置信區(qū)間為8/14/20231551.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)單正態(tài)總體方差σ2的置信1.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)雙正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間1-2的置信度為1的置信區(qū)間為8/14/20231561.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)雙正態(tài)總體均值差的置信區(qū)1.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間假設(shè)總體均值μ1,μ2未知σ12/σ22的置信度為1的置信區(qū)間為8/14/20231571.5.4正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念和思想單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)雙正態(tài)總體均值差與方差比的假設(shè)檢驗(yàn)1.6假設(shè)檢驗(yàn)8/14/2023158假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念和思想1.6假設(shè)檢驗(yàn)8/1/202(一)兩類(lèi)問(wèn)題1、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

總體分布已知,參數(shù)未知,由觀測(cè)值x1,…,xn檢驗(yàn)假設(shè)原假設(shè)H0：=0；備擇假設(shè)H1：≠02、非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

總體分布未知,由觀測(cè)值x1,…,xn檢驗(yàn)假設(shè)H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)

1.6.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念和思想基本概念8/14/2023159(一)兩類(lèi)問(wèn)題

以樣本(X1,…,Xn)出發(fā)制定一個(gè)法則,一旦觀測(cè)值(x1,…,xn)確定后,我們由這個(gè)法則就可作出判斷是拒